第2讲　常用逻辑用语 学案——2026届高三数学一轮复习

第02讲　常用逻辑用语 知识梳理 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 若p⇒q,则p是q的　　　　条件,q是p的　　　　条件  p是q的　　　　　　　条件  p⇒q且q⇏p p是q的　　　　　　　条件  p⇏q且q⇒p p是q的　　　　条件  p⇔q p是q的　　　　　　　条件  p⇏q且⇏p 2.全称量词与存在量词 (1)短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作　　　　　,并用符号“　　”表示.  (2)短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作　　　　　,并用符号“　　”表示.  (3)含有一个量词的命题的否定: 全称量词命题:∀x∈M,p(x),它的否定:　　　　　　　.  存在量词命题:∃x∈M,p(x),它的否定:　　　　　　　.  考点5　充分条件与必要条件 例1 (1)“2x>1”是“x>1”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 (2)已知集合M={1,2,3},N={x∈Z||x-2|≤a},若x∈M是x∈N的充要条件,则整数a= (　 ) A.4 B.3 C.2 D.1 3．若，函数为奇函数，则是的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 考点6　全称量词与存在量词 例2 “∃x>0,x2-x+4≤0”的否定为 (　 ) A.∀x>0,x2-x+4>0 B.∀x≤0,x2-x+4>0 C.∃x>0,x2-x+4>0 D.∀x≤0,x2-x+4≤0 例3 （1）(多选题)下列命题既是存在量词命题又是真命题的是 (　 ) A.∀x∈R,x2-3x+5>0 B.∃x∈R,x2-3x+>0 C.至少存在两个质数的平方是偶数 D.存在一个直角三角形的三个内角成等差数列 （2）若命题：“，都有”为真命题，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 例4 (1)已知集合A={x|0≤x≤a},B={x|m2+3≤x≤m2+4},若“∃m∈R,A∩B≠⌀”为假命题,则实数a的取值范围为(　 ) A.(0,4) B.(1,5) C.(-∞,3) D.(-∞,4) (2) 若“∀x∈[1,3],a≤2x+2-x”为假命题,则实数a的取值范围是　　　　.  （3）已知，若命题“或”为真命题，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． （4）已知命题为假命题，则a的取值范围为（   ） A． B． C． D． 限时训练 (时间:35分钟) 1.设向量a=(x-1,x),b=(x,-2),则“x=3”是“a⊥b”的 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 2.“对任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个必要不充分条件是 (　 ) A.a≥4 B.a≥2 C.a≤5 D.a≤6 3.已知α,β是两个不同的平面,l,m是α内两条不同的直线,则“l∥β,且m∥β”是“α∥β”的 (　 ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 4. 已知集合A={0,a2},B={1,a+1,a-1},则“a=1”是“A⊆B”的(　 ) A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则 (　 ) A.p和q都是真命题 B.¬p和q都是真命题 C.p和¬q都是真命题 D. ¬p和¬q都是真命题 6.若“存在x∈R,使得x2-2x-m≤0”是假命题,则实数m的取值范围是 (　 ) A.(-∞,0) B.(-∞,2) C.[-1,1] D.(-∞,-1) 7.(多选题)若“x≥1”是“x>a”的充分不必要条件,则实数a的值可以为 (　 ) A.-1 B.0 C.1 D.2 8.已知p:∀x∈R,-a>0,则p的否定为　　　　　　　　　　　;若p为真命题,则a的最大值为　　　　.  9.已知函数f(x)=2ax2-ax-1,a∈R.若“∀x∈R,不等式f(x)<0恒成立”是假命题,则实数a的取值范围为　　　　　　.  10.已知p:∃x∈[0,3],a=-x2+2x;q:∀x∈[-1,2],x2+ax-8≤0.若p为假命题,q为真命题,则实数a的取值范围为(　 ) A.[-3,1] B.(-∞,2] C.[-7,-3)∪(1,2] D.(-∞,-3)∪(1,2] 11.(多选题)已知“∀x∈[1,+∞),ln x--a≥0”为真命题,则实数a的值可以是 (　 ) A.2 B.0 C.-1 D.-2 12.已知p:-x2+8x+20≥0,q:x2-2x+1-m2≤0(m>0),若q是p的必要不充分条件,则实数m的取值范围为　　　　　　.  参考答案 1.A　[解析] 若a⊥b,则a·b=0,即x(x-1)-2x=0,解得x=0或x=3,所以“x=3”是“a⊥b”的充分不必要条件.故选A. 2.B　[解析] 对任意x∈[1,2],x2-a≤0,即a≥x2对任意x∈[1,2]恒成立,所以a≥4,结合选项可知,“对任意x∈[1,2],x2-a≤0”为真命题的一个必要不充分条件是a≥2.故选B. 3.C　[解析] 若l∥β,m∥β,l,m⊂α,则α与β不一定平行(缺少条件l与m相交);若α∥β,l,m⊂α,则l∥β,且m∥β.故“l∥β,且m∥β”是“α∥β”的必要不充分条件.故选C. 4.B　[解析] 当a=1时,A={0,1},B={0,1,2},则A⊆B;当A⊆B时,a+1=0或a-1=0,解得a=-1或a=1,若a=-1,则A={0,1},B={0,1,-2},满足A⊆B,若a=1,显然满足A⊆B,所以a=-1或a=1.故“a=1”是“A⊆B”的充分不必要条件.故选B. 5.B　[解析] 当x=-时,=<1,故p是假命题,则􀱑p是真命题;当x=1时,13=1,故q是真命题,则􀱑q是假命题.故选B. 6.D　[解析] 若“存在x∈R,使得x2-2x-m≤0”是假命题,则对任意x∈R,x2-2x-m>0恒成立,所以Δ=4+4m<0,解得m<-1,所以实数m的取值范围是(-∞,-1).故选D. 7.AB　[解析] 因为“x≥1”是“x>a”的充分不必要条件,所以[1,+∞)⫋(a,+∞),所以a<1.故选AB. 8.∃x∈R,-a≤0　0　[解析] p的否定为“∃x∈R,-a≤0”.若p为真命题,则>a对任意x∈R恒成立,所以a≤0,则a的最大值为0. 9.(-∞,-8]∪(0,+∞)　[解析] 若f(x)=2ax2-ax-1<0对任意x∈R恒成立,则当a≠0时,a<0且Δ=a2+8a<0,解得-8<a<0,当a=0时,f(x)=-1<0成立,所以-8<a≤0.因为“∀x∈R,不等式f(x)<0恒成立”是假命题,所以实数a的取值范围为(-∞,-8]∪(0,+∞). 10.C　[解析] 因为p:∃x∈[0,3],a=-x2+2x为假命题,所以a=-x2+2x对任意x∈[0,3]不成立,即函数y=a与y=-x2+2x,x∈[0,3]的图象没有交点,作出两函数的图象,如图所示, 由图可知a>1或a<-3.因为q:∀x∈[-1,2],x2+ax-8≤0为真命题,所以解得-7≤a≤2.综上所述,实数a的取值范围为[-7,-3)∪(1,2].故选C. 11.CD　[解析] 因为“∀x∈[1,+∞),ln x--a≥0”为真命题,所以∀x∈[1,+∞),a≤ln x-.令f(x)=ln x-,x∈[1,+∞),易知f(x)在[1,+∞)上单调递增,所以当x=1时,f(x)取得最小值f(1)=-,故实数a的取值范围为.故选CD. 12.[9,+∞)　[解析] 由-x2+8x+20≥0,得(x+2)(x-10)≤0,解得-2≤x≤10,记集合C={x|-2≤x≤10}.由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得(x-1)2≤m2,解得-m+1≤x≤m+1,记集合D={x|-m+1≤x≤m+1}.因为q是p的必要不充分条件,所以集合C是集合D的真子集,所以解得m≥9,显然等号不能同时取到,故实数m的取值范围为[9,+∞). 1 学科网（北京）股份有限公司 $$