专题04 代数式与代数式求值的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

专题04 代数式与代数式求值的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、用代数式表示数的规律 类型二、用代数式表示图形的规律 类型三、已知字母的值，求代数式的值 类型四、已知式子的值，求代数式的值 类型五、程序流程图与代数式求值 压轴专练 类型一、用代数式表示数的规律 1.数字规律观察：需识别数列增减、周期、递推等模式，如等差（后项-前项为定值）、等比（后项÷前项为定值），通过归纳相邻项关系提炼规律。 2.图形规律转化：将图形个数、边长等量化，分析数量与序号的对应关系，如n边形边数、点阵层数与点数的关系，转化为含n的代数式。 3.代数式构建：根据规律用字母（多为n）表示序号，通过特殊值验证，确保代数式对任意序号成立，常见形式有一次式an+b、二次式an²+bn+c等。 例1．有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了数字的变化规律，解答的关键是由所给的数总结出存在的规律． 不难看出，分子部分为从1开始的自然数，分母部分为，据此可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， 第个数为：， 故答案为：． 【变式1-1】观察下面一列有规律的数：，，，，，，…根据规律可知第个数应是 ．（为正整数） 【答案】 或 【分析】本题是一道找规律的题目，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题．找分数的规律时，一定要分别观察分数的分子和分母的规律．观察分数的规律时：第n个的分子是n，分母是分子加1的平方减去1，即 或． 【详解】解：∵ ； ； … 则根据分子和分母的规律可知第n个数为 或． 【变式1-2】观察下面三行数： ，64，…；① ，5，，17，，65，…；② ，8，，32，，128，…．③ (1)第①行第8个数为______； (2)用含n（n为正整数）的式子表示第①②③行中第n个数； (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2024个数，求的值． 【答案】(1)256； (2)第①行第n个数为；第②行第n个数为；第③行第n个数为； (3)1． 【分析】本题考查了数的规律探索，用代数式表示规律，求代数式的值，找到规律是解题的关键． （1）根据前面6个数的规律，可写出第7个、第8个数，从而完成解答； （2）找出每行的规律即可完成；第①行：符号是第一个数为负，第二个数为负，且负正相间，数字为2的乘方；第②行：第①行对应的数加1；第③行：第①行对应的数的2倍； （3）由（2）可分别得到行的第2024个数，即x、y、z的值，代入即可得的值． 【详解】（1）解：由规律得：第7个数为，第8个数为256； 故答案为：256； （2）解：第①行第n个数为； 第②行为第①行对应的数加1，即第n个数为； 第③行为第①行对应的数的2倍，即第n个数为； （3）解：由（2），当时，， ． 【变式1-3】如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成。 根据图形与等式的关系，解答下列问题： (1)猜想_______；（用含的等式表示，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查数字类规律探索： （1）根据已知图形、等式找出规律，利用规律求解即可； （2）利用（1）中结论进行简便运算． 【详解】（1）解：图1中， 图2中， 图3中， …… 以此类推，图中，， 故答案为：； （2）解：结合（1）中结论，可知： ． 类型二、用代数式表示图形的规律 1.图形量化分析：将图形特征（如个数、长度、面积）转化为具体数值，观察与图形序号的关联，如小正方形个数、线段段数等的变化。 2.数值规律提炼：对量化后的数值，分析其增减趋势、周期或递推关系，区分线性增长（如an+b）、二次增长（如an²+bn+c）等模式。 3.代数式验证：用字母n表示序号，根据规律写出代数式，代入不同序号验证是否符合图形特征，确保代数式的通用性。 例2．一张长方形桌子可坐6人，按图方式将桌子拼在一起． ． (1)2张桌子拼在一起可坐_________人，3张桌子拼在一起可坐_________人，张桌子拼在一起可坐________人． (2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？ 【答案】(1)，，． (2)共可坐人． 【分析】本题考查整式的图形规律．本题关键在于通过观察桌子拼接时可坐人数的变化，归纳出通用规律张桌子可坐人，再利用该规律解决实际问题（计算多张桌子拼接后的总人数）．解题时需注意从特殊到一般的归纳方法，以及规律在实际场景中的应用． （1）通过观察1张、2张、3张桌子拼接时可坐人数的变化，找出数量规律，进而推导出张桌子拼接时可坐人数的表达式； （2）先利用（1）中得到的规律计算每5张桌子拼成的大桌子可坐人数，再乘以大桌子的数量（8张）得到总人数． 【详解】（1）解：观察图形或分析拼接规律： 1张桌子可坐6人，每增加1张桌子，可坐人数增加2人； 因此2张桌子拼在一起时，可坐人数为人， 3张桌子拼在一起时，可坐人数为人， 归纳得出，张桌子拼在一起可坐人数为人． 故答案为：，，． （2）根据（1）中得到的规律，当时，可坐人数为人， 已知40张桌子可拼成8张大桌子，每张大桌子可坐14人， 因此总人数为人． 答：共可坐人． 【变式2-1】如图所示，某学校准备新建一个读书长廊，并用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地砖的边长均为米． (1)按图示规律，第3个图案的长度_______；第3个图案中没有花纹的正方形地砖数为_______． (2)若某个图案中带有花纹的地砖为n块，求没有花纹的地砖块数．（用含的代数式表示） 【答案】(1)米；18块 (2)块 【分析】本题考查列代数式，找出图形之间的联系得到运算规律，利用规律可得出一般性的结论，解题的关键是找到规律． （1）观察题目中的已知图形，即可得第3个图案边长和第3个图案没有花纹的正方形地砖数量； （2）观察题目中的已知图形，可得前3个图案中有花纹的地面砖数和正方形地砖总数，并发现其中的规律，根据规律，即可得第n个图案有花纹的地面砖数和正方形地砖总数． 【详解】（1）解：根据题意得：第1个图案的长度米，没有花纹的正方形地砖数为 第2个图案的长度米，没有花纹的正方形地砖数为， 第3个图案的长度米，没有花纹的正方形地砖数为， 故答案为：米；18 （2）解：根据题意得：第1个图案的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为1块， 第2个图案的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为2块， 第3个图案的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为3块， ……， 第n个图案中的正方形地砖总数为，带有花纹的地砖为n块， ∴没有花纹的地砖块数为块． 【变式2-2】在一个AI智能教育中心，小学员们正在参与一个名为“火柴棒项目”的智能编程．如图所示，小学员们需要使用火柴棒来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律； (1)若拼成的图形中含有4个三角形，则需要________根火柴棒； (2)若拼成的图形中含有n个三角形，则需要________根火柴棒；（用含有n的式子表示） (3)若每根火柴棒的长为1cm，且拼成的图形中所有火柴棒的长度和为，则拼成的图形中含有多少个三角形？ 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题考查了用代数式表示图形的变化规律，根据图形找到图形之间的联系是解题的关键． （1）根据图形即可求解； （2）根据前几个图形找到规律，进而求解； （3）由（2）找到的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：当图形中含有1个三角形时，需要（根）； 当图形中含有2个三角形时，需要（根）； 当图形中含有3个三角形时，需要（根）； 当图形中含有4个三角形时，需要（根）； 故答案为：； （2）解：当图形中含有个三角形，需要根； 故答案为：； （3）解：由题意得：， 解得：． 【变式2-3】【观察思考】 如图某公园围栏是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“”或“第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个． 【规律发现】 （1）请求出第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）现有个“”，按此规律制作围栏，要求“”剩余最少，需要购买多少个“”？ 【答案】（1），，（2）需要购买个“” 【分析】此题考查了图形个数规律题，发现正确的规律是解题的关键． （1）根据题中的规律进行解答即可； （2）利用（1）中的规律即可得到答案． 【详解】（1）由所给图形可知， 第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：； 第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：； 第个图案中“”的个数为：，“”的个数为：； ， 所以第个图案中“”的个数为个，“”的个数为个． 故答案为：，． （2）由得， ， 所以制作成第个图案“”剩余最少， 此时需要购买的“”的个数为：个， 故需要购买个“”． 类型三、已知字母的值，求代数式的值 1. 代数式代入：明确代数式中字母的对应值，将给定数值准确替换代数式中的字母，注意符号和指数的对应，避免代错位置。 2. 运算顺序遵循：按先乘方、再乘除、后加减的顺序计算，有括号先算括号内，确保每步运算符合有理数运算法则。 3. 结果化简：计算过程中及时合并同类项或化简，最终结果需为最简形式，检查是否符合代数式的实际意义（如非负性等）。 例3．若，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2)5 (3)25 【分析】本题考查了代数式求值，正确计算是解题的关键． （1）将代入计算即可； （2）将代入计算即可； （3）将代入计算即可． 【详解】（1）解：∵ ∴； （2）解：∵， ∴ （3）解：∵， ∴ 【变式3-1】当时，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了代数式求值； （1）将代入代数式求值，即可求解； （2）将代入代数式求值，即可求解； 【详解】（1）解：当时， （2）解：当时， 【变式3-2】求下列代数式的值： (1)，其中，，． (2)，其中． 【答案】(1)65 (2) 【分析】本题考查了代数式求值，解题关键是准确地将给定的数值代入到代数式中，并熟练掌握有理数运算法则． （1）将，，的值代入到代数式中，然后根据有理数运算法则计算即可； （2）将整体代入代数式中，然后根据有理数运算法则计算即可． 【详解】（1）解：当，，时， ； （2）解：当时， ． 【变式3-3】已知，试求下列代数式值： (1) (2) (3)由（1），（2）你有什么发现或者想法？ 【答案】(1)25 (2)25 (3)或 【分析】本题考查了求代数式的值，把所给字母代入代数式时，要补上必要的括号和运算符号，然后按照有理数的运算顺序计算即可． （1）把代入计算即可； （2）把代入计算即可； （3）根据（1）、（2）的计算结果判断即可． 【详解】（1）解：把代入，得 ； （2）解：把代入，得 ； （3）解：由（1）、（2）可知， 或． 类型四、已知式子的值，求代数式的值 1.整体代入思想：分析已知式子与所求代数式的联系，将已知式子视为整体，通过变形（如乘除系数、加减常数）转化为代数式的一部分，避免单独求字母值。 2.代数式变形：对所求代数式进行恒等变形，如提取公因式、拆项组合，使其包含已知式子的形式，便于整体代入计算。 3.等式性质应用：利用等式的基本性质（如两边同乘除、加减）处理已知式子，推导所需表达式的值，确保变形过程等价。 例4．已知 求 的值． 【答案】39 【分析】本题考查了整式的化简求值，在代入时用到的是整体代入法，熟练掌握去括号、合并同类项是法则是解题的关键．先将整式进行化简，再把、代入化简之后的式子中，进行计算即可得解． 【详解】解：∵、， ∴ ． 【变式4-1】整体思想是中学数学解题中一种重要思想方法． 有这样一道题：“如果整式的值为，那么整式”的值是多少？ 爱动脑筋的小明同学把作为一个整体进行求解，解题过程为： 原式 ． 请仿照以上解题方法，解决下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【答案】(1)2032 (2) 【分析】本题考查整式的化简求值： （1）先将原式进行化简整理，然后将代入即可求出答案． （2）先将原式进行化简整理，然后将代入即可求出答案． 【详解】（1）当时， =2032． （2）当时， ． 【变式4-2】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则 ； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ； (2)如果，求的值； (3)若，求的值． 【答案】(1)2025 (2)15 (3)36 【分析】本题主要考查代数式的计算，整体代入思想， （1）根据材料提示，，代入计算即可； （2）根据题意可得，再代入计算即可； （3）根据题意可得，代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：，且 ∴原式； （3）解：，且， ∴原式． 【变式4-3】先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为________． (2)若，求代数式的值． (3)若，则代数式的值为_________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据题目中所给的例子进行计算即可； （2）根据题目中所给的例子进行计算即可； （3）根据题目中所给的例子进行计算即可； 【详解】（1）解：， ； 故答案为：； （2）解：， ， ； （3）解：， ， ； 故答案为：． 类型五、程序流程图与代数式求值 1.流程图解读：识别程序框类型（输入、输出、运算、条件判断），理清流程逻辑顺序，明确变量的赋值与传递路径，如循环结构中变量的更新规则。 2.代数式转化：将流程图中的运算步骤（如加减乘除、乘方）转化为代数式，确定输入值与输出结果的代数关系，区分顺次运算与条件分支对应的不同表达式。 3.分步求值：按流程顺序代入数值逐步计算，遇条件判断时根据变量值选择分支，验证每步结果是否符合流程逻辑，确保最终输出与代数式计算一致。 例5．如图，是一个简单的数值运算程序． (1)请用含的代数式表示输出的结果___________． (2)计算当时，输出的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了列代数式及代数式求值，解题的关键是掌握代数式求值的方法． （1）观察运算程序图可知乘以，再加上4，由此列出代数式即可； （2）将代入（1）中所列代数式进行计算即可． 【详解】（1）解：由运算程序图可知输出的结果为：， 故答案为：； （2）解：当时， ． 【变式5-1】如图是一个“数值转换机”的示意图． (1)写出输出结果______（用含x的代数式表示）； (2)填写下表； x 0 1 2 输出 【答案】(1) (2)13，4，1，4，13 【分析】本题主要考查了代数式求值与程序流程图，正确列出对应的代数式是解题的关键． （1）根据程序流程图列出对应的代数式即可； （2）根据（1）所求，分别将x的值代入代数式即可得出输出值． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：当时，； 当，； 当，； 当，； 当，； 填表如下 x 0 1 2 输出 13 4 1 4 13 【变式5-2】有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【答案】(1)2，1，4 (2)2，1 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给数值转换器，通过计算发现输出结果的变化规律是解题的关键． （1）根据所给数值转换器，进行计算即可； （2）根据输入的数是11，依次求出输出的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】（1）解：由题知，当输入x的值是1时， 第一次输出的数是：； 第二次输出的数是：； 第三次输出的数是：； 第四次输出的数是：； 故答案为：2，1，4； （2）解：由题知，当输入x的值是11时， 第一次输出的结果是：； 第二次输出的结果是：； 第三次输出的结果是：； 第四次输出的结果是：； 第五次输出的结果是：； 第六次输出的结果是：； 第七次输出的结果是：； 第八次输出的结果是：； 第九次输出的结果是：； …， 由此可见，从第六次输出的结果开始按4，2，1循环， 因为余2， 所以第2017次输出的结果为2； 第2018次输出的结果为1． 故答案为：2，1． 【变式5-3】有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题： (1)如图，当输入数时，输出数_____； (2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____． (3)如图，当输入时，则输出结果为_____． 【答案】(1) (2)，， (3) 【分析】（1）利用图中公式计算得出答案； （2）利用最后的代数式推出空格中的式子； （3）根据图中计算公式及判断条件分别计算得出答案． 【详解】（1）解：如图，当输入数时，输出数， 故答案为：； （2）解：第一个带？号的运算框内，应填：， 第二个带？号的运算框内，应填：， 第三个带？号的运算框内，应填：， 故答案为：，，； （3）解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 输出结果为：， 故答案为：． 一、单选题 1．当时，代数式的值是（　　） A．7 B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查代数式求值，将代入代数式，按照有理数运算法则及运算顺序计算即可得到答案，掌握代数式求值的方法及有理数相关运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：当时，， 故选：D． 2．如果，那么的值为（    ） A． B．1 C． D．5 【答案】D 【分析】该题考查了代数式求值，将代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 3．按如图所示的运算程序，若输入m的值是2，则输出的结果是(   ) A． B．3 C． D．7 【答案】B 【分析】本题考查了代数式求值，理解题意掌握代数式求值的方法是解题的关键．根据题意，再将代入中即可求解． 【详解】解：， 将代入中得： ， 故选：B． 4．按规律排列的一组数据：，，□，，，，⋯，其中□内应填的数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数字的探索规律，分子和分母分别寻找规律是解题关键． 分子为连续奇数，分母为序号的平方加上1，根据规律即可得到答案． 【详解】观察这排数据发现，分子为连续奇数，分母为序号的平方加上1， 第n个数据为：， 当时，这个数为． 故选：D． 5．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷，乙烷，丙烷，…，癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷，十二烷，…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十一烷的化学式为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查图形的变化规律. 根据图形，可以写出和的个数，然后即可发现和的变化特点，从而可以写出十一烷的化学式． 【详解】由图可得， 甲烷的化学式中的有1个，有（个， 乙烷的化学式中的有2个，有（个， 丙烷的化学式中的有3个，有（个， ， 十一烷的化学式中的有11个，有（个， 即十一烷的化学式为， 故选：B． 二、填空题 6．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键． 先将变形为，然后将变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．若，，且，则 ． 【答案】2或 【分析】本题主要考查有理数的除法，代数式求值，绝对值的性质，确定m，n值是解题的关键．由绝对值的性质可求解对应的m，n值，再分别代入计算即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，；，， ∴当，时，； 当，时，． 故答案为：2或． 8．按图所示的程序计算：若开始输入的x的值为，则最后输出的结果是 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，由已知的程序框图，将代入计算得到结果为大于，继续代入计算，直到小于，即可得到正确的结果． 【详解】解：开始输入的x值为，代入得， ； 此时输入x的值为，代入得，代入得， ． 故答案为：． 9．大衍数列：0，2，4，8，12，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大街之数五十”的推论．对于按一定规律排列的数：，，，，…，依此规律排列，则大衍数列的第10个数是 ，第11个数是 ． 【答案】 50 60 【分析】本题考查了数字规律，乘方的运算，理解材料的计算方法，找出规律是关键，根据材料提示的计算方法，设为序号（的正整数），即第个数，其计算规律为：当序号是奇数时，第个数为，当序号是偶数时，第个数为，由此得到第10个数为偶数，第11个数为奇数，由此代入计算即可求解． 【详解】解：设为序号（的正整数），即第个数， ∴，即第1个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第2个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第3个数，序号为奇数，对应的数字为：， ，即第4个数，序号为偶数，对应的数字为：， ，即第5个数，序号为奇数，对应的数字为：， ， ∴当，即第10个数，序号为偶数，对应的数字为：， 当，即第11个数，序号为奇数，对应的数字为：， 故答案为：①；② ． 10．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推， ；的值为 ． 【答案】 35 【分析】本题主要考查图形的变化类．根据图形的变化先确定每幅图形的“●”的个数从而得到一般性的规律，再进行分数的变式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得： 第1幅图形中“●”的个数为， 第2幅图形中“●”的个数为， 第3幅图形中“●”的个数为， ……， 由此发现，第n幅图形中“●”的个数为， ∴， ∴ 故答案为：35； 三、解答题 11．（1）若，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，求的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1）或；（2） 【分析】本题考查了求代数式的值、相反数、倒数、绝对值等知识点； （1）根据相反数、倒数、绝对值得，，或，再代入求值即可； （2）根据非负性求出，，再代入求值即可． 【详解】解：（1）∵，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，， ∴，，或， ∴，， ∴， 当时，原式； 当时，原式； （2）∵， ∴，， ∴，， ∴． 12．下面给出了如图所示的程序框图，进行计算．    (1)如图1，若输入，求输出结果； (2)若在图1基础上增加一个计算程序“”，如图2，若输入，第一次运算得到，求输出结果． 【答案】(1) (2)24 【分析】（1）按照图示流程进行代入计算即可； （2）先根据第一次运算得到求出的值，再按照图示流程进行代入计算即可． 【详解】（1）由题意可得：， 因为， 所以输出结果是； （2）由题意可得：， 故， 因为，所以需要进行第二次运算： ， 因为， 所以输出结果是24 【点睛】本题考查了代数式代入求值，这类题目读懂题意是关键． 13．【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单的问题． 【尝试应用】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为______；（用含、的式子表示） （2）若，则______； 【拓展应用】 （3）若代数式的值为6，求代数式的值； （4）已知，的值是最大的负整数，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了整式的加减运算，代数式求值，掌握“整体思想”的运用是解题的关键． （1）求出的结果，再把代入化简后的结果计算即可求解； （2）由题意得到，再把代数式转化为，利用“整体思想”代入计算即可求解； （3）由题意得到，再把代数式转化为，利用“整体思想”代入计算即可求解； （4）由的值为最大的负整数得，再把代数式转化为，把、代入计算即可求解． 【详解】解：（1）把“”看成一个字母， ∴原式， ∴， 故答案为：； （2）若，则； 故答案为：； （3）∵代数式的值为6， ∴， ∴； （4）∵的值为最大的负整数， ∴， ∴ ． 14．观察下面三行数： 2、、8、、32、．① 1、、4、、16、．② 0、6、、18、、66．③ 取每一行的第个数，依次记为a，b，c．例如图中，当时，，，． (1)当时，_________，________； (2)是否存在某一列的三个数使得？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在；2048，11 【分析】本题主要考查了数字变化的规律，能根据所给三行数，发现每行数字的变化规律是解题的关键. （1）根据所给三行数，发现每行数字的变化规律，据此表示出第几个数即可解决问题. （2）根据（1）中发现的规律即可解决问题. 【详解】（1）观察第①行数可知， 后一个数总是前一个数的倍，且第个数是， 所以第①行的第个数可表示为：，即． 观察第②行数可知， 第②行的每一个数是第①行相应位置数的， 所以第②行的第个数可表示为：， 即． 观察第③行数可知， 第③行的每一个数是第①行相应位置数减去后的相反数， 所以第③行的第个数可表示为：， 即． 所以当时， ； ； ． 故答案为：；， （2）存在： 由得， ， 当为奇数时， ， 解得； 当为偶数时， ， 此方程无解， 所以的值为11． 所以． 15．用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有个棋子，第4个图形中有个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有___________个圆形棋子； （2）第个图形中有___________个圆形棋子；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2025个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放成功，是第几个图形？若不能，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）能摆放成功，理由见解析 【分析】本题考查与有理数有关的规律探究，熟练掌握有理数的计算是解题的关键， （1）根据题意可得到规律：每个图形中的棋子数比前一个图形多3个，即可得到答案； （2）根据（1）中的过程，总结规律即可得到答案； （3）根据（2）中总结出的规律，列出式子即可得到答案． 【详解】（1）解：由图可知：第一个图形有个圆形棋子， 第二个图形有个圆形棋子， 第三个图形有个圆形棋子， 第四个图形有个圆形棋子， 以此类推， 第六个图形有个圆形棋子， 故答案为：． （2）解：由（1）得： 第个图形中有个圆形棋子； 故答案为：． （3）能摆放成功，理由如下： 解：由题可得：， 解得：， ∵为整数， ∴2025个圆形棋子在第个图形中，能够按照题中的规律一次性摆放． 16．阅读材料：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若的值为__________； (2)当时，代数式的值是5，求当时，代数式的值； (3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值（用含的式子表示）． 【答案】(1)0 (2) (3) 【分析】本题考查了代数式求值，将代数式化为已知的形式，利用整体思想解决问题是解题的关键． （1）将代数式化为已知的形式即可求解； （2）当时，得，再将，代入代数式整理变形即可求解； （3）当时，得，再将代入原代数式整理变形即可求解． 【详解】（1）解：依题意得： ， 故答案为：0． （2）依题意得： 当时，，即：， 当时， ． （3）∵当时，代数式的值为， ∴． ∴． ∴当时， ． 17．【问题提出】 连接五边形的五个顶点和它内部的个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】 为了解决上面的问题，我们将运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 探究一： 如图①当五边形内有1个点时，可分得______个三角形． 探究二： 当五边形内有2个点时，可分得多少个三角形？ 在探究一的基础上，我们在图①五边形的内部再添加1个点，这个点的位置会有两种情况：可能在图①分割成的某个三角形的内部，如图②所示；也可能在三角形的某条公共边上，如图③所示．显然，不管哪种情况，都可分得______个三角形． 探究三： 当五边形内有3个点时，可分得______个三角形．请在图④中画出一种分割示意图． 【问题解决】 连接五边形的五个顶点和它内部的个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得______个三角形． 【拓展延伸】 若连接六边形的六个顶点和它内部的个点，可把六边形区域分割成______个互不重叠的三角形． 【答案】探究一：5；探究二：7；9，见解析；问题解决：；拓展延伸：． 【分析】本题主要考查图形类的规律探索，一元一次方程的应用，能够根据图形发现数字规律是解题的关键． 探究一：根据图形数出三角形个数即可； 探究二：根据图形数出三角形个数即可； 探究三：仿照题意先画出对应的图形，再数出三角形个数即可； 问题解决：由前面的探究可知连接五边形ABCDE的五个顶点和它内部的n个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是五边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2，据此求解即可； 拓展延伸：仿照探究画出对应的图形，可得连接六边形的六个顶点和它内部的m个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，三角形的个数是六边形的顶点数加上内部点的个数的2倍最后减去2，据此求解即可． 【详解】解：探究一：如图①，当五边形内有1个点时，可分得（个）三角形； 故答案为：5； 探究二：由图②和图③，当五边形内有2个点时，可分得（个）三角形； 故答案为：7； 探究三：画出图形如下，当五边形内有3个点时，可分得（个）三角形； 故答案为：9； 问题解决：由探究一可知：当五边形内有1个点时，可分得（个）三角形； 由探究二可知：当五边形内有2个点时，可分得（个）三角形； 由探究三可知：当五边形内有3个点时，可分得（个）三角形； ……， 以此类推，当五边形内有n个点时，可分得个三角形； 故答案为：； 拓展延伸：如图所示，当六边形内有1个点时，可以分个三角形， 当六边形内有2个点时，可以分个三角形， 当六边形内有3个点时，可以分个三角形， 以此类推，可知当六边形内有m个点时，可分得个三角形， 故答案为：． 18．在解决数学问题的过程中，我们常用到“数形结合”的数学思想，下面是数学兴趣小组运用数形结合思想探索求的值的过程：他们设计了如图（1）所示的几何图形，将一张面积为1的长方形纸片分割成7部分，部分①的面积是长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)部分②的面积是______；阴影部分的面积是______； (2)利用图形求出的值； (3)受此启发，请写出的值； (4)小明发现，若把边长为1的正方形进行分割也可以得出同样的结果，请在图（2）和图（3）中再设计两个求的值的几何图形． 【答案】(1)， (2) (3) (4)见解析 【分析】本题考查了数字和图形规律、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握图形和数字规律，从而完成求解． （1）结合题意，依次计算部分①到部分⑤的面积，再进一步即可得到答案； （2）根据（1）的结论，为长方形面积部分⑦面积，通过计算即可得到答案； （3）根据（1）的结论，得第n个部分的面积为：；根据（2）的结论，通过计算即可得到答案； （4）根据（1）的结论，每次分割原图形面积的一半，从而完成求解． 【详解】（1）解：∵将一张面积为1的长方形纸片分割成7部分，部分①的面积是长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． 即①的面积为：， 部分②是部分①面积的一半，即②的面积为：， 部分③是部分②面积的一半，即③的面积为：， ∴部分④是部分③面积的一半，即④的面积为：， ∴部分⑤是部分④面积的一半，即⑤的面积为：， 根据题意，得：阴影部分的面积⑥的面积， ∴阴影部分的面积 故答案为：， （2）解：根据（1）的结论，为部分①到部分⑥的面积总和，即为长方形面积部分⑦面积； ∴ （3）解：由（2）总结可得： ； （4）解：根据（1）的结论，每次分割作图如下： 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04 代数式与代数式求值的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、用代数式表示数的规律 类型二、用代数式表示图形的规律 类型三、已知字母的值，求代数式的值 类型四、已知式子的值，求代数式的值 类型五、程序流程图与代数式求值 压轴专练 类型一、用代数式表示数的规律 1.数字规律观察：需识别数列增减、周期、递推等模式，如等差（后项-前项为定值）、等比（后项÷前项为定值），通过归纳相邻项关系提炼规律。 2.图形规律转化：将图形个数、边长等量化，分析数量与序号的对应关系，如n边形边数、点阵层数与点数的关系，转化为含n的代数式。 3.代数式构建：根据规律用字母（多为n）表示序号，通过特殊值验证，确保代数式对任意序号成立，常见形式有一次式an+b、二次式an²+bn+c等。 例1．有一组数依次为，，，，…按此规律，第个数为 ．（用含的代数式表示） 【变式1-1】观察下面一列有规律的数：，，，，，，…根据规律可知第个数应是 ．（为正整数） 【变式1-2】观察下面三行数： ，64，…；① ，5，，17，，65，…；② ，8，，32，，128，…．③ (1)第①行第8个数为______； (2)用含n（n为正整数）的式子表示第①②③行中第n个数； (3)设x，y，z分别为第①②③行的第2024个数，求的值． 【变式1-3】如图，每个图形都由同样大小的小正方形按一定规律组成。 根据图形与等式的关系，解答下列问题： (1)猜想_______；（用含的等式表示，不用说明理由） (2)利用（1）的结论，计算：． 类型二、用代数式表示图形的规律 1.图形量化分析：将图形特征（如个数、长度、面积）转化为具体数值，观察与图形序号的关联，如小正方形个数、线段段数等的变化。 2.数值规律提炼：对量化后的数值，分析其增减趋势、周期或递推关系，区分线性增长（如an+b）、二次增长（如an²+bn+c）等模式。 3.代数式验证：用字母n表示序号，根据规律写出代数式，代入不同序号验证是否符合图形特征，确保代数式的通用性。 例2．一张长方形桌子可坐6人，按图方式将桌子拼在一起． ． (1)2张桌子拼在一起可坐_________人，3张桌子拼在一起可坐_________人，张桌子拼在一起可坐________人． (2)一家餐厅有40张这样的长方形桌子，按照上图方式每5张桌子拼成1张大桌子，则40张桌子可拼成8张大桌子，共可坐多少人？ 【变式2-1】如图所示，某学校准备新建一个读书长廊，并用若干块带有花纹和没有花纹的两种规格、大小相同的正方形地砖搭配在一起，按图中所示的规律拼成图案铺满长廊，已知每个小正方形地砖的边长均为米． (1)按图示规律，第3个图案的长度_______；第3个图案中没有花纹的正方形地砖数为_______． (2)若某个图案中带有花纹的地砖为n块，求没有花纹的地砖块数．（用含的代数式表示） 【变式2-2】在一个AI智能教育中心，小学员们正在参与一个名为“火柴棒项目”的智能编程．如图所示，小学员们需要使用火柴棒来构建一系列由三角形组成的图形，并探索这些图形的数学规律； (1)若拼成的图形中含有4个三角形，则需要________根火柴棒； (2)若拼成的图形中含有n个三角形，则需要________根火柴棒；（用含有n的式子表示） (3)若每根火柴棒的长为1cm，且拼成的图形中所有火柴棒的长度和为，则拼成的图形中含有多少个三角形？ 【变式2-3】【观察思考】 如图某公园围栏是由圆形构成的图案，每个圆形的边上都有“”或“第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个；第个图案中“”有个，“”有个． 【规律发现】 （1）请求出第个图案中“”有______个，“”有______个；（用含的式子表示） 【规律应用】 （2）现有个“”，按此规律制作围栏，要求“”剩余最少，需要购买多少个“”？ 类型三、已知字母的值，求代数式的值 1. 代数式代入：明确代数式中字母的对应值，将给定数值准确替换代数式中的字母，注意符号和指数的对应，避免代错位置。 2. 运算顺序遵循：按先乘方、再乘除、后加减的顺序计算，有括号先算括号内，确保每步运算符合有理数运算法则。 3. 结果化简：计算过程中及时合并同类项或化简，最终结果需为最简形式，检查是否符合代数式的实际意义（如非负性等）。 例3．若，求下列代数式的值： (1)； (2)； (3)． 【变式3-1】当时，求下列代数式的值． (1)； (2)． 【变式3-2】求下列代数式的值： (1)，其中，，． (2)，其中． 【变式3-3】已知，试求下列代数式值： (1) (2) (3)由（1），（2）你有什么发现或者想法？ 类型四、已知式子的值，求代数式的值 1.整体代入思想：分析已知式子与所求代数式的联系，将已知式子视为整体，通过变形（如乘除系数、加减常数）转化为代数式的一部分，避免单独求字母值。 2.代数式变形：对所求代数式进行恒等变形，如提取公因式、拆项组合，使其包含已知式子的形式，便于整体代入计算。 3.等式性质应用：利用等式的基本性质（如两边同乘除、加减）处理已知式子，推导所需表达式的值，确保变形过程等价。 例4．已知 求 的值． 【变式4-1】整体思想是中学数学解题中一种重要思想方法． 有这样一道题：“如果整式的值为，那么整式”的值是多少？ 爱动脑筋的小明同学把作为一个整体进行求解，解题过程为： 原式 ． 请仿照以上解题方法，解决下面的问题： (1)已知，求的值； (2)已知，求的值． 【变式4-2】理解与思考：整体代换是数学的一种思想方法．例如： 若，则 ； 我们将作为一个整体代入，则原式． 仿照上面的解题方法，完成下面的问题： (1)若，则 ； (2)如果，求的值； (3)若，求的值． 【变式4-3】先阅读下面的材料，再解决问题： 已知，在求关于的代数式的值时，可将变形为，就可将表示为的一次多项式，从而达到“降次”的目的．我们称为“降次代换法” 例如：已知，求代数式的值． 解：， 原式 请用“降次代换法”完成下列各小题： (1)若，则代数式的值为________． (2)若，求代数式的值． (3)若，则代数式的值为_________． 类型五、程序流程图与代数式求值 1.流程图解读：识别程序框类型（输入、输出、运算、条件判断），理清流程逻辑顺序，明确变量的赋值与传递路径，如循环结构中变量的更新规则。 2.代数式转化：将流程图中的运算步骤（如加减乘除、乘方）转化为代数式，确定输入值与输出结果的代数关系，区分顺次运算与条件分支对应的不同表达式。 3.分步求值：按流程顺序代入数值逐步计算，遇条件判断时根据变量值选择分支，验证每步结果是否符合流程逻辑，确保最终输出与代数式计算一致。 例5．如图，是一个简单的数值运算程序． (1)请用含的代数式表示输出的结果___________． (2)计算当时，输出的结果． 【变式5-1】如图是一个“数值转换机”的示意图． (1)写出输出结果______（用含x的代数式表示）； (2)填写下表； x 0 1 2 输出 x 0 1 2 输出 13 4 1 4 13 【变式5-2】有一数值转换器，原理如下图所示： (1)如果开始输入的值是1，可发现第一次输出的是4，第二次输出的是 ，第三次输出的是 ，第四次输出的是 ，…； (2)如果开始输入的数是11，可发现第一次输出的是14，第二次输出的是7，…，请你探索：第2017次输出的结果是 和2018次输出的结果是 ． 【变式5-3】有三种运算程序如下图所示，按要求完成下列各题： (1)如图，当输入数时，输出数_____； (2)如图，第一个带？号的运算框内，应填_____；第二个带？号的运算框内，应填_____；第三个带？号的运算框内，应填_____． (3)如图，当输入时，则输出结果为_____． 一、单选题 1．当时，代数式的值是（　　） A．7 B． C．5 D． 2．如果，那么的值为（    ） A． B．1 C． D．5 3．按如图所示的运算程序，若输入m的值是2，则输出的结果是(   ) A． B．3 C． D．7 4．按规律排列的一组数据：，，□，，，，⋯，其中□内应填的数是（   ） A． B． C． D． 5．烷烃是一类由碳、氢元素组成的有机化合物，在生产生活中可作为燃料、润滑剂等原料，也可用于动、植物的养护．通常用碳原子的个数命名为甲烷，乙烷，丙烷，…，癸烷（当碳原子数目超过10个时即用汉文数字表示，如十一烷，十二烷，…）等，甲烷的化学式为，乙烷的化学式为，丙烷的化学式为，其分子结构模型如图所示，按照此规律，十一烷的化学式为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 6．若，则 ． 7．若，，且，则 ． 8．按图所示的程序计算：若开始输入的x的值为，则最后输出的结果是 ． 9．大衍数列：0，2，4，8，12，…，来源于《乾坤谱》中对易传“大街之数五十”的推论．对于按一定规律排列的数：，，，，…，依此规律排列，则大衍数列的第10个数是 ，第11个数是 ． 10．如图所示，将形状、大小完全相同的“●”和线段按照一定规律摆成下列图形，第1幅图形中“●”的个数为，第2幅图形中“●”的个数为，第3幅图形中“●”的个数为，…，以此类推， ；的值为 ． 三、解答题 11．（1）若，互为相反数（，均不为0），，互为倒数，，求的值； （2）已知，求的值． 12．下面给出了如图所示的程序框图，进行计算．    (1)如图1，若输入，求输出结果； (2)若在图1基础上增加一个计算程序“”，如图2，若输入，第一次运算得到，求输出结果． 13．【知识呈现】我们可把中的“”看成一个字母，使这个代数式简化为，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．在数学中，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单的问题． 【尝试应用】 （1）上面【知识呈现】中的问题的化简结果为______；（用含、的式子表示） （2）若，则______； 【拓展应用】 （3）若代数式的值为6，求代数式的值； （4）已知，的值是最大的负整数，求的值． 14．观察下面三行数： 2、、8、、32、．① 1、、4、、16、．② 0、6、、18、、66．③ 取每一行的第个数，依次记为a，b，c．例如图中，当时，，，． (1)当时，_________，________； (2)是否存在某一列的三个数使得？若存在，求出和的值；若不存在，请说明理由． 15．用同样大小的圆形棋子按如图所示的规律摆放：第1个图形中有6个棋子，第2个图形中有9个棋子，第3个图形中有个棋子，第4个图形中有个棋子，以此类推． 【规律发现】 （1）第6个图形中有___________个圆形棋子； （2）第个图形中有___________个圆形棋子；（用含的代数式表示） 【规律应用】 （3）将2025个圆形棋子按照题中的规律一次性摆放，且棋子全部用完．若能摆放成功，是第几个图形？若不能，请说明理由． 16．阅读材料：“整体思想”是中学教学解题中的一种重要的思想方法，它在多项式的化简与求值中应用极为广泛．例如：已知，则代数式． 请你根据以上材料解答以下问题： (1)若的值为__________； (2)当时，代数式的值是5，求当时，代数式的值； (3)当时，代数式的值为，求当时，代数式的值（用含的式子表示）． 17．【问题提出】 连接五边形的五个顶点和它内部的个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得多少个三角形？（不计被分割的三角形） 【问题探究】 为了解决上面的问题，我们将运用归纳的策略，先在若干简单情形中寻找相应的规律． 探究一： 如图①当五边形内有1个点时，可分得______个三角形． 探究二： 当五边形内有2个点时，可分得多少个三角形？ 在探究一的基础上，我们在图①五边形的内部再添加1个点，这个点的位置会有两种情况：可能在图①分割成的某个三角形的内部，如图②所示；也可能在三角形的某条公共边上，如图③所示．显然，不管哪种情况，都可分得______个三角形． 探究三： 当五边形内有3个点时，可分得______个三角形．请在图④中画出一种分割示意图． 【问题解决】 连接五边形的五个顶点和它内部的个点，保证所有连线不再相交产生新的点，直到五边形内所有区域都变成三角形，可分得______个三角形． 【拓展延伸】 若连接六边形的六个顶点和它内部的个点，可把六边形区域分割成______个互不重叠的三角形． 18．在解决数学问题的过程中，我们常用到“数形结合”的数学思想，下面是数学兴趣小组运用数形结合思想探索求的值的过程：他们设计了如图（1）所示的几何图形，将一张面积为1的长方形纸片分割成7部分，部分①的面积是长方形纸片面积的一半，部分②的面积是部分①面积的一半，部分③的面积是部分②面积的一半，依此类推． (1)部分②的面积是______；阴影部分的面积是______； (2)利用图形求出的值； (3)受此启发，请写出的值； (4)小明发现，若把边长为1的正方形进行分割也可以得出同样的结果，请在图（2）和图（3）中再设计两个求的值的几何图形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$