专题2.1 直线的倾斜角与斜率分层检测-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

专题2.1 直线的倾斜角与斜率 高中数学辅导资料 专题2.1 直线的倾斜角与斜率 一、知识归纳： 1．直线的倾斜角 （1）定义：如图，设直线l与x轴相交于点A，将x轴绕点A沿 方向旋转到与l重合时所转过的最小正角θ叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ． （2）倾斜角的范围为 ． 2．直线的斜率 （1）当倾斜角时，定义为直线l的斜率，常用字母k表示，即 ；当，即直线l与x轴垂直时，我们说直线l的斜率不存在．倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是． （2）直线上任意两点、，当时， ；当时，斜率k ． （3）斜率与倾斜角的函数关系及图象： 3．直线的方向向量：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线l ，则称向量为直线l的一个方向向量，记作 ． 4.如果为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量 都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定 ． 5.如果是直线l上两个不同的点，则 是直线的一个方向向量. 6．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 (两直线斜率都存在) 的斜率不存在，的斜率为 7．两条不重合直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 8．（1）若直线，直线，则的充要条件为 ； （2）若直线，直线，则的充要条件为 . 9．（1）若直线，直线，则的充要条件为 ； （2）若直线，直线，则的充要条件为 . 自检自纠： 1.（1）逆时针, 0 （2） 2. （1）（2），不存在 3. 平行或重合， 4. ，共线 5. 6． 7． , 8. ，，且或， 9.， 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．直线与互相垂直，则实数的值是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 【答案】C 【详解】由题意，解得或．故选：C． 2．已知直线与平行，则a的值是（   ）. A．0 B．0或 C．1或 D． 【答案】B 【详解】由题意，且，解得或,经检验均符合题意.故选：B. 3．若直线与互相垂直，则实数a的值为（    ） A．-3 B． C． D．3 【答案】C 【详解】因直线与互相垂直，则，解得，所以实数a的值为.故选：C 4．若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 【答案】C 【详解】由于无解，则表示两直线无交点，故两直线是平行关系，因此，解得，经检验满足题意，故选：C 5．直线的倾斜角为45°，则的值为(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 【答案】D 【详解】由题意得，即，解得m=2或m=3,当m=2时，斜率不存在，所以m=2不符，经检验m=3符合，选D. 6．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】直线的斜率为，而直线l与直线垂直，且为直线的倾斜角，于是得，而，则，计算可得.故选：C. 7．直线，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】若，则，可得或，时，，即两直线平行，符合；时，，即两直线重合，不符.所以，即是的充要条件.故选：C 8．直线经过点和以，为端点的线段相交，直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵，，图象如图所示：  ，由图可知，直线的斜率满足或，故直线的斜率的取值范围为．故选：D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】设轴上点或轴上点，因为直线的倾斜角为，可得，得，解得，故点的坐标为或.故选：BD. 10．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角取值范围是 B．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 【答案】AC 【详解】A：直线倾斜角范围为，正确； B：当直线斜率为，则该直线的倾斜角为内正切值为的角，错误； C：平面内所有直线都有倾斜角，当倾斜角为90°时没有斜率，正确； D：倾斜角为锐角时斜率为正，倾斜角为钝角时斜率为负，错误. 故选：AC 11．下列说法中，正确的是（ 　  ） A．直线在轴上的截距是3 B．直线的倾斜角为 C．三点共线 D．直线与垂直 【答案】BC 【详解】A. 直线在轴上的截距是，A错； B. 直线的斜率为，倾斜角为，B正确； C. 由得，，所以三点共线，C正确； D. 直线与的斜率分别为，，乘积为1，不垂直，D错误． 故选：BC． 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知直线与直线平行，则实数 【答案】1或-1 【详解】时，不合题意；时，由直线与直线平行可得直线斜率相等， 即，故答案为：1或-1. 13．直线l的倾斜角满足，则直线l斜率为 . 【答案】 【详解】因为，且，则，所以直线l斜率为.故答案为：. 14．已知直线，若，则实数 . 【答案】 【详解】将直线化成一般式，，根据一般式下直线的平行判定，知道，且，解得.故答案为：. B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，又因为，故. 故选：D. 2．已知直线与直线相互垂直，则实数m的值是（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 【答案】A 【详解】因为直线与直线相互垂直，所以，解得m=0，即实数m的值是0，故选：A. 3．若直线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A．2 B．-3 C．3 D．-12 【答案】C 【详解】由题意，直线与直线垂直，可得，解得. 故选：C. 4．直线和直线，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】因为直线和直线，若，则，解得或，因此，“”是“”的必要不充分条件.故选：A. 5．设直线，,若，则可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为直线，，且，则，所以，即，所以，故可以取到.故选：A. 6．已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．25 【答案】D 【详解】因为直线与直线互相垂直，所以即得, 所以,因为，都是正实数，所以.当且仅当时，取最小值25.故选：D. 7．已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】过点作，垂足为点，如图所示： 设直线交线段于点，设直线的斜率为，且，，当点在从点运动到点（不包括点）时，直线的倾斜角逐渐增大，此时；当点在从点运动到点时，直线的倾斜角逐渐增大，此时.综上所述，直线的斜率的取值范围是.故选：D. 8．已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 【答案】C 【详解】解：当时，的倾斜角为，此时的方程为，故A正确；联立方程组，得，此方程恒有解，故对任意的，与都有公共点，B正确；当时，，此时与重合，故C错误；因为的斜率为1，当时，与不垂直；当时，的斜率，所以对任意的，与都不垂直，D正确；故选：C. 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列四个命题中错误的有（    ） A．直线的倾斜角越大，其斜率越大 B．直线倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 【答案】ACD 【详解】对于A，当倾斜角为锐角时，斜率大于0，当倾斜角为钝角时，斜率小于0，故A错误； 直线倾斜角的取值范围是，故B正确；若一条直线的斜率为，此时可以为负角，而直线倾斜角的取值范围是，故C错误；当直线的倾斜角时，直线的斜率不存在，故D错误.故选：ACD. 10．若直线l1：与直线l2：互相垂直，则实数的值是（    ） A．-3 B．1 C．-1 D．3 【答案】AB 【详解】由两直线垂直，可得，即，解得或.故选:AB. 11．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于120° B．与x轴的交点坐标为 C．与直线垂直 D．与直线平行 【答案】AD 【详解】因直线的一个方向向量为，则直线的斜率，于是得直线的倾斜角为120°，A正确；直线的方程：，当时，，即直线与x轴交于点，B不正确；直线的斜率为，显然，即与直线不垂直，C不正确； 直线的斜率为，它与x轴的交点坐标为，于是得与直线平行，D正确.故选：AD 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知两条直线：，：，且，则 . 【答案】 【详解】因为，所以，故答案为： 13．已知直线与直线垂直，则实数的值为 ． 【答案】或 【详解】因为直线与直线垂直，则，解得或.故答案为：或 14．已知两点，，直线：与线段有公共点，直线的倾斜角为，则的取值范围 . 【答案】 【详解】由题意，直线恒经过定点，由直线的斜率公式，可得，要使直线与线段有公共点，则满足或，又由，所以或．故答案为 9 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $$专题2.1 直线的倾斜角与斜率 高中数学辅导资料 专题2.1 直线的倾斜角与斜率 一、知识归纳： 1．直线的倾斜角 （1）定义：如图，设直线l与x轴相交于点A，将x轴绕点A沿 方向旋转到与l重合时所转过的最小正角θ叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为 ． （2）倾斜角的范围为 ． 2．直线的斜率 （1）当倾斜角时，定义为直线l的斜率，常用字母k表示，即 ；当，即直线l与x轴垂直时，我们说直线l的斜率不存在．倾斜角不是的直线都有斜率，其取值范围是． （2）直线上任意两点、，当时， ；当时，斜率k ． （3）斜率与倾斜角的函数关系及图象： 3．直线的方向向量：一般地，如果表示非零向量的有向线段所在的直线与直线l ，则称向量为直线l的一个方向向量，记作 ． 4.如果为直线l的一个方向向量，那么对于任意的实数，向量 都是l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量一定 ． 5.如果是直线l上两个不同的点，则 是直线的一个方向向量. 6．两条直线垂直的判定 图示 对应关系 (两直线斜率都存在) 的斜率不存在，的斜率为 7．两条不重合直线平行的判定 类型 斜率存在 斜率不存在 前提条件 对应关系 两直线斜率都不存在 图示 8．（1）若直线，直线，则的充要条件为 ； （2）若直线，直线，则的充要条件为 . 9．（1）若直线，直线，则的充要条件为 ； （2）若直线，直线，则的充要条件为 . 自检自纠： 1.（1）逆时针, 0 （2） 2. （1）（2），不存在 3. 平行或重合， 4. ，共线 5. 6． 7． , 8. ，，且或， 9.， 二、分层检测： A.基础检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．直线与互相垂直，则实数的值是（   ） A． B． C．或 D．以上都不对 2．已知直线与平行，则a的值是（   ）. A．0 B．0或 C．1或 D． 3．若直线与互相垂直，则实数a的值为（    ） A．-3 B． C． D．3 4．若关于，的方程组无解，则的值为（    ） A． B． C．1 D．0 5．直线的倾斜角为45°，则的值为(　　) A．－2 B．2 C．－3 D．3 6．已知倾斜角为的直线与直线垂直，则（    ） A． B． C． D． 7．直线，则是的（    ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．直线经过点和以，为端点的线段相交，直线斜率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．已知点，若在坐标轴上存在一点，使直线的倾斜角为，则点的坐标不能为（　　） A． B． C． D． 10．下列说法正确的是（    ） A．直线的倾斜角取值范围是 B．若直线的斜率为，则该直线的倾斜角为 C．平面直角坐标系中的任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 D．直线的倾斜角越大，其斜率就越大 11．下列说法中，正确的是（ 　  ） A．直线在轴上的截距是3 B．直线的倾斜角为 C．三点共线 D．直线与垂直 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知直线与直线平行，则实数 13．直线l的倾斜角满足，则直线l斜率为 . 14．已知直线，若，则实数 . B.能力检测 （限时30分钟，满分73分） 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．直线的倾斜角为（    ） A． B． C． D． 2．已知直线与直线相互垂直，则实数m的值是（    ） A．0 B．1 C．-1 D． 3．若直线与直线垂直，则实数m的值为（    ） A．2 B．-3 C．3 D．-12 4．直线和直线，则“”是“”的（   ） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．设直线，,若，则可以为（    ） A． B． C． D． 6．已知，都是正实数，且直线与直线互相垂直，则的最小值为（    ） A．12 B．10 C．8 D．25 7．已知、，若直线经过点，且与线段有交点，则的斜率的取值范围为（    ） A． B． C． D． 8．已知直线，动直线，则下列结论错误的是（    ） A．存在，使得的倾斜角为； B．对任意的，与都有公共点； C．对任意的，与都不重合； D．对任意的，与都不垂直； 二、多选题（每小题6分，共18分） 9．下列四个命题中错误的有（    ） A．直线的倾斜角越大，其斜率越大 B．直线倾斜角的取值范围是 C．若一条直线的斜率为，则此直线的倾斜角为 D．若一条直线的倾斜角为，则此直线的斜率为 10．若直线l1：与直线l2：互相垂直，则实数的值是（    ） A．-3 B．1 C．-1 D．3 11．已知直线的一个方向向量为，且经过点，则下列结论中正确的是（    ） A．的倾斜角等于120° B．与x轴的交点坐标为 C．与直线垂直 D．与直线平行 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．已知两条直线：，：，且，则 . 13．已知直线与直线垂直，则实数的值为 ． 14．已知两点，，直线：与线段有公共点，直线的倾斜角为，则的取值范围 . 5 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $$