14.2 三角形全等的判定(7大知识点+巩固练习）---2025-2026学年沪科版数学八年级上册

14.2 三角形全等的判定 一、主要知识点 知识点1 “边角边”判定方法 判定方法1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”） 几何语言：在△ABC 和△ DEF中,∴　△ABC ≌△ DEF（SAS） 注意：（1）.已知两边，必须找“夹角” （2）. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边 【例1】如图，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，要运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，还需补充一个条件，可以是（　　） A．BF＝EC B．AC＝FE C．AC＝DF D．∠A＝∠D 【例2】如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠BAC＝∠ABD，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s），若存在某一时刻使△ACP与△BPQ全等，则点Q的运动速度为（　　） A． B．1cm/s C． D．1cm/s或 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是它的高，点E是△ABC外一点，连接BE、DE，BE＝BA，∠E＝∠C，在BD上截取BF，使得BF＝DE，连接AF．若DE＝8，AD＝16，则△BDE的面积为　　 ． 知识点2 “角边角”判定方法 判定方法2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 几何语言：在△ABC和△A′ B′ C′中，∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）. 注意：（1）判定全等的条件中，必须是对应边相等， 对应角相等，否则不能判定. 【例4】如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F．若∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，AC＝AE．请在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程． 【例5】如图，点D是△ABC的边AC延长线上一点，且DC＝AC，过D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F，若∠CAB＝∠E，求证：△ABC≌△EAD． 【例6】如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 知识点3 “边边边”判定方法 判定方法3：三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”） 几何语言：在△ABC和△ DEF中，∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）. 【例7】如图，在△ABC 中，AB=AC，BE=CE，可直接利用“SSS”判定（    ） A． B． C． D． 【例8】尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（    ） A． B． C． D． 【例9】阅读下题及其证明过程： 已知：如图，是△中的中点，，，试说明：． 证明：是△中的中点， ． 在△和△中， △△（第一步）． （第二步）． 在△和△中， △△（第三步）． ． 问：（1）上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据，若不正确，请指出错在哪一步？ （2）写出你认为正确的推理过程． 知识点4 “角角边”判定方法 判定方法4：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.(简写成“角角边”或“AAS”). 注意：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的． 几何语言：在△ABC和△ DEF中，∴ △ABC ≌△ DEF（AAS）. 【例10】根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝5，BC＝4，AC＝10 B．AB＝6，∠A＝80°，BC＝7 C．∠A＝45°，∠C＝60°，BC＝8 D．∠C＝90°，AB＝9 【例11】如图，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠AED＝∠ABC．求证：△ABC≌△DEA． 【例12】如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，连接且，，． (1)证明：； (2)说明关系． 知识点5 “斜边、直角边”判定方法（“斜边、直角边”或“HL”定理） 判定方法5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言：在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中,当时，∴ Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). 注意：（1）在直角三角形中 （2）只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 【例13】如图，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝DB，据此可以证明△ABC≌△DBC，依据是（　　） A．SSS B．AAS C．ASA D．HL 【例14】如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，且有BE＝CD， 求证：△CBE≌△BCD． 【例15】如图，是的平分线，，，垂足为F，且，求证：．    知识点6 灵活选用合适的方法证明三角形全等 （1）已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用AAS或ASA判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用SAS判定全等．若添加另一边即这个角的对边，符合SSA的情形，不能判定三角形全等； （2）在找条件时，应结合判定图形和四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS，注意不能是SSA的情形． 【例16】如图，AB＝DB，∠A＝∠D，则下列增加的条件中不能证明△ABE≌△DBC的是（　　） A．BE＝BC B．AE＝DC C．∠ABD＝∠EBC D．∠E＝∠C 【例17】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD，CE交于点F．则下列说法正确的有（　　） ①∠AFC＝120°； ②△AEF≌△CDF； ③若AB＝2AE，则CE⊥AB； ④CD+AE＝AC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例18】如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、BC边上，且BD＝BE，现增加一个条件，使得△ABE≌△CBD一定成立，则该条件可以是下列中的 　 　 ． ①CE＝AD；②∠BAC＝∠BCA；③∠BAE＝∠BCD；④AE⊥CD． 知识点7 三角形的稳定性 三角形的稳定性：三角形三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了. 【例19】下列图形具有稳定性的是　　 A． B． C． D． 【例20】如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的　　 A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性 二、巩固练习 1.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠A＝∠D，还需添加一个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的条件是（　　） A．∠ECB＝∠DCA B．BC＝EC C．∠B＝∠E D．DC＝AC 2.如图，小丽同学不慎把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（　　） A．带①②去 B．带②③去 C．带①④去 D．带①③去 3.在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　） A． B． C． D． 4.据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD、∠B＝∠D、BC＝DE．则不一定能得到以下哪个结论（　　） A．△ABC≌△ADE B．△ABF≌△ADG C．FC＝GE D．AG＝GC 5.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP＝（　　）时，△ABC和△APQ全等． A．3 B．6 C．3或 D．3或6 6.如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BE，CD为△ABC的角平分线．BE，CD交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝BG；③△BDF≌△CEF；④BC＝BD+CE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，则下列结论正确的有（　　） ①DC＝BC；②△ADF≌△ABE；③EF＝BE+DF；④AE平分∠FEB； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 8.如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论： ①△ABD≌△EBC； ②∠BCE+∠BCD＝180°； ③AE＝CE； ④BA+BC＝2BF． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 9.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AB边上，连接ED，过点D作DF⊥DE，交AC于点F，连接FE，过点C作CG∥AB，交ED的延长线于点G，连接FG．若BE＝3，CF＝2，则EF的长可能为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 10.如图，秋千OB垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至OA处，点A距离地面高度AD＝0.7m，与OB的水平距离DE＝1.2m．推动秋千从OA至OC处，此时恰好∠AOC＝90°，点C距离OB的水平距离EF＝2m，则点C距离地面的高度CF为 　 　 m． 11.如图，AB⊥DB，AC⊥EC，垂足分别为B、C．AD＝AE，AC＝AB，BD与CE交于点F．连接AF，则图中共有 　　 对全等三角形． 12.如图，将n个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为 　 　 ． 13.如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式是，点M（5，0），存在直线l上的两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，则所有符合条件的点P的坐标是 　 　 ． 14.如图，在四边形ABCD中，AB＝14厘米，BC＝16厘米，CD＝18厘米，∠B＝∠C，E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 　 　 厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？ 15.如图，在四边形ABEC中，CE⊥BE，连接BC，点D为AC的中点，连接BD，BE＝CD，∠A＝∠ACB，求证：△ADB≌△BEC． 16.如图，点D是△ABC的边AC延长线上一点，且DC＝AC，过D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F，若∠CAB＝∠E，求证：△ABC≌△EAD． 17.如图，∠A＝∠B，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝36°，求∠AEB的度数； （2）若∠1＝∠2，AE＝BE，求证：△AEC≌△BED． 18.如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，AE∥BF，∠AEC＝∠BFD． （1）求证：AC＝DB； （2）求证：△ADE≌△BCF． 19.如图①，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值． 20.如图，已知点A和点B的坐标分别为（2，﹣3）和（﹣2，1） （1）在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）点C的坐标为 　 　 ； （3）网格中存在格点D，使得△CBD≌△BCA，请写出所有符合条件的点D的坐标． 21.【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜猜想S1，S2大小关系，并说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 14.2 三角形全等的判定 一、主要知识点 知识点1 “边角边”判定方法 判定方法1：两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”） 几何语言：在△ABC 和△ DEF中,∴　△ABC ≌△ DEF（SAS） 注意：（1）.已知两边，必须找“夹角” （2）. 已知一角和这角的一夹边，必须找这角的另一夹边 【例1】如图，点B，F，C，E在同一直线上，AB＝DE，∠B＝∠E，要运用“SAS”判定△ABC≌△DEF，还需补充一个条件，可以是（　　） A．BF＝EC B．AC＝FE C．AC＝DF D．∠A＝∠D 【解答】解：添加BF＝CE， ∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC， 即BC＝EF， 在△ABC和△DEF中， ， ∴△ABC≌△DEF（SAS）， 故选：A． 【例2】如图，AB＝4cm，AC＝BD＝3cm，∠BAC＝∠ABD，点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动时间为t（s），若存在某一时刻使△ACP与△BPQ全等，则点Q的运动速度为（　　） A． B．1cm/s C． D．1cm/s或 【解答】解：当AC＝PB，AP＝BQ时，△ACP≌△BQP， ∵P、Q同时运动，运动的路程相等， ∴Q和P运动的速度相同是1cm/s； 当AC＝BQ，AP＝BP时，△ACP≌△BPQ， ∴APAB4＝2（cm）， ∴P运动的时间t＝2÷1＝2（s）， ∴Q运动的速度是3÷2（cm/s）， 综上所述，Q运动的速度是1cm/s或cm/s． 故选：D． 【例3】如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是它的高，点E是△ABC外一点，连接BE、DE，BE＝BA，∠E＝∠C，在BD上截取BF，使得BF＝DE，连接AF．若DE＝8，AD＝16，则△BDE的面积为　　 ． 【解答】解：∵∠ABC＝90°，BD是高， ∴∠BAC+∠C＝90°，∠BAD+∠ABD＝90°， ∴∠ABD＝∠C， ∵∠E＝∠C， ∴∠ABD＝∠E， ∵AB＝BE，BF＝DE， 在△ABF与△BED中， ， ∴△ABF≌△BED（SAS）， ∵DE＝8，AD＝16， ∴BF＝DE＝8， ∴64， 故答案为：64． 知识点2 “角边角”判定方法 判定方法2：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(简写成“角边角”或“ASA”）. 几何语言：在△ABC和△A′ B′ C′中，∴ △ABC≌△ A′ B′ C′ （ASA）. 注意：（1）判定全等的条件中，必须是对应边相等， 对应角相等，否则不能判定. 【例4】如图，点E在△ABC外部，点D在BC边上，DE交AC于F．若∠BAD＝∠CAE＝∠CDE，AC＝AE．请在图中找出一对全等三角形，并写出证明过程． 【解答】解：△ABC≌△ADE， 证明：如图： ∵∠BAD＝∠CAE， ∴∠BAD+∠1＝∠CAE+∠1， 即∠BAC＝∠DAE， ∵∠2＝∠3，∠EAC＝∠CDF， ∴180°﹣∠3﹣∠CDF＝180°﹣∠2﹣∠EAC， 即∠C＝∠E， 在△ABC和△ADE中， ∴△ABC≌△ADE（ASA）． 【例5】如图，点D是△ABC的边AC延长线上一点，且DC＝AC，过D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F，若∠CAB＝∠E，求证：△ABC≌△EAD． 【解答】证明：∵DC＝AC，DE＝DC， ∴AC＝DE， ∵DE∥CB， ∴∠ACB＝∠D， 在△ABC和△EAD中， ， ∴△ABC≌△EAD（SAS）． 【例6】如图，在△ACB中，∠ACB＝90°，△ABC的角平分线AD、BE相交于点P，过P作PF⊥AD交BC的延长线于点F，交AC于点H．有下列结论：①∠APB＝135°；②△ABP≌△FBP；③∠AHP＝∠ABC；④AH+BD＝AB；其中正确的个数是（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°， ∴∠CAB+∠CBA＝90°， ∵AD、BE分别平分∠CAB、∠CBA， ∴，， ∴， ∴∠APB＝180°﹣（∠PAB+∠PBA）＝180°﹣45°＝135°，故结论①正确； ∴∠BPD＝180°﹣∠APB＝180°﹣135°＝45°， 又∵PF⊥AD， ∴∠FPA＝∠FPD＝90°， ∴∠FPB＝∠FPD+∠BPD＝90°+45°＝135°， ∴∠APB＝∠FPB， 在△ABP和△FBP中， ， ∴△ABP≌△FBP（ASA），故结论②正确； ∴∠BAP＝∠BFP，AB＝FB，PA＝PF， ∴∠PAH＝∠PFD， 在△PAH和△P F D中， ， ∴△PAH≌△PFD（ASA）， ∴AH＝FD，∠AHP＝∠FDP， ∵∠FDP是△ABD的外角， ∴∠FDP＞∠ABC， ∴∠AHP＞∠ABC，故结论③错误； 又∵AH＝FD，AB＝FB， ∴AB＝FB＝FD+BD＝AH+BD， 即AH+BD＝AB，故结论④正确， ∴正确的个数是3个． 故选：C． 知识点3 “边边边”判定方法 判定方法3：三边对应相等的两个三角形全等.（简写为“边边边”或“SSS”） 几何语言：在△ABC和△ DEF中，∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）. 【例7】如图，在△ABC 中，AB=AC，BE=CE，可直接利用“SSS”判定（    ） A． B． C． D． 【解答】解：根据，，可以推出，理由是， 其余是错误的，不能直接用定理推出，和不全等， 故选：C． 【例8】尺规作图是起源于古希腊的数学课题，尺规作图中往往蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（    ） A． B． C． D． 【解答】解：由尺规作图可知：、， ∴． 故选：A． 【例9】阅读下题及其证明过程： 已知：如图，是△中的中点，，，试说明：． 证明：是△中的中点， ． 在△和△中， △△（第一步）． （第二步）． 在△和△中， △△（第三步）． ． 问：（1）上面证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理根据，若不正确，请指出错在哪一步？ （2）写出你认为正确的推理过程． 【解答】解：（1）证明过程不正确，证明三角形全等的第二个条件错误，所以第一步错误， 理由如下：是△中的中点， ， 在△和△中， ， △△， ， 在△和△中， ， △△， ． （2）是△中的中点， ， 在△和△中， ， △△， ， 在△和△中， ， △△， ． 知识点4 “角角边”判定方法 判定方法4：两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等.(简写成“角角边”或“AAS”). 注意：判断三角形全等时，注意两边与其中一边的对角相等的两个三角形不一定全等．解题时要根据已知条件的位置来考虑，只具备SSA时是不能判定三角形全等的． 几何语言：在△ABC和△ DEF中，∴ △ABC ≌△ DEF（AAS）. 【例10】根据下列已知条件，能画出唯一的△ABC的是（　　） A．AB＝5，BC＝4，AC＝10 B．AB＝6，∠A＝80°，BC＝7 C．∠A＝45°，∠C＝60°，BC＝8 D．∠C＝90°，AB＝9 【解答】解：A、5+4＜10，不能构成三角形，故A不符合题意； B、∠A是边BC的对角，不能画出唯一的△ABC，故B不符合题意； C、由AAS判定能画出唯一的△ABC，故C符合题意； D、由∠C＝90°，AB＝9，不能画出唯一的△ABC，故D不符合题意． 故选：C． 【例11】如图，AD∥BC，∠ADC＝∠ACD，∠AED＝∠ABC．求证：△ABC≌△DEA． 【解答】证明：∵∠ADC＝∠ACD， ∴AD＝AC， 由条件可知∠DAB+∠ABC＝180°，即∠DAE+∠BAC+∠AED＝180°，∠BAC＝∠ADE， 在△ABC与△DEA中， ， ∴△ABC≌DEA（AAS）． 【例12】如图，已知点B、F、C、E在直线l上，点A、D在l异侧，连接且，，． (1)证明：； (2)说明关系． 【解答】（1）解：∵ ∴ ∵， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， 得， ∴ 即， ∵ ∴ ∴ ∵ 则 故 知识点5 “斜边、直角边”判定方法（“斜边、直角边”或“HL”定理） 判定方法5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）. 几何语言：在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中,当时，∴ Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL). 注意：（1）在直角三角形中 （2）只须找除直角外的两个条件即可（两个条件中至少有一个条件是一对对应边相等） 【例13】如图，∠BAC＝∠BDC＝90°，AB＝DB，据此可以证明△ABC≌△DBC，依据是（　　） A．SSS B．AAS C．ASA D．HL 【解答】解：在Rt△ABC和Rt△DBC中， ， ∴Rt△ABC≌Rt△DBC（HL）， ∴证明△ABC≌△DBC，依据是HL． 故选：D． 【例14】如图，在△ABC中，BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分别为E，D，且有BE＝CD， 求证：△CBE≌△BCD． 【解答】证明：由条件可知∠BEC＝∠BDC＝90°， 在Rt△BCE和Rt△CBD中， ， ∴Rt△CBE≌Rt△BCD（HL）． 【例15】如图，是的平分线，，，垂足为F，且，求证：．    【解答】证明：∵是的平分线，， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴． 知识点6 灵活选用合适的方法证明三角形全等 （1）已知一边一角，可任意添加一个角的条件，用AAS或ASA判定全等；添加边的条件时只能添加夹这个角的边，用SAS判定全等．若添加另一边即这个角的对边，符合SSA的情形，不能判定三角形全等； （2）在找条件时，应结合判定图形和四种方法：SSS、SAS、ASA、AAS，注意不能是SSA的情形． 【例16】如图，AB＝DB，∠A＝∠D，则下列增加的条件中不能证明△ABE≌△DBC的是（　　） A．BE＝BC B．AE＝DC C．∠ABD＝∠EBC D．∠E＝∠C 【解答】解：由于AB＝DB，∠A＝∠D， A、添加条件BE＝BC，不能证明△ABE≌△DBC，故本选项符合题意； B、添加条件AE＝DC，可以利用SAS证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意； C、添加条件∠ABD＝∠EBC，可得∠ABE＝∠DBC，可以利用ASA证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意； D、添加条件∠E＝∠C，可以利用AAS证明△ABE≌△DBC，故本选项不符合题意； 故选：A． 【例17】如图，在△ABC中，∠ABC＝60°，AD平分∠BAC交BC于点D，CE平分∠ACB交AB于点E，AD，CE交于点F．则下列说法正确的有（　　） ①∠AFC＝120°； ②△AEF≌△CDF； ③若AB＝2AE，则CE⊥AB； ④CD+AE＝AC． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：①在△ABC中，∠ABC＝60°， ∴∠ACB+∠CAB＝120°， ∵AD平分∠BAC，CE平分∠ACB， ∴， ∴∠AFC＝180°﹣（∠FCA+∠FAC） ， 故①正确，符合题意； ②若△AEF≌△CDF， ∴AF＝CF， ∴∠CAF＝∠ACF， ∴∠ACB＝∠CAB， 而由已知条件无法证明∠CAF＝∠ACF， 故②错误，不符合题意； ③如图，延长CE至G，使GE＝CE，连接BG， ∵AB＝2AE， ∴AE＝BE， 在△ACE和△BGE中， ， ∴△ACE≌△BGE（SAS）， ∴∠ACE＝∠G， ∵CE为角平分线， ∴∠ACE＝∠BCE， ∴∠BCE＝∠G， ∴BC＝BG， ∵CE＝GE， ∴CE⊥AB， 故③正确，符合题意； ④如图，作∠AFC的平分线交AC于点G， 由①得∠AFC＝120°， ∴，∠AFE＝∠CFD＝60°， ∴∠AFG＝∠CFG＝∠AFE＝∠CFD＝60°， ∵∠EAF＝∠GAF，∠DCF＝∠GCF， ∴△AEF≌△AGF（ASA），△CDF≌△CGF（ASA）， ∴AE＝AG，CD＝CG， ∴CD+AE＝CG+AG＝AC， 故④正确，符合题意； 故选：C． 【例18】如图，在△ABC中，D、E两点分别在AB、BC边上，且BD＝BE，现增加一个条件，使得△ABE≌△CBD一定成立，则该条件可以是下列中的 　 　 ． ①CE＝AD；②∠BAC＝∠BCA；③∠BAE＝∠BCD；④AE⊥CD． 【解答】解：①、由CE＝AD，BD＝BE，得到AB＝CB，又∠B＝∠B，由SAS判定△ABE≌△CBD，故①符合题意； ②、由∠BAC＝∠BCA，推出AB＝CB，由SAS判定△ABE≌△CBD，故②符合题意； ③、∠BAE＝∠BCD，∠B＝∠B，BE＝BD，由AAS判定△ABE≌△CBD，故③符合题意； ④、增加添加AE⊥CD，不能判定△ABE≌△CBD，故④不符合题意． ∴增加一个条件，使得△ABE≌△CBD一定成立，则该条件可以是①②③． 故答案为：①②③． 知识点7 三角形的稳定性 三角形的稳定性：三角形三边长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了. 【例19】下列图形具有稳定性的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：所有图形里，只有三角形具有稳定性． 故选：． 【例20】如图，墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的　　 A．全等性 B．对称性 C．稳定性 D．美观性 【解答】解：墙上置物架的底侧一般会各设计一根斜杆，与水平和竖直方向的支架构成三角形，这是利用三角形的稳定性． 故选：． 二、巩固练习 1.如图，在△ABC和△DEC中，已知AB＝DE，∠A＝∠D，还需添加一个条件才能使△ABC≌△DEC，不能添加的条件是（　　） A．∠ECB＝∠DCA B．BC＝EC C．∠B＝∠E D．DC＝AC 【解答】解：A．∵∠ECB＝∠DCA， ∴∠ECB+∠ACE＝∠DCA+∠ACE， 即∠ACB＝∠DCE， 在△ABC和△DEC中 ， ∴△ABC≌△DEC（AAS），故本选项不符合题意； B．根据BC＝EC，AB＝DE，∠A＝∠D不能推出△ABC≌△DEC，故本选项符合题意； C．符合全等三角形的判定定理ASA，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意； D．符合全等三角形的判定定理SAS，能推出△ABC≌△DEC，故本选项不符合题意； 故选：B． 2.如图，小丽同学不慎把一块三角形的玻璃打碎成四块，现在要去玻璃店配一块和原来完全一样的玻璃，下列选择带碎片的方法中不能配成和原来一样的是（　　） A．带①②去 B．带②③去 C．带①④去 D．带①③去 【解答】解：由①②可确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①②能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以A选项不符合题意； 由②③只能确定原三角形的一个角，则带碎片①②不能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以B选项符合题意； 由①④能确定原三角形的两角和它们的夹边，则带碎片①④能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以C选项不符合题意； 由①③能确定原三角形的三个角三条边，则带碎片①③能配成和原来一样的三角形的玻璃，所以D选项不符合题意． 故选：B． 3.在△ABC中，∠B＝∠C＝50°，将△ABC沿图中虚线剪开，剪下的两个三角形不一定全等的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：A、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故A选项不符合题意； B、根据SAS可以推出剪下的两个三角形全等，故B选项不符合题意； C、如图： ∵∠DFC＝∠DFE+∠EFC且∠DFC＝∠B+∠BDF， ∴∠DFE+∠EFC＝∠B+∠BDF， ∵∠B＝∠DFE＝50°， ∴∠EFC＝∠BDF， ∵BD＝FC，∠B＝∠C， ∴△DBF≌△FCE（ASA）． 根据ASA可以推出剪下的两个三角形全等，故C选项不符合题意； D、如图： 由C选项可得：∠EFC＝∠BDF，∠B＝∠C，但FC不是两个角的夹边，所以两个三角形不一定全等，故D选项符合题意； 故选：D． 4.据史书记载，最早的风筝是由古代匠人墨子用木头制成的木鸟，称为“木鸢”．后来随着造纸术的发明，人们开始用纸张和竹条制作风筝，使其更加轻便、易于放飞．在如图所示的“风筝”图案中，AB＝AD、∠B＝∠D、BC＝DE．则不一定能得到以下哪个结论（　　） A．△ABC≌△ADE B．△ABF≌△ADG C．FC＝GE D．AG＝GC 【解答】解：在△ABC和△ADE中， ， ∴△ABC≌△ADE（SAS），故选项A不符合题意； ∴∠BAC＝∠DAE，BC＝DE， ∴∠BAE＝∠DAG， ∵AB＝AD、∠B＝∠D， ∴△ABF≌△ADG（ASA），故选项B不符合题意； ∴BF＝DG， ∴FC＝GE，故选项C不符合题意； 无法证明AG＝GC，故选项D符合题意； 故选：D． 5.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝3，PQ＝AB，点P与点Q分别在AC和AC的垂线AD上移动，则当AP＝（　　）时，△ABC和△APQ全等． A．3 B．6 C．3或 D．3或6 【解答】解：∵AD⊥AC， ∴∠ACB＝∠PAQ＝90°， ①当CB＝AP＝3时， 在Rt△ACB和Rt△QAP中， ， ∴Rt△ACB≌Rt△QAP（HL）； ②当CA＝AP＝6时， 同理可证：Rt△BCA≌Rt△QAP（HL）； ∴AP＝3或6时，△ABC和△APQ全等； 故选：D． 6.如图，在锐角△ABC中，∠BAC＝60°，BE，CD为△ABC的角平分线．BE，CD交于点F，FG平分∠BFC，有下列四个结论：①∠BFC＝120°；②BD＝BG；③△BDF≌△CEF；④BC＝BD+CE．其中正确的结论有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：∵∠A＝60°，BE、CD为三角形ABC的角平分线， ∴∠EBC+∠DCB∠ABC∠ACB（180°﹣∠A）＝60°， ∴∠BFC＝180°﹣（∠EBC+∠DCB）＝120°，故①正确； 由①得，∠DFB＝60°，∠BFC＝120°， ∵FG平分∠BFC， ∴∠BFG∠BFC＝60°， 在△BDF和△BGF中， ， ∴△BDF≌△BGF（ASA）， ∴BD＝BG，故②正确； 在△BDF和△CEF中， ∠BFD＝∠CFE＝60°，但没有相等的边， ∴△BDF和△CEF不一定全等，故③错误； 由②可得BD＝BG， 同理可得△CEF≌△CGF， ∴CE＝CG， ∴BC＝BG+CG＝BD+CE，故④正确． ∴正确的结论是①②④，共3个， 故选：C． 7.如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝140°，AB⊥CB于点B，AD⊥CD于点D，E、F分别是CB、CD上的点，且∠EAF＝70°，则下列结论正确的有（　　） ①DC＝BC；②△ADF≌△ABE；③EF＝BE+DF；④AE平分∠FEB； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【解答】解：如图，连接AC， ∵AD⊥CD，AB⊥CB， ∴∠ADC＝∠ABC＝90°， 在Rt△ABC和Rt△ADC中， ， ∴△ABC≌△ADC（HL）， ∴DC＝BC， 故结论①正确； 因为根据已知条件不能推出△ADF≌△ABE， 所以结论②错误； 如图，延长EB到G，使BG＝DF，连接AG， ∵AD⊥CD，AB⊥CB， ∴∠ABG＝∠ADF＝90°， 在△ADF和△ABG中， ， ∴△ADF≌△ABG（SAS）， ∴AF＝AG，∠DAF＝∠BAG，∠DFA＝∠BGA， ∵，∠BAD＝140°，∠EAF＝70° ∴根据角的和差关系∠DAF+∠EAB＝∠BAD﹣∠EAF＝140°﹣70°＝70°， ∴∠EAG＝∠EAB+∠BAG＝∠EAB+∠DAF＝70°， ∴∠EAG＝∠EAF＝70°， 在△EAF和△EAG中， ， ∴△EAF≌△EAG（SAS）， ∴EF＝EG＝BE+BG＝BE+DF，故结论③正确； ∠AEG＝∠AEF，即AE平分∠FEB，故结论④正确； 综上所述，正确的结论有①③④3个， 故选：C． 8.如图，BD为△ABC的角平分线，且BD＝BC，E为BD延长线上的一点，BE＝BA，过E作EF⊥AB，F为垂足，下列结论： ①△ABD≌△EBC； ②∠BCE+∠BCD＝180°； ③AE＝CE； ④BA+BC＝2BF． 其中正确的是（　　） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．①②③④ 【解答】解：①∵BD为△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， 在△ABD和△EBC中， ， ∴△ABD≌△EBC（SAS）， ∴①正确； ②∵BD为△ABC的角平分线，BD＝BC，BE＝BA， ∴∠BCD＝∠BDC，∠BAE＝∠BEA， ∵△ABD≌△EBC， ∴∠BCE＝∠BDA， ∴∠BCE+∠BCD＝∠BDA+∠BDC＝180°， ∴②正确； ③∵∠BCE＝∠BDA，∠BCE＝∠BCD+∠DCE，∠BDA＝∠DAE+∠BEA，∠BCD＝∠BEA， ∴∠DCE＝∠DAE， ∴△ACE为等腰三角形， ∴AE＝EC， ∴③正确； ④过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G，如图， ∵BD平分∠ABC，EF⊥BA，EG⊥BC， ∴EF＝EG， 在△BEF和△BEG中， ， ∴△BEF≌△BEG（AAS）， ∴BF＝BG， 在Rt△FEA和Rt△GEC中， ， ∴Rt△FEA≌Rt△GEC（HL）， ∴AF＝CG， ∴BA+BC＝BF+AF+BC＝BF+CG+BC＝BF+BG＝2BF， ∴④正确， 综上所述，正确的结论是①②③④． 故选：D． 9.如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E在AB边上，连接ED，过点D作DF⊥DE，交AC于点F，连接FE，过点C作CG∥AB，交ED的延长线于点G，连接FG．若BE＝3，CF＝2，则EF的长可能为（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【解答】∵在△ABC中，点D是BC的中点， ∴BD＝CD， ∵CG∥AB， ∴∠EBD＝∠GCD，∠BED＝∠CGD， ∴△BDE≌△CDG（AAS）， ∴DE＝DG，BE＝CG＝3， ∵DF⊥DE，DF垂直平分EG， ∴EF＝FG， 在△CFG中，CF＝2，CG＝3， 1＜FG＜5，即1＜EF＜5， 故选：D． 10.如图，秋千OB垂直地面时所在直线与地面交于点E，当秋千拉至OA处，点A距离地面高度AD＝0.7m，与OB的水平距离DE＝1.2m．推动秋千从OA至OC处，此时恰好∠AOC＝90°，点C距离OB的水平距离EF＝2m，则点C距离地面的高度CF为 　 　 m． 【解答】解：过点A作AM⊥OE于M，过点C作CN⊥OE于N， 则四边形ADEM，四边形EFCN是矩形， ∴ME＝AD＝0.7m，CN＝EF＝2m，AM＝DE＝1.2m，CF＝EN， ∵∠AOC＝∠AMO＝∠ONC＝90°， ∴∠AOM＝∠OCN＝90°﹣∠CON， 在△AOM和△OCN中， ， ∴△AOM≌△OCN（AAS）， ∴OM＝CN＝2m，AM＝ON＝1.2m， ∴MN＝OM﹣ON＝0.8m， ∴CF＝EN＝MN+ME＝1.5m． 故答案为：1.5． 11.如图，AB⊥DB，AC⊥EC，垂足分别为B、C．AD＝AE，AC＝AB，BD与CE交于点F．连接AF，则图中共有 　　 对全等三角形． 【解答】解：∵AB⊥DB，AC⊥EC， ∴∠ACE＝∠ABD＝90°， 在Rt△ADB与Rt△AEC中， ， ∴Rt△ADB≌Rt△AEC（HL）， ∴∠ADB＝∠AEC，DB＝CE， 在Rt△AFC与Rt△AFB中， ， ∴Rt△AFC≌Rt△AFB（HL）， ∴CF＝BF， ∴DF＝EF， 在△DCF与△EBF中， ∴△DCF≌△EBF（SAS）， ∴CD＝BE； ∵， ∴△ADC≌△AEB（SSS）， ∵， ，∴△AFD≌△AFE（SSS）， ∴全等三角形有△ACF≌△ABF，△DCF≌△EBF，△ADB≌△AEC，△ADC≌△AEB，△AFD≌△AFE，共5对全等三角形． 故答案为：5． 12.如图，将n个边长都为1的正方形按如图所示的方法摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形对角线的交点，则2025个正方形照这样重叠形成的重叠部分的面积和为 　 　 ． 【解答】解：连接A1A2，A1D， ∵正方形的边长为1， ∴∠A1A2B＝∠A1DC＝45°，A1A2＝A1D，∠BA1A2+∠CA1A2＝∠CA1D+∠CA1A2＝90°， ∴∠BA1A2＝∠CA1D， ∴△BA1A2≌△∠CA1D（ASA）， ∴2个正方形重叠形成的重叠部分的面积为， ∴3个正方形重叠形成的重叠部分的面积和， ∴4个正方形重叠形成的重叠部分的面积和， ∴5个正方形重叠形成的重叠部分的面积和， … ∴2025个正方形重叠形成的重叠部分的面积和＝（2025﹣1）506， 故答案为：506． 13.如图，在平面直角坐标系中，直线l的解析式是，点M（5，0），存在直线l上的两点P，Q，使得以O，P，Q为顶点的三角形与△OMP全等，则所有符合条件的点P的坐标是 　 　 ． 【解答】解：由题意，（1）如图1，作OQ⊥AB， ∴． ∴OM＝5． ∴OQ＝OM． 当OP平分∠QOM时，△OMP≌△OQP，此时PM⊥OA． 把x＝5代入，得． ∴． （2）如图2，当OA＝PA，OM＝PQ时，△OMP≌△PQO，过O作OE⊥AB于点E，过P作 PF⊥OA于点F． ∴△OEA≌△PFA． ∴PF＝OE＝5． 把y＝5代入得，， ∴． ③如图3，当OA＝AP，OM＝PQ时，△OMP≌△PQO．过O作OE⊥AB于点E，过P作PF⊥OA于点F． ∴△OEA≌△PFA． ∴PF＝OE＝﹣5． 把y＝﹣5代入得，x＝15． ∴P3（15，﹣5）． 综上所述，所有符合条件的点P的坐标为：，，P3（15，﹣5）． 故答案为：，，P3（15，﹣5）． 14.如图，在四边形ABCD中，AB＝14厘米，BC＝16厘米，CD＝18厘米，∠B＝∠C，E为线段AB的中点．如果点P在线段BC上以2厘米/秒的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CD上由点C向点D运动．当点Q的运动速度为 　 　 厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等？ 【解答】解：∵E为线段AB的中点， ∴BEAB14＝7（厘米）， 当BP＝CP，BE＝CQ时，△BPE≌△CPQ（SAS）， ∵BPBC16＝8（厘米）， ∴P、Q运动的时间是8÷2＝4（秒）， ∴Q运动的速度是7÷4＝1.75（厘米/秒）； 当BP＝CQ，BE＝CP时，△BPE≌△CQP（SAS）， ∵P、Q运动的路程和时间相同， ∴Q和P的运动速度相同是2厘米/秒， 综上，Q的运动速度为2或1.75厘米/秒时，能够使△BPE与以C、P、Q三点所构成的三角形全等． 故答案为：2或1.75． 15.如图，在四边形ABEC中，CE⊥BE，连接BC，点D为AC的中点，连接BD，BE＝CD，∠A＝∠ACB，求证：△ADB≌△BEC． 【解答】证明：∵∠A＝∠ACB， ∴AB＝BC， ∵点D为AC的中点， ∴AD＝DC， ∴BD⊥AD， ∵BE＝CD， ∴BE＝AD， 在Rt△ADB和Rt△BEC中， ， ∴Rt△ADB≌Rt△BEC（HL）． 16.如图，点D是△ABC的边AC延长线上一点，且DC＝AC，过D作DE∥CB，且DE＝DC，连接AE交BC于点F，若∠CAB＝∠E，求证：△ABC≌△EAD． 【解答】证明：∵DC＝AC，DE＝DC， ∴AC＝DE， ∵DE∥CB， ∴∠ACB＝∠D， 在△ABC和△EAD中， ， ∴△ABC≌△EAD（SAS）． 17.如图，∠A＝∠B，点D在AC边上，AE和BD相交于点O． （1）若∠2＝36°，求∠AEB的度数； （2）若∠1＝∠2，AE＝BE，求证：△AEC≌△BED． 【解答】（1）解：∴∠AOD＝∠BOE，∠A＝∠B， ∴∠AEB＝∠2＝36°； （2）证明：∵∠ADE＝∠1+∠C， 即∠2+∠BDE＝∠1+∠C， 而∠2＝∠1， ∴∠C＝∠BDE， 在△AEC和△BED中， ， ∴△AEC≌△BED（AAS）． 18.如图，点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，AE∥BF，∠AEC＝∠BFD． （1）求证：AC＝DB； （2）求证：△ADE≌△BCF． 【解答】（1）证明：∵AE∥BF， 由平行线的性质得到∠EAC＝∠FBD， 在△ACE和△BDF中， ， ∴△ACE≌△BDF（ASA）， ∴AC＝DB； （2）证明：点A、B、C、D在同一条直线上，点E、F分别在直线AB的两侧，且AE＝BF，AE∥BF，∠AEC＝∠BFD． ∴AD＝BC， 在△ADE和△BCF中， ， ∴△ADE≌△BCF（SAS）． 19.如图①，AB＝10cm，AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A、B，AC＝7cm．点P在线段AB上以3cm/s的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线BD上运动．它们运动的时间为t（s）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t＝1时，△ACP与△BPQ是否全等？并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由； （2）如图②，若“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB＝∠DBA”，点Q的运动速度为x cm/s，其他条件不变，当△ACP与△BPQ全等时，求出相应的x与t的值． 【解答】解：（1）当t＝1时，△ACP与△BPQ全等；线段PC和线段PQ的位置关系是：PC⊥PQ，理由如下： ∵点Q的运动速度与点P的运动速度相等，都是3cm/s，且运动的时间t＝1s， ∴AP＝3cm，BQ＝3cm， ∴AP＝BQ＝3cm， ∵AB＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝7cm， 又∵AC＝7cm， ∴AC＝BP＝7cm， ∵AC⊥AB，BD⊥AB， ∴∠A＝∠B＝90°， 在△ACP与△BPQ中， ， ∴△ACP≌△BPQ（SAS）， ∴∠C＝∠BPQ， 在Rt△APC中，∠C+∠APC＝90°， ∴∠BPQ+∠APC＝90°， ∴∠CPQ＝180°﹣（∠BPQ+∠APC）＝90°， ∴PC⊥PQ； （2）依题意得：AP＝3t cm，BQ＝xt cm， ∵AB＝10cm， ∴BP＝AB﹣AP＝（10﹣3t）cm， 又∵AC＝7cm，∠CAB＝∠DBA， ①当AP＝BQ，AC＝BP时，△ACP≌△BPQ， 由AP＝BQ，得：3t＝xt， 解得：x＝3， 由AC＝BP，得：7＝10﹣3t， 解得：t＝1， ②当AP＝BP，AC＝BQ时，△ACP≌△BQP， 由AP＝BP，得：3t＝10﹣3t， 解得：t， 由AC＝BQ，得：7＝xt， ∴， 解得：x， 综上所述：x的值是3或cm/s． 20.如图，已知点A和点B的坐标分别为（2，﹣3）和（﹣2，1） （1）在图中建立适当的平面直角坐标系； （2）点C的坐标为 　 　 ； （3）网格中存在格点D，使得△CBD≌△BCA，请写出所有符合条件的点D的坐标． 【解答】解：（1）如图所示： （2）C（3，1）； 故答案为：（3，1）； （3）使得△CBD≌△BCA，点D的坐标为（﹣1，﹣3）或（﹣1，5）或（2，5）． 21.【基础回顾】 （1）如图1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直线l经过点A，分别从点B，C向直线l作垂线，垂足分别为D，E．求证：△ABD≌△CAE； 【变式探究】 （2）如图2，在△ABC中，AB＝AC，直线l经过点A，点D，E分别在直线l上，如果∠CEA＝∠ADB＝∠BAC，猜想DE，BD，CE有何数量关系，并给予证明； 【拓展应用】 （3）小明在科技创新大赛上创作了一幅机器人图案，大致图形如图3所示，以△ABC的边AB，AC为一边向外作△BAD和△CAE，其中∠BAD＝∠CAE＝90°，AB＝AD，AC＝AE，AG是边BC上的高．延长GA交DE于点H，设△ADH的面积为S1，△AEH的面积为S2，猜猜想S1，S2大小关系，并说明理由． 【解答】（1）证明：∵BD⊥直线l，CE⊥直线l， ∴∠BDA＝∠AEC＝90°， ∴∠DAB+∠DBA＝90°， ∵∠BAC＝90°， ∴∠DAB+∠EAC＝90°， ∴∠DBA＝∠EAC， 在△ABD和△CAE中， ， △ABD≌△CAE（AAS）； （2）解：DE，BD，CE的数量关系是：DE＝BD+CE，证明如下： ∵∠EAB是△ABD的外角， ∴∠EAB＝∠ADB+∠DBA， ∴∠EAC+∠BAC＝∠ADB+∠DBA， ∵∠ADB＝∠BAC， ∴∠EAC＝∠DBA， 在△EAC和△DBA中， ， ∴△EAC≌△DBA（AAS）， ∴CE＝AD，AE＝BD， ∴DE＝AE+AD＝BD+CE； （3）S1，S2大小关系是：S1＝S2，理由如下： 过点D作DM⊥AH交AH的延长线于点M，过点E作EN⊥AH于点N，如图所示： ∵AG⊥BC， ∴∠AGB＝∠M＝90°， ∴∠ABG+∠BAG＝90°， ∵∠BAD＝90°， ∴∠BAG+∠DAM＝90°， ∴∠ABG＝∠DAM， 在△ABG和△DAM中， ， ∴△ABG≌△DAM（AAS）， ∴DM＝AG， 同理可证明：△AGC≌△ENA， ∴EN＝AG， ∴DM＝EN， ∵S1AH•DM，S2AH•EN， ∴S1＝S2． 学科网（北京）股份有限公司 $$