第2章 综合 融通(一) 匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式（课件PPT）-【新课程学案】2025-2026学年高中物理必修第一册（人教版）

匀变速直线运动的平均速度公式和位移差公式(融会课——主题串知综合应用) 综合•融通(一) 解答匀变速直线运动问题，只掌握前面学习的三个基本公式还远远不够，还应掌握平均速度公式、位移中点的瞬时速度公式和位移差公式Δx=aT2，并会灵活应用它们解决相关问题。通过本节课的学习要熟练掌握这些规律和方法。 主题(一)　匀变速直线运动的平均速度公式 主题(二)　位移中点的瞬时速度公式 01 02 CONTENTS 目录 主题(三)　位移差公式的应用 课时跟踪检测 03 04 主题(一)　匀变速直线运动的平均速度公式 1.表述：匀变速直线运动中任意一段时间t内的平均速度等于该段时间的中间时刻的瞬时速度，还等于该段时间初、末速度矢量和的一半。 2.表达式：==。 知能融会通 3.推导：设物体做匀变速直线运动的初速度为v0，加速度为a，t时刻的速度为v 由x=v0t+at2得平均速度==v0+at① 由v=v0+at知，当t'=时有=v0+a·② 由①②得= 又v=+a·③ 由②③解得= 综上所述有==。 特别提醒：公式== 只适用于匀变速直线运动，= 适用于所有运动。 [典例]　某汽车从车站由静止开出，做匀加速直线运动，运动了12 s时，发现还有乘客没上车，于是汽车立即做匀减速运动至停下，共历时20 s，运动了50 m，求汽车在上述运动中的最大速度。 [答案]　5 m/s [解析]　法一：基本公式法 设最大速度为vmax， 由题意得x=x1+x2=a1+vmaxt2-a2， t=t1+t2，vmax=a1t1，0=vmax-a2t2， 解得vmax===5 m/s。 法二：平均速度法 由于汽车在前、后两阶段均做匀变速直线运动，故前、后两阶段的平均速度均为最大速度vmax的一半， 即==，由x=t得vmax==5 m/s。 1.(2024·海南高考)商场自动感应门如图所示，人走近时两扇门从静止开始同时向左右平移，经4 s恰好完全打开，两扇门移动距离均为2 m，若门从静止开始以相同加速度大小先匀加速运动后匀减速运动，完全打开时速度恰好为0，则加速度的大小为 (　 ) A.1.25 m/s2 B.1 m/s2 C.0.5 m/s2 D.0.25 m/s2 √ 题点全练清 解析：设门的最大速度为v，根据匀变速直线运动的规律可知，加速过程和减速过程的平均速度大小均为，且运动时间相等均为t= s= 2 s，根据x=×2t，解得v=1 m/s，则加速度a==0.5 m/s2。故选C。 2.一个做匀加速直线运动的物体，先后经过A、B两位置时的速度分别为v和7v，通过AB段的时间是t，则 (　 ) A.AB段的位移大小是4vt B.经过AB段中间时刻的速度是3.5v C.经过AB段中间位置的速度是4.5v D.后一半时间的位移是前一半时间位移的3倍 √ 解析：利用平均速度解决匀变速直线运动问题，经过AB段中间时刻的速度等于该过程平均速度为v1==4v，则AB段的位移大小是x=v1t=4vt，故A正确，B错误；根据速度与位移的关系式有-v2=ax，-=ax，解得v2=5v，故C错误；结合上述，前一半时间的位移x1=t1=2.5vt1，后一半时间的位移x2=t1=5.5vt1，解得=，故D错误。 主题(二)　位移中点的瞬时速度公式 1.表述：匀变速直线运动中，任意一段位移中点位置的瞬时速度等于该段位移初速度v0和末速度v平方和一半的平方根。 2.表达式：= 。 知能融会通 3.推导：如图所示，前一半位移-=2a·，后一半位移v2-=2a·，所以有=·(+v2)，即有= 。 4.对位移中点的瞬时速度公式的理解 (1)如果物体从A到B做匀减速直线运动，初速度为v0，加速度为a，末速度为vt，位移为x，那么结论=仍然成立。 (2)物体做匀变速直线运动，在t0时间内通过的位移为x，它在位移中点位置的速度为v1，在中间时刻的速度为v2，因v1=， v2=-=>0，故不管是匀加速直线运动，还是匀减速直线运动，均有v1>v2。还可运用如图所示的图像来说明。 1.(2025·江苏无锡期末)已知一送餐机器人以初速度v匀减速至目的地送餐，运动时间为t，则 (　 ) A.该机器人在位移中点的速度为v B.该机器人在中间时刻的速度为v C.该机器人在这段时间内前进的距离为vt D.该机器人在前一半时间内和后一半时间内前进的位移之比为2∶1 √ 题点全练清 解析：该机器人在位移中点的速度为==v，A错误；该机器人在中间时刻的速度为==，B错误；该机器人在这段时间内前进的距离为x=t=vt，C正确；根据初速度为零的匀变速直线运动的位移比例关系，该机器人在前一半时间内和后一半时间内前进的位移之比为3∶1，D错误。 2.一列从车站开出的火车，在平直轨道上做匀加速直线运动，已知这列火车的长度为l，火车头经过某路标时的速度为v1，而车尾经过此路标时的速度为v2，求： (1)火车的加速度大小a； 答案：　 解析：火车的运动情况可以等效成一个质点做匀加速直线运动，某一时刻速度为v1，前进位移l，速度变为v2，所求的v是经过处的速度，其运动简图如图所示。 由匀加速直线运动的规律得-=2al，即a=。 (2)火车中点经过此路标时的速度大小v； 答案：　 解析：对于前一半位移，有v2-=2a· 对于后一半位移，有-v2=2a· 所以有v2-=-v2，故v=。 (3)整列火车通过此路标所用的时间t。 答案： 解析：火车的平均速度= 故所有时间t==。 主题(三)　位移差公式的应用 (一)位移差公式Δx=aT2 1.内容：做匀变速直线运动的物体，在任意两个连续相等的时间T内的位移差恒定，即Δx=aT2。 2.推导：如图，x1=v0T+aT2，x2=v1T+aT2，所以Δx=x2-x1=(v1-v0)T=aT2。 同理，对于不相邻的任意相等时间间隔T内的两段位移：xm-xn=(m-n)aT2，其中m>n。 3.应用 (1)判断物体是否做匀变速直线运动 推论只适用于匀变速直线运动，如果Δx=x2-x1=x3-x2=…=xn-=aT2总成立，则a为一恒量，说明物体做匀变速直线运动。 (2)求加速度：利用Δx=aT2，可求得a=。 [例1]　一物体做匀变速直线运动，在连续相等的两个时间间隔内通过的位移分别是24 m和64 m，每一个时间间隔为4 s，求物体的初速度vA、末速度vC及加速度a。 [答案]　1 m/s　21 m/s　2.5 m/s2 [解析]　法一：平均速度公式法 连续两段时间T内的平均速度分别为== m/s=6 m/s，== m/s=16 m/s。设A、B的中间时刻为D，B、C的中间时刻为E，则vD=，vE=。由于B是A、C的中间时刻，则==，vB=，又vB=，联立以上各式，解得vA=1 m/s，vC=21 m/s，其加速度a== m/s2=2.5 m/s2。 法二：逐差相等公式法 由Δx=aT2，可得a== m/s2=2.5 m/s2，又x1=vAT+aT2，vC=vA+a·2T，解得vA=1 m/s，vC=21 m/s。 [针对训练] 1.(2025·山东菏泽期末)不少市民在菏泽的 马路上看到过这种四四方方、长相“呆萌”的快 递车，这是菏泽第一批无人驾驶快递车。某无 人驾驶快递车在某路段做匀加速直线运动时， 连续通过两段位移x1和x2，这两个过程该车的速度变化量均为Δv，则该车通过这两段位移全过程的平均速度为(　 ) A. B. C. D. √ 解析：该车做匀加速直线运动，两个过程该车的速度变化量均为Δv，可知两段过程的时间相同，设为T，则aT=Δv，x2-x1=aT2，解得T=，则该车通过这两段位移全过程的平均速度为== ，故选A。 (二)逐差法求纸带的加速度 1.纸带上提供的数据为偶数段 (1)若已知连续相等时间内的两段位移 由x2-x1=aT2，得a=。 (2)若已知连续相等时间内的四段位移 可以简化成两大段AC、CE研究 xⅠ=x1+x2 xⅡ=x3+x4 tAC=tCE=2T a==。 (3)若已知连续相等时间内的六段位移 可以简化成两大段AD、DG研究 xⅠ=x1+x2+x3，xⅡ=x4+x5+x6 a==。 2.纸带上提供的数据为奇数段 若第一段位移较小，读数误差较大，可以舍去第一段；也可以先舍去中间的一段的数据，选取偶数段数据再利用上述方法求解，例如已知连续相等时间段的五段位移。 xⅠ=x1+x2，xⅡ=x4+x5 a==。 [例2]　某小组用打点计时器研究小车的匀变速直线运动，该打点计时器电源的频率为50 Hz，在打好的纸带上每5个点标记一个计数点，标记结果如图所示。A、B、C、D为连续选择的计数点，其位置分别为20.0 mm、34.0 mm、53.0 mm和77.0 mm。求： (1)打B点时小车的速度大小； [答案]　 0.165 m/s [解析]　打点计时器的打点周期为T==0.02 s，相邻两计数点之间的时间间隔t=5T=0.1 s。 在匀变速直线运动中，中间时刻速度等于平均速度，所以打B点时小车的速度为vB==×10-3 m/s=0.165 m/s。 (2)小车运动的加速度大小。 [答案]　0.5 m/s2 [解析]　根据逐差法求解加速度a==×10-3 m/s2=0.5 m/s2。 [思维建模] 处理纸带数据的方法 处理纸带数据时，通常对位移、速度、加速度逐一处理： (1)可用“位移差”法判断物体的运动情况； (2)可利用匀变速直线运动中一段时间内的平均速度等于该段时间内中间时刻的瞬时速度求打下纸带上某点时物体的瞬时速度； (3)可用逐差法求加速度，以便充分利用测量数据，减小误差。 [针对训练] 2.(2025·广东期末)(多选)如图所示，一辆汽车在平直公路上做匀加速直线运动，从某时刻开始计时，汽车在第1 s内、第2 s内、第3 s内前进的距离分别是5.4 m、7.2 m、9.0 m。关于汽车，下列说法正确的有(　 ) A.加速度大小为3.6 m/s2 B.在这3 s内的平均速度大小为12.5 m/s C.在1.5 s末的瞬时速度大小为7.2 m/s D.在3 s末的瞬时速度大小为9.9 m/s √ √ 解析：根据Δx=aT2，可得加速度大小为a== m/s2=1.8 m/s2，故A错误；汽车在这3 s内的平均速度大小为== m/s=7.2 m/s，汽车在1.5 s末的瞬时速度等于第2 s内的平均速度，则汽车在1.5 s末的瞬时速度为v1.5=7.2 m/s，故B错误，C正确；汽车在3 s末的瞬时速度大小为v3=v1.5+aΔt=7.2 m/s+1.8×1.5 m/s=9.9 m/s，故D正确。 课时跟踪检测 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1.若有轨电车进站的过程可近似视为匀减速直线运动，电车车头依次经过A、B、C三个位置，已知AB段长度为5 m，BC段长度为4 m，且通过AB段和BC段所用时间均为0.5 s，则电车加速度大小为 (　 ) A.7 m/s2 B.8 m/s2 C.4 m/s2 D.11 m/s2 √ 6 7 8 9 10 11 12 1 2 3 4 5 解析：根据Δx=aT2可得a== m/s2=-4 m/s2，则电车加速度大小为4 m/s2，方向与电车运动方向相反，C正确。 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 2.(2024·北京高考)一辆汽车以10 m/s的速度匀速行驶，制动后做匀减速直线运动，经2 s停止，汽车的制动距离为 (　 ) A.5 m B.10 m C.20 m D.30 m √ 解析：汽车做末速度为零的匀减速直线运动，则有x=t=10 m，故选B。 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 3.(2025·山东潍坊期末)某新能源汽车沿平直道路匀加速行驶，先后途经a、b、c三点，已知bc=3ab，通过ab段和bc段的时间之比为2∶3，则汽车经过a点和b点的速度大小之比为 (　 ) A.3∶7 B.2∶3 C.1∶3 D.1∶2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 解析：由bc=3ab，设ab段和bc段位移分别为x、3x，由通过ab段和bc段的时间之比为2∶3，设通过ab段和bc段的时间为2t、3t，则有===，联立可得va=，vb=，则汽车经过a点和b点的速度大小之比为3∶7。故选A。 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 4.(2025·贵州毕节高一检测)如图为一个足球被踢出后每隔0.1 s拍下的频闪照片，x1=1.05 m，x2=0.75 m，x3=0.45 m，x4=0.15 m，由此可以判定 (　 ) A.足球做匀变速直线运动 B.足球的加速度大小为20 m/s2 C.足球的初速度大小为15 m/s D.整个过程中足球的平均速度大小为8 m/s √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 解析：连续相等时间内的位移差为x1-x2=x2-x3=x3-x4=0.3 m，所以足球做匀变速直线运动，故A正确；由Δx=at2，可得足球的加速度大小为a== m/s2=30 m/s2，故B错误；题图中第二个球的速度v2= = m/s=9 m/s，则球的初速度v1=v2+at=9 m/s+30×0.1 m/s =12 m/s，故C错误；整个过程中足球的平均速度大小为= = m/s=6 m/s，故D错误。 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 5.(2025·吉林高一模拟)具有完全自主知识产权 的“复兴号”动车组以安全快捷、平稳舒适、高品质 的运营服务成为中国高铁的一张亮丽名片。若共有 8节车厢的“复兴号”动车组从高铁站开出时，做初速度为零的匀加速运动，车头经过路边一保持不动的工作人员时速度大小为6 m/s，车尾经过该工作人员时速度大小为8 m/s。每节车厢的长度相等，则前4节车厢经过工作人员的时间与后4节车厢经过工作人员的时间之比为(相邻车厢间隙不计) (　 ) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 A. B. C. D. √ 解析：前4节车厢刚通过该工作人员时，动车组的速度大小为v1= =5 m/s，设一节车厢长度为L，前4节车厢经过工作人员的时间t1=，后4节车厢经过工作人员的时间t2=， 则==，故A、B、C错误，D正确。 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 6.(2025·浙江丽水期末)某物体以8 m/s的初速度做匀加速直线运动，加速度为0.2 m/s2，经时间t后速度变为12 m/s，则以下选项正确的是 (　 ) A.运动时间t=60 s B.t时间内的位移为400 m C.t时间内的平均速度是10 m/s D.运动到100 m处的速度是9 m/s √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 解析：根据匀变速直线运动速度与时间的关系v=v0+at，可得运动时间t= s=20 s，t时间内的位移为x=t=×20 m=200 m，t时间内的平均速度为== m/s=10 m/s，故A、B错误，C正确；根据2ax'=v'2-，可得运动到100 m处的速度为v'= = m/s=2 m/s，故D错误。 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 7.(多选)猎豹是动物界的“短跑之王”，据测，一只成年猎豹能在几秒之内达到108 km/h 的最大速度。如图所示是某猎豹突然启动追赶猎物的情境，启动过程可以看成从静止开始的匀加速直线运动，已知猎豹第2 s内跑了7.5 m，第3 s内跑了12.5 m。则 (　 ) A.猎豹的加速度大小为5 m/s2 B.猎豹的加速度大小为10 m/s2 C.猎豹加速到最大速度所用时间为3 s D.猎豹加速到最大速度所用时间为6 s √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 解析：由位移差公式xⅡ-xⅠ=aT2，代入数据解得猎豹的加速度大小a=5 m/s2，故A正确，B错误；猎豹的最大速度v=108 km/h=30 m/s，由v=at，解得t=6 s，故C错误，D正确。 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 8.(2025·内蒙古呼伦贝尔期末)(多选)物块由静止开始沿斜面向下做匀加速直线运动，4 s末到达斜面底端，然后在水平地面上做匀减速直线运动(在斜面与地面连接处物块速率不变)，10 s末停止运动。则物块在加速和减速阶段 (　 ) A.平均速度大小相同 B.平均速度大小不相同 C.加速度大小相同 D.路程之比为2∶3 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 解析：设物块到达斜面底端的速度大小为v，则加速阶段和减速阶段的平均速度大小相同，均为==，故A正确，B错误；加速阶段和减速阶段的加速度大小分别为a1=，a2=，可知物块在加速和减速阶段的加速度大小不相等，故C错误；物块在加速和减速阶段路程之比为s1∶s2=t1∶t2=t1∶t2=4∶(10-4)=2∶3，故D正确。 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 9.(2025·河南濮阳期末)(多选)一辆汽车在平直公路上匀速行驶，驾驶员突然看到正前方有障碍物，他立即采取刹车措施(不考虑反应时间)，若刹车后汽车做匀减速直线运动，第1 s内的位移是11 m，第2 s内的位移是9 m，则 (　 ) A.汽车做匀减速直线运动的加速度大小为4 m/s2 B.汽车刹车时的初速度大小为12 m/s C.汽车从刹车到停止所需时间为6 s D.汽车刹车后10 s内的位移大小为60 m √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 解析：设汽车的初速度为v0，加速度为a，根据匀变速直线运动的推论Δx=aT2，得x2-x1=aT2，解得a== m/s2=-2 m/s2，选项A错误；汽车在第1 s内的位移x1=v0t+at2，代入数据解得v0=12 m/s，选项B正确；汽车从刹车到停止所需的时间t0== s=6 s，选项C正确；汽车刹车后10 s内的位移等于6 s内的位移，则x=t0=×6 m=36 m，选项D错误。 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 10.(2025·广东惠州期末)(多选)2024年巴黎奥运会中，来自惠州的11岁女孩郑好好参加了滑板女子碗池比赛，成为本届奥运会最年轻的运动员。如图所示，在某次训练中，该运动员从斜坡上A点由静止匀加速下滑，加速度大小为4 m/s2，到达最底端B后，在水平面上做匀减速直线运动，最后停止在C点。测得AB=8 m，BC=16 m，忽略该运动员在B点的速度损失，下列关于该运动员运动的说法中正确的是 (　 ) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 A.在BC段上运动的时间为4 s B.在B点处的速度大小为8 m/s C.在BC段上运动的加速度大小为2 m/s2 D.在AB段和BC段上运动的平均速度相同 √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 解析：该运动员在AB段运动过程，根据运动学公式可得2axAB = ，解得在B点处的速度大小为vB== m/s =8 m/s，故B正确；该运动员在BC段运动过程，根据运动学公式可得xBC=t'，解得在BC段上运动的时间为t'== s=4 s，在BC段上运动的加速度大小为a'== m/s2=2 m/s2，故A、C正确；该运动员在AB段和BC段上运动的平均速度大小相等，均为==4 m/s，但方向不同，故D错误。 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 11.(6分)在“探究小车速度随时间变化的规律”的实验中，打点计时器打出的一条纸带如图所示，A、B、C、D、E是在纸带上所选的计数点，相邻两计数点间的时间间隔为0.1 s，各计数点与A计数点间的距离在图中已标出。则在打B点时，小车的速度为________m/s，并可求得小车的加速度大小为________ m/s2。 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 答案：0.26　0.4 解析：由纸带数据经计算可知小车在做匀变速直线运动，根据匀变速直线运动某段时间中间时刻的瞬时速度等于该段时间内的平均速度，可知vB== m/s=0.26 m/s，根据匀变速直线运动的推论Δx=aT2，可知加速度a==×10-3 m/s2=0.4 m/s2。 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 12.(14分)(2025·广东东莞期末)如图为某高速公路出口的ETC通道示意图。一汽车入ETC车道，到达O点时的速度v0=10 m/s，此时开始做匀减速运动，到达M点时速度v=6 m/s，并以此速度匀速通过MN区域。已知MN的长度d=36 m，汽车做匀减速直线运动的加速度大小a=1 m/s2。求： 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 (1)汽车从O点到M点所用的时间t；(4分) 答案： 4 s　 解析：根据匀变速直线运动速度与时间的关系可得v=v0-at 解得汽车从O点到M点所用的时间为t== s=4 s。 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 (2)OM间的距离x；(5分) 答案：32 m 解析：根据匀变速直线运动位移与时间的关系可得，OM间的距离为x=t=×4 m=32 m。 1 5 6 7 8 9 10 11 12 2 3 4 (3)汽车从O点到N点的平均速度大小。(5分) 答案：6.8 m/s 解析：汽车从M点到N点所用的时间为t'== s=6 s 则汽车从O点到N点的平均速度大小为== m/s=6.8 m/s。 本课结束 $$