第十二讲 有理数的乘方（3个知识点6大典例）暑假预习讲义2025-2026学年人教版数学七年级上册

2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点6大典例） 第十二讲 有理数的乘方（解析版） 知识点梳理 知识点1 ： 乘方的定义 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即 要点诠释： 乘方是一种数学运算，表示将一个数连乘若干次。 乘方的结果称为幂 知识点2 : 乘方的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）零的正整数次幂都是零。 【注意】（1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写。 （2） 与乘方有关的探求规律问题是一类重要类型题。 要点诠释： 1.符号法则核心规则 负数的偶次幂为正 ：例如（-2）4 = 16，指数4为偶数，结果为正数。 负数的奇次幂为负 ：例如（-3）3 = -27，指数3为奇数，结果为负数。 正数和0的幂次 ：正数的任何次幂都是正数，0的正整数次幂为0，1的任何次幂为1 2.底数与指数的区别 在表达式（-a）n中，底数是-a，例如（-2）3 = -8；而在-an中，底数是a，例如-23 = -8。两者结果通常不同，需注意区分。 知识点3 :乘方的运算 利用乘方的定义将有理数的乘方运算转化为乘法运算，先确定符号，再计算幂的绝对值。 要点诠释： 乘方通过简化重复乘法提升计算效率，需掌握符号规则、运算顺序及法则，并结合实际问题灵活运用 典例精讲 题型1有理数乘方的概念 例1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 名师支招 乘方是一种数学运算，表示将一个数连乘若干次。 乘方的结果称为幂 【答案】C 【知识点】乘方的相关概念；有理数的乘方法则 【解析】【解答】解：m个3相加表示为，根据乘方的定义：n个5相乘表示为， 故的结果是． 故答案为：C． 【分析】根据乘方的定义：n个5相乘表示为，即可求出答案. 针对训练1 1． 填空： （1）（）7表示　 　个相乘，叫 的　 　次方，也叫 的　 　次幂。其叫作　 　，7叫作　 　。 （2）（-3）10的底数是　 　，指数是　 　，（-3）10表示10个　 　相乘，叫作　 　的10次方，也叫作-3的　 　次幂。 【答案】（1）7；7；7；底数；指数 （2）-3；10；-3；-3；10 【知识点】乘方的相关概念 【解析】【解答】解：(1)（）7表示7个相乘，叫 的7次方，也叫 的7次幂。其叫作底数，7叫作指数. 故答案为：7；7；7；底数；指数. (2) （-3）10的底数是-3，指数是10，（-3）10表示10个-3相乘，叫作-3的10次方，也叫作-3的10次幂. 故答案为：-3；10；-3；-3；10. 【分析】求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数. 2．把写成幂的形式 【答案】解： 【知识点】乘方的相关概念 【解析】【分析】求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数. 3．(口答)把下列相同因数的乘积写成幂的形式，并说出底数和指数． （1）(-6)×(-6)×(-6)． （2） 【答案】（1）解：原式=； 其中：-6是底数，3是指数； （2）解：原式=； 其中：是底数，4是指数. 【知识点】乘方的相关概念 【解析】【分析】（1）根据有理数乘方的意义“求几个相同因数的积的运算叫做乘方”并结合幂的定义"乘方运算的结果叫幂"即可求解； （2）根据有理数乘方的意义“求几个相同因数的积的运算叫做乘方”并结合幂的定义"乘方运算的结果叫幂"即可求解. 4． ⑴的底数是　 　，表示　 　个(-1)相乘，即　 　； ⑵的底数是　 　，表示　 　个1相乘的　 　，即　 　； ⑶将底数化为　 　分数，再根据乘方的意义解答，即 　 　=　 　. 【答案】-1；2024；1；1；2024；积的相反数；-1；假；； 【知识点】乘方的相关概念 【解析】【解答】解： ⑴的底数是-1，表示2024个(-1)相乘，即1； ⑵的底数是1，表示2024个1相乘的积的相反数，即-1； ⑶将底数化为假分数，再根据乘方的意义解答，即 =. 故答案为：（1）-1；2024；1；（2）1；2024；积的相反数；-1；（3）假；；。 【分析】（1）题形如ab，其中a为底数、b为指数，表示b个a相乘。这样a就是-1，b就是2024，代入计算即可；（2）题形如-ab，其中a为底数、b为指数，表示b个a相乘的积的相反数。这样a就是1，b就是2024，代入计算即可；（3）题在计算分数为底数的幂运算时，如果分数是带分数，需要先把带分数变为假分数，然后进行计算。 题型2有理数乘方的运算 例2．计算： （1）（-3）2； （2）1.53； （3）4； （4）11。 名师支招 利用乘方的定义将有理数的乘方运算转化为乘法运算，先确定符号，再计算幂的绝对值。 【答案】（1）解：（-3）2=（-3）×（-3）=9 （2）解：1.53=1.5×1.5×1.5=3.375 （3）解：4== （4）解：为（-1）11=-1 【知识点】有理数的乘方法则 【解析】【分析】求几个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂.在an中，a叫做底数，n叫做指数. 针对训练2 1．计算： （1）-32． （2）3×23． （3）(3×2)3． （4）8÷(-2)3． 【答案】（1）解：-32=-(3×3)=-9． （2）解：3×23=3×8=24． （3）解：(3×2)3=63=216． （4）解：8÷(-2)3=8÷(-8)=-1． 【知识点】有理数的乘方法则 【解析】【分析】（1）根据有理数的乘方法则计算即可求解； （2）根据有理数的乘方法则和有理数的乘法法则计算即可求解； （3）先计算3×2，再根据有理数的乘方法则计算即可求解；； （4）根据有理数的乘方法则和有理数的除法法则计算即可求解. 2． 观察： 回答下列问题。 （1） 　 　. （2） 　 　. （3）运用以上所得结论计算： 　 　。(结果用科学记数法表示) 【答案】（1）1019 （2）10m+n （3）1.25×10¹⁰ 【知识点】有理数的乘方法则；科学记数法表示数的乘法 【解析】【解答】解： 根据 可得出底数不变指数相加的规律， (1) (2) (3) 【分析】(1)根据题目给出的式子得出 底数不变指数相加的规律 即可得出答案. (2)根据题目给出的式子得出 底数不变指数相加的规律 即可得出答案. (3)根据乘法的交换律和结合律先计算出结果再根据科学记数法的规定得出答案. 3． 记，，，，． （1）填空：　 　（算出结果），是一个　 　（填“正数”或“负数”）； （2）计算的值； （3）当时，求的值． 【答案】（1）；负数 （2）解：根据题意可得：M6＋M7 ＝（−2）×（−2）×（−2）×（−2）×（−2）×（−2）＋（−2）×（−2）×（−2）×（−2）×（−2）×（−2）×（−2） ＝64＋（−128） ＝−64. （3）解：根据题意可得：2020Mn＋1010Mn＋1 ＝2020×（−2）n＋1010×（−2）n＋1 ＝−1010×（−2）n＋1＋1010×（−2）n＋1 ＝（−1010＋1010）×（−2）n＋1 ＝0． 【知识点】有理数的乘法法则；有理数的乘方法则 【解析】【解答】解：（1）M5＝（−2）×（−2）×（−2）×（−2）×（−2）＝−32； ∵M2025表示2025个−2的积，负因数为奇数个， ∴M2025是一个负数． 故答案为：−32，负数； 【分析】（1）根据题干中的定义及有理数的乘法法则求解即可； （2）根据题干中的定义及有理数的乘法法则求解即可； （3）先将原式改写成乘方的形式，然后逆用乘法分配律即可求解． 题型3乘方运算的符号规律 例3．下列计算结果为负数的是(　　) A．-24 B．-（-2）3 C．(-3)×(-1)5 D．23×（-2）6 名师支招 负数的偶次幂为正 ：例如（-2）4 = 16，指数4为偶数，结果为正数。 负数的奇次幂为负 ：例如（-3）3 = -27，指数3为奇数，结果为负数。 正数和0的幂次 ：正数的任何次幂都是正数，0的正整数次幂为0，1的任何次幂为1 【答案】A 【知识点】有理数的乘方法则 【解析】【解答】解：A、 -24 结果为负，符合题意； B、 -（-2）3 =8，结果为正，不符合题意； C、 (-3)×(-1)5 =4，结果为正，不符合题意； D、 23×（-2）6 = 23×26，结果为正，不符合题意. 故答案为：A. 【分析】根据有理数的乘方，以及有理数的乘法对各选项分别进行计算，即可作出判断． 针对训练3 1．计算： （1） =　 　； （2） =　 　； （3）已知 则x=　 　。 【答案】（1）-22023 （2）0 （3）-4或4 【知识点】有理数的乘方法则 【解析】【解答】解：（1）； 故答案为：-22023. （2）-12023+(-1)2024 =-1+1 =0， 故答案为：0. （3）∵x2=(-4)2， ∴x=±4， 故答案为：±4. 【分析】（1）根据乘方的定义即可求解； （2）根据有理数的乘方的运算法则计算即可； （3）根据平方根的定义，即可求出x的值. 2．判断下列各式计算结果的正负： （1）(-6)12 （2）(-0.003 3)9。 （3）-58 （4） 【答案】（1）解： (-6)12的指数是12，为偶数， 负数的偶次幂是正数。 所以(-6)12的结果为正 （2）解：因为(-0.0033)9的指数是9，为奇数， 负数的奇次幂是负数， 所以(-0.0033)9的结果为负 （3）解：因为-58 表示的是58的相反数， 正数的任何次幂都是正数，58的结果为正， 所以-58 的结果为负 （4）因为 的指数是11，为奇数， 负数的奇次幂是负数， 所以 的结果为负 【知识点】乘方的相关概念；有理数的乘方法则；有理数混合运算法则（含乘方） 【解析】【解答】解：（1）∵（-6）12的底数是（-6），指数是12，12是偶数。负数的偶次幂是正数. ∴（-6）12的结果是正数. （2）∵（-0.0033）9的底数是（-0.0033），指数是9，9是奇数。负数的奇次幂是负数. ∴（-0.0033）9的结果是负数. （3）∵-58表示的是58的相反数，正数的任何次幂都是正数，58的结果为正， ∴-58 的结果为负. （4）∵（-）11的底数是（-），指数是11， 11是奇数。负数的奇次幂是负数. ​​​​​​​ ∴（-）11的结果是负数. 【分析】（1）根据负数的偶次幂是正数即可判断. （2）根据负数的奇次幂是负数即可判断. （3）-58表示的是58的相反数，58的结果为正，所以-58 的结果为负. （4）根据负数的奇次幂是负数即可判断. 3．2003个-3与2004个-5相乘的结果的符号是　 　号． 【答案】负 【知识点】有理数的乘方法则 【解析】【解答】解：∵2003个-3相乘，结果符号为负； 2004个-5相乘的结果的符号为正； ∴2003个-3与2004个-5相乘的结果的符号为负. 故答案为：负. 【分析】利用负数的奇次方为负，负数的偶次方为正；再利用异号两数相乘，积为负，可得答案. 题型4乘方的逆过程 例4．计算的结果是 (　　) A．-1 B．+1 C．-4 D．+4名师支招 乘方逆过程的核心是通过开方还原因数，结合积的乘方和幂的乘方公式可简化复杂运算。需注意根式定义域（如负数无偶次方根）及指数运算法则的灵活运用。 【答案】C 【知识点】有理数的乘方法则 【解析】【解答】解： . 故答案为：C. 【分析】将原式改写成再计算即可. 针对训练4 1．计算：　 　． 【答案】 【知识点】有理数混合运算法则（含乘方） 【解析】【解答】解：， 故答案为：. 【分析】先分别计算出两个幂的值，再进行乘法运算. 2．橘子金字塔 巴尔戈瓦是2014年数学大奖“菲尔兹奖”的得主.8岁那年，他随妈妈去超市，看到了一堆放成金字塔形的橘子：最顶层有1个橘子；第二层有4个，拼成一个正方形；第三层有9个，拼成一个正方形.小巴尔戈瓦想：如果一座橘子金字塔有n层，那么它是由多少个橘子组成的呢?他终于在“研究”数月之后，独立找到了答案. 下面是我们可以借鉴的思考方法——从特殊到一般： 观察下列等式： …… 请你在探究规律后填空： （1）　 　.（用含 n的代数式表示）. （2）计算　 　. 【答案】（1） （2）64355 【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；探索规律-等式类规律 【解析】【解答】解：（2）原式=(12+22+32+…+312+322+332+…+602)-(12+22+32+…+302) = =64355 故答案为：64355 【分析】（1）根据前三个等式变换，总结规律即可求出答案. （2）根据（1）中规律，化简计算即可求出答案. 3． 计算： （1） （2） 【答案】（1）解：， 等式两边乘以2得， ， 2s-s=， 即S=， ∴2-+=2-1020+1024=6 （2）解：原式= 【知识点】有理数混合运算法则（含乘方） 【解析】【分析】（1）设定一个变量来表示一系列的项，，通过两边同时乘以2构造一个新的序列，，再用2s-s得出的值，代入 进行计算即可. （2）可以把原式的分子底数提出来1×2×4，分母的底数提出来为1×3×9，有公共的，约分平方计算. 题型5乘方的实际应用 例5．狄摩根是19世纪英国数学家，在逻辑研究方面有突出贡献.在他中年时，有人问他：“您多大年龄了?”狄摩根幽默地说：“我在公元x2年时是x岁.” 你知道狄摩根的年龄吗?名师支招 乘方应用广泛，需结合具体场景选择合适模型，同时掌握运算规则与思维方法以高效解决问题 【答案】解：我们不难发现：狄摩根生活在1700—2000 年之间（想想，为什么?)，而其中只有3个完全平方数，这就是：1764=422，1849=432 和 这就是说狄摩根的年龄只有3种可能：1764 年时42 岁、1849年时43岁或1936年时44岁.下面只要对这3种情况加以验证，问题便可解决.我们先验证第1种情况：1764年时42岁，那么当他刚活到19世纪时就已70多岁了，显然情况不可能；再来验证第2种情况：1849年时43岁，那么他应是 1806年出生，符合实际；最后验证第3种情况：1936年时44岁，那么他应是1892年出生，到19世纪末才8岁，不可能是这一世纪的数学家.因此，答案只能是狄摩根在1849年时43岁. 【知识点】有理数乘方的实际应用 【解析】【分析】根据 狄摩根是19世纪英国数学家 ，19世纪，是1800年～1899年，根据422=1764，432=1849，442=1936，可以确定狄摩根的年龄. 针对训练5 1. 二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】有理数乘方的实际应用 【解析】【解答】解：方法一：∵ ∴． 方法二： ∴． 故答案为：C． 【分析】利用有理数的乘方，结合题意求解即可。 2．小明家有一桶重16千克的色拉油，他的妈妈每次都是用去桶内油的一半，如此进行下去，那么第四次桶内剩下多少千克色拉油? 第八次桶内剩下多少千克色拉油? 【答案】解： =1 答：第4次桶内剩下1千克色拉油 答：第8次桶内剩下千克色拉油 【知识点】有理数乘方的实际应用 【解析】【分析】根据有理数的乘方的定义解答即可． 3．奇奇妈妈买了一块正方形地毯，地毯上有“※”组成的图案，奇奇对“※”的个数产生了兴趣，他将地毯用“L”来划分，从右上角的1个图案开始，一层一层往外数，第一层1个，第二层3个，第三层5个……这样他发现了连续奇数求和的方法. 请根据数阵图中得到的规律解决下列问题： （1）1+3+5+…+27+29=　 　. （2）13+15+17+…+97+99=　 　. （3）0到200之间，所有能被3整除的奇数的和为　 　. 【答案】（1）225 （2）2464 （3）3267 【知识点】有理数乘方的实际应用 【解析】【解答】解：（1）； （2）； （3）能被3整除的奇数有：3、9、15、21…、195， 第n个数为， ， 解得n=33， ． 故答案为：（1）225；（2）2464；（3）3267. 【分析】（1）观察图形可知，从1开始的连续奇数的和等于奇数个数的平方，然后计算即可得解； （2）用从1开始到99的连续奇数的和减去从1开始到11的连续奇数的和，列式计算即可得解； （3）表示出能被3整除的奇数的表达式为6n-3，然后列出0到200间的连续数的和，再根据求和公式列式计算即可得解． 题型6 乘方运算中的规律问题 例6．自然数按如下规律排列： （1）求上起第十行、左起第十三列的数. （2）数127 应在上起第几行、左起第几列? 名师支招 乘方运算需注意符号规律、运算优先级及特殊指数的处理，结合法则可简化复杂计算。 【答案】（1）解：经观察可得这个自然数表的排列特点：①第一列的每一个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第一个数为n2； ②第一行第n个数是( ③第n行中从第一个数至第n个数依次递减1； ④第n 列中从第一个数至第n个数依次递增1. 这样可求：上起第十行，左起第十三列的数应是第十三列的第10个数，即[ 9=154. （2）解：即127在左起十二列，上起第六行的位置. 【知识点】有理数的乘方法则；探索规律-数阵类规律 【解析】【分析】（1）根据数阵前几行的数字特征，总结规律即可求出答案. （2）根据（1）中规律即可求出答案. 针对训练6 1．观察下列按一定规律排列的三行数： -2， 4，-8， 16，-32， 64，…； 1， 7，-5， 19，-29， 67，…； 1，-5， 7，-17， 31，-65，…； 解答下列问题： （1）每一组的第8个数分别是　 　，　 　，　 　. （2）分别写出第二组和第三组的第n个数　 　，　 　. （3）取每行数的第 m 个数，是否存在m 的值，使这三个数的和等于514?若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）256；259；-257 （2）（-2）n+3；-（-2）n-1 （3）解：设第一行第m个数为x，由x+(x+3)+(-x-1)=514，得x=512，但第一行第9个数为-512，故不存在这样的m 值 【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）；探索规律-数列中的规律 【解析】【解答】解：（1）观察可知：第一组数中第n（n是正整数）个数为（-2）n，故每一组第8个数分别是=256； 观察可知第二组数中第n（n是正整数）个数为（-2）n+3，故第二组数中，第8个数为+3=259； 观察可知第三组数中第n（n是正整数）个数为-（-2）n-1，故第三组数中，第8个数为--1=-257； 故答案为：256；259；-257. （2）观察可知第二组数中第n（n是正整数）个数为（-2）n+3； 观察可知第三组数中第n（n是正整数）个数为-（-2）n-1 故答案为：（-2）n+3； 【分析】（1）观察三组数据的规律，写出第n个数的表达式，计算出每一组的第8个数值； （2）由（1）可知写出第二组和第三组的表达式； （3）假设存在这个数为m=x，根据（2）列方程求出x的值，看是否符合即可. 2．观察下列等式： 37=2187，…，解答下列问题： 的末位数字是（　　). A．0 B．1 C．3 D．7 【答案】C 【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）；探索规律-末尾数字规律 【解析】【解答】解：∵ ∴末尾数，每4个一循环， ∵2013+4=503…1， ∴ 的末位数字相当于：3+7+9+1+-..+3=（3+9+7+1）X503+3=100203的末尾数为3， 故答案为：C. 【分析】观察3的幂次方的末位数字规律，发现3¹到的末位数字分别为3，9，7，1，之后这个序列每4个数循环一次，在计算的末位数字，即即（3+9+7+1）X503+3的末位数字。计算得出这个结果为100203，其末位数字为3. 3．阅读理解 十进制记数采用个数码：，，，，，，，，，，“逢十进一”；德国数学家莱布尼茨发明了二进制，记数只采用两个数码：，，“逢二进一”，他认为世界上最早的二进制记数法就是中国的八卦．八卦是中国古代道家论述万物变化的经典著作《周易》中的种基本图形，由符号“”和“”组成（如图），分别表示和．探究下面关于八卦与二进制关系的表，则　 　． 太极八卦图 卦名 乾 坤 震 巽 坎 离 兑 象征 天 地 雷 风 水 火 泽 符号 对应的二进制数 转换成十进制数 【答案】 【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；求代数式的值-直接代入求值 创新拓展能力提升 1．观察下列等式： ①；②；③；④． （1）根据以上规律写出第⑤个等式：_____； （2）根据以上规律填空：； （3）应用： ①若表示两个连续的正奇数，则的值可能为（　　） A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 ②小聪发现：，利用这种方法可得出“当，是两个任意正奇数时，的值都是8的倍数”．请问的值是8的多少倍？仿照小聪的方法说明理由． 【答案】（1） （2） （3）①C； ②根据题意，可知 ， 所以，的值是8的99倍． 【知识点】探索数与式的规律；有理数混合运算法则（含乘方）；探索规律-等式类规律 【解析】【解答】（1）解：根据题目中的规律，可写出第⑤个等式为． 故答案为：； （2）根据以上规律，可得． 故答案为：； （3）①结合（2）可知，若表示两个连续的正奇数，则的值为8的倍数， ∵，，，， ∴的值可能为2024． 故答案为：C； 【分析】（1）根据所给等式，仿写即可； （2）通过（1）中等式得到规律，解题即可； （3）①结合（2）解答即可； ②可得，解答即可． （1）解：根据题目中的规律，可写出第⑤个等式为． 故答案为：； （2）根据以上规律，可得． 故答案为：； （3）①结合（2）可知，若表示两个连续的正奇数，则的值为8的倍数， ∵，，，， ∴的值可能为2024． 故答案为：C； ②根据题意，可知 ， 所以，的值是8的99倍． 2.【观察思考】欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘2，得②； 由①得，代入②中得：， 解得． 所以． 【尝试解答】根据以上解题过程，并解决问题： （1）计算：①． ②． 【拓展应用】（2）用上面学到的方法，将无限循环小数写成分数形式（写出解答过程）． 【答案】解：（1）①令①， 则②， 由①得：，并代入中，得，， 解得：， 所以． ②令①， 则②， 由①得：， 代入②得：， 解得， 所以． （2）令， 则， 所以， 解得x， 所以． 【知识点】有理数混合运算法则（含乘方）；利用合并同类项、移项解一元一次方程 【解析】【分析】（1）①令，则有然后把第一个式子代入第二个解题即可． ②令①，则②，然后将①式变形代入②式解题即可． （2）令无限循环小数为x，表示100x，然后列方程解题即可． 38． 根据以下素材，尝试解决问题. 概念学习 素材1 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等. 素材2 类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把(a≠0)记作，读作“a的圈n次方”. 问题解决 问题1 (1)直接写出计算结果：2③= ，(- )⑤= . 问题 2 (2)关于除方，下列说法错误的是 . A.对于任何正整数；n，=1 B.3④=4③ C.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 问题3 (3)试一试：仿照如图中的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式. (-3)④=( )2；5⑥=( )4；(- )⑩=( )8. 问题4 (4)算一算：12÷(-)④-4③×8. 【答案】解：（1）；64； (2)B；(3) -；；2； （4）原式= 12÷(-)④-4③×8=， =， =， =. 【知识点】有理数混合运算法则（含乘方） 【解析】【解答】解：（1） 2③ =2÷2÷2=； (- )⑧ = (- )÷(- )÷(- )÷(- )÷(- )÷(- )÷(- )÷(- )=1×（-2)6=64； （2）A 1的圈n次方是1，故A项不符合题意； B 3④=3÷3÷3÷3=，4③=4÷4÷4=，故 3④≠4③，故B项符合题意； C 负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数，故C项不符合题意； （3） (-3)④=； 5⑥=5÷5÷5÷5÷5÷5=5×××××=； (- )⑩=(- )÷(- )÷(- )÷(- )÷(- )÷(- )÷(- )÷(- )÷(- )÷(- )， =(- )×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)×(-2)=28； 故答案为：（1）；64；（2）B；(3) -；；2； 【分析】（1）根据概念直接列式子计算即可； （2）根据除方的定义逐一判断即可； （3）仿照算式，将除法转化为乘法，进而写成幂的形式； （4）先计算除方，再计算乘除法，最后计算减法即可 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新七年级数学人教版暑假预习讲义（3个知识点6大典例） 第十二讲 有理数的乘方 知识点梳理 知识点1 ： 乘方的定义 求n个相同因数的积的运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂. 一般地，n个相同的因数a相乘，记作an，读作“a的n次幂（或a的n次方）”，即 要点诠释： 乘方是一种数学运算，表示将一个数连乘若干次。 乘方的结果称为幂 知识点2 : 乘方的符号法则 （1）正数的任何次幂都是正数； （2）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数； （3）零的正整数次幂都是零。 【注意】（1）一个数可以看作这个数本身的一次方，例如5就是51，指数1通常省略不写。 （2） 与乘方有关的探求规律问题是一类重要类型题。 要点诠释： 1.符号法则核心规则 负数的偶次幂为正 ：例如（-2）4 = 16，指数4为偶数，结果为正数。 负数的奇次幂为负 ：例如（-3）3 = -27，指数3为奇数，结果为负数。 正数和0的幂次 ：正数的任何次幂都是正数，0的正整数次幂为0，1的任何次幂为1 2.底数与指数的区别 在表达式（-a）n中，底数是-a，例如（-2）3 = -8；而在-an中，底数是a，例如-23 = -8。两者结果通常不同，需注意区分。 知识点3 :乘方的运算 利用乘方的定义将有理数的乘方运算转化为乘法运算，先确定符号，再计算幂的绝对值。 要点诠释： 乘方通过简化重复乘法提升计算效率，需掌握符号规则、运算顺序及法则，并结合实际问题灵活运用 典例精讲 题型1有理数乘方的概念 例1．计算的结果是（　　） A． B． C． D． 名师支招 乘方是一种数学运算，表示将一个数连乘若干次。 乘方的结果称为幂 针对训练1 1． 填空： （1）（）7表示　 　个相乘，叫 的　 　次方，也叫 的　 　次幂。其叫作　 　，7叫作　 　。 （2）（-3）10的底数是　 　，指数是　 　，（-3）10表示10个　 　相乘，叫作　 　的10次方，也叫作-3的　 　次幂。 2．把写成幂的形式 3．(口答)把下列相同因数的乘积写成幂的形式，并说出底数和指数． （1）(-6)×(-6)×(-6)． （2） 4． ⑴的底数是　 　，表示　 　个(-1)相乘，即　 　； ⑵的底数是　 　，表示　 　个1相乘的　 　，即　 　； ⑶将底数化为　 　分数，再根据乘方的意义解答，即 　 　=　 　. 题型2有理数乘方的运算 例2．计算： （1）（-3）2； （2）1.53； （3）4； （4）11。 名师支招 利用乘方的定义将有理数的乘方运算转化为乘法运算，先确定符号，再计算幂的绝对值。 针对训练2 1．计算： （1）-32． （2）3×23． （3）(3×2)3． （4）8÷(-2)3． . 2． 观察： 回答下列问题。 （1） 　 　. （2） 　 　. （3）运用以上所得结论计算： 　 　。(结果用科学记数法表示) 3． 记，，，，． （1）填空：　 　（算出结果），是一个　 　（填“正数”或“负数”）； （2）计算的值； （3）当时，求的值． 题型3乘方运算的符号规律 例3．下列计算结果为负数的是(　　) A．-24 B．-（-2）3 C．(-3)×(-1)5 D．23×（-2）6 名师支招 负数的偶次幂为正 ：例如（-2）4 = 16，指数4为偶数，结果为正数。 负数的奇次幂为负 ：例如（-3）3 = -27，指数3为奇数，结果为负数。 正数和0的幂次 ：正数的任何次幂都是正数，0的正整数次幂为0，1的任何次幂为1 针对训练3 1．计算： （1） =　 　； （2） =　 　； （3）已知 则x=　 　。 2．判断下列各式计算结果的正负： （1）(-6)12 （2）(-0.003 3)9。 （3）-58 （4） 3．2003个-3与2004个-5相乘的结果的符号是　 　号． 题型4乘方的逆过程 例4．计算的结果是 (　　) A．-1 B．+1 C．-4 D．+4名师支招 乘方逆过程的核心是通过开方还原因数，结合积的乘方和幂的乘方公式可简化复杂运算。需注意根式定义域（如负数无偶次方根）及指数运算法则的灵活运用。 针对训练4 1．计算：　 　． 2．橘子金字塔 巴尔戈瓦是2014年数学大奖“菲尔兹奖”的得主.8岁那年，他随妈妈去超市，看到了一堆放成金字塔形的橘子：最顶层有1个橘子；第二层有4个，拼成一个正方形；第三层有9个，拼成一个正方形.小巴尔戈瓦想：如果一座橘子金字塔有n层，那么它是由多少个橘子组成的呢?他终于在“研究”数月之后，独立找到了答案. 下面是我们可以借鉴的思考方法——从特殊到一般： 观察下列等式： …… 请你在探究规律后填空： （1）　 　.（用含 n的代数式表示）. （2）计算　 　. 3． 计算： （1） （2） 题型5乘方的实际应用 例5．狄摩根是19世纪英国数学家，在逻辑研究方面有突出贡献.在他中年时，有人问他：“您多大年龄了?”狄摩根幽默地说：“我在公元x2年时是x岁.” 你知道狄摩根的年龄吗?名师支招 乘方应用广泛，需结合具体场景选择合适模型，同时掌握运算规则与思维方法以高效解决问题 针对训练5 1. 二进制在计算机科学中有广泛的应用，计算机和依赖计算机的设备都使用二进制来表示数字和数据．二进制是逢二进一，其各数位上的数字为0或1，并利用角标表示二进制数，例如，就是二进制数的简单写法．在学习教科书《进位制的认识与探究》以后，小明查阅了资料并进行了思考，发现以下两种方法均可实现二进制与十进制之间的转换． 以98为例： 方法一：因为 所以． 方法二：用如图的短除法算式表示： 请你根据以上材料，把转换为五进制数是（　　） A． B． C． D． 2．小明家有一桶重16千克的色拉油，他的妈妈每次都是用去桶内油的一半，如此进行下去，那么第四次桶内剩下多少千克色拉油? 第八次桶内剩下多少千克色拉油? 3．奇奇妈妈买了一块正方形地毯，地毯上有“※”组成的图案，奇奇对“※”的个数产生了兴趣，他将地毯用“L”来划分，从右上角的1个图案开始，一层一层往外数，第一层1个，第二层3个，第三层5个……这样他发现了连续奇数求和的方法. 请根据数阵图中得到的规律解决下列问题： （1）1+3+5+…+27+29=　 　. （2）13+15+17+…+97+99=　 　. （3）0到200之间，所有能被3整除的奇数的和为　 　. 题型6 乘方运算中的规律问题 例6．自然数按如下规律排列： （1）求上起第十行、左起第十三列的数. （2）数127 应在上起第几行、左起第几列? 名师支招 乘方运算需注意符号规律、运算优先级及特殊指数的处理，结合法则可简化复杂计算。 针对训练6 1．观察下列按一定规律排列的三行数： -2， 4，-8， 16，-32， 64，…； 1， 7，-5， 19，-29， 67，…； 1，-5， 7，-17， 31，-65，…； 解答下列问题： （1）每一组的第8个数分别是　 　，　 　，　 　. （2）分别写出第二组和第三组的第n个数　 　，　 　. （3）取每行数的第 m 个数，是否存在m 的值，使这三个数的和等于514?若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由. 2．观察下列等式： 37=2187，…，解答下列问题： 的末位数字是（　　). A．0 B．1 C．3 D．7 3．阅读理解 十进制记数采用个数码：，，，，，，，，，，“逢十进一”；德国数学家莱布尼茨发明了二进制，记数只采用两个数码：，，“逢二进一”，他认为世界上最早的二进制记数法就是中国的八卦．八卦是中国古代道家论述万物变化的经典著作《周易》中的种基本图形，由符号“”和“”组成（如图），分别表示和．探究下面关于八卦与二进制关系的表，则　 　． 太极八卦图 卦名 乾 坤 震 巽 坎 离 兑 象征 天 地 雷 风 水 火 泽 符号 对应的二进制数 转换成十进制数 创新拓展能力提升 1．观察下列等式： ①；②；③；④． （1）根据以上规律写出第⑤个等式：_____； （2）根据以上规律填空：； （3）应用： ①若表示两个连续的正奇数，则的值可能为（　　） A.2022 B.2023 C.2024 D.2025 ②小聪发现：，利用这种方法可得出“当，是两个任意正奇数时，的值都是8的倍数”．请问的值是8的多少倍？仿照小聪的方法说明理由． 2.【观察思考】欲求的值，可以按照如下步骤进行： 令①， 等式两边同时乘2，得②； 由①得，代入②中得：， 解得． 所以． 【尝试解答】根据以上解题过程，并解决问题： （1）计算：①． ②． 【拓展应用】（2）用上面学到的方法，将无限循环小数写成分数形式（写出解答过程）． 38． 根据以下素材，尝试解决问题. 概念学习 素材1 规定：求若干个相同的有理数(均不等于0)的除法运算叫做除方，如2÷2÷2，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)等. 素材2 类比有理数的乘方，我们把2÷2÷2记作2③，读作“2的圈3次方”，(-3)÷(-3)÷(-3)÷(-3)记作(-3)④，读作“-3的圈4次方”，一般地，把(a≠0)记作，读作“a的圈n次方”. 问题解决 问题1 (1)直接写出计算结果：2③= ，(- )⑤= . 问题 2 (2)关于除方，下列说法错误的是 . A.对于任何正整数；n，=1 B.3④=4③ C.负数的圈奇数次方结果是负数，负数的圈偶数次方结果是正数 问题3 (3)试一试：仿照如图中的算式，将下列运算结果直接写成幂的形式. (-3)④=( )2；5⑥=( )4；(- )⑩=( )8. 问题4 (4)算一算：12÷(-)④-4③×8. 学科网（北京）股份有限公司 $$