专题4一元二次方程根的判别式的应用2025—2026学年北师大版数学九年级上册

专题四一元二次方程根的判别式的应用 类型一　判断不含字母的一元二次方程的根的情况 1.下列方程中，有两个相等实数根的是（　　） A.x2＝10　　B.x2＋1＝2x　　C.x2－2x＝3　　D.x2－2x＝0 2.（2024秋·福田区校级月考）下列所给方程中，没有实数根的是（　　） A.x2＋x＝0　　 B.5x2－2x－1＝0 C.3x2－4x＋1＝0　　 D.4x2－6x＋3＝0 3.一元二次方程x2－2x＋2＝0的实数根的个数是（　　） A.0 　　B.1 　　C.2　　D.无法判断 类型二　判断含字母的一元二次方程的根的情况 4.已知关于x的方程ax2－（1－a）x－1＝0，下列说法正确的是（　　） A.当a＝0时，方程无实数根 B.当a≠0时，方程有两个相等的实数根 C.当a＝－1时，方程有两个不相等的实数根 D.当a＝－1时，方程有两个相等的实数根 5.（2024秋·宝安区校级月考）关于x的一元二次方程x2＋mx－8＝0的根的情况是（　　） A.有两个不相等的实数根　　 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根　　 D.不能判断 6.已知关于x的方程x2＋2x－a＋1＝0没有实数根，试判断关于x的方程x2＋ax＋a＝0的根的情况. 类型三　由方程根的情况确定字母的值或取值范围 7.（2024·盐田区校级开学）关于x的方程x2－2x＋4－m＝0有两个不等的实数根. （1）求m的取值范围； （2）化简：÷·. 8.已知关于x的方程（m－1）x2＋2mx＋m＋3＝0. （1）若方程有实数根时，求m的取值范围； （2）若方程有2个不相等的实数根时，求m的取值范围； （3）当方程没有实数根时，求出m的最小正整数值. 类型四　应用根的判别式证明方程根的情况 9.（2024·福田区校级模拟）已知关于x的一元二次方程x2－（k＋1）x＋2k－2＝0. （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程有一个根大于0且小于1，求k的取值范围. 10.已知关于x的一元二次方程x2＋（3－a）x＋a－5＝0. （1）求证：无论a为何实数时方程总有两个不相等的实根； （2）若方程一个根大于2，另一个根小于2，求实数a的取值范围. 类型五　应用根的判别式求代数式的取值范围 11.已知关于x的一元二次方程x2－x＋m＝0有实数根. （1）若m为正整数，求此方程的根； （2）设此方程的一个实数根为b，若y＝m－2b2＋2b＋1，求y的取值范围. 12.已知关于x的一元二次方程x2－（2m＋4）x＋m2＋4m＝0. （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根； （2）设方程的两个实数根分别为x1，x2，求代数式＋－4x1x2的最大值. 13.已知关于x的一元二次方程x2－3x＋k－1＝0有两个不相等的实数根. （1）求k的取值范围； （2）设m是方程的一个实数根，且满足等式（m2－3m＋3）（k＋1）＝2，求k的值. 类型六　利用根的判别式判定三角形的形状 14.（2024秋·福田区校级月考）已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2＋2bx＋（a－c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC三边的长. （1）如果x＝－1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由. 15.已知关于x的一元二次方程（a＋c）x2－2bx＋（a－c）＝0，其中a，b，c分别为△ABC的三边长. （1）若方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由； （2）若△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根. 16.已知三角形的两边长分别为3和4，如果第三边长为方程x2－6x＋5＝0的根. （1）求出这个三角形的周长； （2）判别这个三角形的形状； （3）求出最长边上的高. 类型7　利用根的判别式求三角形的周长 17.已知关于x的方程mx2－（2m＋1）x＋2＝0（m≠0）. （1）求证：无论m取何值，这个方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的底边长a＝1，另两边b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长. 18.已知关于x的一元二次方程：x2－（2k＋1）x＋4＝0. （1）求证：这个方程总有实数根； （2）若等腰△ABC的一边长a＝4，另两边b，c恰好是这个方程的两个实数根，求△ABC的周长. 答案： 1.B　2.D　3.B　4.D　5.A 6.解：∵关于x的方程x2＋2x－a＋1＝0没有实数根， ∴Δ＝4－4（－a＋1）＜0，解得a＜0. 方程x2＋ax＋a＝0的根的判别式是Δ'＝a2－4a＝a（a－4）， ∵a＜0，a－4＜0，∴Δ'＞0， ∴关于x的方程x2＋ax＋a＝0有两个不相等的实数根. 7.解：（1）根据题意得Δ＝（－2）2－4（4－m）＞0，解得m＞3. （2）∵m＞3，∴m－3＞0， ∴÷· ＝·· ＝－2. 8.解：（1）当m－1＝0，即m＝1时，2x＋4＝0，解得x＝－2； 当m－1≠0时，Δ＝4m2－4（m－1）（m＋3）≥0，解得m≤且m≠1. 综上所述，m的取值范围为m≤. （2）根据题意得m－1≠0且Δ＝4m2－4（m－1）（m＋3）＞0，解得m＜且m≠1，即m的取值范围为m＜且m≠1； （3）根据题意得m－1≠0且Δ＝4m2－4（m－1）（m＋3）＜0，解得m＞， 所以m最小正整数值为2. 9.（1）证明：Δ＝b2－4ac＝[－（k＋1）]2－4×（2k－2）＝k2－6k＋9＝（k－3）2， ∵（k－3）2≥0，即Δ≥0，∴此方程总有两个实数根. （2）解：x＝ 解得x1＝k－1，x2＝2， ∵此方程有一个根大于0且小于1， 而x2＞1，∴0＜x1＜1，即0＜k－1＜1.∴1＜k＜2， 即k的取值范围为1＜k＜2. 10.（1）证明：Δ＝（3－a）2－4（a－5）＝a2－10a＋29＝（a－5）2＋4， ∵（a－5）2≥0，∴（a－5）2＋4＞0， ∴无论a为何实数时方程总有两个不相等的实根. （2）解：设方程的两根为m，n，则m＋n＝a－3，mn＝a－5， 不妨设m＞2，n＜2，则m－2＞0，n－2＜0， ∴（m－2）（n－2）＜0， ∴mn－2（m＋n）＋4＜0， ∴a－5－2（a－3）＋4＜0，∴a＞5. 11.解：（1）∵一元二次方程x2－x＋m＝0有实数根， ∴Δ＝1－m≥0，∴m≤1. ∵m为正整数，∴m＝1，∴方程的根为. （2）∵Δ＝1－m≥0，∴m≤1. ∵b是方程的一个实数根，∴b2－b＋m＝0， ∴2b2－2b＋m＝0， ∴y＝m－2b2＋2b＋1＝m＋1， 即y的取值范围是y≤. 12.（1）证明：Δ＝（2m＋4）2－4（m2＋4m）＝16＞0， ∴此方程总有两个不相等的实数根. （2）解：＋－4x1x2＝（x1＋x2）2－6x1x2， ∵x1＋x2＝－＝2m＋4，x1x2＝m2＋4m， ∴（x1＋x2）2－6x1x2＝（2m＋4）2－6（m2＋4m）＝－2m2－8m＋16＝－2（m＋2）2＋24， ∴当m＝－2时，＋－4x1x2的最大值为24. 13.解：（1）根据题意得Δ＝（－3）2－4（k－1）＞0， 解得k＜. （2）∵m是方程的一个实数根，∴m2－3m＋k－1＝0， 即m2－3m＝－k＋1， 把m2－3m＝－k＋1代入等式可得（－k＋4）（k＋1）＝2， 整理得k2－3k－2＝0，解得k＝或， ∵k＜，∴k＝. 14.解：（1）△ABC是等腰三角形.理由如下： ∵x＝－1是方程的根， ∴（a＋c）×（－1）2－2b＋（a－c）＝0， ∴a＋c－2b＋a－c＝0，∴a－b＝0， ∴a＝b，∴△ABC是等腰三角形. （2）△ABC是直角三角形.理由如下： ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2b）2－4（a＋c）（a－c）＝0， ∴4b2－4a2＋4c2＝0，∴a2＝b2＋c2， ∴△ABC是直角三角形. 15.解：（1）△ABC是直角三角形， 理由如下：∵关于x的一元二次方程（a＋c）x2－2bx＋（a－c）＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， 即（－2b）2－4（a＋c）（a－c）＝0， ∴a2＝b2＋c2，∴△ABC是直角三角形. （2）∵△ABC是等边三角形，∴a＝b＝c， ∴方程（a＋c）x2－2bx＋（a－c）＝0可整理为2ax2－2ax＝0，∴x2－x＝0，解得x1＝0，x2＝1. 16.解：（1）x2－6x＋5＝0，即（x－1）（x－5）＝0， 则x－1＝0或x－5＝0，解得x1＝1，x2＝5， 当x＝1时不能构成三角形，故舍去，三角形的周长为： 3＋4＋5＝12. （2）∵32＋42＝52，∴此三角形为直角三角形. （3）设最长边上的高为h，×3×4＝×5×h， 解得h＝，故最长边上的高为. 17.（1）证明： ∵Δ＝[－（2m＋1）]2－4m×2＝4m2－4m＋1＝（2m－1）2≥0， ∴无论m取何值，这个方程总有实数根. （2）解：∵等腰△ABC的底边长a＝1，∴b＝c， ∵b，c恰好是这个方程的两个根， ∴该方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝（2m－1）2＝0，解得m＝， ∴原方程为x2－2x＋2＝0，解得x1＝x2＝2. ∵2、2、1能组成三角形， ∴该三角形的周长为2＋2＋1＝5. 18.（1）证明：Δ＝（2k＋1）2－4×1×4＝4k2－12k＋9＝（2k－3）2， ∵无论k取什么实数值，（2k－3）2≥0，Δ≥0， ∴无论k取什么实数值，方程总有实数根. （2）解：∵x＝，∴x1＝2k－1，x2＝2， ∵b，c恰好是这个方程的两个实数根，设b＝2k－1，c＝2， 当a，b为腰时，则a＝b＝4，即2k－1＝4，解得k＝，此时三角形的周长为4＋4＋2＝10； 当b，c为腰时，b＝c＝2，此时b＋c＝a，故此种情况不存在. 综上所述，△ABC的周长为10. 学科网（北京）股份有限公司 $$