第16章 整式的乘法（分层培优）-2025-2026学年八年级上册数学人教版（2024）

第16章 整式的乘法 一．选择题（共9小题） 1．（2025春•芗城区校级期中）下列计算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．（a3）2＝a9 C．a10÷a2＝a8 D．a3+a3＝a6 2．（2025春•芗城区校级期中）若（x﹣4）（x+9）＝x2+ax﹣36，则a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．﹣13 D．5 3．（2025春•淮北期中）下列运算错误的是（　　） A．（﹣a2）3＝﹣a6 B．a6÷a2＝a4 C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D．a3+2a3＝3a3 4．（2025春•淮北期中）下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（m+25）（m﹣24） B．（m﹣25）（﹣m﹣25） C．（m﹣25）（﹣m+24） D．（25﹣m）（m﹣25） 5．（2025春•顺德区校级月考）下列各式运算正确的是（　　） A．（﹣a2）4＝﹣a8 B．a2•a3＝a6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a8÷a2＝a6 6．（2025•福建模拟）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（﹣3a）2＝9a2 D．a8÷a2＝a4 7．（2025•西乡塘区校级三模）下列运算正确的是（　　） A．3a2•a＝3a3 B．（a2）3＝a5 C．a3+a3＝a6 D．a6+a2＝a8 8．（2025春•秦淮区期末）下列计算正确的是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b2 C．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2 D．（﹣a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b2 9．（2025春•双流区校级期中）为了应用平方差公式计算（x+y+z）（y﹣x﹣z），下列变形正确的是（　　） A．[x﹣（y+z）]2 B．[x+（y+z）][x﹣（y+z）] C．[y+（x+z）][y﹣（x+z）] D．[z+（x+y）][z﹣（x+y）] 二．填空题（共6小题） 10．（2025•太原二模）计算：（a+3）（a﹣3）的结果是　 　 ． 11．（2025春•郑州校级期中）利用平方差公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝　 　 ． 12．（2025春•涪城区期中）计算（6ab2﹣4a2b）•3ab的结果是 　 　 ． 13．（2025春•双流区校级期中）如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式 　 　 ． 14．（2025春•杭州月考）计算：12x6÷（﹣3x2）＝ 　 　 ． 15．（2025春•锦江区校级期中）若x2+xy＝7﹣a，y2+xy＝8+a，则（x+y）2＝　 　 ． 三．解答题（共8小题） 16．（2025春•邗江区校级期中）（1）（a﹣2）2﹣（2a﹣1）（a﹣4）； （2）0.252024×42025﹣8100×0.5300． 17．（2025春•常州期中）有一块长为（5a﹣2b）米，宽为（a+2b）米的长方形空地，规划部门计划在这块地的中间留出一块边长为（2a+b）米的正方形地来修建喷泉，剩余部分进行绿化．求绿化部分的面积是多少平方米？ 18．（2025春•亭湖区校级期中）已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105． 猜想：109×1010＝　 　 ； 10m×10n＝　 　 （m、n均为正整数）； 运用上述结论计算下列各式． （1）（1.5×104）×（1.2×105）； （2）（﹣6.4×106）×（﹣2.58×103）． 19．（2025春•莱芜区期中）通过《整式的乘除》的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；如图2可以得到：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；现有长与宽分别为a、b的4个小长方形，拼成了如图3的形状． （1）【探索发现】根据图3，写出（a+b）2与（a﹣b）2之间的关系（用含a、b的代数式表示出来）：　 　 ； （2）【解决问题】若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy的值； （3）【拓展提升】如图4，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，延长GB和ED交于点H，得到长方形DCBH，若AB＝10，图中阴影部分面积为18，求两个正方形的面积之和S1+S2的值． 20．（2024秋•潮阳区期末）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】 （1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 　 　 ； ②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝　 　 ； 【迁移应用】 （2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一块三角板的面积． 21．（2025春•江阴市期中）计算： （1）（3x﹣2y）2﹣（3x﹣2y）（3x+2y）； （2）2482+522+2×248×52． 22．（2025春•长安区期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为（a+b）2＝a2+b2+2ab， 所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×1＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x﹣y＝6，x2+y2＝24，求xy的值； （2）如图，C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝54，求△ACF的面积． 23．（2025春•丰县期中）用简便方法计算： （1）9982﹣997×999； （2）． 第16章 整式的乘法 参考答案与试题解析 一．选择题（共9小题） 1．（2025春•芗城区校级期中）下列计算正确的是（　　） A．a3•a2＝a6 B．（a3）2＝a9 C．a10÷a2＝a8 D．a3+a3＝a6 【考点】同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【专题】整式；运算能力． 【答案】C 【分析】根据同底数幂的除法运算法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法运算法则，积的乘方运算法则进行计算即可． 【解答】解：A．a3•a2＝a5，故选项A错误； B．（a3）2＝a6，故选项B错误； C．a10÷a2＝a8，故选项C正确； D．a3+a3＝2a3，故选项D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，积的乘方，掌握同底数幂的除法运算法则，合并同类项法则，同底数幂的乘法运算法则，积的乘方运算法则是解题的关键． 2．（2025春•芗城区校级期中）若（x﹣4）（x+9）＝x2+ax﹣36，则a的值为（　　） A．﹣4 B．﹣1 C．﹣13 D．5 【考点】多项式乘多项式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】D 【分析】先根据多项式乘以多项式的计算法则计算，然后对比即可解答． 【解答】解：（x﹣4）（x+9）＝x2+5x﹣36＝x2+ax﹣36， 即a＝5． 故选：D． 【点评】本题主要考查了多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式运算法则是关键． 3．（2025春•淮北期中）下列运算错误的是（　　） A．（﹣a2）3＝﹣a6 B．a6÷a2＝a4 C．（a﹣2）2＝a2﹣4 D．a3+2a3＝3a3 【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式，幂的乘方法则，同底数幂除法法则，合并同类项法则逐项判断即可． 【解答】解：（﹣a2）3＝﹣a6，则A不符合题意， a6÷a2＝a4，则B不符合题意， （a﹣2）2＝a2﹣4a+4，则C符合题意， a3+2a3＝3a3，则D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查完全平方公式，幂的乘方，同底数幂除法，合并同类项，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 4．（2025春•淮北期中）下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是（　　） A．（m+25）（m﹣24） B．（m﹣25）（﹣m﹣25） C．（m﹣25）（﹣m+24） D．（25﹣m）（m﹣25） 【考点】平方差公式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】B 【分析】平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可． 【解答】解：（m+25）（m﹣24）不能用平方差公式计算，则A不符合题意， （m﹣25）（﹣m﹣25）能用平方差公式计算，则B符合题意， （m﹣25）（﹣m+24）不能用平方差公式计算，则CA不符合题意， （25﹣m）（m﹣25）不能用平方差公式计算，则D不符合题意， 故选：B． 【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握其表现形式是解题的关键． 5．（2025春•顺德区校级月考）下列各式运算正确的是（　　） A．（﹣a2）4＝﹣a8 B．a2•a3＝a6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．a8÷a2＝a6 【考点】完全平方公式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】D 【分析】利用完全平方公式，同底数幂乘法及除法，幂的乘方法则逐项判断即可． 【解答】解：（﹣a2）4＝a8，则A不符合题意， a2•a3＝a5，则B不符合题意， （a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则C不符合题意， a8÷a2＝a6，则D符合题意， 故选：D． 【点评】本题考查完全平方公式，同底数幂乘法及除法，幂的乘方，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 6．（2025•福建模拟）下列运算正确的是（　　） A．a2+a3＝a5 B．（a﹣b）2＝a2﹣b2 C．（﹣3a）2＝9a2 D．a8÷a2＝a4 【考点】完全平方公式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；同底数幂的除法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则判断选项A；根据完全平方公式判断选项B；根据积的乘方运算法则判断选项C；根据同底数幂的除法运算法则判断选项D即可． 【解答】解：A．a2与a3不是同类项，不能合并，故选项A错误； B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故选项B错误； C．（﹣3a）2＝9a2，故选项C正确； D．a8÷a2＝a6，故选项D错误． 故选：C． 【点评】本题考查了完全平方公式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的除法，掌握完全平方公式，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则，同底数幂的除法运算法则是解题的关键． 7．（2025•西乡塘区校级三模）下列运算正确的是（　　） A．3a2•a＝3a3 B．（a2）3＝a5 C．a3+a3＝a6 D．a6+a2＝a8 【考点】单项式乘单项式；合并同类项；幂的乘方与积的乘方． 【专题】整式． 【答案】A 【分析】根据单项式乘单项式的运算法则判断选项A；根据幂的乘方运算法则判断选项B；根据合并同类项法则判断选项C；根据合并同类项法则判断选项D即可． 【解答】解：A.3a2•a＝3a3，故选项A正确； B．（a2）3＝a6，故选项B错误； C．a3+a3＝2a3，故选项C错误； D．a6与a2不是同类项，不能合并，故选项D错误． 故选：A． 【点评】本题考查了单项式乘单项式，合并同类项，幂的乘方与积的乘方，掌握单项式乘单项式运算法则，合并同类项法则，幂的乘方与积的乘方运算法则是解题的关键． 8．（2025春•秦淮区期末）下列计算正确的是（　　） A．（a﹣b）2＝a2﹣b2 B．（a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b2 C．（﹣a﹣b）2＝a2+2ab+b2 D．（﹣a﹣b）2＝a2﹣2ab﹣b2 【考点】完全平方公式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】C 【分析】利用完全平方公式进行判断即可． 【解答】解：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，则A，B不符合题意， （﹣a﹣b）2＝（a+b）2＝a2+2ab+b2，则C符合题意，D不符合题意， 故选：C． 【点评】本题考查完全平方公式，熟练掌握该公式是解题的关键． 9．（2025春•双流区校级期中）为了应用平方差公式计算（x+y+z）（y﹣x﹣z），下列变形正确的是（　　） A．[x﹣（y+z）]2 B．[x+（y+z）][x﹣（y+z）] C．[y+（x+z）][y﹣（x+z）] D．[z+（x+y）][z﹣（x+y）] 【考点】平方差公式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】C 【分析】根据平方差公式的特征对其进行添括号即可判断． 【解答】解：原式＝[y+（x+z）][y﹣（x+z）]． 故选：C． 【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的定义是关键． 二．填空题（共6小题） 10．（2025•太原二模）计算：（a+3）（a﹣3）的结果是　a2﹣9　 ． 【考点】平方差公式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】a2﹣9． 【分析】根据平方差公式解答即可． 【解答】解：（a+3）（a﹣3）＝a2﹣32＝a2﹣9． 故答案为：a2﹣9． 【点评】本题考查平方差公式，熟练掌握（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2是解题的关键． 11．（2025春•郑州校级期中）利用平方差公式计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）＝　216﹣1　 ． 【考点】平方差公式． 【专题】实数；运算能力． 【答案】216﹣1． 【分析】根据平方差公式即可求解； 【解答】解：原式＝（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1） ＝（24﹣1）（24+1）（28+1） ＝（28﹣1）（28+1） ＝216﹣1． 故答案为：216﹣1． 【点评】本题考查了平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是关键． 12．（2025春•涪城区期中）计算（6ab2﹣4a2b）•3ab的结果是 　18a2b3﹣12a3b2　 ． 【考点】单项式乘多项式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】18a2b3﹣12a3b2． 【分析】运用多项式乘单项式的计算方法进行计算、求解． 【解答】解：（6ab2﹣4a2b）•3ab ＝6ab2•3ab﹣4a2b•3ab ＝18a2b3﹣12a3b2， 故答案为：18a2b3﹣12a3b2． 【点评】此题考查了多项式乘单项式的计算能力，关键是能准确理解并运用该知识进行正确地计算． 13．（2025春•双流区校级期中）如图，将分割的正方形阴影部分拼接成长方形的方案中，可以验证哪个公式 　a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）　 ． 【考点】平方差公式的几何背景． 【专题】整式；运算能力． 【答案】a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【分析】用代数式表示两个图形中阴影部分的面积即可． 【解答】解：左图阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即a2﹣b2，拼成的右图是长为a+b，宽为a﹣b的长方形，因此面积为（a+b）（a﹣b）， 所以有a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）， 故答案为：a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b）． 【点评】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 14．（2025春•杭州月考）计算：12x6÷（﹣3x2）＝ 　﹣4x4　 ． 【考点】整式的除法． 【专题】整式；运算能力． 【答案】﹣4x4． 【分析】利用单项式除以单项式法则计算即可． 【解答】解：原式＝﹣4x4， 故答案为：﹣4x4． 【点评】本题考查整式的除法，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 15．（2025春•锦江区校级期中）若x2+xy＝7﹣a，y2+xy＝8+a，则（x+y）2＝　15　 ． 【考点】完全平方公式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】15． 【分析】根据已知，x2+xy＝7﹣a①，y2+xy＝8+a②，①+②，得x2+2xy+y2＝15，由完全平方公式即可得（x+y）2的值． 【解答】解：∵x2+xy＝7﹣a①，y2+xy＝8+a②， ∴①+②，得x2+2xy+y2＝15， ∴（x+y）2＝15． 故答案为：15． 【点评】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方公式是解题的关键． 三．解答题（共8小题） 16．（2025春•邗江区校级期中）（1）（a﹣2）2﹣（2a﹣1）（a﹣4）； （2）0.252024×42025﹣8100×0.5300． 【考点】完全平方公式；幂的乘方与积的乘方；多项式乘多项式． 【专题】计算题；应用意识． 【答案】（1）﹣a2+5a；（2）3． 【分析】（1）根据整式的混合运算法则进行计算即可； （2）先变形再进行计算即可． 【解答】解：（1）原式＝（a2﹣4a+4）﹣（2a2﹣8a﹣a+4） ＝a2﹣4a+4﹣2a2+8a+a﹣4 ＝﹣a2+5a； （2）原式＝（0.25×4）2024×4﹣2300×0.5300 ＝4﹣（2×0.5）300 ＝4﹣1 ＝3． 【点评】本题主要考查幂的乘方与积的乘方、完全平方公式、多项式乘多项式，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 17．（2025春•常州期中）有一块长为（5a﹣2b）米，宽为（a+2b）米的长方形空地，规划部门计划在这块地的中间留出一块边长为（2a+b）米的正方形地来修建喷泉，剩余部分进行绿化．求绿化部分的面积是多少平方米？ 【考点】完全平方公式的几何背景；多项式乘多项式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】（a2+4ab﹣5b2）平方米． 【分析】根据多项式乘多项式以及完全平方公式的计算方法进行计算即可． 【解答】解：（5a﹣2b）（a+2b）﹣（2a+b）2 ＝5a2+8ab﹣4b2﹣4a2﹣4ab﹣b2 ＝（a2+4ab﹣5b2）平方米， 答：绿化部分的面积是（a2+4ab﹣5b2）平方米． 【点评】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式，掌握多项式乘多项式的计算方法以及完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 18．（2025春•亭湖区校级期中）已知10×102＝1000＝103，102×102＝10000＝104，102×103＝100000＝105． 猜想：109×1010＝　1019　 ； 10m×10n＝　10m+n　 （m、n均为正整数）； 运用上述结论计算下列各式． （1）（1.5×104）×（1.2×105）； （2）（﹣6.4×106）×（﹣2.58×103）． 【考点】同底数幂的乘法；科学记数法—表示较大的数． 【专题】整式；运算能力． 【答案】1019；10m+n；（1）1.8×109；（2）1.6512×1010． 【分析】由已知得到同底数的幂相乘，底数不变，指数相加即可解答前两个空； （1）根据上面的计算做出乘方的计算，注意将结果写为科学记数法的形式； （2）根据上面的计算做出乘方的计算，注意将结果写为科学记数法的形式． 【解答】解：根据同底数的幂相乘，底数不变，指数相加可得， 109×1010＝1010+9＝1019； 10m×10n＝10m+n； 故答案为：1019；10m+n； （1）（1.5×104）×（1.2×105） ＝（1.5×1.2）×（104×105） ＝1.8×109； （2）（﹣6.4×106）×（﹣2.58×103） ＝（6.4×2.58）×（106×103） ＝（6.4×2.58）×109 ＝1.6512×1010． 【点评】本题考查了有理数的乘法与乘方，掌握乘方的计算方法是关键． 19．（2025春•莱芜区期中）通过《整式的乘除》的学习，我们已经知道，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式．如图1可以得到a2+b2＝（a+b）2﹣2ab；如图2可以得到：（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2；现有长与宽分别为a、b的4个小长方形，拼成了如图3的形状． （1）【探索发现】根据图3，写出（a+b）2与（a﹣b）2之间的关系（用含a、b的代数式表示出来）：　（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab　 ； （2）【解决问题】若x+y＝6，x2+y2＝20，求xy的值； （3）【拓展提升】如图4，点C是线段AB上的一点，以AC，BC为边向两边作正方形ACDE和BCFG，延长GB和ED交于点H，得到长方形DCBH，若AB＝10，图中阴影部分面积为18，求两个正方形的面积之和S1+S2的值． 【考点】完全平方公式的几何背景． 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （2）8． （3）64． 【分析】（1）用代数式表示图中各个部分的面积，由面积之间的和差关系即可得出答案； （2）利用（x+y）2＝x2+2xy+y2代入计算即可； （3）设AC＝a，BC＝b，由题意得a+b＝10，ab＝38，根据（a+b）2＝a2+2ab+b2求出a2+b2的值即可． 【解答】解：（1）图3整体上是边长为a+b的正方形，因此面积为（a+b）2，图3中间小正方形的边长为a﹣b，因此面积为（a﹣b）2，四个长方形的面积和为4ab， 所以有（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab， 故答案为：（a﹣b）2＝（a+b）2﹣4ab； （2）∵（x+y）2＝x2+2xy+y2， ∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）， ∵x+y＝6，x2+y2＝20， ∴2xy＝（x+y）2﹣（x2+y2）＝62﹣20＝16， ∴xy＝8； （3）设AC＝a，BC＝b， ∵AB＝10， ∴a+b＝10， ∵图中阴影部分面积为18， ∴ab＝18， ∵四边形ACDE和BCFG均为正方形， ∴， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2， ∴S1+S2＝a2+b2 ＝（a+b）2﹣2ab ＝102﹣2×18 ＝64， 即S1+S2＝64． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 20．（2024秋•潮阳区期末）【阅读理解】我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到（a+b）2＝a2+2ab+b2，基于此，请解答下列问题： 【类比应用】 （1）①若xy＝8，x+y＝6，则x2+y2的值为 　20　 ； ②若x（5﹣x）＝6，则x2+（5﹣x）2＝　13　 ； 【迁移应用】 （2）两块完全相同的特制直角三角板（∠AOB＝∠COD＝90°）如图2所示放置，其中A，O，D在一直线上，连接AC，BD，若AD＝14，S△AOC+S△BOD＝54，求一块三角板的面积． 【考点】完全平方公式的几何背景；单项式乘多项式． 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）①20，②13； （2）22． 【分析】（1）①利用（a+b）2＝a2+2ab+b2计算即可； ②令a＝x，b＝5﹣x，从而得到a、b的和与积，再利用（a+b）2＝a2+2ab+b2计算即可； （2）将三角板的两直角边分别用字母表示出来，从而写出这两个字母的和、平方和，利用题目中给出的等式计算这两个字母的积，进而求出一块三角板的面积． 【解答】解：（1）①由题意可知，x2+y2＝（x+y）2﹣2xy， ∵xy＝8，x+y＝6， ∴x2+y2＝62﹣2×8＝20， 故答案为：20． ②令a＝x，b＝5﹣x， ∴a+b＝5，ab＝6， ∴x2+（5﹣x）2＝a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝52﹣2×6＝13， 故答案为：13． （2）设三角板的两条直角边AO＝m，BO＝n，则一块三角板的面积为mn， ∴m+n＝14，（m2+n2）＝54，即m2+n2＝108， ∵2mn＝（m+n）2﹣（m2+n2）＝142﹣108＝88， ∴mn＝44， ∴mn44＝22， ∴一块三角板的面积是22． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握并灵活运用完全平方公式是本题的关键． 21．（2025春•江阴市期中）计算： （1）（3x﹣2y）2﹣（3x﹣2y）（3x+2y）； （2）2482+522+2×248×52． 【考点】平方差公式；完全平方公式． 【专题】计算题；整式；运算能力． 【答案】（1）﹣12xy+8y2； （2）90000． 【分析】（1）根据完全平方公式，平方差公式展开，再合并同类项即可求解； （2）根据完全平方公式计算即可求解． 【解答】解：（1）（3x﹣2y）2﹣（3x﹣2y）（3x+2y） ＝9x2﹣12xy+4y2﹣9x2+4y2 ＝﹣12xy+8y2； （2）2482+522+2×248×52 ＝（248+52）2 ＝3002 ＝90000． 【点评】本题主要考查了平方差公式和完全平方公式，运用平方差公式计算时，关键要找相同项和相反项，其结果是相同项的平方减去相反项的平方．完全平方公式：（a±b）2＝a2±2ab+b2．可巧记为：“首平方，末平方，首末两倍中间放”． 22．（2025春•长安区期中）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题，例如：若a+b＝3，ab＝1，求a2+b2的值． 解：因为（a+b）2＝a2+b2+2ab， 所以a2+b2＝（a+b）2﹣2ab＝32﹣2×1＝7． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： （1）若x﹣y＝6，x2+y2＝24，求xy的值； （2）如图，C是线段AB上的一点，以AC、BC为边向两边作正方形，设AB＝8，两正方形的面积和S1+S2＝54，求△ACF的面积． 【考点】完全平方公式的几何背景． 【专题】整式；运算能力． 【答案】（1）﹣6； （2）． 【分析】（1）根据（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2代入计算即可； （2）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，根据题意得a+b＝8，a2+b2＝54，由（a+b）2＝a2+2ab+b2，求出ab的值即可． 【解答】解：（1）∵x﹣y＝6，x2+y2＝24，而（x﹣y）2＝x2﹣2xy+y2， ∴36＝24﹣2xy， ∴xy＝﹣6；（2）设正方形ACDE的边长为a，正方形BCFG的边长为b，则a+b＝AB＝8，S1+S2＝54，即a2+b2＝54， ∵（a+b）2＝a2+2ab+b2，即64＝54+2ab， ∴ab＝5， ∴△ACF的面积为ab． 【点评】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 23．（2025春•丰县期中）用简便方法计算： （1）9982﹣997×999； （2）． 【考点】平方差公式；幂的乘方与积的乘方． 【专题】实数；运算能力． 【答案】（1）1； （2）﹣1． 【分析】（1）根据式子特点，把原式变形为9982﹣（998﹣1）（998+1），然后再根据平方差公式进行计算即可； （2）根据积的乘方逆运算，得出，即可得出答案． 【解答】解：（1）9982﹣997×999 ＝9982﹣（998﹣1）（998+1） ＝9982﹣（9982﹣1） ＝9982﹣9982+1 ＝1； （2） ＝（﹣1）2025 ＝﹣1． 【点评】本题考查了平方差公式，幂的乘方与积的乘方，掌握平方差公式，积的乘方运算法则是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$