精品解析：安徽省六安市金安区金穗中学2024-2025学年上学期期末检测九年级数学题卷

2024~2025学年度第一学期九年级期末素质评估 数学·试题卷 注意事项： 1．试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试范围：九上、九下24章、26章． 一、选择题（本题有10小题；每小题4分，共40分） 1. 下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开手机就有未接电话 B. 学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖 C. 从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D. 五个人分成四组，这四组中有一组有两人 3. 如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 4. 若圆锥的底面半径长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（    ） A. B. C. D. 5. 为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ） A B. C. D. 6. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（　　） A. （0，0） B. （0，1） C. （﹣3，2） D. （3，﹣2） 7. 明明和亮亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点 B. 掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 C. 从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张纸条上的数字是偶数 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案 8. 二次函数的图像与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. A，B两点之间的距离为7 D. 当时，y随x值的增大而增大 9. 如图，四边形内接于，，．若的半径为6，则的长是（ ） A B. C. D. 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为2的上两动点，且，P为弦的中点，Q为线段的中点．当C，D两点在圆上运动时，的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分） 11. 如图是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是______． 12. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段______． 13. 如图，的直角顶点在坐标原点上，顶点在反比例函数的图象上，斜边轴，若的面积是，，则______． 14. 如图，在中，．O为的中点，将绕着点O逆时针旋转至． （1）求______°； （2）当为等腰三角形时，的度数为______． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 小华和妹妹做游戏，游戏规则如下：小华先将3枚勋章放在如图所示的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜． 问上述游戏规则公平吗？请说明理由． 四、（本大题共2小题，每小题．8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标； （2）将绕原点顺时针旋转得到，按要求作出，并写出点的坐标以及点在旋转过程中经过的路径长． 18. 兰州牛肉面以其独特的风味火遍全围，是行走的兰州历史文化代表，如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽28cm，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，求碗中汤面的水平宽度为多少？（碗的厚度不计）． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19 已知反比例函数． （1）若该反比例函数的图象与直线只有一个公共点，求的值； （2）如图，反比例函数的图象记为曲线，将向右平移3个单位长度，得曲线，请在图中画出，并直接写出平移至处所扫过的面积． 20. 如图1，黄鹤楼自古有“天下绝景”之美誉．如图2为黄鹤楼正面示意图，若在点C处测得楼身点A处的仰角为，在点D处测得楼身点B处的仰角为，黄鹤楼楼身宽30米，，A点距离地面20米，请计算出地面上的测量点C，D之间的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 六、（本题满分12分） 21. 2024年4月23日是世界读书日，今年主题是“阅读改变未来”．读书不仅能够让我们获得知识、扩展视野，还可以激发思考、增加创造力、促进个人成长．小敏随机调查了七年级40名同学近半年内每人阅读课外书的数量，数据如下表： 人数 10 10 a 5 课外书数量（本） 3 4 6 8 （1）样本容量为______，表中______； （2）阅读课外书数量的中位数是______，众数是______，平均阅读课外书为______本； （3）若将阅读课外书数量以扇形统计图的形式呈现，则阅读数量为6本的人数对应圆心角为多少度？ （4）若从阅读8本课外书的5名学生（一男四女）中抽取两名参加学校组织的课外知识竞赛，试用树状图或列表法求抽取为一男一女的概率． 七、（本题满分12分） 22. 如图，二次函数的图象与x轴分别交于点，直线l是对称轴．点P在函数图象上，且P在直线的右侧，连接，过点P作，垂足为Q，以点Q为圆心，作半径为r的圆，与相切，切点为R． （1）求二次函数的解析式； （2）若的面积等于的切线长，求的半径r； （3）在（2）的条件下，若在点的上侧，求的取值范围． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，矩形中，，相交于点O，过点O作于点E，于点F． （1）求的值； （2）如图2，当旋转，且时，求的值； （3）如图3，当时，过点O作，交延长线于点E，交的延长线于点F，此时的值是否变化？证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024~2025学年度第一学期九年级期末素质评估 数学·试题卷 注意事项： 1．试卷满分150分，考试时间为120分钟． 2．本试卷包括“试题卷”和“答题卷”两部分，“试题卷”共4页，“答题卷”共6页，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效． 3．考试范围：九上、九下24章、26章． 一、选择题（本题有10小题；每小题4分，共40分） 1. 下列四个2024年巴黎奥运会项目图标中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义和轴对称图形的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； D．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意． 故选A． 2. 下列事件是必然事件的是（ ） A. 打开手机就有未接电话 B 学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖 C. 从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6 D. 五个人分成四组，这四组中有一组有两人 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了必然事件，掌握必然事件是一定发生的事件成为解题的关键． 根据必然事件的定义逐项判断即可． 【详解】解：A． 打开手机就有未接电话是随机事件，不符合题意； B． 学校读书演讲比赛，七年级3班获得一等奖是随机事件，不符合题意； C． 从分别标有数字1、2、3、4、5的五张卡片中随机抽取一张，上面的数字是6是不可能事件，不符合题意； D． 五个人分成四组，这四组中有一组有两人是必然事件，符合题意． 故选D． 3. 如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是（ ） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的外接圆与外心、垂直平分线的性质等知识点，熟练掌握三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点成为解题的关键． 根据三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点，据此逐项判断即可． 【详解】解：如果一个三角形的外心在这个三角形的内部，那么这个三角形是锐角三角形． 故选：A． 4. 若圆锥的底面半径长为，母线长为，则圆锥的侧面积是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查圆锥的计算，根据圆锥侧面积公式计算即可． 【详解】解：∵圆锥的底面半径长为，母线长为， ∴圆锥的侧面积是， 故选：B． 5. 为了拉动乡村经济振兴，某村设立了一个草帽手工作坊，让留守的老人也能赚钱，其制作工艺中用固定规格的扇形草毡围成一个底面周长为，侧面积为的圆锥形草帽，则制作工艺中所使用扇形草毡的圆心角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆锥侧面积，弧长公式等知识；设扇形的半径为r，扇形面积可求得半径r；再由弧长公式即可求得扇形圆心角的度数． 【详解】解：设扇形的半径为r，则， 解得：； 设扇形圆心角度数为n度，则， 解得：， 即扇形圆心角为； 故选：B． 6. 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点（网格线的交点）上，则点P的坐标为（　　） A. （0，0） B. （0，1） C. （﹣3，2） D. （3，﹣2） 【答案】C 【解析】 【详解】解：如图所示：P点即为所求，故P点坐标为：（﹣3，2）． 故选C． 【点睛】本题考查1．位似变换；2．坐标与图形性质． 7. 明明和亮亮在一次大量重复试验中，统计了某一结果出现的频率，绘制出如图所示的统计图，符合这一结果的试验可能是（ ） A. 掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点 B. 掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上 C. 从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张纸条上的数字是偶数 D. 从一道单项选择题的四个备选答案中随机选一个答案，选中正确答案 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查用频率估计概率、概率的计算，掌握用频率估计概率成为解题的关键． 先根据统计图估计概率的范围，然后分别求出各选项的概率判断即可． 【详解】解：图中，符合该结果频率在和之间． A．掷一枚质地均匀的骰子，朝上的一面是1点的概率约为，不合题意； B．掷一枚质地均匀的硬币，反面朝上的频率约为，不合题意； C．从分别标有1，2，3的3张纸条中，随机抽出一张，抽到偶数的频率约为，符合题意； D．从一道单项选择题的四个备选答案中，随机选一个答案，选中正确答案的频率约为． 故选：C． 8. 二次函数的图像与x轴交于，B两点，下列说法正确的是（ ） A. 抛物线的对称轴为直线 B. 抛物线的顶点坐标为 C. A，B两点之间的距离为7 D. 当时，y随x值的增大而增大 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式、抛物线与坐标轴的交点等知识点，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 先运用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐项判断即可． 【详解】解：∵二次函数的图象与x轴交于，两点， ∴，解得：， ∴二次函数解析式为， ∴对称轴为直线，顶点坐标为，故A，B选项不正确，不符合题意； ∵，抛物线开口向上，当时，y的值随x值的增大而增大，即当时，y随x值的增大而增大；故D选项正确，符合题意； 当时，，解得，， ∴， ∴，故C选项不正确，不符合题意． 故选：D． 9. 如图，四边形内接于，，．若的半径为6，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了圆的内接四边形的性质、圆周角定理、弧长计算、三角形内角和定理等知识点，熟练掌握圆周角定理及弧长计算是解题的关键． 先根据圆的内接四边形的性质可得：，再根据三角形内角和定理可得，然后运用圆周角定理可得，最后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的半径为6， ∴的长为． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于A，B两点，C，D是半径为2的上两动点，且，P为弦的中点，Q为线段的中点．当C，D两点在圆上运动时，的最小值是（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理、一次函数的图象和性质、等腰三角形的判定和性质，三角形三边关系的应用等知识点，利用数形结合的思想解决问题是解题的关键． 利用勾股定理逆定理和一次函数的性质，分别证明和是等腰直角三角形，进而得到、，由三角形三边关系得当C、D、P移动到时，此时三点共线，取最小值，进而完成解答． 【详解】解：如图，过点O作于点E，连接， 由题意可知，，， ， 是等腰直角三角形， ∵P为弦的中点， ， ∵直线与x轴、y轴分别交于A、B两点， 令，则；令，则，解得：， ，， ， 是等腰直角三角形， ∵Q为线段的中点， ， 由三角形三边关系得，则当C、D、P移动到时，此时三点共线，取最小值． 故选A． 二、填空题（本题有4小题，每小题5分，共20分） 11. 如图是“光盘行动”的宣传海报，图中的餐盘与筷子可看成直线和圆的位置关系是______． 【答案】相交 【解析】 【分析】本题考查了直线和圆的位置关系的应用，注意∶已知O的半径为r，如果圆心O到直线的距离是d，当时，直线和圆相离，当时，直线和圆相切，当时，直线和圆相交． 【详解】解：把餐盘看成圆形的半径，餐盘的圆心到筷子看成直线l的距离为d． ∴， ∴直线和圆相交， 故答案为：相交． 12. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段，则线段______． 【答案】##1.5 【解析】 【分析】如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，，利用平行线分线段成比例定理计算即可． 【详解】解：如图，过点A作于点F，交过点B的平行线于点E，交A的邻近平行线于点D，根据题意，， 所以． 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握定理是解题的关键． 13. 如图，的直角顶点在坐标原点上，顶点在反比例函数的图象上，斜边轴，若的面积是，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与几何图形面积的综合，掌握相似三角形的判定和性质，余弦值的计算方法，几何图形面积与反比例系数的计算方法是关键． 如图所示，过点作轴于点，可证，，根据余弦值得到相似比，由此得到，求出的面积，根据，结合图象即可求解． 【详解】解：如图所示，过点作轴于点， ∴， ∵轴， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴，即， 解得，， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， 解得，， ∵反比例函数经过第二象限， ∴， ∴， 故答案为： ． 14. 如图，在中，．O为的中点，将绕着点O逆时针旋转至． （1）求______°； （2）当为等腰三角形时，的度数为______． 【答案】 ①. 64 ②. 或或 【解析】 【分析】（1）连接，根据直角三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据旋转得出，根据等腰三角形的性质得出，最后求出结果即可； （2）分三种情况：时，时，时，分别根据等腰三角形的性质，列出方程，解方程即可． 【详解】解析：（1）连接，如图所示： 在中，，是的中点 ， ， 又， ， ， 又绕着点逆时针旋转角度， ， ， ； 故答案为：64； （2）由（1）得：， ， ， 为等腰三角形，所以有三种情况： ①时， ， ， ； ②时， ， ， ； ③时， ， ， ； 综上所述当为等腰三角形时，的度数为，或． 故答案为：或或． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、直角三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，熟练的运用旋转的性质和直角三角形斜边的中线等于斜边的一半这一性质是解决问题的关键． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数是关键．代入特殊角的三角函数值，利用零指数幂和负整数指数幂、绝对值进行计算即可． 【详解】解： 16. 小华和妹妹做游戏，游戏规则如下：小华先将3枚勋章放在如图所示的方格中，然后妹妹再从其余六个小正方形中任选一个放置勋章，若勋章所在方格构成的图形是轴对称图形，则小华获胜，否则妹妹获胜． 问上述游戏规则公平吗？请说明理由． 【答案】不公平，理由见详解 【解析】 【分析】本题考查了概率计算与游戏公平性的判断，具体涉及以下知识点：等可能事件概率的计算，游戏公平性的标准，轴对称图形的概念应用，理解这些是计算相关概率的关键前提． 分别计算出小华获胜和妹妹获胜的概率，通过找出妹妹放置勋章后能使图形成为轴对称图形的所有情况，来计算小华获胜的概率；用总情况数减去小华获胜的情况数得到妹妹获胜的情况数，进而计算妹妹获胜的概率 【详解】解：妹妹从其余六个小正方形中任选一个放置勋章， 所以总共有 6 种等可能的结果． 通过观察图形，我们发现妹妹放置勋章后能使图形成为轴对称图形的情况有 4 种， 小华获胜的概率：． 妹妹获胜的概率：． 因为，即小华获胜的概率大于妹妹获胜的概率， 所以此游戏规则不公平． 四、（本大题共2小题，每小题．8分，满分16分） 17. 如图，在平面直角坐标系内，小正方形网格的边长为1个单位长度，的三个顶点的坐标分别为． （1）将向上平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度后得到，画出，并直接写出点的坐标； （2）将绕原点顺时针旋转得到，按要求作出，并写出点的坐标以及点在旋转过程中经过的路径长． 【答案】（1）图见解析， （2）图见解析，， 【解析】 【分析】本题平移作图，画旋转图形，弧长公式等知识，数形结合是解题的关键． （1）根据平移的性质找到对应点，顺次连线得出，根据坐标系写出点的坐标，即可求解； （2）根据旋转的性质找到对应点，顺次连线得出，根据坐标系写出点点的坐标，再根据弧长公式求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， ； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，， 点在旋转过程中经过的路径长 为． 18. 兰州牛肉面以其独特的风味火遍全围，是行走的兰州历史文化代表，如图，是一个面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口宽28cm，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降6.6cm时，求碗中汤面的水平宽度为多少？（碗的厚度不计）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数应用，根据题意，求出抛物线表达式为，进而根据题得出，代入进行计算即可求解． 【详解】解：根据题意得抛物线经过点， 设抛物线表达式为，代入得， 解得： ∴抛物线表达式为， ∵当满碗汤面的竖直高度下降时， ∴碗中汤面高度为， 当时， 解得：， ∴碗中汤面的水平宽度为， 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 已知反比例函数． （1）若该反比例函数的图象与直线只有一个公共点，求的值； （2）如图，反比例函数的图象记为曲线，将向右平移3个单位长度，得曲线，请在图中画出，并直接写出平移至处所扫过的面积． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题；平移的性质，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． （1）把这两个函数解析式联立，化简可得，反比例函数的图象与直线只有一个公共点，可得，即可求得值； （2）将向右平移3个单位长度，得曲线，画出图象，观察图象借助网格求解出面积即可． 【小问1详解】 解：由题意得 得． 反比例函数的图象与直线只有一个公共点， ， 解得． 【小问2详解】 解：如图所示，为所求： 平移至处所扫过的面积：． 20. 如图1，黄鹤楼自古有“天下绝景”之美誉．如图2为黄鹤楼正面示意图，若在点C处测得楼身点A处的仰角为，在点D处测得楼身点B处的仰角为，黄鹤楼楼身宽30米，，A点距离地面20米，请计算出地面上的测量点C，D之间的距离．（结果精确到0.1米，参考数据：，，，，，） 【答案】地面上的测量点之间的距离约为105.0米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．过点作于点，过点作于点，根据题意可得：米，米，然后分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出和的长，从而进行计算即可解答． 【详解】解：如解图，过点作于点，过点作于点，则四边形为矩形，米，米， 在中，米，， （米）， 在中，米，， （米）， （米）， 答：地面上的测量点之间的距离约为105.0米． 六、（本题满分12分） 21. 2024年4月23日是世界读书日，今年的主题是“阅读改变未来”．读书不仅能够让我们获得知识、扩展视野，还可以激发思考、增加创造力、促进个人成长．小敏随机调查了七年级40名同学近半年内每人阅读课外书的数量，数据如下表： 人数 10 10 a 5 课外书数量（本） 3 4 6 8 （1）样本容量为______，表中______； （2）阅读课外书数量的中位数是______，众数是______，平均阅读课外书为______本； （3）若将阅读课外书数量以扇形统计图的形式呈现，则阅读数量为6本的人数对应圆心角为多少度？ （4）若从阅读8本课外书的5名学生（一男四女）中抽取两名参加学校组织的课外知识竞赛，试用树状图或列表法求抽取为一男一女的概率． 【答案】（1）40；15 （2）5，6，5 （3）135度 （4） 【解析】 【分析】本题考查的是扇形统计图、用样本估计总体、平均数、众数和中位数的概念，树状图法或列表示求概率． （1）根据题意可得样本容量为40，用40减去另外三个的人数即可得出a的值； （2）根据众数、中位数、平均数的概念即可求解； （3）乘阅读数量为6本的人数所占的比例可得阅读数量为6本的人数对应的圆心角度数； （4）画树状图，共有20种等可能的结果，被抽到的两名学生恰好是一男一女的结果有8种，再由概率公式求解即可． 小问1详解】 解：样本容量为40， ， 故答案为：40；15； 【小问2详解】 解：∵共有40名同学，中位数是第20、21个数的平均数， ∴中位数是：； ∵6出现了15次，出现的次数最多， ∴众数是6； 这40名同学平均阅读的课外书的数量为（本）， 故答案为：5，6，5； 【小问3详解】 解：， 答：阅读数量为6本的人数对应的圆心角为135度； 【小问4详解】 解：设四名女同学分别用A、B、C、D表示，一名男同学用E表示，画树状图如下； 由树状图可知一共有20种等可能性的结果数，其中恰好是一男一女的结果数有8种， ∴恰好抽取为一男一女的概率为． 七、（本题满分12分） 22. 如图，二次函数的图象与x轴分别交于点，直线l是对称轴．点P在函数图象上，且P在直线的右侧，连接，过点P作，垂足为Q，以点Q为圆心，作半径为r的圆，与相切，切点为R． （1）求二次函数的解析式； （2）若的面积等于的切线长，求的半径r； （3）在（2）的条件下，若在点的上侧，求的取值范围． 【答案】（1） （2）1 （3） 【解析】 【分析】（1）二次函数的图象与x轴分别交于点，利用二次函数交点式，将A，B的坐标代入解析式即可求得二次函数的解析式； （2）设点P坐标为，表示出点Q坐标，长，连接，由切线的性质得是直角三角形，，根据的面积等于的切线长，可求的的半径r； （3）根据在点的上侧可知点P的纵坐标，解不等式即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数的图象与x轴分别交于点， ∴， ∴此抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：设点P坐标为， 抛物线的对称轴为直线l：， ∵，垂足为Q， ∴Q点坐标为，， 连接， ∵与相切，切点为R， ∴， ∴， 如图，作于H， 则， ∴ ， ∵的面积等于的切线长， ∴， 解得：， ∴的半径r为1； 【小问3详解】 解：∵在点的上侧，， ∴点Q纵坐标大于4， ∵点Q坐标为， ∴，即， ∵P在直线的右侧即， ∴， ∴， 答：的取值范围为． 【点睛】此题主要考查了二次函数的解析式的求法，圆的切线的性质，三角形得面积等几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度、三角形的面积，进而解决问题． 八、（本题满分14分） 23. 如图1，矩形中，，相交于点O，过点O作于点E，于点F． （1）求的值； （2）如图2，当旋转，且时，求的值； （3）如图3，当时，过点O作，交的延长线于点E，交的延长线于点F，此时的值是否变化？证明你的结论． 【答案】（1） （2） （3）变化， 【解析】 【分析】本题是相似形的综合题，考查了矩形的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． （1）根据题意得到，，证明，，； （2）过点作，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质定理即可得到结论； （3）过点作，垂足分别为，证明，根据相似三角形的性质定理即可得到结论． 【小问1详解】 解：∵矩形，，，， ∴，， ∴，， 又∵是的中点， ∴，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，垂足分别为． 由（1）得． ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的值有变化． 过点作，垂足分别为． 同理， ∴， ∵， ∴，， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$