专题03 不等式重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优）-2024-2025学年高一年级数学上册重难点专题提升精讲精练（北师大版2019必修第一册）

专题03 不等式重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优） 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型二 由不等式的性质比较数(式)大小 题型三 作差法比较代数式的大小 题型四 作商法比较代数式的大小 题型五 由不等式的性质证明不等式 题型六 利用不等式求值或取值范围 题型七 由基本不等式比较大小 题型八 由基本不等式证明不等关系 题型九 基本不等式求积的最大值 题型十 基本不等式求和的最小值 题型十一 二次与二次(或一次)的商式的最值 题型十二 条件等式求最值 题型十三 基本不等式的恒成立问题 题型十四 对勾函数求最值 题型十五 基本(均值)不等式的应用 【经典例题一 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例1】（24-25高三上·北京·开学考试）设，且，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高二下·北京延庆·期末）已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京丰台·期中）能够说明“设a，b，c是任意实数．若，则”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b、c、d为实数，判断下列命题的真假： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则； (5)若，则； (6)若，则． 【经典例题二 由不等式的性质比较数(式)大小】 【例2】（23-24高一下·北京·期末）已知关于，，，的方程组，其中．则，，，的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 1．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知是任意实数，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2024高二上·北京·学业考试）已知，且，则 （填“>”或“<”）. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b、c、d为实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果，，那么； (2)如果，那么； (3)如果且，那么； (4)如果，，那么； (5)如果，那么． 【经典例题三 作差法比较代数式的大小】 【例3】（24-25高三上·北京·开学考试）若且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 1．（22-23高一上·北京·阶段练习）若，且，则在下列四个选项中，最大的是（     ） A． B． C． D． 2．（22-23高一上·北京·期中）比较大小： （填“=、>、<、、”） 3．（24-25高一·上海·课堂例题）已知、且、，试比较与的大小. 【经典例题四 作商法比较代数式的大小】 【例4】（2018高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 1．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 3．（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 【经典例题五 由不等式的性质证明不等式】 【例5】（22-23高三下·北京·开学考试）对于任意的，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（19-20高三·北京·强基计划）设函数，其中x，y，z均为正实数，则（    ） A．既有最大值也有最小值 B．有最大值但没有最小值 C．没有最大值但有最小值 D．前三个答案都不对 2．（20-21高一上·北京朝阳·期末）设，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是 . 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知实数a、b、c满足，且.求证：且. 【经典例题六 利用不等式求值或取值范围】 【例6】（2024高二上·北京·学业考试）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（16-17高三·北京·强基计划）已知某个三角形的两条高的长度分别为10和20，则它的第三条高的长度的取值区间为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 2．（22-23高一上·北京·期末）已知对于实数，，满足，，则的最大值为 . 3．（2024高一·全国·专题练习）（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【经典例题七 由基本不等式比较大小】 【例7】（20-21高三上·北京·强基计划）设实数a，b，c满足且，则a，b，c之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较大小 1．（2010·北京·一模）设 (其中0<x<y)，则M，N，P的大小顺序是（    ） A．P<N<M B．N<P<M C．P<M<N D．M<N<P 2．（2021高一·全国·专题练习）某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设，且，请将a、b、、2ab、从小到大排列，并说明理由． 【经典例题八 由基本不等式证明不等关系】 【例8】（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 1．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）设，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）中等号成立的条件是 ． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知实数，求证：． 【经典例题九 基本不等式求积的最大值】 【例9】（23-24高二下·北京昌平·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 1．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，则xy的最大值是（ ） A． B． C． D．1 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的最大值为 ，此时 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）关于方程有两个不等的实数根，，满足，求的取值范围． 【经典例题十 基本不等式求和的最小值】 【例10】（23-24高一上·北京·期中）如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·北京通州·期末）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知，则的最小值为 ，此时等于 . 3．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 【经典例题十一 二次与二次(或一次)的商式的最值】 【例11】（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 3．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【经典例题十二 条件等式求最值】 【例12】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 1．（2024高二下·安徽·学业考试）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 2．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的值为 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知正数a，b，c满足，，求c的取值范围． 【经典例题十三 基本不等式的恒成立问题】 【例13】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 1．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 3．（24-25高一上·上海·课后作业）设，且恒成立，求的取值范围． 【经典例题十四 对勾函数求最值】 【例14】．（23-24高三上·陕西汉中·期中）下列函数中，最小值为的是（    ） A． B． C． D． 1．（21-22高二上·广西桂林·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 2．（23-24高一上·天津滨海新·期中）若函数在 时取得最小值，最小值为 . 3．（23-24高一·全国·课堂例题）当利用基本不等式求最大（小）值时，若等号取不到，应如何处理？ 【经典例题十五 基本(均值)不等式的应用】 【例15】（24-25高三上·广东·开学考试）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）存在三个实数，使其分别满足下述两个等式： （1） （2） 其中M表示三个实数中的最小值，则（    ） A．M的最大值是 B．M的最大值是 C．M的最小值是 D．M的最小值是 2．（25-26高一上·上海·课后作业）已知，则的最大值和最小值分别为 ． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的最大值． 1．（2025高三·全国·专题练习）若，那么下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 3．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2023高一上·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 6．（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题叙述正确的是（    ） A．，当时， B．，当时， C．，当时， D．，当时， 7．（23-24高一上·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 8．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知，且，以下说法正确的是（    ） A．中至少有一个不大于1 B． C． D．若，则 9．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知且，则下列不等式恒成立的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为2 10．（2024·辽宁·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 11．（23-24高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 12．（20-21高二·江苏·单元测试）设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式： （1）；      （2）； （3）；          （4） 其中恒成立的有 （把你认为正确的答案的序号都填上） 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 14．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知△ABC的周长为9，，则的值为 ，△ABC的面积的最大值为 ． 16．（2024高三·全国·专题练习）设表示中较大的数，表示中较小的数．例如．现在，关于四个不同的实数有下面关系：．试比较的大小． 17．（2023高一上·安徽·竞赛）（1）已知，求证； （2）利用（1）的结论，证明：（且）. 18．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 19．（20-21高一·全国·课后作业）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 20．（22-23高一上·全国·课后作业）已知x∈（0，+∞）. (1)求的值域； (2)求的最小值，以及y取得最小值时x的值. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 不等式重难点题型专训（15大题型+20道拓展培优） 题型一 由已知条件判断所给不等式是否正确 题型二 由不等式的性质比较数(式)大小 题型三 作差法比较代数式的大小 题型四 作商法比较代数式的大小 题型五 由不等式的性质证明不等式 题型六 利用不等式求值或取值范围 题型七 由基本不等式比较大小 题型八 由基本不等式证明不等关系 题型九 基本不等式求积的最大值 题型十 基本不等式求和的最小值 题型十一 二次与二次(或一次)的商式的最值 题型十二 条件等式求最值 题型十三 基本不等式的恒成立问题 题型十四 对勾函数求最值 题型十五 基本(均值)不等式的应用 【经典例题一 由已知条件判断所给不等式是否正确】 【例1】（24-25高三上·北京·开学考试）设，且，下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】选项A，B，C，通过取特殊值，即可判断出正误；选项B，利用不等式的性质，结合条件，即可判断出正误. 【详解】对于选项A，取，显然满足，但，所以选项A错误， 对于选项B，因为，由不等式的性质知，所以选项B正确， 对于选项C，取，显然满足，但，此时，所以选项C错误， 对于选项D，取，显然满足，此时，所以选项D错误， 故选B. 1．（22-23高二下·北京延庆·期末）已知实数，满足，则下列不等式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可知A正确，通过反例可知BCD错误. 【详解】对于A，（当且仅当时取等号），又，，故A正确； 对于B，当，时，，，则，故B错误； 对于C，当，时，，，则，故C错误； 对于D，当，时，，故D错误. 故选：A. 2．（22-23高一上·北京丰台·期中）能够说明“设a，b，c是任意实数．若，则”是假命题的一组整数a，b，c的值依次为 ． 【答案】4,5,6（不唯一） 【分析】根据所给条件，取特值即可得解. 【详解】取，可知满足，但， 故不成立，故原命题是假命题. 故答案为：4,5,6（不唯一） 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b、c、d为实数，判断下列命题的真假： (1)若，则； (2)若，则； (3)若，，则； (4)若，则； (5)若，则； (6)若，则． 【答案】(1)真命题 (2)真命题 (3)假命题 (4)真命题 (5)真命题 (6)假命题 【分析】由不等式的基本性质逐个判断即可. 【详解】（1）若，则由不等式的性质得，所以是真命题； （2）若，则由不等式的性质得，所以是真命题； （3）若，，假设，则，所以是假命题； （4）若，则a、b同号，即，所以是真命题； （5）若，则，且，即，所以是真命题； （6）若，当时，为真命题，当时，不一定成立，所以是假命题； 【经典例题二 由不等式的性质比较数(式)大小】 【例2】（23-24高一下·北京·期末）已知关于，，，的方程组，其中．则，，，的大小关系为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题设得到，令，从而解出，，，，再根据条件，即可求解出结果. 【详解】由，得到， 即，令， 则，又，所以， 故选：D. 1．（23-24高一上·北京顺义·期末）已知是任意实数，且，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的性质结合反例逐一判断即可. 【详解】对于A，当时，，故A错误； 因为，所以，所以，故B正确； 对于C，当时，，故C错误； 对于D，当时，，故D错误. 故选：B. 2．（2024高二上·北京·学业考试）已知，且，则 （填“>”或“<”）. 【答案】< 【分析】根据不等式的基本性质即可求解. 【详解】由题意知，，则， 所以，即. 故答案为：< 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设a、b、c、d为实数，判断下列命题的真假，并说明理由： (1)如果，，那么； (2)如果，那么； (3)如果且，那么； (4)如果，，那么； (5)如果，那么． 【答案】(1)假命题 (2)假命题 (3)真命题 (4)假命题 (5)假命题 【分析】（1）（4）取特殊值可判断原命题的真假； （2）（3）（5）利用不等式的基本性质可判断原命题的真假. 【详解】（1）取，，满足，，但是，故原命题为假命题； （2）当时，由得，故原命题为假命题； （3）因为且，所以，故原命题为真命题； （4）取，，满足，，但是， 故原命题为假命题； （5）当时，由，可得，故原命题为假命题. 【经典例题三 作差法比较代数式的大小】 【例3】（24-25高三上·北京·开学考试）若且，则下列不等式中一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据作差法判断C；结合不等式的基本性质举例说明即可判断ABD. 【详解】A：当时，，故A错误； B：当时，满足，，不成立，故B错误； C：， 因为，所以，得，即，故C正确； D：当时，满足，，不成立，故D错误. 故选：C 1．（22-23高一上·北京·阶段练习）若，且，则在下列四个选项中，最大的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】（1）先判断，可得，所以，排除A、D，再用作差法比较B、C的大小，可得答案. （2）也可以令，取特殊值进行验证排除. 【详解】方法一：∵且，∴，可排除A；又，排除D； ∵， 即，排除B. 故选：C. 方法二：因为且，可取，. 则：，，因为. 故选：C. 2．（22-23高一上·北京·期中）比较大小： （填“=、>、<、、”） 【答案】 【分析】利用作差法与配方法即可求解. 【详解】因为， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一·上海·课堂例题）已知、且、，试比较与的大小. 【答案】 【分析】利用作差法比较大小即可. 【详解】 ， 所以，当且仅当时取等号. 【经典例题四 作商法比较代数式的大小】 【例4】（2018高二下·全国·专题练习）已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（    ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 【答案】C 【分析】应用作商法比较的大小关系即可. 【详解】由题设，易知x，y＞0，又， ∴x＜y. 故选：C. 1．（23-24高三上·天津和平·开学考试）已知a是实数，则“”是“”的（    ）． A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】判断“”和“”之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当时，， 故，即成立，则成立； 当时，，但推不出成立， 故“”是“”的充分不必要条件， 故选：A 2．（23-24高一上·北京·阶段练习）设，，则 （填入“＞”或“＜”）． 【答案】 【分析】由均大于0，可用作商法，再化简后与1作大小比较，即可得出答案. 【详解】∵，即. 又， . 故答案为：>. 3．（22-23高一·全国·课后作业）若，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】作商法证明不等式. 【详解】证明：∵a>b>0， ∴，且． ∴作商得：． ∴． 【经典例题五 由不等式的性质证明不等式】 【例5】（22-23高三下·北京·开学考试）对于任意的，则“”是“”的（    ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】由不等式的性质推导可得充分性，再由特值举例可说明不必要. 【详解】若，又，则有，即，即充分性成立； 当，，但，即必要性不成立. 故“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 1．（19-20高三·北京·强基计划）设函数，其中x，y，z均为正实数，则（    ） A．既有最大值也有最小值 B．有最大值但没有最小值 C．没有最大值但有最小值 D．前三个答案都不对 【答案】D 【分析】先由糖水不等式可得，再根据极限可判断既无最大值也无最小值． 【详解】解：注意到，一方面由糖水不等式可得 ， 且， 另一方面，把x当作主元，令， 当时，，明显当时，满足， 当时，，明显当 时，满足， 故既无最大值也无最小值． 故选：D． 2．（20-21高一上·北京朝阳·期末）设，给出下列四个结论： ①； ②； ③； ④. 其中所有正确结论的序号是 . 【答案】①③④ 【解析】利用不等式性质直接判断①④正确，利用指数函数的单调性判断③正确，利用特殊值验证②错误即可. 【详解】由知，，，故，得，故①正确； 取，满足，但，不满足，故②错误； 由指数函数单调递增可知，，则，故③正确； 由知，，，根据不等式性质可知，，故，故④正确. 故答案为：①③④. 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知实数a、b、c满足，且.求证：且. 【答案】证明见解析 【分析】根据不等式的性质求证即可. 【详解】由于实数a、b、c满足，且， 所以，即， ，即， 综上，且 【经典例题六 利用不等式求值或取值范围】 【例6】（2024高二上·北京·学业考试）已知，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过条件求出的范围，再消去求范围即可. 【详解】由得， 所以，得， 所以. 故选：C. 1．（16-17高三·北京·强基计划）已知某个三角形的两条高的长度分别为10和20，则它的第三条高的长度的取值区间为（    ） A． B． C． D．前三个答案都不对 【答案】C 【详解】利用等积法可得，再根据三角形边的性质可得边的不等式关系，从而可得高的范围. 【分析】设三角形的三边长分别为，a，b，对应的高分别为10，20，h，则． 又， 于是， 因此． 故选：C. 2．（22-23高一上·北京·期末）已知对于实数，，满足，，则的最大值为 . 【答案】7 【分析】由题意可得，，且，利用不等式的性质即可求解 【详解】由，可得，， 因为，， 所以，故，则的最大值为7， 故答案为：7 3．（2024高一·全国·专题练习）（1）已知，，求的取值范围． （2）已知，，求的取值范围． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）根据不等式倒数性质求的范围，然后同向不等式相乘可解； （2）结合，,利用已知代数式表示所求，并由不等式的性质直接求解. 【详解】（1） 由题意得 所以，即 （2）设 所以，解得 由题意得， 两式相乘，得，即 【经典例题七 由基本不等式比较大小】 【例7】（20-21高三上·北京·强基计划）设实数a，b，c满足且，则a，b，c之间的大小关系是（    ） A． B． C． D．不能比较大小 【答案】B 【分析】利用二次函数的性质或基本不等式可求，故可得正确的选项. 【详解】解法一  题中等式可以变形为， 而，所以只能有， 解得． 解法二  令， 则有且题中条件变为： ， 而， ， ， 故 ，当且仅当时等号成立， 故. 故选：B 1．（2010·北京·一模）设 (其中0<x<y)，则M，N，P的大小顺序是（    ） A．P<N<M B．N<P<M C．P<M<N D．M<N<P 【答案】A 【分析】利用基本不等式证明可得. 【详解】 又， ∴. 故选：A 2．（2021高一·全国·专题练习）某工厂第一年的产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，则这两年的平均增长率x与增长率的平均值的大小关系为 ． 【答案】 【分析】求得关于的表达式，结合基本不等式比较出两者的大小. 【详解】依题意， 所以， 所以，当且仅当时等号成立. 故答案为： 3．（23-24高一·上海·课堂例题）设，且，请将a、b、、2ab、从小到大排列，并说明理由． 【答案】 【分析】根据已知条件，结合不等式的性质，以及作差法，即可求解. 【详解】，且，则，即， 故，，当且仅当时，等号成立， 故，即， ，故， 因为，所以， 由于，所以，即， ， 即， 综上所述：. 【经典例题八 由基本不等式证明不等关系】 【例8】（23-24高三下·北京顺义·阶段练习）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】通过举例的方法，以及基本不等式，结合充分，必要条件的定义，即可判断选项. 【详解】若，满足，但， 若，，则，即， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 1．（22-23高三上·北京海淀·阶段练习）设，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】ABC选项，可举出反例；D选项，利用基本不等式进行求解. 【详解】A选项，当时，，故，A错误； B选项，当时，，，B错误； C选项，当时，，，C错误； D选项，当时，，由基本不等式可得， 当且仅当，即时，等号成立，但，故等号取不到， 故，D正确. 故选：D 2．（24-25高一上·上海·课后作业）中等号成立的条件是 ． 【答案】 【分析】由已知结合基本不等式等号成立的条件即可求解． 【详解】解：由式， ， 当且仅当时取等号． 故答案为：． 3．（23-24高一·上海·课堂例题）已知实数，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】根据已知条件结合基本不等式及不等式的性质证明即可. 【详解】因为，所以，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，所以，， 所以，所以， 因为，所以，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以， 综上，. 【经典例题九 基本不等式求积的最大值】 【例9】（23-24高二下·北京昌平·期末）函数的最大值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】由于，所以， 当且仅当，即时等号成立，故最大值为， 故选：B 1．（23-24高一上·北京·期中）已知，，，则xy的最大值是（ ） A． B． C． D．1 【答案】B 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】由于，，，所以，故， 当且仅当，即时等号成立， 故选：B 2．（24-25高一上·全国·课后作业）已知，则的最大值为 ，此时 ． 【答案】 /0.25 /0.5 【分析】利用基本不等式即可求解. 【详解】， ， ， 当且仅当，即时取等号. 即当时取得最大值为. 故答案为：；. 3．（2024高三·全国·专题练习）关于方程有两个不等的实数根，，满足，求的取值范围． 【答案】 【分析】构造函数，将转化为，结合基本不等式求得正确答案. 【详解】设，则， 因为，且， 由基本不等式得： ，等号不能同时成立， 所以所求的取值范围是. 【经典例题十 基本不等式求和的最小值】 【例10】（23-24高一上·北京·期中）如果，那么的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值即得. 【详解】，，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为4. 故选：C 1．（23-24高二下·北京通州·期末）已知，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用充分条件、必要条件的定义，结合基本不等式判断即可. 【详解】由，，，得，当且仅当时取等号， 反之，，，，取，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．（24-25高三上·北京·开学考试）已知，则的最小值为 ，此时等于 . 【答案】 21 11 【分析】利用基本不等式求得正确答案. 【详解】由于，所以， 所以， 当且仅当时等号成立. 故答案为：； 3．（23-24高一上·湖南邵阳·阶段练习）用篱笆围一个面积为的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长度是多少？ 【答案】当这个矩形菜园的边长为时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为. 【分析】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为，由已知结合基本不等式可求出矩形周长的最小值，由等号成立的条件可得出矩形的边长，从而可得出结论. 【详解】设矩形菜园的相邻两条边的长分别为、，篱笆的长度为， 依题意，，于是，即， 当且仅当时，上式等号成立. 因此，当这个矩形菜园是边长为的正方形时，所用篱笆最短，最短篱笆的长度为. 【经典例题十一 二次与二次(或一次)的商式的最值】 【例11】（23-24高一下·重庆沙坪坝·阶段练习）已知正数满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将目标式整理为齐次式，再结合均值不等式即可求得结果. 【详解】，因为，故， 则，当且仅当，也即取得等号， 故的最小值为. 故选：D. 1．（23-24高三上·河南漯河·期末）设正实数、、满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知条件可得出，利用基本不等式可求得的最大值. 【详解】因为正实数、、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最大值为. 故选：D. 2．（23-24高一下·贵州遵义·期中）已知，则的最小值是 ． 【答案】2 【分析】变形式子，由均值等式求最值即可. 【详解】因为， 所以， 当且仅当．即时，等号成立． 故答案为：2 3．（23-24高一上·辽宁沈阳·阶段练习）（1）已知，求的最小值； （2）已知，求的最大值. 【答案】（1）；（2）. 【分析】（1）二次除一次后，可直接用基本不等式求最值； （2）配凑法形成积定后即可用基本不等式求最值. 【详解】（1）因为且, 所以， 当且仅当，即时，y取到最小值. （2），，， ， 当且仅当时，即时取得等号， ，即最大值为. 【经典例题十二 条件等式求最值】 【例12】（23-24高三上·江苏南通·阶段练习）已知，，且，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】变形给定的等式，再利用基本不等式求解即得. 【详解】由，得，由，得， 所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为3. 故选：A 1．（2024高二下·安徽·学业考试）已知，且，则（    ） A．的最大值为1 B．的最小值为1 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】A 【分析】由基本不等式求解即可． 【详解】因为，且， 所以，当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为1， 而，且，故无最小值. 故选：A 2．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设正实数x，y，z满足，则当取得最大值时，的值为 ． 【答案】3 【分析】由条件等式结合基本不等式可求得取得最大值时所需满足的条件，进一步即可得解. 【详解】∵， ∴， ∵x，y，z均为正实数， ∴ 当且仅当，即，此时时取“=”， 故此时. 故答案为：3． 3．（2024高三·全国·专题练习）已知正数a，b，c满足，，求c的取值范围． 【答案】 【分析】利用基本不等式可求的取值范围，从而可求的取值范围. 【详解】因为a，b，c是正数，所以， 所以，所以，当且仅当时等号成立， 又因为，可得， 又因为，所以，所以的取值范围是． 【经典例题十三 基本不等式的恒成立问题】 【例13】（22-23高一上·江苏徐州·阶段练习）若对任意，恒成立，则a的最小值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】，换元令，．则原问题转化为任意，恒成立.变形，结合基本不等式求最值可解. 【详解】由于，则令，． 则原问题转化为任意，恒成立，即恒成立， 即恒成立. 由于，当且仅当，即取最值. 故，. 由于恒成立，，故a的最小值为. 故选：C. 1．（24-25高一上·山东济宁·阶段练习）设，若恒成立，则k的最大值为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】D 【分析】只需由基本不等式求出的最大值，即的最小值即可. 【详解】由于，则得到（当且仅当，即时，取等号）； 所以 又由恒成立，故，则k的最大值为8. 故选：D． 2．（24-25高一上·上海·课后作业）若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】先把恒成立问题转化为最值问题，再应用基本不等式求最小值即可. 【详解】因为不等式恒成立，则, 因为,所以，当且仅当取等号， 所以. 故答案为：. 3．（24-25高一上·上海·课后作业）设，且恒成立，求的取值范围． 【答案】． 【分析】恒成立问题转化为求最值问题，通过等价变形与配凑，可以使用基本不等式求最值即可求解 【详解】由知，，，． 要使不等式恒成立， 只需的最小值不小于即可． ∵ ． 当且仅当，即时，等号成立． ∴，即． 【经典例题十四 对勾函数求最值】 【例14】．（23-24高三上·陕西汉中·期中）下列函数中，最小值为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】运用基本不等式及对勾函数依次求各项的最小值即可. 【详解】对于A项，当时，，当且仅当即时取等号，当时，，当且仅当即时取等号，故A项不成立； 对于B项，因为，，所以，当且仅当即时取等号，故B项成立； 对于C项，令（），则， 所以，， 由对勾函数可知，在上单调递增， 所以当时，取得最小值为，故C项不成立； 对于D项，令（），则，， 由对勾函数可知，在上单调递减， 所以的值域为，此时函数在上无最小值，故D项不成立. 故选：B. 1．（21-22高二上·广西桂林·期末）已知，则的最小值为（    ） A．2 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】利用基本不等式求函数最小值，注意取值条件. 【详解】由，则，仅当时等号成立， 所以函数最小值为4. 故选：B 2．（23-24高一上·天津滨海新·期中）若函数在 时取得最小值，最小值为 . 【答案】 5 6 【分析】应用基本不等式求函数最小值，并确定取值条件即可得答案. 【详解】由题设，则， 当且仅当时等号成立，函数最小值为6. 故答案为：5，6 3．（23-24高一·全国·课堂例题）当利用基本不等式求最大（小）值时，若等号取不到，应如何处理？ 【答案】答案见解析 【详解】当等号取不到时，可利用函数的图象和性质等知识来求解．例如，求在时的最小值，令，画出函数图象如图所示，易知当时，.    【经典例题十五 基本(均值)不等式的应用】 【例15】（24-25高三上·广东·开学考试）若，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对进行变形，再利用不相等时，即可求出的范围. 【详解】由，则， 又，则， 又当时，， 因此可得，， 即，又， 因此可得， 故选：D 1．（23-24高二下·河北石家庄·期末）存在三个实数，使其分别满足下述两个等式： （1） （2） 其中M表示三个实数中的最小值，则（    ） A．M的最大值是 B．M的最大值是 C．M的最小值是 D．M的最小值是 【答案】B 【分析】由已知得，中必有个正数，1个负数，设，，则，根据基本不等式及不等式的性质即可求解． 【详解】由已知得，中必有个正数，1个负数， 设，，则， 因为，所以， 所以，即， 所以，由得，，即， 所以， 故选：B． 2．（25-26高一上·上海·课后作业）已知，则的最大值和最小值分别为 ． 【答案】9，1 【分析】分和结合基本不等式求出的范围，再由时，也存在满足的情况，从而可得，进而可求出的范围，则可求出其最值. 【详解】当时，，当且仅当时取等号． 当时，，当且仅当时取等号． 当时，也存在满足的情况， 所以， 由，得， 所以， 由，得， 所以， 当时取得最小值，当时取得最大值， 所以的最大值和最小值分别为9和1. 故答案为：9，1 3．（2024高三·全国·专题练习）已知，求的最大值． 【答案】 【分析】变形后，利用基本不等式求出最大值. 【详解】因为，所以， 由基本不等式得． 当且仅当，即“”时取“＝”，的最大值是． 1．（2025高三·全国·专题练习）若，那么下列不等式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用作差法判断AD，利用不等式的性质判断BC. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为，所以，故B错误； 对于C，因为，，，所以， 因为，，所以，所以，故C正确； 对于D，，故D正确. 故选：B 2．（24-25高一上·上海·随堂练习）若、、是互不相等的正数，且，则下列关系中可能成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式及已知条件得到，从而得到，即可判断. 【详解】∵、均为正数，且，∴． 又∵，∴．∵，∴，故排除A、B、D． 故选：C． 3．（23-24高一上·福建泉州·期末）已知，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接由作差法逐一判断即可. 【详解】对于A，由题意，即，故A错误； 对于B，由题意，即，故B错误； 对于C，由题意，即，故C正确； 对于D，由题意，即，故D错误. 故选：C. 4．（2025·甘肃张掖·模拟预测）已知，若成立，则实数的最小值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】令，，则，再用表示，依据基本不等式求的最值. 【详解】令，，则， 因为，所以， 因为，所以， 则， 当且仅当时取等号，所以的最小值为. 故选：C. 5．（2023高一上·全国·专题练习）当时，函数的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】使用变量分离，将化为，使用基本不等式解决. 【详解】因为，所以， 当且仅当 ，即时，等号成立． 故选：B． 6．（25-26高一上·全国·单元测试）下列命题叙述正确的是（    ） A．，当时， B．，当时， C．，当时， D．，当时， 【答案】CD 【分析】对于ABD选项，取特殊值进行判断；对于C选项，利用作差法比较大小. 【详解】对于A，取，满足，且， 此时，，故A错误； 对于B，取，满足， 此时，则，故B错误； 对于C，因为，当时，， 所以，则，故C正确； 对于D，存在，，满足，故D正确. 故选：CD. 7．（23-24高一上·江苏南通·期末）若，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】结合不等式的性质逐项判断即可得. 【详解】对A：取，，，，则，，故A错误； 对B：由，，则，则有，故B正确； 对C：由，，则，且等价于， 等价于，等价于，即C正确； 对D：由，，则， ，即等价于， 由，即等价于，等价于，即，故D正确. 故选：BCD. 8．（24-25高二上·浙江·开学考试）已知，且，以下说法正确的是（    ） A．中至少有一个不大于1 B． C． D．若，则 【答案】ABD 【分析】利用假设法可以判断A,利用基本不等式的性质可判断B,由可以判断C,可以判断D. 【详解】对于A,若均大于1,那么,矛盾, 所以中至少有一个不大于1,A正确. 对于B, , 当且仅当" "时,等号成立,B正确. 对于C, . 所以:,当且仅当,即时,等号成立,C错误. 对于D, , ,即,则,D正确. 故选：ABD. 9．（24-25高三上·湖南常德·阶段练习）已知且，则下列不等式恒成立的是（    ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．的最大值为1 D．的最小值为2 【答案】AC 【分析】利用基本不等式逐项判断即可. 【详解】对于A，， 所以，当且仅当时，等号成立，故A正确； 对于B，， 当且仅当时，时等号成立，故B错误； 对于C，，故，当且仅当时，等号成立，故C正确； 对于D，由A知，，故， 故，，当且仅当时，等号成立， 故的最大值为2，故D错误. 故选：AC 10．（2024·辽宁·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】对于ABC由基本不等式逐项验证，对于D，利用代入消元，借助二次函数求解. 【详解】对于A：，当且仅当时取等号，正确； 对于B：因为，所以当且仅当时取等号 所以，当且仅当时取等号，正确； 对于C: ，当且仅当时取等号，错误； 对于D:因为，所以 又，所以成立，正确 故选：ABD 11．（23-24高一上·广东广州·期末）两次购买同一种物品可以有两种不同的策略，设两次购物时价格分别为，甲策略是每次购买这种物品的数量一定，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数一定，则 种购物策略比较经济．（填“甲”或“乙”） 【答案】乙 【分析】由题意依次将两种策略两次购买物品的平均价格表示出来，用作差法比较大小即可. 【详解】设甲策略每次买件物品，乙策略是每次购买这种物品所花的钱数为元， 则甲策略两次购买物品的平均价格为，乙策略两次购买物品的平均价格为， 所以，即， 所以乙种购物策略比较经济. 故答案为：乙. 12．（20-21高二·江苏·单元测试）设a，b，c是互不相等的正数，则在四个不等式： （1）；      （2）； （3）；          （4） 其中恒成立的有 （把你认为正确的答案的序号都填上） 【答案】（1）（2）（4） 【解析】根据不等式的性质判断（1）（4），根据的单调性证明，取特殊值判断（3）. 【详解】（1），故（1）恒成立 （2）由于函数在单调递减，在单调递增 当a＞1时，a2＞a＞1，f（a2）＞f（a）即， 当0＜a＜1，0＜a2＜a＜1，f（a2）＞f（a）即 当a＝1， 故（2）恒成立； （3）若a﹣b＝﹣1，则该不等式不成立，故（3）不恒成立； （4）由于．故C恒成立． 故答案为 ：（1）（2）（4） 【点睛】本题主要考查了不等式的性质的应用，属于中档题. 13．（24-25高一上·上海·课堂例题）（1）已知，则取得最大值时，的值为 . （2）已知，则的最大值为 . （3）已知，则的最小值为 . 【答案】 1 6 【分析】（1）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （2）运用配凑法得，再用基本不等式即可求解. （3）用分离常数法得，再用基本不等式即可求解. 【详解】（1），，， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 故所求的值为. （2），，即， 则 ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最大值为1. （3）， ， 当且仅当，即时，取等号. 故的最小值为. 故答案为：. 14．（23-24高二下·安徽马鞍山·阶段练习）若对于任意，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是 . 【答案】 【分析】由题意结合基本不等式求出即可. 【详解】由题意可得当时，恒成立， 因为，当且仅当即时取等号， 所以，即实数的取值范围是， 故答案为：. 15．（24-25高一上·上海·随堂练习）若一个三角形的三边长分别为a，b，c，记，则此三角形面积，这是著名的海伦公式．已知△ABC的周长为9，，则的值为 ，△ABC的面积的最大值为 ． 【答案】 2 . 【分析】由海伦公式及基本不等式求解即可 【详解】解：，， 则周长， 故； ． 等号成立时，，即， 故答案为：2， 16．（2024高三·全国·专题练习）设表示中较大的数，表示中较小的数．例如．现在，关于四个不同的实数有下面关系：．试比较的大小． 【答案】 【分析】根据新定义即可得解. 【详解】依题意， 设，， 则． 另外，因为，所以， 因而， 从而． 17．（2023高一上·安徽·竞赛）（1）已知，求证； （2）利用（1）的结论，证明：（且）. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【分析】（1）作差法比较出大小； （2）在（1）的基础上，得到，利用放缩法证明出，得到答案. 【详解】（1）证明：因为，所以， 于是. （2）即证（且）， 由（1）式可知，， 故 （且）， （且）， 即（且），原式得证. 18．（24-25高一上·上海·期中）已知a、b、c、，证明下列不等式，并指出等号成立的条件： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析，当且仅当 (2)证明见解析，当且仅当 【分析】（1）利用作差法证明； （2）利用基本不等式证明； 【详解】（1）因为， ， ， 所以成立； 当且仅当时，等号成立； （2）， ． 所以． 当且仅当时，等号成立． 19．（20-21高一·全国·课后作业）若对任意实数x，不等式恒成立，求实数k的取值范围． 【答案】 【分析】令，当时，，利用基本不等式和不等式的性质求出的范围，再代入，最终可求出的值域，再根据即可得实数k的取值范围． 【详解】令 当时， 当时， ，当且仅当时等号成立 或 即或 或 或 综合得 因为不等式恒成立， 则 . 20．（22-23高一上·全国·课后作业）已知x∈（0，+∞）. (1)求的值域； (2)求的最小值，以及y取得最小值时x的值. 【答案】(1)[2，+∞） (2)最小值2+2， 【分析】（1）由题意利用基本不等式即可求解． （2）由已知可得y2+（x），利用基本不等式即可求解． 【详解】（1）因为x∈（0，+∞）， 所以， 取等号条件：x，x2＝1． 因为x∈（0，+∞）， 所以x＝1， 所以函数的值域为[2，+∞）． （2）y2+（x）， 因为x∈（0，+∞）， 所以x2， 所以y＝2+（x）≥2+2，取等号条件：x，x2＝3， 因为x∈（0，+∞）， 所以，当时，该函数取最小值2+2． 学科网（北京）股份有限公司 $$