精品解析：广东省东莞市虎门外语学校2024－2025学年九年级上学期期末考试数学试卷

2024-2025学年第一学期教学质量自查 九年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔在相应位置填涂自己的准考证号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2024年巴黎奥运会运动项目图标设计大量使用了对称元素．以下是部分运动项目的图标，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，熟练掌握如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形是解题的关键．根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、该图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、该图形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 已知是方程的根，则代数式的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求代数式的值，一元二次方程的解，由a是方程的一个根，得到，则，然后利用整体代入求值即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵a是方程的一个根， ∴ ∴， ∴， 故选：B． 3. 已知抛物线开口向下，且为抛物线上的三个点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的性质．将抛物线解析式配方成顶点式，得到其对称轴位置，再根据开口向下知离对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大，据此求解可得． 【详解】解：，且抛物线开口向下， 离对称轴的水平距离越小，对应的函数值越大， ∵， ∴． 故选：C． 4. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到．若点B的对应点恰好落在AB边上，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】如图，过作于， 求解， 结合旋转：证明， 可得为等边三角形，求解 再应用锐角三角函数可得答案． 【详解】解：如图，过作于， 由， ∴， ， 结合旋转： ， 为等边三角形， ， ， ， ∴A到的距离为3． 故选D 【点睛】本题考查的是旋转的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出适当的辅助线构建直角三角形是解本题的关键． 5. 如图，四边形内接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内切圆与内心，圆内接四边形的性质，三角形的内角和定理以及邻补角，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性质．由点是的内心知、，从而求得，再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案． 【详解】解：∵点是的内心， ∴、， ∵， ∴ ， ∵四边形内接于， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，在平行四边形中，点E在边上，连接交对角线于点F，若，则（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的性质和相似三角形相似比与面积比的关系，能够知道相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到，，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， 故选：D． 7. 如图，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点D．若矩形的面积为8，则k的值为（ ）． A. 8 B. 4 C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何应用，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，过作于，设，得，，可得，即得，，进而根据矩形的面积列出方程即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图，过作于，设， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵点是矩形的对角线的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵矩形的面积为， ∴， ∴， 故选：C． 8. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是其中一个正六边形，将其放在平面直角坐标系中，点B，C，D均为正六边形的顶点且在坐标轴上，若正六边形的边长是2，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了正多边形和圆，同时也利用了坐标与位置的关系，解题的关键是利用正多边形的知识求出线段长度．如图，过作轴于，利用正六边形的性质可以得到，，，由此即可求解． 【详解】解：如图，过作轴于， 巢房横截面的形状均为正六边形，在轴上， ，，， 而正六边形的边长是2， ，，， 则点的坐标为． 故选：C． 9. 将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作OC⊥AB于C，如图，根据折叠的性质得OC等于半径的一半，即OA =2OC，再根据含30度的直角三角形三边的关系得∠OAC=30°，则∠AOC=60°，所以∠AOB=120°，则利用弧长公式可计算出弧AB的长，再求出底面圆的半径为1，然后根据勾股定理计算这个圆锥的高． 【详解】如图，过O点作OC⊥AB，垂足为D，交⊙O于点C， 由折叠的性质可知，OD=OC=OA， 由此可得，在Rt△AOD中，∠OAD=30°， 同理可得∠OBD=30°， 在△AOB中，由三角形内角和定理，得∠AOB=180°﹣∠A﹣∠B=120°． ∴弧AB的长为． 设围成的圆锥的底面半径为r，则2πr=2π， ∴r=1． ∴圆锥的高为． 故选A． 【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，其对称轴为直线，则下列说法：①；②；③抛物线一定经过点﹔④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤若 （其中）是抛物线上的两点，且，则．正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数的图象与性质，由二次函数的图象开口方向，与y轴交于点B及对称轴可判断①与②；③根据二次函数图象的开口方向、经过及对称轴可得出，，可得，可将化为，再代入二次函数解析式中验证即可判定；④利用一元二次方程根的判别式进行判断即可，⑤根据，分情况讨论即可判断． 【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，与y轴交于点B， ∴， 又∵二次函数的图象与x轴交于点，其对称轴为， ∴， ∴， ①∵， ∴， ∴，故结论①正确； ②∵， ∴， ∴，故结论②正确， ∴， ③当时，， ∴抛物线一定经过点，即抛物线一定经过点，故结论③正确； ∵， ∴可化为：， ∵， ∴方程有两个不相等的实数根， 即关于x的方程有两个不相等的实数根，故结论④正确． ⑤∵抛物线二次函数的图象开口向下，其对称轴为， ∴当时，y的值随值的增大而增大； 当时，y的值随值的增大而减小， ∵，， 当时， 此时，此时， 当时，满足， 此时，， 当时，不满足舍去，故⑤正确， 综上所述，正确结论的个数是5个． 故选：D． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有_______人． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设这个微信群共有x人，根据该微信群共发了个红包，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设这个微信群共有人， 依题意得：， 解得，（舍去）， 故答案为：． 12. 若抛物线与x轴交于点，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了抛物线与一元二次方程，根与系数关系，根据根与系数关系定理求解即可． 【详解】解：由题可知，是方程的两根， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转45°得到半圆，与AB交于点P，那么AP的长为_____________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，由题意可得，，为直径，可得，可得为等腰直角三角形，即可求解． 【详解】解：连接，如下图： 由题意可得，， ∵为直径， ∴， ∴为等腰直角三角形，， 由勾股定理得，，解得， 故答案为： 【点睛】此题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的判定与性质，勾股定理以及旋转的性质，解题的关键是掌握并灵活运用相关性质进行求解． 14. 杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是______（结果保留 π）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求扇形面积，先根据小扇形的半径为，弧长为，求出D的度数，根据列式代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：设 ∵小扇形的半径为，弧长为， ∴， 则， 则， ∵大扇形的半径为，扇面的宽度为， ∴， 则 故答案为： 15. 如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点P，A，B两点均在y轴上，且，，则的最大值为________． 【答案】34 【解析】 【分析】本题考查一点到圆上的距离的最值，两点间的距离公式，坐标与图形的性质，关键是掌握两点的距离公式．设点坐标为，由两点的距离公式，，进而求出，得到，当点P在延长线上时，最大，此时最大，根据两点间距离公式求出即可． 【详解】解：设点坐标为， ，， ， ， 则当最大时，最大， 如图，当点P为的延长线与圆的交点时，最大， ∵点的坐标为， ， 此时， ， 的最大值为34． 故答案为：34． 三、解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数的混合运算，先化简特殊角的三角函数值，再运算乘方，运算乘法，最后运算加减，即可作答． 【详解】解： ． 17. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）请画出关于坐标原点O成中心对称的； （2）若绕原点O顺时针旋转后得到，请直接写出点的坐标为（___， ）； （3）若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，则旋转中心坐标为_______． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查画中心对称图形，找旋转中心，利用数形结合的思想是解题关键． （1）找出各顶点关于坐标原点O成中心对称的对应点，再顺次连接即可； （2）找出绕原点O顺时针旋转后得到，则坐标可求； （3）作线段和的垂直平分线，其交点O即为旋转中心，再结合坐标系写出O点坐标即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由旋转作图可知，； 【小问3详解】 解：如图，连接，，作线段和的垂直平分线，其交点D即为旋转中心， ∴由图可知旋转中心坐标． 18. 只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，矩形的性质，勾股定理，掌握垂径定理是解题的关键． 由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，取点为圆心，过点作于点，交于点，连接，， ∴， ∵， ∴， ∵纸条宽为，，． ∴，， ∴， 设， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴纸杯的直径长为． 四、解答题（二）（共3小题，19、21题每题9分，20题10分，共28分） 19. 某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米? （2）该停车场共有车位45个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．政府规定月租车位租金最高限价为350元，请你帮忙确定月租金为多少元时，停车场月租收益最大，并求出最大收益． 【答案】（1）道路的宽是米 （2）月租金定为元，停车场的月租金收入最大为元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题目的意思，根据题目给出的条件，列出方程和函数是解题关键． （1）设道路的宽为米，根据题意列出方程并解答即可； （2）设车位的月租金为元，根据：月租金每个车位的月租金车位数，列出二次函数解析式并根据二次函数的性质解答即可． 【小问1详解】 解：设道路的宽为米， 根据题意得：， 整理，得：， 解得：(舍去)，， 答：道路的宽是米； 【小问2详解】 解：设月租金为元，停车场的月租金收入为元， 根据题意得：， ∵政府规定月租车位租金最高限价为350元， ∴当时，最大为元， 答：月租金定为元，停车场的月租金收入最大为元． 20. 如图，直线：与双曲线：在第二象限内交于，两点（点在点右侧），已知，． （1）求的值； （2）请直接写出时自变量的取值范围； （3）点是线段上的一个动点，过点作轴于点，交双曲线于点，是轴上一点，当的面积最大时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，反比例函数与一次函数的交点问题，求函数解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用待定系数法求一次函数解析式，得出，再将代入，得，即可作答； （2）依据直线与双曲线的上下位置关系，即可得到不等式的解集； （3）先求出双曲线的解析式为；设，，则，，根据求的面积列式得，结合二次函数的图象性质，，即可作答． 【小问1详解】 解：将，代入， 得， 整理得， 解得，(不合题意，舍去)， ∴ ∴，，， ∴直线的解析式为， 将代入， 得； 【小问2详解】 解：由（1）知，即，且相交于，两点， 根据函数图象，由不等式与函数图像的关系可得： 双曲线在直线上方的部分对应的范围是：或， 时自变量的取值范围：或； 【小问3详解】 解：由（1）可知， ∴双曲线的解析式为， 依题意，设，， ∵过点作轴于点， 则，， ∴，， ∴， ∵，， ∴当时，有最大值． ∴点的坐标为． 21. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定与性质、解直角三角形的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）过作于，则四边形是正方形，得出，解直角三角形得出，再由计算即可得解； （2）过作于，过作于，则四边形为矩形，得出，求出，解直角三角形得出，再由计算即可得解． 【小问1详解】 解：如图1，过作于， ， 则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，，即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的距离为． 【小问2详解】 解：过作于，过作于， ， 则， 四边形为矩形， ， ， ， 由表格可知，在12时时，角的正切值逐渐减小，即逐渐较小， 当14时，点最靠近墙角，此时DE的长度就是绿萝摆放位置与墙壁的最大距离， 在中，， 即， ， ， 答：绿萝摆放位置与墙壁的最大距离为． 五、解答题（三）（共2小题，每小题13分，共26分） 22. 综合与探究 【课本回顾】如图1，在中，中线，，交于点P，点P叫做的重心． 【知识探究】 （1）如图2，数学兴趣小组发现，当的中线，交于点P时，不管的边长如何变化，线段与存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路： 思路一 思路二 第一步 如图3，取中点M，连接，证明； 如图4，作平行交延长线于点N，先证明，再证明； 第二步 利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段与之间的数量关系． 利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段与之间的数量关系． 第三步 在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程； 【问题解决】 （2）在中，为直径，点C是上一点（不与点A，B重合）． ①如图II，若点M是弦的中点，交于点E，则的值为_______． ②如图Ⅲ，在①的条件下，若，求的值； ③如图IV，若，，D为弦BC上一动点，过D作，交于点H，交于点F．设，，请求出y与x的函数关系式． 【答案】 （1）线段与存在固定的数量关系为，理由如下： 思路一：如图，取中点为，连接， ，， 为的中位线， ，， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ； 思路二：如图所示：作交延长线于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ，， ， ， ； （2）①；②；③ 【解析】 【分析】（1）根据提供的思路证明即可； （2）①证明点E为的重心即可得解； ②由前述结论可得，根据这一关系设参数，利用勾股定理将表示出来即可得解； ③作，将和用含y的式子表示出来，再用建立关于x和y的等式即可． 【详解】解：（1）略 （2）①如图，连接， ，， 为的重心， ， ， ， 故答案为：； ②如图，连接， 由①可知：， 设，则， ，， ， ， ， 由（1）可知：， ； ③如图，连接，过点F作于点Q，交于T 是的直径， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中， ，，， ， ， ， ， 即， 整理得：， 与x的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，直径所对的圆周角是直角，勾股定理，相似三角形的性质与判定，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形和直角三角形是解题的关键． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．且． （1）请求出抛物线的解析式； （2）作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D，E，F三点，连接．若与相似，求t的值． （3）过点C作轴，交抛物线于点G，将抛物线在点G右下方的图象沿直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线与新的图象最多只有2个公共点时，请求出n的取值范围． 【答案】（1） （2）4或3 （3）或 【解析】 【分析】（1）由题意可知，根据可得，在中有，解出，再将代入中即可求解； （2）先表示，分类讨论且作图，即和，然后根据相似三角形的性质列式计算，即可作答； （3）进行分类讨论且作图，运用数形结合思想，发现当直线经过点G或当直线与抛物线只有一个公共点时，建立，运用判别式的意义列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：由题意得：在中， ∵，，， 即，， ，， 将代入中得： ， 则抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图所示： 点是直线与抛物线的交点， ， 当时， 则， ， ， ， 解得：(舍去)或， 当时，， 过点作轴于点T， ，， ， 又， ， ， 是等腰三角形， ， ，， ， 解得：(舍去)或， 综上，t的值为4或3； 【小问3详解】 解：由（1）知点的坐标为， ， ∴对称轴， ∵过点作轴，交抛物线于点G， ∴点G的坐标为， 如图所示： 画出直线， 通过平移直线，得到直线 发现当经过点G时， 直线与新图象只有2个公共点， 将点代入得：， 解得：， 当直线与抛物线只有一个公共点时，直线与新图象只有2个公共点， 令， 化简得：， ， 解得：， 综上所述，当直线与新的图象最多只有2个公共点时，或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与二次函数的交点问题，二次函数的几何综合，相似三角形的判定与性质，判别式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第一学期教学质量自查 九年级数学 本试卷共6页，23小题，满分120分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔在答题卡填写自己的准考证号、姓名、考场号、座位号．用2B铅笔在相应位置填涂自己的准考证号． 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上． 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效． 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 2024年巴黎奥运会运动项目图标设计大量使用了对称元素．以下是部分运动项目的图标，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知是方程的根，则代数式的值为（ ） A. 2024 B. 2025 C. 2026 D. 2027 3. 已知抛物线开口向下，且为抛物线上的三个点，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到．若点B的对应点恰好落在AB边上，则点A到直线的距离为（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 如图，四边形内接于，点I是的内心，，点E在的延长线上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，点E在边上，连接交对角线于点F，若，则（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，反比例函数的图象经过矩形的对角线的中点D．若矩形的面积为8，则k的值为（ ）． A. 8 B. 4 C. 2 D. 8. 蜂巢结构精巧，其巢房横截面的形状均为正六边形．如图是其中一个正六边形，将其放在平面直角坐标系中，点B，C，D均为正六边形的顶点且在坐标轴上，若正六边形的边长是2，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 将半径为3cm的圆形纸片沿AB折叠后，圆弧恰好能经过圆心O，用图中阴影部分的扇形围成一个圆锥的侧面，则这个圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点B，其对称轴为直线，则下列说法：①；②；③抛物线一定经过点﹔④关于x的方程有两个不相等的实数根；⑤若 （其中）是抛物线上的两点，且，则．正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了72个红包，那么这个微信群共有_______人． 12. 若抛物线与x轴交于点，则_______． 13. 如图，半圆的直径，将半圆绕点B顺时针旋转45°得到半圆，与AB交于点P，那么AP的长为_____________． 14. 杭州西湖十景是杭州市西湖上的十处特色风景，一游客在去西湖游玩时买了一把印有西湖十景的折扇，打开后，如图，小扇形的半径为，弧长为，大扇形的半径为，扇面的宽度为，则扇面的面积（阴影部分）是______（结果保留 π）． 15. 如图，在平面直角坐标系内，以点为圆心，以1为半径的圆上有一动点P，A，B两点均在y轴上，且，，则的最大值为________． 三、解答题（一）（共3小题，每题7分，共21分） 16. 计算： 17. 如图所示的正方形网格中，的顶点均在格点上，请在所给直角坐标系中按要求画图和解答下列问题： （1）请画出关于坐标原点O成中心对称的； （2）若绕原点O顺时针旋转后得到，请直接写出点的坐标为（___， ）； （3）若将绕某点逆时针旋转后，其对应点分别为，则旋转中心坐标为_______． 18. 只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径?小聪同学所在的学习小组想到了如下方法；如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽MN为．请你帮忙计算纸杯杯口的直径d． 四、解答题（二）（共3小题，19、21题每题9分，20题10分，共28分） 19. 某社区为了解决停车难的问题，利用一块矩形空地建了一个小型停车场，其布局如图所示．已知，阴影部分设计为停车位，要铺花砖，其余部分均为宽度为x米的道路．已知铺花砖的面积为． （1）求道路的宽是多少米? （2）该停车场共有车位45个，据调查分析，当每个车位的月租金为300元时，可全部租出．若每个车位的月租金每上涨10元，就会少租出1个车位．政府规定月租车位租金最高限价为350元，请你帮忙确定月租金为多少元时，停车场月租收益最大，并求出最大收益． 20. 如图，直线：与双曲线：在第二象限内交于，两点（点在点右侧），已知，． （1）求的值； （2）请直接写出时自变量的取值范围； （3）点是线段上的一个动点，过点作轴于点，交双曲线于点，是轴上一点，当的面积最大时，求点的坐标． 21. 综合与实践 素材一：某款遮阳棚（图1），图2、图3是它的侧面示意图，点为墙壁上的固定点，摇臂绕点旋转过程中长度保持不变，遮阳棚可自由伸缩，棚面始终保持平整．米． 素材二：该地区某天不同时刻太阳光线与地面的夹角的正切值： 时刻（时） 12 13 14 15 角的正切值 5 2.5 1.25 1 【问题解决】 （1）如图2，当时，这天12时在点位置摆放的绿萝刚好不被阳光照射到，求绿萝摆放位置与墙壁的距离； （2）如图3，旋转摇臂，使得点离墙壁距离为1.2米，为使绿萝在这天12时时都不被阳光照射到，则绿萝摆放位置与墙壁的最远距离是多少？ 五、解答题（三）（共2小题，每小题13分，共26分） 22. 综合与探究 【课本回顾】如图1，在中，中线，，交于点P，点P叫做的重心． 【知识探究】 （1）如图2，数学兴趣小组发现，当的中线，交于点P时，不管的边长如何变化，线段与存在固定的数量关系，并经过讨论得到如下两种解决思路： 思路一 思路二 第一步 如图3，取中点M，连接，证明； 如图4，作平行交延长线于点N，先证明，再证明； 第二步 利用相似三角形的性质及中位线的性质，得到线段与之间的数量关系． 利用全等三角形的性质及相似三角形的性质，得到线段与之间的数量关系． 第三步 在上述两种思路中，可以选择其中一种，并完成具体解题过程； 【问题解决】 （2）在中，为直径，点C是上一点（不与点A，B重合）． ①如图II，若点M是弦的中点，交于点E，则的值为_______． ②如图Ⅲ，在①的条件下，若，求的值； ③如图IV，若，，D为弦BC上一动点，过D作，交于点H，交于点F．设，，请求出y与x的函数关系式． 23. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于A，两点（点A在点B的左边），交y轴于点C．且． （1）请求出抛物线的解析式； （2）作直线，分别交x轴、线段、抛物线于D，E，F三点，连接．若与相似，求t的值． （3）过点C作轴，交抛物线于点G，将抛物线在点G右下方的图象沿直线向上翻折，抛物线的其余部分保持不变，得到一个新的图象，当直线与新的图象最多只有2个公共点时，请求出n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $