精品解析：江苏省南京师范大学附属实验学校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

南京师范大学附属实验学校 2024-2025学年度第二学期高二年级期中考试数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知，则n的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用排列数公式计算作答. 【详解】因为，而，即有，于是， 所以n的值为5. 故选：C 2. 已知，，则等于（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式直接计算即可. 【详解】. 故选：A. 3. 已知随机变量，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可得到答案. 【详解】由题意得，所以. 故选：C. 4. 如果记录了，的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出得中心点，即为所求． 【详解】由已知，， 所以回归直线必过点． 故选：D． 5. 某省新高考采用“”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 8种 D. 12种 【答案】B 【解析】 【分析】应用分步乘法求小明选择方案的方法数. 【详解】根据题意，分2步进行分析： ①小明必选化学，则须在思想政治、地理、生物中再选出1个科目，选法有3种； ②小明在物理、历史科目中选出1个，选法有2种． 由分步乘法计数原理知，小明可选择的方案共有（种）． 故选：B 6. 已知一批产品的次品率为0.3，从中有放回地随机抽取50次，表示抽到的次品的件数，则（ ） A. 9.5 B. 10.5 C. 11.5 D. 12.5 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可得，由二项分布的性质可得. 【详解】由题意知，， 故由二项分布的性质可得. 故选：B. 7. 直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. 与的位置关系不能判断 【答案】C 【解析】 【分析】由直线的方向向量和平面的法向量的位置关系与直线和平面的位置关系即可得解. 【详解】由题意直线l的一个方向向量与平面的一个法向量的数量积为， 所以或. 故选：C. 8. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0.25 【答案】A 【解析】 【分析】应用全概率公式求答对题目的概率. 详解】由题意，令表示会做，表示选对，则，且， 所以. 故选：A 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】运用空间向量的垂直、共线的表示及应用，以及空间向量的数量积的运算、模的运算，逐项判断即可. 【详解】对于A项，由可得，解得，故A项正确； 对于B项，由可得，解得，故B项错误； 对于C项，假设存在实数，使得，则，所以不存在实数，使得，故C项正确； 对于D项，由可得，解得，所以，故D项正确. 故选：ACD. 10. 已知X的分布列为 X 0 1 2 P a 则下列说法正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】由分布列的性质，可相应的概率和均值. 【详解】由随机变量分布列的性质可知，即，∴，故A正确； ，故B正确； ，故C不正确； ，故D正确. 故选：ABD 11. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为90° B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 【答案】ABC 【解析】 【分析】以正方体的棱建立空间直角坐标系，然后得到点的坐标，由向量与向量数量积为0得到线线垂直；求出面的法向量，由求出线面角的正弦值，然后得到线面角的余弦值；由法向量与相等，证明平面；由向量的投影计算出点到面的距离. 【详解】在正方体，以为原点，分别为如图建立空间直角坐标系， 则，，，，，，， ∴，， ∵，∴，∴A选项正确； ∵，，设平面的一个法向量为， 则，令，解得，即， 设直线与平面所成角为， 则， ∴，∴B选项正确； ∵，∴平面，∴C选项正确； 点到平面的距离，∴D选项错误. 故选：ABC. 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 已知展开式中，的系数为80，则______________． 【答案】 【解析】 【分析】求出二项展开式的通项，求出的系数，即可得出 【详解】由题意， 在中，通项为， ∵的系数为80， ∴当即时，， ∴，解得， 故答案为：. 13. 有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X，则次品件数X的期望为______． 【答案】1.2 【解析】 【分析】确定随机变量X服从超几何分布，确定相关参数，根据超几何分布的期望公式，即得答案. 【详解】由题意知随机变量X服从超几何分布，其中，，， 于是次品件数X的期望， 故答案为：1.2 14. 现有5双鞋子，从中任取4只鞋子，则取出的4只鞋子中，恰好有1双的取法总数为__________. 【答案】 【解析】 【分析】借助分步乘法计数原理及组合数的性质计算即可得. 【详解】先从5双鞋子中任取1双，有种， 再从剩下的4双中选取两双，并从这两双中每双鞋各取一个，共种， 故共有种. 故答案为：. 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的展开式中共有9项. （1）求的值； （2）求展开式中的系数； （3）求二项式系数最大的项. 【答案】（1） （2）112 （3） 【解析】 【分析】（1）利用二项式展开式中共有项可求得的值； （2）求出二项展开式的通项，令的指数为4，求出参数的值，代入通项即可得出结果； （3）根据二项式系数的性质可得二项式系数最大的项的项数，再由二项式定理得结论. 【小问1详解】 由题意得，解得 【小问2详解】 由（1）可知展开式的通项为. 令，解得，则. 故展开式中的系数为112. 【小问3详解】 根据题意可得二项式系数最大的项为. 16. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用空间向量共线定理，列式求解x的值，则得，由向量模的坐标运算求解即可； （2）利用向量垂直的坐标表示，求出x的值，则得，由空间向量的夹角公式求解即可． 【小问1详解】 空间向量，，， 因为，所以存在实数k，使得， 所以，解得，所以， 则． 【小问2详解】 因为，则，解得， 所以， 故． 17. 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数. （1）全体站成一排，甲、乙不在两端； （2）全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； （3）全体站成一排，男生彼此不相邻. 【答案】（1）2400 （2）288 （3）1440 【解析】 【分析】（1）特殊元素优先排求解； （2）利用捆绑法求解； （3）利用插空法求解. 【小问1详解】 先在中间五个位置选两个位置安排甲，乙，然后剩余5个人在剩余五个位置全排列， 所以有种 【小问2详解】 相邻问题，利用捆绑法，共有种. 【小问3详解】 即不相邻问题，先排好女生共有种排法，男生在5个空中安插，共有种排法， 所以共有种. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） （1）求证：平面PBC； （2）求证：平面BDE． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系，证明，，原题即得证； （2）设平面BDE的法向量为，证明即得证. 【小问1详解】 证明：如图，以A为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则，，，，， 所以，，， 因为，所以，所以， 所以，， 所以， ，即，， 又因为，平面PBC． 所以平面PBC． 【小问2详解】 证明：由（1）可得，，． 设平面BDE的法向量为， 则，即令，得，， 则是平面BDE的一个法向量， 因为，所以， 因为平面BDE，所以平面BDE． 19. 某生物公司将A型病毒疫苗用100只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表： 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射 10 x A 注射 40 y B 总计 50 50 100 现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为． （1）能否有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效？ （2）现从感染病毒的小白鼠中任取3只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 附： P（K2≥k0） 0.10 0.010 0.001 k0 2.706 6.635 10.828 【答案】（1）有99.9%的把握认为注射此型号疫苗有效；（2）分布列见解析，E（ξ） 【解析】 【分析】（1）先根据题意补充完整列联表，然后由的公式计算出其观测值，并与附表中的数据进行对比即可作出判断； （2）可能取值为0，1，2，3，然后由超几何分布求概率的方法依次求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望． 【详解】解：（1）由条件知，，，，， ， 故有的把握认为注射此型号疫苗有效． （2）的可能取值为0，1，2，3， ，， ，． 的分布列为 0 1 2 3 数学期望 【点睛】本题考查独立性检验、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京师范大学附属实验学校 2024-2025学年度第二学期高二年级期中考试数学试卷 分值：150分 时间：120分钟 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1. 已知，则n的值为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 2. 已知，，则等于（ ）． A. B. C. D. 3. 已知随机变量，，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.7 D. 0.8 4. 如果记录了，的几组数据分别为，，，，那么y关于x的经验回归直线必过点（ ） A. B. C. D. 5. 某省新高考采用“”模式：“3”为全国统考科目语文、数学、外语，所有学生必考；“1”为首选科目，考生须在物理、历史科目中选择1个科目；“2”为再选科目，考生可在思想政治、地理、化学、生物4个科目中选择2个科目．已知小明同学必选化学，那么他可选择的方案共有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 8种 D. 12种 6. 已知一批产品的次品率为0.3，从中有放回地随机抽取50次，表示抽到的次品的件数，则（ ） A. 9.5 B. 10.5 C. 11.5 D. 12.5 7. 直线l的一个方向向量为，平面的一个法向量为，则（ ） A. B. C. 或 D. 与的位置关系不能判断 8. 此时此刻你正在做这道选择题，假设你会做的概率是，当你会做的时候，又能选对正确答案的概率为100%，而当你不会做这道题时，你选对正确答案的概率是0.25，那么这一刻，你答对题目的概率为（ ） A. 0.625 B. 0.75 C. 0.5 D. 0.25 二、多选题（本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分）． 9. 已知向量，，则下列结论中正确的是（     ） A. 若，则 B. 若，则 C. 不存在实数，使得 D 若，则 10. 已知X的分布列为 X 0 1 2 P a 则下列说法正确的有（ ） A. B. C D. 11. 已知正方体的棱长为1，下列四个结论中正确的是（ ） A. 直线与直线所成的角为90° B. 直线与平面所成角的余弦值为 C. 平面 D. 点到平面的距离为 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12. 已知展开式中，的系数为80，则______________． 13. 有一批产品，其中有6件正品和4件次品，从中任取3件，其中次品的件数记为X，则次品件数X的期望为______． 14. 现有5双鞋子，从中任取4只鞋子，则取出的4只鞋子中，恰好有1双的取法总数为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 已知的展开式中共有9项. （1）求的值； （2）求展开式中的系数； （3）求二项式系数最大项. 16. 已知空间向量． （1）若，求； （2）若，求的值． 17. 3名男生，4名女生，按照不同的要求排队，求不同的排队方法数. （1）全体站成一排，甲、乙不在两端； （2）全体站成一排，男生站在一起、女生站在一起； （3）全体站成一排，男生彼此不相邻. 18. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，为上一点，且．（请用空间向量法予以证明） （1）求证：平面PBC； （2）求证：平面BDE． 19. 某生物公司将A型病毒疫苗用100只小白鼠进行科研和临床试验，得到统计数据如表： 未感染病毒 感染病毒 总计 未注射 10 x A 注射 40 y B 总计 50 50 100 现从所有试验的小白鼠中任取一只，取得注射疫苗小白鼠的概率为． （1）能否有99.9%把握认为注射此型号疫苗有效？ （2）现从感染病毒的小白鼠中任取3只进行病理分析，记已注射疫苗的小白鼠只数为ξ，求ξ的分布列和数学期望． 附： P（K2≥k0） 0.10 0.010 0.001 k0 2.706 6.635 10.828 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$