1.5三角函数的应用课件2025-2026学年北师大版九年级数学下册

5 三角函数的应用 学习目标 准备好了吗？一起去探索吧！ 三角函数的应用 1.正确理解方位角、仰角和坡角的概念. 2.能运用解直角三角形知识解决方位角、仰角和坡角的问题. 重点 难点 一级标题：黑体， 2 复习回顾 直角三角形中的6个元素的中，至少知道几个元素，就可以求出其它元素？ （1）a2+b2=c2(勾股定理)； （2）∠A＋∠B＝90° （3）三角函数值 已知两边求第三边. 已知一锐角求第另一锐角. 已知两边求其它元素. 已知一边一锐角求其它元素. 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 复习回顾 　　1． 如图，射线OA的方向是 ⁠度． 北偏东60 2． (1)如图，抬头看时，视线与水平线的夹角叫仰角，图中人眼看点A的仰角为 °； 　　(2)如图，低头看时，视线与水平线的夹角叫俯角，图中人眼看点B的俯角为 ⁠°. 33 70 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 知识点一：方向角问题 我们已经知道轮船在海中航行时，可以用方位角准确描述它的航行方向. 那你知道如何利用三角函数结合方位角等数据进行计算，帮助轮船在航行中远离危险吗？ 轮船 O 北 东 北偏东30° 南北方向线与东西方向线互相垂直. 同方向线或反方向线互相平行. 方位角问题注意的方面： 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 议一议 20海里 D A B C 55° 25° 如图，海中有一个小岛A,该岛四周10n mile内有暗礁。今有货轮由西向东航行，开始在A岛的南偏西55°的B处，往东行驶20n mile后到达该岛的南偏西25°的C处。之后，货轮继续向东航行。 你认为货轮继续向东航行途中会有触礁危险吗？ 北 东 实际问题 几何图形 几何问题 解直角三角形 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 解：由点 A 作 AD⊥BC 于点 D，若AD＞10海里，则货轮安全；反之则有触礁的危险. 设 AD = x ， 则在 Rt△ABD 中， 在 Rt△ACD 中， 解得 所以，这船继续向东航行是安全的. B A C D 25° 55° 北 东 由 BC = BD - CD，得 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 　　1．如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，B处距离灯塔P有多远？(结果取整数)提示： sin 25°≈0. 42， cos 25°≈0. 91， sin 34°≈0. 56， cos 34°≈0. 83. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 　　解：由题意，得∠APC＝90°－65°＝25°，∠B＝34°， PA＝80 n mile. 　　在Rt△APC中，∠ACP＝90°，∴ cos ∠APC＝ . 　　∴PC＝PA· cos 25°≈80×0. 91＝72. 8(n mile)． 　　在Rt△BPC中，∠BCP＝90°，∴ sin B＝ . 　　∴PB＝ ＝ ≈130(n mile)． 　　答：B处距离灯塔P大约130 n mile. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 如图1-14，小明想测量CD的高度，他在A处仰望塔顶，测得仰角为 30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角为60°，那么该塔有多高？ （小明的身高忽略不计,结果精确到1m） 知识点2：仰角与俯角 本章开头提出的小明测量古塔的高度问题： 实际问题 几何图形 几何问题 解直角三角形 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 解：如图∠DAC = 30°，∠DBC = 60°，AB = 50 m，设塔高 DC = x m. Rt△ADC 中， . Rt△BDC 中， . ∴ x = ≈43 ( m ). ∴ AB = AC－BC = . 30° 60° 50 m 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 　2、如图，热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°，看这栋楼楼底的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120 m，这栋楼有多高？(结果取整数)提示： ≈1. 73. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 　　解：由题意，得α＝30°，β＝60°，AD＝120 m． 　　在Rt△ABD中，tan α＝ ，∴BD＝AD·tan α＝120× ＝40 m． 　　在Rt△ACD中，tan β＝ ，∴CD＝AD·tan β＝120× ＝120 m． 　　∴BC＝BD＋CD＝40 ＋120 ＝160 ≈277(m)． 　　答：这栋楼高约277 m． 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 某商场准备改善原有楼梯的安全性能，把倾斜角有45° 减至 30°已知原楼梯长为4m，调整后的楼梯会加长多少？楼梯多占多长一段地面？（结果精确到0.01） 知识点3：坡度 实际问题 几何图形 几何问题 解直角三角形 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 解:如图,根据题意可知,∠D =30°,∠ABC=45°, AB=4m (1)调整后的楼梯有多长？ 即求AD的长. 所以调整后的楼梯AD长为4 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 （2）新楼梯多占多长一段地面？即求BD的长. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 3、如图，水库的拦水坝的横截面是一个梯形，坝顶BC＝6 米，坝高BE＝9米，斜坡AB的坡角为45°，斜坡CD的坡度为1∶ ，求斜坡CD的坡角及坝底AD的长． 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 　　解：如图，过点C作CF⊥AD于点F，则CF＝BE＝9，EF＝BC＝6. 　　∵斜坡CD的坡度为1∶ ，∴tan D＝ . ∴∠D＝30°. 　　∵tan D＝ ＝ ＝ ，∴DF＝9 . 　　∵∠A＝45°，BE＝9，∴AE＝BE＝9. 　　∴AD＝AE＋EF＋DF＝9＋6＋9 ＝15＋9 (米)． 　　答：斜坡CD的坡角为30°，坝底AD的长为(15＋9 )米. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： 实际问题 画出平面图形 生活问题数学化 数学问题 （作辅助线，构造直角三角形） 设未知量 建立方程 （构造三角函数模型） （代入数据求解） 求解方程 解答问题 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是： （1）将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转 化为解直角三角形的问题）； （2）根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解 直角三角形； （3）得到数学问题的答案； （4）得到实际问题的答案． 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 再见 $$