2.1二次函数课件2025-2026学年北师大版九年级数学下册

1 二次函数 学习目标 准备好了吗？一起去探索吧！ 二次函数 1.经理解二次函数的概念，掌握其一般形式，会解决跟二次函数的概念有关的问题历探索和表示二次函数关系的过程,关程, 2.从实际问题出发列二次函数解析式，体验用函数思想去描述、研究变量之间变化规律的意义 重点 难点 一级标题：黑体， 2 复习回顾 函 数 变量之间的关系 一次函数y=kx+b (k≠0) 反比例函数 二次函数 正比例函数y=kx(k≠0) 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 复习回顾 类比 学习结构： 图象画法： 求表达式的方法： 待定系数法法 概念---图象及性质---应用 描点法 ...... 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 复习回顾 节日的喷泉给人们带来喜庆，夏日的喷泉给人们带来凉爽，你是否注意到喷泉水流所经过的路线?在观看篮球比赛时，你是否注意过篮球人篮的路线?它会与某种函数有联系吗? 本章我们将要探索和研究刻画变量之间关系的一种新模型---二次函数.类似于以前所学的一次函数和反比例函数，我们也要借助图象发现二次函数的性质，并利用二次函数解决一些实际问题. 学习内容： 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 问题1：某果园有 100 棵橙子树，每一棵树平均结 600 个橙子.现准备多种一些橙子树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每一棵树所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结 5 个橙子. (1) 问题中有那些变量？其中哪些是自变量？哪些是因变量？ 自变量：橙子树的数量，橙子树之间的距离， 橙子树接受阳光的多少等等； 因变量：每棵橙子树的结果量，果园橙子的 总产量，每个橙子的质量等等. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 (2) 假设果园增种 x 棵橙子树，那么果园共有多少棵橙子树？这时平均每棵树结多少个橙子？ (3) 如果果园橙子的总产量为 y 个，那么请你写出 y 与 x之间的关系式. 果园共有(100+x)棵树，平均每棵树结(600-5x)个橙子. y = (100 + x)(600 - 5x) = -5x² + 100x + 60000. 对于 x 的每一个值，y 都有唯一的一个对应值，即 y 是 x 的函数. 这个关系式是函数关系式吗？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 做一做 2、设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存。如果存款额是100元，那么请你写出两年后的本息和y（元）与x的表达式（不考虑利息税） 银行的储蓄利率是随时间变化的，也就是利率是一个变量.在我国，利率的调整是中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 解：依题意得， 一年后的本息和为： 两年后本息和为 ： 所以，y 与x的关系式为： 化简为： 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 想一想 3.两个数的和是20，设其中一个数是x,写出这两个数之积y的表达式. 4.已知矩形的周长为40cm，它的面积可能是100cm2吗？ 可能是75cm2吗？还可能是多少？ 请你表示出这个矩形的面积与其一边长的关系. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 a 情境1：y=-5x²+100x+60 000. 情境2：y=100x²+200x+100. 情境3：y=x(20-x). 问题：y是 x 的函数吗？y 是 x的一次函数？是反比例函数？ 问题 1~3 中函数关系式有什么共同点? 同学们，以小组的形式讨论，并由每组代表总结. 温馨提示：类比一次函数 y = kx + b (k≠0)的特征. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 一般地，若两个变量x，y之间的对应关系可以表示成y=ax²+bx+c(a,b,c是常数,且a≠ 0)的形式，则称y是x的二次函数. 二次项 一次项 常数项 a：二次项系数 b：一次项系数 c：常数项 一般式： 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 一般地，若两个变量 x，y 之间的对应关系可以表示成 y=ax²+bx+c（a，b，c 是常数，a≠ 0）的形式，则称 y 是 x 的二次函数. （1） y=ax² (a≠0，b=0，c=0)； （2） y=ax²+c (a≠0，b=0，c≠0)； （3） y=ax²+bx (a≠0，b≠0，c=0). 二次函数的定义 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 典型例题 例1 下列函数中哪些是二次函数? 为什么? (x 是自变量) ①y = (x + 3)² − x²； ② y = 3 − 2x²； ③ y = x2 ； ④ ； ⑤ y = x² + x³ + 25； ⑥ y = ax2 + bx + c. 不一定是，缺少 a ≠ 0 的条件. 不是，等式右边是分式. 不是，x 的最高次数是 3. y = 6x + 9 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 (1) 将函数解析式右边整理为含自变量的代数式，左边是因变量的形式； (2) a，b，c 为常数，且 a≠0； (3) 等号左边是因变量 y，右边是关于自变量 x 的整式； (4) 等式的右边自变量的最高次数为 2. 判断一个函数是否为二次函数的步骤： 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 1、下列函数中，一定是二次函数的有（　A　）. ①y＝ax2＋bx＋c；②y＝ ；③y＝ －x2； ④y＝（x＋1）2－x2；⑤y＝100－25x2. A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2、下列函数中，y一定是x的二次函数的（　B　）. A. y＝ax2＋bx＋c B. y＝50＋x2 C. y＝x＋2 D. y＝（x＋1）2－x2 A B 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 3.圆的半径是1cm,假设半径增加xcm时，圆的面积增加ycm2. （1）写出y与x的关系式； （2）当圆的半径分别增加1cm, cm,2cm时，圆的面积各增加多少？ 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 典型例题 例2：已知 ( m 为常数)，根据下列条件求 m 的值： (1) y 是 x 的一次函数； (2) y 是 x 的二次函数； ∴ m = 1. (2) y 是 x 的二次函数，只须 m2 - m≠0. ∴ m≠1 且 m≠0. 解： (1) 由题意得 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 议一议 问题：上述问题中的三个函数的自变量的取值范 围是什么？ ① y = -5x² + 100x + 60000 ② y = 100x2 + 200x + 100 ①∵600-5x＞0，x≥0，∴0≤x＜120，且 x 为整数. ② x＞0. ③∵20-x＞0，∴0＜x＜20. ③y = -x2 + 20x 二次函数的自变量取值范围 二次函数的自变量的取值范围是所有实数，但在实际问题中，它的自变量的取值范围会有一些限制. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 再见 $$