第13讲　函数的零点与方程的解 讲义——2026届高三数学一轮复习

第13讲　函数的零点与方程的解 知识梳理 1.函数的零点 (1)函数零点的定义:对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0的　　　　　叫作函数y=f(x)的零点.  (2)等价关系：方程f(x)=0有实数解⇔函数y=f(x)的图象与　　　有交点⇔函数y=f(x)有　　　　.  (3)函数零点存在定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有　　　　　　　,那么,函数y=f(x)在区间(a,b)内　　　　　　零点,即存在c∈(a,b),使得　　　　　,这个c也就是方程f(x)=0的解.  (4)二分法:对于在区间[a,b]上图象连续不断且　　　　　　　　的函数y=f(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间　　　　　　,使所得区间的两个端点逐步逼近　　　　,进而得到零点近似值的方法叫作二分法.  2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 常用结论 1. 如果函数f(x)在区间I上是单调的,且在该区间上的图象是一条连续不断的曲线,则函数f(x)在该区间上至多有一个零点. 2.由函数y=f(x)(图象是连续不断的)在闭区间[a,b]上有零点不一定能推出 f(a)·f(b)<0(如图所示),所以“f(a)·f(b)<0”是“y=f(x)在闭区间[a,b]上有零点”的充分不必要条件. 3.如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不断的曲线,且有f(a)f(b)<0,y=f(x)在(a,b)上单调,那么f(x)=0在区间(a,b)上有且仅有一个实数根. 4.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点. 5.函数F(x)=f(x)-g(x)有零点⇔方程F(x)=0有实数解⇔函数y1=f(x)与y2=g(x)的图象有交点. 6.函数F(x)=f(x)-a有零点⇔方程F(x)=0有实数根⇔函数y1=f(x)与y2=a的图象有交点⇔a∈{y|y=f(x)},其中a为常数. 考点01　判断函数零点所在的区间 例1(1)已知函数f(x)=ln x+x-,则f(x)的零点所在的区间为(　 ) A. B.(1,2) C.(2,e) D.(e,3) (2)已知函数 . 当 时,函 数 的零点 ,则 考点02　用二分法求函数零点的近似值 例2 某同学要用二分法求函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点的近似值,他得到如下数据: f(1)=-2 f(1.5)=0.625 f(1.25)≈-0.984 f(1.375)≈-0.260 f(1.437 5)≈0.162 f(1.406 25)≈-0.054 那么函数f(x)=x3+x2-2x-2的一个正零点的近似值(精确度为0.05)可以是(　 ) A.1.25 B.1.39 C.1.41 D.1.5 考点03　判断函数零点的个数 例3 (1)设函数f(x)=则f(x)的零点个数为(　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 (2)(多选题)已知函数f(x)=则关于x的方程f(x)=ax+2的根的个数可能是 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 （3）函数 的零点个数为(　 ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 （4）函数 是定义在 上 的偶函数,当 时, 则函数 1 的零点个数为(　 ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 考点04　函数零点的应用 例4已知函数f(x)=x2-ax+4在(1,2)上有且只有一个零点,则实数a的取值范围是 (　 ) A.[8,10) B.(8,10) C.[4,5) D.(4,5) 例5 (1) 已知函数f(x)=x5+4x+a在(-1,1)内有零点,则a的取值范围是(　 ) A.(-5,5) B.(-∞,-5)∪(5,+∞) C.[-5,5] D.(-∞,-5]∪[5,+∞) (2)已知p:函数f(x)=2x3+x-a在(1,2]内有零点,则p成立的一个必要不充分条件是 (　 ) A.3≤a<18 B.3<a<18 C.a<18 D.a≥3 (3)已知函数 有唯一零点,则 A. B. C. D. 1 考点05　复合函数的零点问题 例6 (1)若函数f(x)=e2x+e-2x-4(ex+e-x)+2b(b是常数)有且只有一个零点,则b的值为(　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 (2)已知函数 函数 的零点个数为 A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 (3)设函数 若关于 的方程 恰好有 六个不同的实数解,则实数 的取值范围为 A. B. C. D. (4)已知函数f(x)=|ex-2|,g(x)=[f(x)]2-4f(x)+3,则g(x)的零点个数为(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2 B.3 C.4 D.5 限时训练 (时间:45分钟) 　　　　　　 　　　　　　　　　　 1.函数f(x)=ax-a(a>0,a≠1)的零点为(　 ) A.0 B.1 C.(1,0) D.a 2.“a>3”是“函数f(x)=ax+3在区间(-1,2)内存在零点”的(　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.已知函数y=f(x)的图象连续不断,且f(0)·f(1)<0,用二分法求函数f(x)在[0,1]上的零点,要求近似值的精确度为0.1,则需对区间至多二分的次数为 (　 ) A.2 B.3 C.4 D.5 4.若定义域为R的奇函数f(x)满足f(x+1)=f(x),则f(x)在(-2,2)上的零点个数至少为(　 ) A.5 B.6 C.7 D.8 5.若函数f(x)=2x2+ax-b在[0,1]上有两个不同的零点,则下列说法正确的是 (　 ) A.a2+8b<0 B.a-b≥-2 C.b>0 D.0≤a≤2 6.已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:对任意的x∈(0,+∞),都有f=5,则函数y=f(x)-5的零点个数为 (　 )A.1 B.2 C.3 D.4 7.(多选题) 已知实数x1,x2,x3满足==log2x3,则下列不等式中可能成立的是 (　 ) A.x2<x1<x3 B.x1<x2<x3 C.x2<x3<x1 D.x1<x3<x2 8. 已知函数f(x)=x+-a没有零点,则a的取值范围是　　　　.  9.已知函数f(x)=则函数y=f[f(x)]-1的所有零点构成的集合为　　　　.  10.已知函数f(x)=x+-a(a∈R). (1)若f(x)在(0,+∞)上的最小值为-2,求a的值; (2)若函数g(x)=f(|2x-1|)-恰有3个零点,求a的取值范围. 11.三个函数f(x)=x3+x-3,g(x)=ln x+x-3,h(x)=ex+x-3的零点分别为a,b,c,则a,b,c之间的大小关系为 (　 ) A.a<b<c B.c<a<b C.a<c<b D.b<c<a 12. 函数f(x)=ln+x-1的所有零点之和为 (　 ) A.-2 B.-1 C.1 D.2 13.已知函数g(x)=|2x-1|,若函数f(x)=[g(x)]2+(a-1)g(x)-2(a+1)有三个零点,则a的取值范围为　　　　.  14. 已知函数f(x)=(a∈R). (1)若函数f(x)为奇函数,求a的值; (2)当a=3时,用函数单调性的定义证明:函数f(x)=在R上单调递增; (3)若函数y=f(x)-2x有两个不同的零点,求a的取值范围. 参考答案 1.B　[解析] 令f(x)=0,得ax-a=0,解得x=1,所以函数f(x)的零点为1.故选B. 2.A　[解析] 当a=0时,f(x)=3,则f(x)没有零点.当a≠0时,f(x)=ax+3在R上具有单调性.若函数f(x)=ax+3在区间(-1,2)内存在零点,则f(-1)·f(2)=(3-a)(2a+3)<0,解得a>3或a<-.所以“a>3”是“函数f(x)=ax+3在区间(-1,2)内存在零点”的充分不必要条件,故选A. 3.C　[解析] 区间[0,1]的长度为1,每经过一次操作,区间长度变成原来的一半,因为=0.125>0.1,=0.062 5<0.1,故需对区间至多二分4次.故选C. 4.C　[解析] 由f(x)是定义域为R的奇函数可得f(0)=0,再由f(x+1)=f(x)可得函数f(x)的周期为1,则f(-1)=f(0)=f(1)=0.在f(x+1)=f(x)中取x=-,得f=f=-f, 所以f=0,则f=0,f=0,f=0,所以f(x)在(-2,2)上的零点个数至少为7.故选C. 5.B　[解析] 因为f(x)=2x2+ax-b在[0,1]上有两个不同的零点,所以则故B正确,A,C,D错误,故选B. 6.B　[解析] 由题意知,对任意的x∈(0,+∞),都有f=5,设函数y=f(x)-5的零点为x0∈(0,+∞),则f(x0)=5,可得f(x)-=x0,所以f(x0)=+x0=5,即-5x0+1=0,设g(x0)=-5x0+1,则函数g(x0)的图象开口向上,图象的对称轴为x0=,且g(0)=1>0,Δ=(-5)2-4=21>0,所以函数g(x0)在(0,+∞)上有2个零点,即函数y=f(x)-5的零点个数为2.故选B. 7.ABD　[解析] 设==log2x3=k,则k>0.如图,在同一平面直角坐标系 中分别作出函数y1=2x,y2=,y3=log2x的大致图象, 依题意知,直线y=k与这三个函数图象都有交点,需判断这些交点的横坐标之间有怎样的大小关系.由图知,有三种不同的情况:当直线y=k在位置①时,显然有x2<x1<x3;当直线y=k在位置②时,显然有x1<x2<x3;当直线y=k在位置③时,显然有x1<x3<x2.故选ABD. 8.(-4,4)　[解析] 令f(x)=x+-a=0,则x+=a.函数f(x)没有零点,等价 于y=x+与y=a的图象没有交点.作出y=x+的大致图象,如图所示, 由图可知,若y=x+与y=a的图象没有交点,则-4<a<4,即a的取值范围为(-4,4). 9.{-1,1,4}　[解析] 因为函数f(x)=f[f(x)]-1=0,所以或解得f(x)=0或f(x)=2,则或或或解得x=-1,或x=1,或x=4,故所求集合为{-1,1,4}. 10.解:(1)当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)不存在最小值.当a>0时,f(x)=x+-a≥2-a=2-a(当且仅当x=时取等号), 所以2-a=-2,解得=-(舍去)或=2,故a=4. (2)令g(x)=f(|2x-1|)-=|2x-1|+-a-=0, 则-(a+1)|2x-1|+a=0,|2x-1|≠0. 令|2x-1|=t,则方程可化为t2-(a+1)t+a=0(t>0),画出t=|2x-1|的大致图象,如图所示, 因为g(x)恰有3个零点,所以方程t2-(a+1)t+a=0(t≥0)有两个根t1,t2,不妨令t1<t2,则0<t1<1≤t2. 记h(t)=t2-(a+1)t+a,则需满足解得a>0,综上,a的取值范围是(0,+∞). 11.B　[解析] 因为函数y=x3,y=ex,y=ln x,y=x-3都是增函数,所以函数f(x)=x3+x-3,g(x)=ln x+x-3,h(x)=ex+x-3均为增函数.因为f(1)=-1<0,f(2)=7>0,所以函数f(x)的零点在(1,2)上,即a∈(1,2).因为g(2)=ln 2-1<0,g(3)=ln 3>0,所以函数g(x)的零点在(2,3)上,即b∈(2,3).因为h(0)=-2<0,h(1)=e-2>0,所以函数h(x)的零点在(0,1)上,即c∈(0,1).综上,c<a<b.故选B. 12.D　[解析] 由f(x)=0得ln=1-x,令g(x)=ln,y=1-x,因为g(x)+g(2-x)=ln +ln =ln 1=0,所以g(x)=ln 的图象关于点(1,0)对称,又y=1-x的图象关于点(1,0)对称,所以可作出g(x)=ln=ln,y=1-x的图象,如图所示,由图可知这两个函数图象有两个交点,且易知这两个交点关于点(1,0)对称,设两个交点的横坐标分别为x1,x2,则x1+x2=2.故选D. 13.(-2,-1)　[解析] 令f(x)=0,可得[g(x)]2+(a-1)g(x)-2(a+1)=0,所以[g(x)-2][g(x)+(a+1)]=0,所以g(x)=2或g(x)=-a-1.由g(x)=2,且g(x)=|2x-1|,可得|2x-1|=2,可得2x=-1或2x=3,方程2x=-1无解,方程2x=3有一个解,故方程g(x)=2有一个解.要使函数f(x)=[g(x)]2+(a-1)g(x)-2(a+1)有三个零点,则-a-1≠2,且方程g(x)=-a-1有两个解,即a≠-3,且y=g(x)与y=-a-1的图象有两个交点.作出函数y=g(x)与y=-a-1的大致图象,如图所示, 由图可知需满足0<-a-1<1,解得-2<a<-1,满足a≠-3,所以a的取值范围为(-2,-1). 14.解:(1)由题意知,f(x)的定义域为R,因为f(x)为奇函数, 所以f(0)=0,可得=0,则a=1, 此时f(x)=. 因为f(-x)===-f(x),所以f(x)为奇函数,满足题意, 故a=1. (2)证明:当a=3时,f(x)==3-. 任取x1,x2∈R,且x1<x2, 则f(x1)-f(x2)=-=, 因为x1<x2,所以<,又+1>0,+1>0, 所以<0,即f(x1)<f(x2), 所以函数f(x)在R上单调递增. (3)y=f(x)-2x有两个不同的零点,等价于+(1-a)2x+1=0有两个不同的实数解. 令t=2x(t>0),则t2+(1-a)t+1=0,当t∈(0,+∞)时有两个不同的实数解. 令g(t)=t2+(1-a)t+1,易知g(0)=1>0, 所以还需满足解得a>3, 所以a的取值范围为(3,+∞). 1 学科网（北京）股份有限公司 $$