第一章 预备知识3 不等式 课后练习-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

第一章 预备知识-3不等式 课后练习 2025-2026学年高中数学必修第一册 北师大版 学校:___________姓名：___________班级：___________学号：___________ 一、单选题 1．若不等式组的解集是，则m的取值范围（ ） A． B． C． D．无法确定 2．若、、，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 3．已知实数x满足，则的最大值为（    ） A． B．0 C．4 D．8 4．中国南宋大数学家秦九韶提出了“三斜求积术”，即已知三角形三边长求三角形面积的公式：设三角形的三条边长分别为a，b，c，则三角形的面积S可由公式求得，其中p为三角形周长的一半，这个公式也被称为海伦—秦九韶公式，现有一个三角形的边长满足，，则此三角形面积的最大值为（    ） A． B．8 C． D． 5．已知，，，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D．5 6．已知，则（    ） A． B． C． D． 7．若，则的最小值为（   ） A．12 B． C． D． 8．若实数、满足，则下列结论中，正确的是（   ） A． B． C． D． 9．甲、乙两名司机的加油习惯有所不同，甲每次加油都说“师傅，给我加300元的油”，而乙则说“师傅帮我把油箱加满”，如果甲、乙各加同一种汽油两次，两人第一次与第二次加油的油价分别相同，但第一次与第二次加油的油价不同，乙每次加满油箱，需加入的油量都相同，就加油两次来说，甲、乙谁更合算（    ） A．甲更合算 B．乙更合算 C．甲乙同样合算 D．无法判断谁更合算 二、填空题 10．日常生活中，在一杯含有a克糖的b克糖水中，再加入m克糖（假设全部溶解），这杯糖水变甜了．请根据这一事实提炼出一个不等式 ． 11．已知，则的最大值为 ． 12．（1）若正实数满足，则的最大值为 ． （2）已知，且，则的最小值是 ． 13．已知，，且，若不等式恒成立，则的最大值为 ． 14．已知，有下列不等式： ①；②；③；④；⑤． 其中，恒成立的是 ．（写出所有满足要求的不等式序号） 15．已知，则的最大值和最小值分别为 ． 三、解答题 16．设是实数，比较与的大小． 17．如图，在中，，，，且.当的面积最小时，求a，b的值.    18．（1）已知，，求证：； （2）已知，，，且，求证：． 19．南海九江中学为了宣传校园文化，由同学设计一幅九中文化矩形宣传画，要求画面面积为，画面的上、下各留空白，左、右各留空白.如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？    20．某小区要建一座八边形的休闲小区，它的主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD和EFGH构成的十字形地域，四个小矩形加一个正方形面积共为200平方米．计划在正方形MNPQ上建一座花坛，造价为每平方米4200元，在四个相同的矩形上（图中阴影部分）铺设花岗岩地坪，造价为每平方米210元，再在四个角上铺设草坪，造价为每平方米80元．    (1)设AD长为x米，总造价为S元，试建立S关于x的函数关系式； (2)问：当x为何值时S最小，并求出这个S最小值. 21．已知正数满足． (1)若，求的最大值； (2)证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 第一章 预备知识-3不等式 课后练习 2025-2026学年高中数学必修第一册 北师大版 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B B B A C D D D A 1．B 【分析】根据解集确定集合包含关系，即可得参数范围. 【详解】因为不等式组的解集是， 所以， 故. 故选：B 2．B 【分析】利用不等式的基本性质逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】因为、、，且，则，， 由不等式的基本性质可得，A错；，B对； 当时，，C错；，D错. 故选：B. 3．B 【分析】由已知得到，对题中所给的式子进行转化，利用基本不等式求最大值. 【详解】由得到，则， ， 当且仅当上式取等号，则的最大值为0. 故选：B. 4．A 【分析】，．可得．代入，利用基本不等式的性质即可得出． 【详解】，．． ， 当且仅当时取等号． ，即三角形面积的最大值为． 故选：A． 5．C 【分析】将化为，即可将变形为，结合基本不等式即可求得答案. 【详解】， ， （当且仅当时等号成立）， 故选：C 6．D 【分析】由不等式的性质判断ACD；取特殊值判断B. 【详解】解：对于A，因为，所以，即，故错误； 对于B，取，则，故错误； 对于C，由，得，所以，故错误； 对于D，由，得，所以，故正确. 故选：D. 7．D 【分析】由题意确定，且，将变形为，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】因为，故，则， 故 ， 当且仅当，即时等号成立， 即的最小值为， 故选：D 8．D 【分析】利用基本不等式分别求出与的取值范围即可判断． 【详解】解：对于A，B，由可得，，当且仅当时取等号，即， ，，故A、B错误， 对于C，D，由可得，，当且仅当时取等号， ，可取，则成立， 当 ，故C错，D对， 故选：D． 9．A 【分析】根据题意列出甲乙两次加油的平均单价，进而根据不等式即可求解. 【详解】设两次的单价分别是元/升， 甲加两次油的平均单价为，单位：元/升， 乙每次加油升，加两次油的平均单价为，单位：元/升， 因为，，， 所以，即， 即甲的平均单价低，甲更合算. 故选：A 10．，时， 【分析】利用作差法即可证得所提炼的不等式. 【详解】由题意有，时，． 理由如下：，因为，， 所以，即. 故答案为：，时，． 11． 【分析】整理，观察和为定值，利用基本不等式直接求解即可． 【详解】， 当且仅当， 即时等号成立， 故答案为：． 12． 1 16 【分析】（1）根据题意，结合基本不等式，即可求解； （2）根据题意，结合，结合基本不等式，即可求解. 【详解】解：（1）由正实数、满足，可得， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值为. （2）由，且， 则， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最小值是. 13．/ 【分析】根据对进行消元后，转化为求单变量函数的最小值问题进行求解. 【详解】当时，不成立，所以. 由得. 因为，，所以，解得，即. 所以， 令，则，于是. 令，，则. 由对勾函数的图象知，在上单调递减，故. 所以，即的最大值为. 故答案为：. 14．①③⑤ 【分析】利用基本不等式对5个式子一一判断. 【详解】因为，所以利用基本不等式： 对于①：（当且仅当，即时等号成立）.故①正确； 对于②：（当且仅当时等号成立）.故②错误； 对于③：（当且仅当时等号成立）.故③正确； 对于④：（当且仅当时等号成立）.故④错误； 对于⑤：（当且仅当时等号成立）.故⑤正确. 故答案为：①③⑤ 15．9，1 【分析】分和结合基本不等式求出的范围，再由时，也存在满足的情况，从而可得，进而可求出的范围，则可求出其最值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号． 当时，，当且仅当时取等号． 当时，也存在满足的情况， 所以， 由，得， 所以， 由，得， 所以， 当时取得最小值，当时取得最大值， 所以的最大值和最小值分别为9和1. 故答案为：9，1 16． 【分析】判断的符号即可得出结论. 【详解】因为． 所以，当且仅当时，等号成立． 17．，. 【分析】利用基本不等式结合直角三角形面积公式求解即可. 【详解】由题意知，，由基本不等式，得. 因为，所以，故，于是， 当且仅当，即，时，等号成立. 因此，当的面积最小时，，. 18．（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）变形后，利用基本不等式进行求解； （2）利用基本不等式“1”的妙用证明不等式. 【详解】（1）因为，，所以， 当且仅当时取等号． （2）∵，，，且， ∴ ，当且仅当时取等号． 19．画面高80cm，宽50cm 【分析】设画面高为，宽为，则可表示出所需纸张面积的表达式，展开后利用基本不等式，即可求得答案. 【详解】设画面高为，宽为，由题意可得，，，， 则所需纸张面积 ， 当且仅当且，即，时取等号， 所以画面高80cm，宽50cm时，所需纸张面积最小为5760cm. 20．(1) (2)，118000元 【分析】（1）根据题意，建立函数关系式即可； （2）根据题意，由（1）中的函数关系式，结合基本不等式即可得到结果. 【详解】（1）由题意可得，，且，则， 则 （2）由（1）可知， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以，当米时，元. 21．(1)； (2)证明见详解. 【分析】（1）由已知可得，根据“1”的代换可得，根据基本不等式可得，即可得到； （2）由已知可得，进而根据根据“1”的代换可得，即有.同理可得，，三个式子同时相加即可得出结果. 【详解】（1）解：当时，由可得，则， 所以， 当且仅当以及，即时等号成立， 所以，又，，所以. 所以的最大值为 （2）证明：由已知可得，，则， 则， 当且仅当，即时等号成立，所以，， 同理可得，，， 当且仅当时等号同时成立. 所以，. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$