专题09 四边形综合（7大考点36题）（湖北专用）-【好题汇编】三年（2023-2025）中考数学真题分类汇编

专题09 四边形综合（7大考点36题） 考点01 多边形外角和 1．（2023·湖北襄阳·中考真题）一个五边形的外角和等于（　　） A． B． C． D． 2．（2023·湖北黄冈·中考真题）若正n边形的一个外角为，则 ． 考点02 平行四边形的判定 3．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    4．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 5．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 考点03 平行四边形的性质 6．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（    ）    A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度减小 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 7．（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 8．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）    A． B． C．2 D．3 9．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E若，则 （从“”中选择一个符合要求的填空）； ．    10．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接．若于点，，则的长为 ．    11．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 12．（2023·湖北·中考真题）如图，等腰内接于，，是边上的中线，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，连接．    (1)求证：为的切线； (2)若的半径为，，求的长． 13．（2024·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．      考点04 菱形的判定 14．（2023·湖北随州·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 15．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，点E是矩形的边上的一点，且．    (1)尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 考点05 菱形的性质 16．（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 17．（2023·湖北随州·中考真题）如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 18．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．    19．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，是菱形的对角线．    (1)作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 20．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．    (1)求证： ①是的切线； ②； (2)若，，求． 21．（2023·湖北·中考真题）已知正六边形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．    (1)在图1中作出以为对角线的一个菱形； (2)在图2中作出以为边的一个菱形． 考点06 矩形的性质 22．（2025·湖北·中考真题）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 ． 23．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（   ） A．平分 B． C． D． 24．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（    ）    A． B． C． D． 25．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 26．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 27．（2023·湖北随州·中考真题）如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    28．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．      (1)若，求的度数； (2)连接EF，试判断四边形的形状，并说明理由． 29．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 考点07 正方形的性质 30．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 31．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是 ． 32．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．    (1)求证：≌； (2)求的大小． 33．（2023·湖北·中考真题）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．      (1)求证：； (2)若，求的长． 34．（2023·湖北十堰·中考真题）过正方形的顶点作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线交直线于点．    (1)如图1，若，则___________； (2)如图1，请探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)在绕点转动的过程中，设，请直接用含的式子表示的长． 35．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，在正方形中，E，F分别是边，上的点，连接，，．    (1)若正方形的边长为2，E是的中点． ①如图1，当时，求证：； ②如图2，当时，求的长； (2)如图3，延长，交于点G，当时，求证：． 36．（2023·湖北襄阳·中考真题）【问题背景】 人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）．    【特例证明】 （1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，. ①填空：______； ②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．） 【类比探究】 （2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由． 【拓展运用】 （3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题09 四边形综合（7大考点36题） 考点01 多边形外角和 1．（2023·湖北襄阳·中考真题）一个五边形的外角和等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形的外角和为，即可得出结果． 【详解】解：五边形的外角和等于． 故选：A． 【点睛】本题考查多边形的外角和．熟练掌握多边形的外角和为，是解题的关键． 2．（2023·湖北黄冈·中考真题）若正n边形的一个外角为，则 ． 【答案】5 【分析】正多边形的外角和为，每一个外角都相等，由此计算即可． 【详解】解：由题意知，， 故答案为：5． 【点睛】本题考查正多边形的外角问题，解题的关键是掌握正n边形的外角和为，每一个外角的度数均为． 考点02 平行四边形的判定 3．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，小宇将一张平行四边形纸片折叠，使点落在长边上的点处，并得到折痕，小宇测得长边，则四边形的周长为 ．    【答案】 【分析】可证，从而可得，再证四边形是平行四边形，可得，即可求解． 【详解】解：四边形是平行四边形， ， ， 由折叠得：， ，， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ． 故答案：． 【点睛】本题考查了平行四边形判定及性质，折叠的性质，掌握相关的判定方法及性质是解题的关键． 4．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，的对角线交于点，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，连接．    (1)试判断四边形的形状，并说明理由； (2)请说明当的对角线满足什么条件时，四边形是正方形？ 【答案】(1)平行四边形，见解析 (2)且 【分析】（1）根据平行四边形的性质，得到，根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形判定即可． （2）根据对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形判定即可． 【详解】（1）四边形是平行四边形．理由如下： ∵的对角线交于点， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点， ∴ ∴四边形是平行四边形． （2）∵对角线相等、平分且垂直的四边形是正方形， ∴且时，四边形是正方形． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，正方形的判定和性质，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 5．（2024·湖北武汉·中考真题）如图，在中，点，分别在边，上，． (1)求证：； (2)连接．请添加一个与线段相关的条件，使四边形是平行四边形．（不需要说明理由） 【答案】(1)见解析 (2)添加（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的判定； （1）根据平行四边形的性质得出，，结合已知条件可得，即可证明； （2）添加，依据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴即， 在与中， ， ∴； （2）添加（答案不唯一） 如图所示，连接． ∵四边形是平行四边形， ∴，即， 当时，四边形是平行四边形． 考点03 平行四边形的性质 6．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，将四根木条用钉子钉成一个矩形框架，然后向左扭动框架，观察所得四边形的变化．下面判断错误的是（    ）    A．四边形由矩形变为平行四边形 B．对角线的长度减小 C．四边形的面积不变 D．四边形的周长不变 【答案】C 【分析】根据四边形的不稳定性、矩形的性质和平行四边形的性质，结合图形前后变化逐项判断即可． 【详解】解：A、因为矩形框架向左扭动，，，但不再为直角，所以四边形变成平行四边形，故A正确，不符合题意； B、向左扭动框架，的长度减小，故B正确，不符合题意； C、因为拉成平行四边形后，高变小了，但底边没变，所以面积变小了，故C错误，符合题意； D、因为四边形的每条边的长度没变，所以周长没变，故D正确，不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质和平行四边形的性质、四边形的不稳定性，弄清图形变化前后的变量和不变量是解答此题的关键． 7．（2025·湖北·中考真题）如图，平行四边形的对角线交点在原点．若，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征等知识，由题意，结合平行四边形的对称性可知点与点关于坐标原点中心对称，由关于原点中心对称的点的坐标特征即可得到答案．熟记平行四边形的对称性、关于原点中心对称的点的坐标特征是解决问题的关键． 【详解】解：∵平行四边形的对角线交点在原点， ∴， 点与点关于坐标原点中心对称， 点的坐标为， 点的坐标是， 故选：C． 8．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在中，分别交于点D，E，交于点F，，，则的长为（　　）    A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】先证得四边形是平行四边形，得到，再利用平行线截线段成比例列式求出即可． 【详解】∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定和性质，平行线截线段成比例，正确理解平行线截线段成比例是解题的关键． 9．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，将绕点A逆时针旋转到的位置，使点落在上，与交于点E若，则 （从“”中选择一个符合要求的填空）； ．    【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据旋转的性质得出，即可推出；通过证明，得出，求出，设，，则，，证明，得出，则，即可求解． 【详解】解：∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴， ∴，即， ∵将绕点A逆时针旋转得到， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， 解得：， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 设，，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 把代入解得： 故答案为：，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关性质定理，掌握相似三角形对应边成比例． 10．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，在中，，点是的中点，将沿折叠得到，连接．若于点，，则的长为 ．    【答案】 【分析】连接，与交于，与交于，设，，，结合折叠的性质得到，易得到是直角三角形，进而得到是的中位线，可得四边形是平行四边形，求出，求得，进面求出，再利用相似三角形的性质得到和的关系，设，则，利用来求解． 【详解】解：如图，连接，与交于，与交于， 设，． ， ． 将沿折叠得到， ． 在中可得：， ， ∴， 将沿折叠得到， ，， 为等腰直角三角形，为边上中线， ∴，，， ∴， 即是直角三角形， ，， 垂直平分， 即． ， ． 是的中点，是的中点， 是的中位线， ， 即， 四边形是平行四边形， ∴， ∴， 在中，， ∴， ， ． 在和中 ， ， ∴， 设，则， ， ∴ ， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质，直角三角形性质，平行四边形的判定及性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解相关知识是解答关键． 11．（2023·湖北·中考真题）如图，和都是等腰直角三角形，，点在内，，连接交于点交于点，连接．给出下面四个结论：①；②；③；④．其中所有正确结论的序号是 ． 【答案】①③④ 【分析】由题意易得，，，，则可证，然后根据全等三角形的性质及平行四边形的性质与判定可进行求解． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，，， ∵，， ∴，故①正确； ∴， ∴，，故③正确； ∵，，， ∴，；故②错误； ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，故④正确； 故答案为①③④． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰直角三角形的性质及平行四边形的性质与判定是解题的关键． 12．（2023·湖北·中考真题）如图，等腰内接于，，是边上的中线，过点作的平行线交的延长线于点，交于点，连接．    (1)求证：为的切线； (2)若的半径为，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，得出，则四边形是平行四边形，，作于．得出为的垂直平分线．则．又点在上，即可得证； 过点作于，连接．垂径定理得出，勾股定理得，进而可得，勾股定理求得，证明，可得，根据相似三角形的性质得出，，然后求得，勾股定理求得，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明，∵， ∴． 又， ∴． ∴． ∴四边形是平行四边形． ∴． 作于．    又∵， ∴为的垂直平分线． ∴点在上． ∴． 即．又点在上， ∴为的切线； （2）解：过点作于，连接．    ∵为的垂直平分线， ∴． ∴．∴． ∴． ∴． ∵， ∴ ∴， 又， ∴． ∴，． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定，垂径定理，相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 13．（2024·湖北武汉·中考真题）问题背景：如图（1），在矩形中，点，分别是，的中点，连接，，求证：． 问题探究：如图（2），在四边形中，，，点是的中点，点在边上，，与交于点，求证：． 问题拓展：如图（3），在“问题探究”的条件下，连接，，，直接写出的值．      【答案】问题背景：见解析；问题探究：见解析；问题拓展： 【分析】问题背景：根据矩形的性质可得，根据点，分别是，的中点，可得，即可得证； 问题探究：取的中点，连接，得是的中位线，根据已知条件可得平行且等于，进而可得是平行四边形，得，则，根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半得出，进而可得，等量代换可得，等角对等边，即可得证； 问题拓展：过点作，则四边形是矩形，连接，根据已知以及勾股定理得出；根据（2）的结论结合已知可得，证明垂直平分，进而得出，证明，进而证明， 进而根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】问题背景：∵四边形是矩形， ∴， ∵，分别是，的中点 ∴， 即， ∴； 问题探究：如图所示，取的中点，连接，    ∵是的中点，是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ 又∵，是的中点， ∴ ∴ ∴， ∴； 问题拓展：如图所示，过点作，则四边形是矩形，连接，    ∵， ∴， 设，则， 在中，， ∵，由（2） ∴， 又∵是的中点， ∴垂直平分 ∴，， 在中， ∴ 设，则 ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴． 【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，平行四边形的性质与判定，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 考点04 菱形的判定 14．（2023·湖北随州·中考真题）如图，矩形的对角线，相交于点O，．    (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理； （2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解． 【详解】（1）解：∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵矩形中，， ∴平行四边形是菱形； （2）解：矩形的面积为， ∴的面积为， ∴菱形的面积为． 【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键． 15．（2023·湖北鄂州·中考真题）如图，点E是矩形的边上的一点，且．    (1)尺规作图（请用铅笔）：作的平分线，交的延长线于点F，连接．（保留作图痕迹，不写作法）； (2)试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】（1）根据题意结合尺规作角平分线的方法作图即可； （2）根据矩形的性质和平行线的性质得出，结合角平分线的定义可得，则，然后根据平行四边形和菱形的判定定理得出结论． 【详解】（1）解：如图所示：    （2）四边形是菱形； 理由：∵矩形中，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是菱形． 【点睛】本题主要考查了尺规作角平分线，矩形的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定，平行四边形的判定以及菱形的判定等知识，熟练掌握相关判定定理和性质定理是解题的关键． 考点05 菱形的性质 16．（2024·湖北武汉·中考真题）小美同学按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了基本作图，菱形的判定和性质，根据作图可得四边形是菱形，进而根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：作图可得 ∴四边形是菱形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 17．（2023·湖北随州·中考真题）如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据作图可知：垂直平分，得到，于是得到点O为的对称中心，，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，推出四边形是菱形，据此判断即可． 【详解】解：根据作图可知：垂直平分， ∴， ∴点O为的对称中心，    ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∴， ∴，故A正确； ∴四边形是菱形， ∴，故C正确； 与不一定相等，故D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键． 18．（2023·湖北十堰·中考真题）如图，在菱形中，点E，F，G，H分别是，，，上的点，且，若菱形的面积等于24，，则 ．    【答案】6 【分析】连接，交于点O，由题意易得，，，，则有，然后可得，设，则有，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：连接，交于点O，如图所示：    ∵四边形是菱形，， ∴，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， 设，则有， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 同理可得，即， ∴， ∴； 故答案为6． 【点睛】本题主要考查相似三角形的性质与判定及菱形的性质，熟练掌握菱形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键． 19．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，是菱形的对角线．    (1)作边的垂直平分线，分别与，交于点，（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）分别以点，点为圆心，大于的长为半径作弧，交于点，点，作直线交于点，交于点，连接即可； （2）连接，由菱形的性质得到，，则，由线段的垂直平分线的性质可得，故得到，则． 【详解】（1）解：    （2）解：连接， 菱形， ，， ， 垂直平分， ， ， ． 【点睛】本题主要考查基本作图，菱形的性质，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质．按照要求作出边的垂直平分线是解题的关键． 20．（2023·湖北荆州·中考真题）如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．    (1)求证： ①是的切线； ②； (2)若，，求． 【答案】(1)①见解析，②见解析 (2) 【分析】（1）①根据菱形的性质得出，根据，可得，进而即可得证； ②连接，根据等弧所对的圆周角相等得出，根据直径所对的圆周角是直角得出，进而可得，结合，即可得证； （2）连接交于．根据菱形的性质以及勾股定理求得，进而根据等面积法求得，由得：，在中，即可求解． 【详解】（1）证明：①四边形是菱形， ， ，则 又为的半径的外端点， 是的切线． ②连接，    ∵ ∴ 为直径， ， 而 ， 又 ． （2）解：连接交于．   菱形，， ，，， 在中，， ， ， ， 在中，， 由得：， ． 【点睛】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，菱形的性质，勾股定理，求角的正弦值，熟练掌握以上知识是解题的关键． 21．（2023·湖北·中考真题）已知正六边形，请仅用无刻度的直尺完成下列作图（保留作图痕迹，不写作法，用虚线表示作图过程，实线表示作图结果）．    (1)在图1中作出以为对角线的一个菱形； (2)在图2中作出以为边的一个菱形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据菱形的性质对角线互相垂直平分即可作出图形． （2）根据菱形的性质四条边平行且相等即可作出图形． 【详解】（1）解：如图，菱形即为所求（点，可以对调位置）：       （2）解：如图，菱形即为所求． 是菱形，且要求为边， ①当为上底边的时候，作，且，向右下偏移，如图所示，    ②当为上底边的时候，作，且，向左下偏移如图所示，    ③当为下底边的时候，作，且，向左上偏移如图所示，    ④当为下底边的时候，作，且，向右上偏移如图所示，    【点睛】本题考查了作图-复杂作图，复杂作图是结合了几何图形的性质和基本作图的方法，涉及到的知识点有菱形的性质和判定，解题的关键在于熟悉菱形的几何性质和正六边形的几何性质，将复杂作图拆解成基本作图． 考点06 矩形的性质 22．（2025·湖北·中考真题）一个矩形相邻两边的长分别为2，m，则这个矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】该题考查了列代数式，根据矩形的性质求面积，根据矩形的面积是长宽即可解答． 【详解】解：根据题意可得矩形的面积是， 故答案为：． 23．（2023·湖北襄阳·中考真题）如图，矩形的对角线相交于点，下列结论一定正确的是（   ） A．平分 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据矩形的对角线相等，以及矩形与菱形性质的区别判断即可． 【详解】解：由矩形的对角线相交于点， 根据矩形的对角线相等， 可得． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，关键是掌握矩形的性质． 24．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，有一张矩形纸片．先对折矩形，使与重合，得到折痕，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕﹐同时得到线段，．观察所得的线段，若，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据折叠的性质，得出 ，，进而得到，在中，由特殊锐角的三角函数可求即可． 【详解】解：根据折叠的性质可知：，，，， ∴ ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】此题考查了矩形的性质，折叠轴对称，掌握折叠前后对应边相等，对应角相等，以及直角三角形的边角关系是解题的关键． 25．（2023·湖北黄冈·中考真题）如图，矩形中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点E，F，再分别以点E，F为圆心，大于长为半径画弧交于点P，作射线，过点C作的垂线分别交于点M，N，则的长为（    ）    A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】由作图可知平分，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，根据角平分线的性质可知，进而证明，推出，设，则，解求出．利用三角形面积法求出，再证，根据相似三角形对应边成比例即可求出． 【详解】解：如图，设与交于点O，与交于点R，作于点Q，   矩形中，， ， ． 由作图过程可知，平分， 四边形是矩形， ， 又， ， 在和中， ， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 解得， ． ． ， ． ，， ， ，即， 解得． 故选A． 【点睛】本题考查角平分线的作图方法，矩形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等，涉及知识点较多，有一定难度，解题的关键是根据作图过程判断出平分，通过勾股定理解直角三角形求出． 26．（2023·湖北武汉·中考真题）如图，在四边形中，，以为圆心，为半径的弧恰好与相切，切点为．若，则的值是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作延长线于点，连接，根据圆的基本性质以及切线的性质，分别利用勾股定理求解在和，最终得到，即可根据正弦函数的定义求解． 【详解】解：如图所示，作延长线于点，连接，    ∵，， ∴， ∴四边形为矩形，，， ∴为的切线， 由题意，为的切线， ∴，， ∵， ∴设，，， 则，， 在中，， 在中，， ∵， ∴， 解得：或（不合题意，舍去）， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的切线的判定与性质，解直角三角形，以及正弦函数的定义等，综合性较强，熟练运用圆的相关性质以及切线的性质等是解题关键． 27．（2023·湖北随州·中考真题）如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为 ；的最大值为 ．    【答案】 【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解； （2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值． 【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半， ∴的面积为， 在中，， ∴当最大时，即最大， 由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：    由题意可得：，， ∴，， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键． 28．（2023·湖北恩施·中考真题）如图，在矩形中，点是的中点，将矩形沿所在的直线折叠，的对应点分别为，，连接交于点．      (1)若，求的度数； (2)连接EF，试判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】(1)的度数为 (2)矩形，理由见详解 【分析】（1）根据点是的中点，沿所在的直线折叠，可得是等腰三角形，根据三角形的外角的性质即可求解； （2）如图所示，连接，点是上的一点，根据矩形和折叠的性质可得四边形是平行四边形，如图所示，连接，，过点作于点，可证四边形是平行四边形，再根据折叠的性质得，由此即可求证． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形，点是的中点， ∴， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴， ∴，则是等腰三角形， ∴， ∵，即， ∴， ∴的度数为． （2）解：如图所示，连接，点是上的一点，    ∵四边形是矩形， ∴，，即， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴，，是的角平分线， 由（1）可知，， ∴， ∴，且， ∴四边形是平行四边形，则，， 如图所示，连接，，过点作于点，      ∵点是的中点，， ∴点是线段的中点，则， ∴在中， ， ∴， ∴，， ∵沿所在的直线折叠，的对应点分别为，， ∴，，， 在中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是矩形． 【点睛】本题主要考查矩形的性质，矩形的判定，折叠的性质，全等三角形的判定和性质的综合，掌握矩形折叠的性质，全等三角形的判定和性质，图形结合分析是解题的关键． 29．（2024·湖北·中考真题）在矩形中，点E，F分别在边，上，将矩形沿折叠，使点A的对应点P落在边上，点B的对应点为点G，交于点H． (1)如图1，求证：； (2)如图2，当P为的中点，，时，求的长； (3)如图3，连接，当P，H分别为，的中点时，探究与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2) (3)，见解析 【分析】（1）证明对应角相等，即可得到； （2）根据，求得的长度，从而得出长度； （3）延长，交于一点，连接，先证明，得到相等的边，再根据，得出大小关系． 【详解】（1）证明：如图， 四边形是矩形， ， ， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，， 即， 解得， ， ， ， ，即， ， ， ． （3）解：如图，延长，交于一点，连接， ，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上， ，直线， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ，即． 【点睛】本题考查了矩形与折叠、相似三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握以上基础知识是解题关键． 考点07 正方形的性质 30．（2025·湖北·中考真题）如图，折叠正方形的一边，使点落在上的点处，折痕交于点．若，则的长是（   ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】如图，过作于，由对折可得：，，，，证明，而，可得，求解，，证明，，可得，再进一步求解即可. 【详解】解：如图，过作于， ∵正方形， ∴，，，，，， 由对折可得：，，，， ∴，而， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∴； 故选：B. 【点睛】本题考查的是正方形的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，勾股定理的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 31．（2024·湖北武汉·中考真题）如图是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出的“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．直线交正方形的两边于点，，记正方形的面积为，正方形的面积为．若，则用含的式子表示的值是 ． 【答案】 【分析】作交于点，不妨设，设，通过四边形是正方形，推出，得到，然后证明，利用相似三角形对应边成比例，得到，从而表示出，的长度，最后利用和表示出正方形和的面积，从而得到． 【详解】解：作交于点，不妨设，设 四边形是正方形 在和中，， 由题意可知， 正方形的面积， 正方形的面积 ； 故答案为：. 【点睛】本题考查了弦图，正方形的性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定与性质，正方形的面积，勾股定理，熟练掌握以上知识点并能画出合适的辅助线构造相似三角形是解题的关键． 32．（2023·湖北黄石·中考真题）如图，正方形中，点，分别在，上，且，与相交于点．    (1)求证：≌； (2)求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）直接利用证明全等即可； （2）根据全等的性质，得出，再由，从而求出． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ≌； （2）解：由（1）知≌， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关图形的性质和判定． 33．（2023·湖北·中考真题）如图，将边长为3的正方形沿直线折叠，使点的对应点落在边上（点不与点重合），点落在点处，与交于点，折痕分别与边，交于点，连接．      (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由折叠和正方形的性质得到，则，进而证明，再由平行线的性质证明即可证明； （2）如图，延长交于点．证明得到，， 设，则，．由，得到．则．由勾股定理建立方程，解方程即可得到． 【详解】（1）证明：由翻折和正方形的性质可得，． ∴． ∴，即， ∵四边形是正方形， ∴． ∴． ∴． （2）解：如图，延长交于点． ∵， ∴． 又∵，正方形边长为3， ∴ ∴， ∴，， 设，则， ∴． ∵，即， ∴． ∴． 在中，， ∴． 解得：（舍），． ∴．    【点睛】本题主要考查了正方形与折叠问题，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确作出辅助线构造相似三角形是解题的关键． 34．（2023·湖北十堰·中考真题）过正方形的顶点作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线交直线于点．    (1)如图1，若，则___________； (2)如图1，请探究线段，，之间的数量关系，并证明你的结论； (3)在绕点转动的过程中，设，请直接用含的式子表示的长． 【答案】(1) (2) (3)，或，或 【分析】（1）如图，连接，，由对称知， 由四边形是正方形得，所以，从而； （2）如图，连接，，，，交于点H，由轴对称知，,，，可证得，由勾股定理得，中，，中，，从而； （3）由勾股定理，，分情况讨论：当点F在D,H之间时，；当点D在F,H之间时，；当点H在F,D之间时，． 【详解】（1）解：如图，连接，， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，关于对称， ∴，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴ ，    ∴． 故答案为：20． （2）解：；理由如下： 如图，由轴对称知，,，    而 ∴ ∴ ∴ ∴中， 中， ∴即； （3）∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，当点F在D,H之间时，，    如图，当点D在F,H之间时，    如图，当点H在F,D之间时，    【点睛】本题考查轴对称的性质，正方形的性质，等腰三角形知识，勾股定理等，将运动状态的所有可能考虑完备，分类讨论是解题的关键． 35．（2023·湖北宜昌·中考真题）如图，在正方形中，E，F分别是边，上的点，连接，，．    (1)若正方形的边长为2，E是的中点． ①如图1，当时，求证：； ②如图2，当时，求的长； (2)如图3，延长，交于点G，当时，求证：． 【答案】(1)①详见解析；② (2)详见解析 【分析】（1）①由，证明，可得结论；②如图，延长，交于点G作，垂足为H，证明，可得，可得，设可得，可得，可得，证明，可得，从而可得答案； （2）如图，延长，作，垂足为H，证明，设，可得，由，可得，可得，由可得，可得，证明，可得，，从而可得答案． 【详解】（1）解：如图，    正方形中，， ①， ∴， ， ， ②如图，    延长，交于点G， 作，垂足为H， 且， ， ， ， ， 方法一：设， ∴， ∴， 在中，， ， ， 方法二：在中，由，设， ， ， ， 又且， ， ， ， ； （2）如图    延长，作，垂足为H， 且， ， 设， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ，则， 又且， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是正方形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，本题计算量大，对学生的要求高，熟练的利用参数建立方程是解本题的关键． 36．（2023·湖北襄阳·中考真题）【问题背景】 人教版八年级下册数学教材第63页“实验与探究”问题1如下：如图，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长相等，无论正方形绕点怎样转动，两个正方形重叠部分的面积，总等于一个正方形面积的.想一想，这是为什么？（此问题不需要作答） 九年级数学兴趣小组对上面的问题又进行了拓展探究、内容如下：正方形的对角线相交于点，点落在线段上，（为常数）．    【特例证明】 （1）如图1，将的直角顶点与点重合，两直角边分别与边，相交于点，. ①填空：______； ②求证：．（提示：借鉴解决【问题背景】的思路和方法，可直接证明；也可过点分别作，的垂线构造全等三角形证明．请选择其中一种方法解答问题②．） 【类比探究】 （2）如图2，将图1中的沿方向平移，判断与的数量关系（用含的式子表示），并说明理由． 【拓展运用】 （3）如图3，点在边上，，延长交边于点，若，求的值． 【答案】（1）①1；②见解析；（2），理由见解析；（3）3 【分析】（1）①利用正方形性质即可得出答案； ②根据正方形的性质可得，，，利用证明即可； （2）过点作交于，利用平行线的性质及正方形的性质易证得，，可证明，利用相似三角形性质即可得出答案； （3）过点作交于，作于，作于，利用证得，可得：，，再证得，可得，同理可得：，推出，进而可得，令，则，，，利用勾股定理即可求得答案． 【详解】解：（1）①由正方形的性质可知：， ∵将的直角顶点与点重合， ∴， 故答案为：1； ②证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， 即， ∴， ∴． （2），理由如下： 过点作交于，    ∴，， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴，， 即， ∴， ∴． （3）过点作交于，作于，作于，    则， ∴， 即， ∴， 由（2）和已知条件可得：，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 令，则，，， ∴， ∴． 【点睛】此题是相似三角形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，作出辅助线构造出相似三角形和全等三角形是解本题的关键． 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$