22.1.4二次函数y=ax²+bx+c的图象和性质（第2课时）（培优教学课件）数学人教版九年级上册

人教版·九年级上册 第二十二章 二次函数 第22.1.4 二次函数y=ax2+bx+c 的图象和性质(第2课时） 学 习 目 标 1.会用待定系数法确定二次函数y=ax2＋bx＋c的解析式． 2.通过确定二次函数解析式的过程，体会综合运用函数解析式和过函数图象上的点的数形结合思想． 3.理解并掌握二次函数图象与各项系数之间的关系. 1.一次函数y=kx+b(k≠0)有几个待定系数？通常需要已知几个点的坐标求出它的表达式？ 2.求一次函数表达式的方法是什么？它的一般步骤是什么？ 待定系数法 (1)设：（解析式） (2)代：（坐标代入） (3)解：方程（组） (4)写：（写表达式） 2个 2个 方法 复习引入 3.已知一次函数经过点(2，-1)和(-2，3)，求这个一次函数的解析式. 解:设这个一次函数的解析式为y=kx+b. ∵一次函数经过点(2，-1)和(-2，3) ∴列方程组： 2k+b=-1 -2k+b=3 解得： k=-1 b=1 ∴这个一次函数的解析式为y=-x+1. 复习引入 探究 我们知道，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标可以确定一次函数，即可以求出这个一次函数的解析式.对于二次函数，探究下面的问题： （1）由几个点的坐标可以确定二次函数？这几个点应满足什么条件？ 分析：确定一次函数，即写出这个一次函数的解析式y=kx+b，需求出k，b的值.用待定系数法，由两点(两点的连线不与坐标轴平行)的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组就可以求出k，b的值. 类似地，确定二次函数，即写出这个二次函数的解析式y=ax2+bx+c，需求出a，b，c的值. 由不在同一直线上的三点(任意两点的连线不与y轴平行)的坐标，列出关于a，b，c的三元一次方程组就可以求出a，b，c的值. 互动新授 （2）如果一个二次函数的图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点，能求出这个二次函数的解析式吗？如果能，求出这个二次函数的解析式. 解：设所求二次函数为y=ax2+bx+c. 由已知，函数图象经过(-1，10)，(1，4)，(2，7)三点， a-b+c=10 得三元一次方程组 a+b+c=4 4a+2b+c=7 a=2 解得 b=-3 c=5 因此，所求二次函数的解析式为y=2x2-3x+5. 待定系数法 互动新授 ①设函数表达式为y=ax2+bx+c； ②代入后得到一个三元一次方程组； ③解方程组得到a,b,c的值； ④把待定系数用数字换掉，写出函数表达式. 用待定系数法求二次函数解析式步骤： 总结归纳 例1 一个二次函数的图象经过(-3，0)，(-1，0)，(0，-3) 三点.求这个二次函数的解析式. 解：设这个二次函数的解析式为y=ax2+bx+c， 9a-3b+c=0 依题意得 a-b+c=0 c=-3 a=-1 解得 b=-4 c=-3 ∴二次函数的解析式为y=-x2-4x-3. 设一般式：y=ax2+bx+c 典例精析 例2 已知抛物线的顶点是(2，4)，且经过点M(3，0)，求抛物线的解析式. 解：由抛物线的顶点是(2，4)， 可设抛物线的解析式为：y=a(x-2)2+4 ∵ 抛物线经过点M(3，0) ∴ 0=a×(3-2)2+4，解得 a=-4 ∴ 抛物线的解析式为：y=-4(x-2)2+4，即y=-4x2+16x-12. 设顶点式：y=a(x-h)2+k 典例精析 1.一个二次函数的图像经过(0,0)，(-1,-1)，(1,9)三点，求这个二次函数的解析式. 解:设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c. ∵函数图像经过(0,0)，(-1,-1)，(1,9)三点， ∴二次函数的解析式是y= 4x2+5x. c=0， a-b+c=-1， a+b+c=9， a=4， b=5， c=0. 解得 小试牛刀 1.一个二次函数图象的顶点坐标为(1，-1)，图象过点(2，2)，求这个二次函数的解析式． 解：设所求二次函数的解析式为 y=a(x-h)2＋k． 　　∵图象的顶点坐标为(1，-1)，∴h=1，k=-1． 　　∴y=a(x-1)2-1． ∵函数图象经过点(2，2)， 　　∴可列方程 a(2-1)2-1=2,解得 a=3． 　　∴这个二次函数的解析式为 y=3(x-1)2-1=3x2-6x＋2． 课堂检测 2.如图，已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点为C．  (1)求该图象的解析式；(2)求AC长． 解：（1）把点代入中得， 解得 ∴二次函数的解析式为： 课堂检测 2.如图，已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点为C．  (1)求该图象的解析式；(2)求AC长． （2）对于二次函数 令得 课堂检测 解：（1）把，两点代入二次函数得 ，解得 （2）由（1）得， 把代入，得， ∴点在不在此函数图象上． 1．已知二次函数的图像经过，两点． (1)求和的值； (2)试判断点是否在此函数图像上？ 拓展训练 2.已知抛物线顶点(1,16)，且抛物线与x轴的两交点间的距离为8，求其解析式. 解:由题意可知抛物线与x轴交点坐标为(5,0)，(-3,0), 设解析式为y=a(x-5)(x+3), ∵抛物线过点(1,16) ∴16=a(1-5)(1+3),解得a=-1. ∴抛物线的解析式为y=-(x-5)(x+3)=-x2+2x+15. 拓展训练 1.利用一般式求二次函数解析式. 2.利用顶点式求二次函数解析式. 用待定系数法求二次函数解析式 课堂小结 1.已知二次函数，其中、，则 该函数的图象可能为（    ） C 课后作业 2.已知二次函数的图象经过点(-1,3), (1,3),(2,6),求这个二次函数的解析式. 解：设其解析式为y=a(x-1)(x+1)+3, ∵图象经过点(2,6), ∴6=a(2-1)(2+1)+3, 解得a=1. ∴二次函数解析式为y=(x-1)(x+1)+3=x2+2. 课后作业 1.已知某二次函数的最大值为2，图象的顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（2，1），求二次函数的解析式． 解：∵函数的最大值是2，∴函数顶点的纵坐标是2， ∵顶点在y=x+1上，∴顶点的横坐标是1， 设此函数的解析式是y=a(x-1)2+2， 再把（2，1）代入函数中可得 a（2-1）2+2=1， 解得a=-1， ∴函数解析式是y=-x2+2x+1． 培优作业 感谢聆听! $$