1.4解直角三角形 课件2025-2026学年北师大版数学九年级下册

4 解直角三角形 学习目标 准备好了吗？一起去探索吧！ 锐角三角函数 1.理解解直角三角形的概念，并能熟练地根据题中的已知条件解直角三角形. 2.掌握解直角三角形所用的边角关系，能适当地选择锐角三角函数解直角三角形。 重点 难点 一级标题：黑体， 2 复习回顾 在Rt△ABC中，共有6个元素(三条边，三个角)， 其中∠C=90 角角关系：两锐角互余，即∠A＋∠B＝90°. 边边关系：勾股定理，即a2＋b2＝c2. 边角关系：锐角三角函数，即 sin A＝ ， cos A＝ ，tan A＝ ， sin B＝ ， cos B＝ ，tan B＝ . 应用新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 问题1： 直角三角形中，除直角外，至少需要几个元素就可以求出其它元素? 问题2：已知∠A的度数可以求出这个三角形其他元素吗? 不能。角度只能决定形状，不能确定直角三角形的大小 在直角三角形中，由已知元素求出未知元素的过程， 叫做 . 解直角三角形 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 探究1 如果已知 Rt△ABC 中两边的长，你能求出这个三角形其他的元素吗？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 例1 如图，在 Rt△ABC 中，∠C ＝ 90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且 ，求这个直角三角形的其他元素. 解：在 Rt△ABC 中，a2 + b2 = c2， ， . A B C 在 Rt△ABC 中， 则∠B = 30°，∠A=60°. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 练习 　　1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ ，BC＝ ， 解这个直角三角形． 　　解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝ ，BC＝ ， 　　∴tan A＝ ＝ ＝ . 　　∴∠A＝60°. 　　∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. 　　∴AB＝2AC＝2 . 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 合作探究 探究2 如果已知 Rt△ABC 中一边和一锐角，你能求出这个三角形其他的元素吗？ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 例2 如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C 所对的边分别为 a，b，c，且 b = 30，∠B＝ 25°，求这个直角三角形的其他元素(边长精确到1). A B C b 30 c a 25° 解： 在Rt △ABC 中，∠C = 90°，∠B = 25°， ∴∠A = 65°. 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 练习 2、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝35°，b＝20，解这个直角三角形．(结果保留小数点后一位)提示： sin 35°≈0. 57， cos 35°≈0. 82，tan 35°≈0. 70 　　解：∠A＝90°－∠B＝90°－35°＝55°. 　　∵tan B＝ ， sin B＝ ，b＝20， 　　∴a＝ ＝ ≈28. 6，c＝ ＝ ≈35. 1. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 合作探究 在Rt△ABC中，如果已知∠A = 60°，∠B = 30°，你能求出这个三角形的其他元素吗？ 两角 不能 两边 一角一边 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 归纳 议一议 事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素． A B a b c C 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 合作探究 1. 已知一边和一锐角. 2. 已知两边. 特别说明： 解直角三角形的常见类型及解法 已知和解法 三角形类型 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 两 边 两直角边（a，b） 由tan A＝求∠A，∠B ＝90°－∠A，c＝ 斜边、一直角边（如 c，a） 由 sin A＝求∠A，∠B ＝90°－∠A，b＝ 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 已知和解法 三角形类型 已知条件 解法步骤 Rt△ABC 一 边 一 角 一直 角边 和一 锐角 锐角、邻边 ∠B＝90°－∠A， 锐角、对边 ∠B＝90°－∠A， 斜边、锐角 （如c，∠A） ∠B＝90°－∠A， 创设情境 应用新知 巩固新知 课堂小结 布置作业 探究新知 练习 1. 在Rt△ABC中 ，∠C＝90°，AC＝1，BC＝ ，则∠B的度数为（　B　）. A. 25° B. 30° C. 45° D. 60° 2. 在Rt△ABC中，∠C＝90°， cos A＝ ，AC＝ ，则BC的长为（　B　）. A. B. 1 C. 2 D. 3 B B 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 3、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，根据下列条件解直角三角形. （1）∠A＝30°，c＝6； 解：（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°， sin A＝ .∵c＝6，∴a＝3. ∴b＝ ＝3 . （2）a＝2，c＝2 . 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，c＝2 ， ∴ sin A＝ .∴∠A＝45°.∴∠B＝90°－∠A＝45°. ∴b＝a＝2. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 　4、如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°， AB＝8 ，∠A＝45°，求这个三角形的其他元素． 　　解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝45°， 　　∴ sin A＝ cos A＝ ，∠B＝45°. 　　∵ sin A＝ ， cos A＝ ，AB＝8 ， 　　∴BC＝AB· sin A＝8，AC＝AB· cos A＝8. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 5. 如图，在△ABC中，AD⊥BC，AE是BC边上的中线，AB＝10，AD＝6，tan∠ACB＝1. （1）求BC的长； 解：（1）∵AD⊥BC，AB＝10，AD＝6， ∴BD＝ ＝8. ∵tan∠ACB＝1， ∴CD＝AD＝6， ∴BC＝BD＋CD＝8＋6＝14. 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 练习 （2）求 sin ∠DAE的值. 解：∵AE是BC边上的中线， ∴CE＝ BC＝7， ∴DE＝CE－CD＝7－6＝1. ∵AD⊥BC， ∴AE＝ ， ∴ sin ∠DAE＝ . 探究新知 创设情境 巩固新知 课堂小结 布置作业 应用新知 解直角三角形 依据 解法：只要知道五个元素中的两个元素（至少有一个是边），就可以求出余下的三个未知元素. 勾股定理 两锐角互余 锐角的三角函数 探究新知 应用新知 布置作业 巩固新知 课堂小结 创设情境 再见 $$