第4讲　基本不等式讲义-2026届高三数学一轮复习

第4讲　基本不等式 知识梳理 1.基本不等式≤ (1)基本不等式成立的条件:　　　　　.  (2)等号成立的条件:当且仅当　　　　时取等号.  2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥　　　　(a,b∈R).  (2)+≥　　　　(a,b同号).  (3)ab≤(a,b∈R). (4)≤(a,b∈R). 3.算术平均数与几何平均数 给定两个正数a,b,数　　　　　称为a,b的算术平均数;数称为a,b的几何平均数.基本不等式可叙述为:　　　　　　　　　　　　　　　　　.  4.利用基本不等式求最值问题 已知x>0,y>0. (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y时,x+y取得最小值,是　　　　.(简记:积定和最小)  (2)如果和x+y是定值p,那么当且仅当x=y时,xy取得最大值,是　　　　.(简记:和定积最大)  考点01　利用基本不等式求最值 例1 (1)已知m<8,则m+的最大值为_____________ (2)设 ,则函数 的最大值为___________ (3)已知x>1,y>3,(x-1)(y-3)=1,则x+y的最小值为____________ (4) 若 ,且 ,则 的最大值为___________ (5)设 ,则 的最小值 是 例2 (1)已知m,n∈(0,+∞),且m+n=1,则+的最小值为 (　 ) (2)(多选题)若正数x,y满足2x+y=xy,则 (　 ) A.xy≤8 B.8x+y≥18 C.+≥ D.+≥ (3)已知 ,则 的最小值 为 (4)已知正数满足，则的最小值为 (5)设 为正实数,若 , 则 的最大值是__________ 例3(1)设正实数x,y,z满足x2-xy+y2-z=0,则的最大值为 (　 ) A.4 B.3 C.2 D.1 (2)已知 ,则 的最小值是____________ (3) 若 ,且 ,则 的最小值为__________ (4)设 为实数,若 ,则则 的最小值是_______ 考点02　基本不等式的变形应用 例4 (1)已知0<a<1,b>1,则下列不等式一定成立的是 (　 ) A.a+b< B.< C.<2 D.a+b< (2)已知 ,则 的最小值为__________ (3)若 ,则 的最小值为________ 考点03　基本不等式的实际应用 例 5(1) 实数 满足 ,则 的最大值是____________________ (2)已知 ,则 的最小值为_______________________ (3)设 ,则 的最大值为_________________ 限时训练(时间:45分钟) 1.已知a,b∈R,则“a>0且b>0”是“a+b≥”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.已知a>0,b>0,且ab=4,则++的最小值为 (　 )　　　　　　 　　　　　　　　　　 A.1 B.2 C.4 D.8 3.函数y=(0≤x≤10)的最大值为 (　 ) A.4 B.5 C.6 D.8 4.已知0<a<b,且ab=1,则a+2b的取值范围是 (　 ) A.(3,+∞) B.(2,+∞) C.[3,+∞) D.[2,+∞) 5.设0<m<,若+≥k恒成立,则k的最大值为 (　 ) A.2 B.4 C.6 D.8 6.已知实数a>1,则 (　 ) A.无最大值 B.有最大值4 C.有最小值6 D.有最小值4 7.已知a,b是不相等的正实数,x=,y=,则 (　 ) A.x>y B.y>x C.x>y D.y>x 8.(多选题)下列说法错误的是 (　 ) A.若x,y>0,x+y=4,则2x+2y的最大值为8 B.若x<,则函数y=2x+的最大值为-3 C.函数y=的最小值为 D.若x>0,y>0,x+y+xy=3,则x+y的最小值为2 9.对于任意实数a,b,(a-b)2≥kab恒成立,则实数k的取值范围是　　　　.  10.某校为了让学生感受生命的奥秘,培养学生热爱自然、探索大自然的意识,开展了“种植当岁初,滋荣及春暮”活动.学校打算在宿舍后面的空地上开设一块面积为50 m2的矩形田地ABCD让学生种植自己喜欢的植物,四周留有宽度分别为1 m和2 m的过道,如图所示,则该矩形田地的边AB的长为　　　　 m时,过道占地面积最小,最小面积为　　　　 m2.  11.下列函数中,最小值为2的是 (　 ) A.y=x+ B.y=ex+e-x C.y= D.y=sin x+ 12.(多选题)已知a>0,b>0,则 (　 ) A.·≤2 B.若a+b=ab-3,则ab≥9 C.若a+b=1,则+≥4 D.若a+3b=-,则b的最大值为 13.已知a>b≥0且+=1,则2a+b的最小值为　　　　.  14.已知正数x,y满足x2+2xy-1=0,则3x2+4y2的最小值为　　　　.  参考答案 1.A　[解析] 由a>0且b>0,得a+b≥2>,当且仅当a=b时取等号,充分性成立;当a=1,b=0时,满足a+b≥,但不满足a>0且b>0,必要性不成立.故“a>0且b>0”是“a+b≥”的充分不必要条件.故选A. 2.B　[解析] ++=+=+≥2=2,当且仅当a=b=2时,等号成立.故选B. 3.B　[解析] ∵0≤x≤10,∴10-x≥0,∴≤=5,当且仅当x=10-x,即x=5时,等号成立,∴函数y=(0≤x≤10)的最大值为5.故选B. 4.A　[解析] 因为ab=1,所以b=,所以0<a<,解得0<a<1,a+2b=a+,易知y=a+在(0,1)上单调递减,所以a+>1+=3.故选A. 5.D　[解析] 因为0<m<,所以·2m(1-2m)≤·=,所以+=≥=8,又+≥k恒成立,所以k≤8,所以k的最大值为8.故选D. 6.B　[解析] 因为a>1,所以a-1>0,所以=-=-=-+6≤-2+6=4,当且仅当a-1=,即a=2时等号成立,所以有最大值4.故选B. 7.B　[解析] 因为a,b为不相等的正实数,所以y2==a+b=>==x2,即y2>x2,又x>0,y>0,所以y>x.故选B. 8.AC　[解析] 对于A,取x=3,y=1,则23+21=10>8,故A中说法错误;对于B,若x<,则y=2x+=-+1≤-2+1=-3,当且仅当1-2x=,即x=-时取等号,故B中说法正确;对于C,y==+≥2=6,当且仅当=,即x=±时取等号,故C中说法错误;对于D,若x>0,y>0,则≥xy,当且仅当x=y时取等号,又x+y+xy=3,所以x+y+≥3,即(x+y+6)(x+y-2)≥0,可得x+y≤-6(舍去)或x+y≥2,当且仅当x=y=1时取等号,则x+y的最小值为2,故D中说法正确.故选AC. 9.[-4,0]　[解析] 若ab=0,则k∈R;若ab>0,则k≤=+-2,因为+-2≥2-2=0,当且仅当a=b时取等号,所以k≤0;若ab<0,则k≥=--2,因为--2≤-2-2=-4,当且仅当a=-b时取等号,所以k≥-4.综上,-4≤k≤0,即实数k的取值范围是[-4,0]. 10.5　48　[解析] 设矩形田地的边AB的长为x m,过道占地面积为S m2,由题意可得S=2x·2+·2+4×2×1=4x++8≥2+8=48(x>0),当且仅当4x=,即x=5时取等号,所以矩形田地的边AB的长为5 m时,过道占地面积最小,最小面积为48 m2. 11.B　[解析] 对于A,当x<0时,x+≤-2=-2,当且仅当x=,即x=-时取等号,当x>0时,x+≥2=2,当且仅当x=,即x=时取等号,故A不正确;对于B,因为ex>0,e-x>0,所以ex+e-x≥2=2,当且仅当ex=e-x,即x=0时取等号,故B正确;对于C,令t=(t≥),则x2=t2-2,所以y===t+,t≥,由对勾函数的性质可知,y=t+在[,+∞)上单调递增,所以当t=时,y=t+取得最小值+=,故C不正确;对于D,令k=sin x(0<k<1),则y=k+,0<k<1,由对勾函数的性质可知,y=k+在(0,1)上单调递减,所以y=k+,0<k<1的值域为(2,+∞),所以函数y=sin x+在上无最小值,故D不正确.故选B. 12.BC　[解析] 对于A,·=+≥2,当且仅当a=b时取等号,故A错误;对于B,ab-3=a+b≥2,当且仅当a=b时取等号,设t=>0,则t2-2t-3=(t-3)(t+1)≥0,可得t≥3,即≥3,所以ab≥9,故B正确;对于C,因为a+b=1,所以+=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当=,即a=b=时取等号,故C正确;对于D,因为a+3b=-,所以a+=-3b,因为a+≥2=,当且仅当a=,即a=时取等号,所以-3b≥,即9b2+2b-3≤0,可得0<b≤,所以b的最大值为,故D错误.故选BC. 13.16　[解析] 因为a>b≥0,所以a+b>0,a-b>0,又2a+b=(a+b)+(a-b),所以2a+b==10++≥10+ 2=16,当且仅当=,即a=8,b=0时,等号成立,所以2a+b的最小值为16. 14.2　[解析] 由x2+2xy-1=0,得y=,因为x,y>0,所以0<x<1,则3x2+4y2=3x2+4=3x2+=3x2+=3x2+-2+x2=4x2+-2,因为4x2+≥2=4,当且仅当4x2=,即x=时取等号,所以3x2+4y2=4x2+-2≥4-2=2,即3x2+4y2的最小值为2. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$