专题06 整式运算中的应用、规律、新定义型的五类综合题型（压轴题专项训练）数学华东师大版2024七年级上册

专题06 整式运算中的应用、规律、新定义型的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、整式的加减实际应用问题 类型二、单项式的规律探究问题 类型三、整式中的数字类规律探究问题 类型四、整式中的图形类规律探究问题 类型五、整式加减中的新定义型问题 压轴专练 类型一、整式的加减实际应用问题 1.实际问题建模：将实际情境中的数量关系（如长度、面积、费用等）转化为整式，明确各整式代表的实际意义，建立数学模型。 2.整式运算应用：根据题意进行整式的加减运算（去括号、合并同类项），化简表达式以解决求和、差或比较大小等问题。 3.结果验证：将运算结果回归实际情境，检验是否符合题意（如非负性、实际单位），确保模型与运算的合理性。 例1．“双减”政策减轻了学生的课业负担，学校里的社团活动更加受到学生们的青睐．为满足学生课外活动需要，学校决定添置一批某品牌的足球和跳绳．已知足球每个定价为80元，跳绳每根定价为20元．现有A、B两家网店提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．具体如下： A网店：足球和跳绳都按定价的付款．B网店：买一个足球送一根跳绳． 已知该校计划从上述网店中购买足球50个，跳绳根（）． (1)在A网店购买需付款______元，在B网店购买需付款______元； （只能选择一家购买，用含的式子表示） (2)若只选择一家网店购买，当时，请通过计算说明学校选哪家网店比较合算； (3)当时，你能给出一种更为省钱的方法吗？试直接写出你的购买方法和所需费用． 【答案】(1)， (2)B网店 (3)能，从B网店买50个足球送50根跳绳，再从A网店买50条跳绳；4900元 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值、有理数的混合运算的应用，理解题意，正确列出代数式是解此题的关键． （1）根据题意列出代数式即可； （2）将代入（1）中的代数式即可； （3）利用、两个网店的优惠进行购买即可． 【详解】（1）解：由题意可得： 在网店购买需付款：元， 在网店购买需付款：元； （2）解：当时， 在网店购买需付款：（元）， 在网店购买需付款：（元）， ∵， ∴学校选网店购买比较合算； （3）解：从B网店买50个足球送50根跳绳，再从A网店买50条跳绳， 花费为：（元）． 【变式1-1】为响应国家“乡村振兴”的号召，李峰回家乡承包了一片土地用于种植草莓，土地平面示意图如图（图中长度单位：），请根据示意图回答下列问题： (1)用含，的式子表示出这片土地的总面积． (2)由于草莓品种和各个地块土壤条件存在差异，地块①和地块②平均每平方米可种植株草莓，地块③和地块④平均每平方米可种植株草莓，则李峰总共可种植多少株草莓?（用含，的式子表示） (3)在满足（2）问的条件下，当，时，李峰种植草莓的总数量为多少株? 【答案】(1)（平方米） (2)答：李峰总共可种植的草莓数量为株． (3)答：峰种植草莓的总数量为株 【分析】本题考查代数式，整式的加减的知识，解题的关键是根据题意和示意图，用含，的式子，进行解答，即可． （1）根据示意图，用长为米，宽为米的长方形面积减去长为米，宽为米的长方形面积，即可得到答案； （2）根据示意图，依次得到地块①，地块②，地块③，地块④的面积，再根据题意，即可求出李峰总共可种植的草莓数量； （3）把，，代入，进行计算，即可． 【详解】（1）解：这片土地的总面积为：（平方米）． （2）解：由示意图可得：地块①的面积为：（平方米）， 地块②的面积为：（平方米）， ∴地块①和地块②的总面积为：平方米， ∵地块①和地块②平均每平方米可种植株草莓， ∴地块①和地块②种植的草莓数量为：（株）； 地块③的面积为：（平方米）， 地块④的面积为：（平方米）， ∴地块③和地块④的总面积为：平方米， ∵地块③和地块④平均每平方米可种植株草莓， ∴地块③和地块④种植的草莓数量为：（株）； ∴李峰总共可种植的草莓数量为：（株）． 答：李峰总共可种植的草莓数量为株． （3）解：由（2）可得李峰总共可种植的草莓数量为株 ∴当，时，峰总共可种植的草莓数量为（株）． 答：峰种植草莓的总数量为株． 【变式1-2】某小型工厂生产酸枣面和黄小米，每日这两种产品共生产1500袋，两种产品的成本和售价如下表，设该工厂每天生产酸枣面袋． 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 酸枣面 40 46 黄小米 13 15 (1)每天生产袋酸枣面的成本为_____元，黄小米的成本为_____元．（用含的代数式表示，结果需化为最简形式） (2)用含的整式表示每天获得的利润，并进行化简． (3)当时，（2）问中的利润为_____元． 【答案】(1)； (2)元 (3) 【分析】本题考查了列代数式及整式加减运算的知识，掌握题干数量关系并用代数式表示出来是解题关键． （1）酸枣面的成本为每袋成本乘以数量，两种产品共生产1500袋减去生产x袋酸枣面则为黄小米的数量，再乘以每袋成本即可表示黄小米的成本； （2）用生产的酸枣面、黄小米的袋数分别乘以每袋酸枣面、黄小米的利润即可得到每天生产的酸枣面、黄小米的利润，然后把两者相加即可得到每天获得的利润； （3）代入（2）中的代数式即可求解． 【详解】（1）解：每天生产x袋酸枣面的成本为元， 黄小米的成本为元， 故答案为：，； （2）解：由题意得每天获得的利润： 元； （3）解：把代入得：元， 故答案为：． 【变式1-3】综合与实践 问题情境 劳动基地的蔬菜都成熟了，学校计划将蔬菜送给敬老院的老人，现有长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米的箱子若干，将蔬菜装满每个盒子后需利用打包带进行打包． 方案设计 如图，小红和小明各设计了一种打包方式（接头处的长度不计，本题所有问题只考虑打包带的长度，不考虑其他影响因素）． 问题解决 (1)用含a，b，c的式子表示这两种打包方式所用的打包带的长度：小红的方案中所用打包带的长度为________厘米；小明的方案中所用打包带的长度为________厘米． (2)当厘米，厘米，厘米时，小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是多少？ (3)当时，比较小红和小明设计的方案中，哪种所用的打包带的长度更短． 【答案】(1)； (2)小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米 (3)小红所用的打包带的长度更短 【分析】本题考查了列代数式、求代数式的值、整式的加减的应用． （1）根据题意列出代数式即可； （2）求出当厘米，厘米，厘米时，两种打包方式用的打包带，比较即可得解； （3）求出的值，判断即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：小红的方案中所用打包带的长度为厘米； 小明的方案中所用打包带的长度为厘米； （2）解：当厘米，厘米，厘米时， 小红的方案中所用打包带的长度为：厘米 小明的方案中所用打包带的长度为：厘米 答：小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是440厘米，460厘米； （3）解：小红所用的打包带的长度更短． ， ∵ ， ∴ ∴ ∴小红用的打包带的长度更短． 类型二、单项式的规律探究问题 1.系数规律分析：观察单项式系数的符号（如正负交替）、绝对值变化（等差、等比或乘方关系），归纳系数与序号的代数式关系。 2.字母及指数规律：确定所含字母种类，分析每个字母指数与序号的对应规律（如线性或二次关系），明确指数变化的周期性或递推性。 3.综合表达：结合系数、字母、指数的规律，用含序号n的代数式表示第n个单项式，代入特殊值验证规律的一致性，确保表达式准确。 例2．观察下列关于的单项式：，，，，，，…，按照上述规律，第个（为正整数）单项式是 ． 【答案】 【分析】本题考查单项式中的规律探究问题，解答本题的关键是明确题意，发现单项式系数与数字的变化特点，写出相应的单项式．根据题目中的单项式，可以发现单项式的系数是从1开始的一些连续的奇数，字母的指数幂是从1开始的一些连续的整数，从而可以写出第n个单项式． 【详解】解：∵关于x的单项式为：，，，，，，…， ∴第n个单项式为． 故答案为：． 【变式2-1】观察下列单项式：，，，，，，……则第个单项式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了探索数字类规律，仔细观察发现规律是解题的关键．根据单项式的系数发现规律即可作答． 【详解】解：由题知， 所给单项式的系数依次为2，，6，，10，…， 所以第n个单项式的系数可表示为：； 所给单项式的次数依次为：1，2，3，4，5，…， 所以第n个单项式的次数可表示为：n， 所以第n个单项式可表示为：． 故答案为：． 【变式2-2】请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： …… （1）第3个单项式应该是： ； （2）第n个单项式应该是： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式,确定单项式的系数和次数时，把一个单项式分解成数字因数和字母因式的积，是找准单项式的系数和次数的关键，解决本题的关键是要分别找出单项式的系数和次数的规律． 通过观察题意可得，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数，系数为，字母为，由此得到答案． 【详解】解：依题意得各单项式系数均为偶数，依次为，，……，，，奇数个时系数为负数，偶数个时系数为正数， 故第3个单项式的系数为，第n个单项式的系数为， 每个单项式的字母均为x，依次为, 故第3个单项式的字母为，第n个单项式的字母为， ∴第3个单项式为，第n个单项式为， 故答案为（1），（2）． 【变式2-3】观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 【答案】(1)， (2) (3) (4)， 【分析】本题主要考查了单项式规律题，单项式的系数、次数，写出满足某些特征的单项式等知识点，通过观察所给单项式发现并总结出一般规律是解题的关键． （1）通过对这组单项式的系数进行观察并总结规律，即可得出答案； （2）通过对这组单项式的次数进行观察并总结规律，即可得出答案； （3）根据（1）、（2）的归纳，即可得出答案； （4）根据（3）的猜想，直接写出第个、第个单项式即可． 【详解】（1）解：这组单项式的系数分别为：，，，，，，，， 可以发现，其符号规律是正负交替，即：， 其绝对值规律是，，，，，即：， 故答案为：，； （2）解：这组单项式的次数分别为：，，，，，，，，， 其规律是：从开始的连续自然数，即：， 故答案为：； （3）解：根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是：， 故答案为：； （4）解：根据猜想，可以写出第个、第个单项式，它们分别是： ， ， 故答案为：，． 类型三、整式中的数字类规律探究问题 1. 数字特征提取：观察数列的增减趋势、符号变化（如正负交替），分析相邻数的差、商或平方关系，确定基础规律类型（等差、等比、平方数等）。 2. 整式表达构建：用字母n（序号）表示数的位置，根据数字与序号的关联，构建含n的整式（如一次式、二次式），体现数字随序号的变化规律。 3. 规律验证：代入不同序号值检验整式是否匹配对应数字，修正表达式以确保对所有项成立，强化从特殊到一般的归纳能力。 例3．观察下列各式： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：． … 根据其规律，解答下列问题： (1)　　． (2)第n个式子为　　． (3)利用以上规律计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了有理数计算中的规律问题，掌握“裂项”规律是解题关键，此题旨在考查学生的举一反三能力． （1）观察各等式左右两边的变化规律，即可求解； （2）第n个式子左边为：，右边为：； （3）利用所得规律即可“裂项”求解． 【详解】（1）， 故答案为：； （2）解：第n个式子为： 故答案为：； （3）解：原式 ． ． 【变式3-1】试探索代数式与的关系． (1)当，时，分别求代数式与的值； (2)当，时，分别求代数式与的值； (3)从上述计算中，你发现了什么规律？ 当，时，请利用你发现的规律求代数式 的值． 【答案】(1)， (2)， (3)， 【分析】本题考查了代数式的求值，从而发现规律是解决此题的关键． （1）把，分别代入与计算即可； （2）把，分别代入与计算即可； （3）由（1）（2）总结可得，再利用规律计算即可． 【详解】（1）解：当时， ， ． （2）当时， ， ； （3）归纳可得：； 当时，． 【变式3-2】观察下面的等式： ； ； ； ； ． 回答下列问题： (1)填空：______； (2)设满足上面特征的等式最左边的数为a，请你直接写出此时的等式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了绝对值的意义，探索规律，能够通过所给的式子找到规律是解题的关键． （1）利用题干中等式的特征解答即可； （2）根据题目中给出的已知等式得出规律，写出等式最左边的数为a时的等式即可． 【详解】（1）解：由题意得：； （2）解：； ； ； ； ； …… ． 【变式3-3】观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）； (2)利用以上规律计算的值． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题主要考查了数字的变化类、有理数的混合运算等知识点，明确题意、发现数字的变化规律是解答本题的关键． （1）根据题目中给出的等式的规律，即可写出第n个等式； （2）先根据（1）得到的等式规律，然后运用乘法分配律解答即可． 【详解】（1）解： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 第n个等式：． 故答案为：． （2）解：由（1）的规律化解原式： ． 类型四、整式中的图形类规律探究问题 1.图形量化转化：将图形的构成要素（如个数、长度、面积）转化为具体数字，建立与图形序号的对应关系，明确量化对象的实际意义。 2.数值规律归纳：分析量化后数值的变化模式（如线性增长、平方增长），找出与序号n的关联，提炼出含n的整式表达式。 3.规律验证应用：代入不同序号验证整式是否匹配图形数量，结合图形特征调整表达式，确保规律的普遍性和准确性。 例4．用火柴棒按图中的方式搭图形． 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 5 9 13 a b 按上述信息填空： (1) ， ； (2)按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为 ；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2025个图形需要的火柴棒根数． 【答案】(1)17，21； (2)； (3)8101根 【分析】本题考查图形类规律探究： （1）观察可知，后一个图形比前一个图形多4根火柴棒，进而求出的值即可； （2）根据后一个图形比前一个图形多4根火柴棒，进行求解即可； （3）根据（2）中的规律进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知，后一个图形比前一个图形多4根火柴棒， ∴； （2）∵后一个图形比前一个图形多4根火柴棒， ∴搭第n个图形需要火柴棒的根数为； （3）将代入中得：（根） 即第2025个图形需要的火柴棒根数为8101根． 【变式4-1】【观察思考】 如图，这是由基本图形组成的一系列图案，其中第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；……按此规律排列下去． 【规律发现】 （1）第个图案有 个基本图形；第（是正整数）个图案有 （用含的式子表示）个基本图形． 【规律应用】 （2）摆第个图案需要多少个基本图形？ 【答案】（1）；；（2）个 【分析】本题考查图形变化的规律及列代数式，能根据所给图形变化的规律是解题的关键． （1）根据所个图形的基础图形的数量发现规律即可解决问题； （2）根据发现的规律解决问题即可． 【详解】解：（1）第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； 第个图案基础图形的个数：个； ； 第个图案基础图形的个数为个； 故答案为：；； （2）摆第个图案的基础图形的个数为个． 【变式4-2】如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有阴影． (1)①第3个图案中涂阴影的小正方形的个数为______． ②第4个图案中涂阴影的小正方形的个数为______． (2)用含的代数式表示第个图案中涂阴影的小正方形的个数． 【答案】(1)13，17 (2) 【分析】本题考查图形类规律探究，解一元一次方程，从已有图形中找到规律，是解题的关键： （1）观察可知，后一个图形中涂有阴影的小正方形的个数比前一个图形多4个，进而求出第个图形中涂有阴影的小正方体的个数，即可； （2）根据规律，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知：第一个图形中涂有阴影的小正方形的个数为5，后一个图形中涂有阴影的小正方形的个数比前一个图形多4个， ∴第个图形中涂有阴影的小正方体的个数为：； ∴第个图形中涂有阴影的小正方体的个数为：； 第个图形中涂有阴影的小正方体的个数为：； 故答案为：13，； （2）第个图形中涂有阴影的小正方体的个数为：． 【变式4-3】学科素养·实践探究（河北模拟）下列是用火柴棒拼出的图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第4个图中共有___________根火柴，第7个图中共有___________根火柴； (2)第个图形中共有___________根火柴：（用含的式子表示） (3)请判断上组图形中前2024个图形火柴数的总和是否为2024的倍数，并说明理由． 【答案】(1)17，29 (2) (3)是2024的倍数，见解析 【分析】本题考查了图形的变化类规律型以及列代数式，解决本题的关键是观察图形的变化寻找规律. （1）根据图形的变化先求出前几个图形中火柴棒的根数，进而可得第4个和第7个图中火柴棒的根数； （2）根据（1）中的规律写出第个图形中，火柴棒的根数即可； （3）求得第2024个图形的个数，并整理为即可说明是 2024的倍数. 【详解】（1）第 4 个图案中火柴有；第7个图案中火柴有. 故答案为： 17，29 （2）当时，火柴的根数是； 当时，火柴的根数是； 当时，火柴的根数是； 所以第个图形中火柴有. 故答案为： （3）理由： ∴前个图形火柴数的总和是的倍数 类型五、整式加减中的新定义型问题 1.新定义理解：准确解读新运算或新概念的规则（如自定义符号的运算顺序、新整式的构成方式），明确符号、字母的含义及适用范围。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的整式加减运算，按规则拆解新表达式，运用去括号、合并同类项等法则化简计算。 3.验证与拓展：通过实例验证对新定义的理解，结合整式性质解决求值、比较等问题，提升知识迁移能力。 例5．定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与______是关于2的平衡数，与______是关于2的平衡数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由． 【答案】(1)， (2)a与b是关于2的平衡数，理由见解析 【分析】本题考查了利用整式加减解决新定义问题的能力，关键是能根据题目定义准确列式、计算． （1）根据题目定义进行整式运算即可； （2）通过计算的值与2进行比较即可． 【详解】（1）解：设3的关于2的平衡数为a， 则， 解得， 3与是关于2的平衡数； 设的关于2的平衡数为b， 则， 解得， 与是关于2的平衡数， 故答案为：，； （2）a与b是关于2的平衡数，理由如下： ，， ， ， a与b是关于2的平衡数． 【变式5-1】定义新运算：满足． (1)计算的值； (2)当，，化简． (3)若，求第（2）问中的值． 【答案】(1)9 (2) (3)32 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握去括号合并同类项法则是关键． （1）根据，进行有理数的加减运算，即可求解； （2）根据，进行整式的加减运算，即可求解； （3）根据非负数的性质，求出，再代入第（2）题化简的结果即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴ ； （3）解：∵， ∴，， ∴， 把，代入得，． 【变式5-2】我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消数”．如多项式与多项式，则与互为“对消多项式”，它们的“对消数”为3． (1)下列各组多项式中，互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；        ②与； ③与；    ④与． (2)多项式与（为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消数”． 【答案】(1)②③④ (2) 【分析】本题主要考查了整式的加减运算、求代数式值，准确理解新定义是解题的关键． （1）运用题目中的定义进行逐一计算、辨别； （2）先运用题目中的定义求得m，n的值，再代入求解即可． 【详解】（1），不是常数， ①组多项式不是互为“对消多项式”； ，是常数， ②组多项式是互为“对消多项式”； ，是常数， ③组多项式是互为“对消多项式”， ，是常数， ④组多项式是互为“对消多项式”， 故答案为：②③④ （2） ， ， 与（m，n为常数）互为“对消多项式”， ，，为常数， 解得：，， ， 它们的“对消数”为3； 【变式5-3】［定义］：已知为关于的多项式，若，其中为大于0的常数，则称是的“友好式”，叫做关于的“友好值”． ［例如］：，，，则称是的“友好式”，关于的“友好值”为5. 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，，则是的“友好式”吗？若是，请求出关于的“友好值”；若不是，请说明理由； (2)已知，，若是的“友好式”，且“友好值”与的取值无关，保持1不变，求的值． 【答案】(1)不是，理由见解析 (2)8 【分析】本题考查了整式的加减运算的新定义，解题的关键是读懂题意，熟练掌握新定义，利用新定义解决问题． （1）读懂题意，利用新定义计算并判断； （2）利用新定义列等式求出的值，即可求解． 【详解】（1）解：， 故不是； （2）解：由题意得，， 则， 解得：， ∴ 一、单选题 1．按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查数字的变化类、单项式，解答本题的关键是明确题意，发现单项式的变化特点，求出相应的单项式． 根据题目中的单项式可以发现数字因数奇数项都是负的、偶数项都是正的，数字因数的绝对值是从1开始的序数的4倍与3的差，然后即可写出第n个单项式，本题得以解决． 【详解】解：∵ 观察这组单项式：，其系数是，，次数是1，2，3，4，5，， ∴第n个单项式的系数为，次数为其序数n， ∴第n个单项式为． 故选：D． 2．一列数，其中，则的值是（    ） A． B． C．1010 D．1010 【答案】D 【分析】本题主要考查数字的变化规律，解答的关键是由所给的式子得到该列数以，，2这三个数不断循环出现．求出前几个数，再分析其特点，从而可求解． 【详解】解：∵， ∴，，，… 由规律可知，这列数按照，，2依次不断循环出现， ∵，……2， ∴， ∴． 故选D． 3．对于任意式子，，定义：．当时，式子的值是（    ） A． B． C．7 D．9 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减中的化简求值，熟练掌握整式的运算法则是解题的关键． 根据新定义结合整式的加减计算法则求出的结果，再将代入求值即可． 【详解】解：由题意得： ， 当时， ， 故选：B． 4．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面可拼合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名为“回文”的桌面拼合方式，若每张桌面的宽为a尺（注：1尺米），“回文”桌面的周长可以表示为（   ）        A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】本题主要考查了列代数式，整式加减的应用，观察可知，每张中桌的桌面的长是宽的3倍，每张长桌的桌面的长是宽的4倍，则拼合成的桌面的的长是，则拼合成的桌面的的宽是，再根据长方形的周长公式列出对应的代数式即可． 【详解】解：由题意可得，每张中桌的桌面的长是宽的3倍，每张长桌的桌面的长是宽的4倍， 每张桌面的宽为a尺，则拼合成的桌面的的长是尺，则拼合成的桌面的的宽是尺， ∴则拼合成的桌面的周长可以表示为尺， 故选：D． 5．我国末朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”、图1有1颗弹珠：图2有3颗弹珠：图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若用表示图n的弹珠数，其中，2， 3， …，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了图形规律问题 ，旨在考查学生的抽象概括能力，由图可知：图1有1颗弹珠，图2有颗弹珠，图3有颗弹珠，推出，即可求解． 【详解】解：由图可知：图1有1颗弹珠，图2有颗弹珠，图3有颗弹珠， …， ∴， ∴ ． 故选D． 二、填空题 6．观察下列代数式：，按照上述规律，第个代数式是 ．第n个代数式是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由题知，单项式的系数依次为：，，，，，， 所以第个单项式的系数可表示为：， 单项式的次数依次为：，，，，，， 所以第个单项式的次数可表示为：， 所以第个单项式可表示为：， 当时，第个代数式是：． 故答案为：①，②． 7．定义一种新运算，规定：．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了定义新运算和运用整体代入法求代数式的值，解题的关键是要理解规定的式子，对号入座，注意整体思想的运用；先根据规定把整理成，再根据规定将化简整理，然后整体代入即可求出最后的值． 【详解】解：， 由得，    ， ， ，      ． 故答案为：． 8．将如图1的正方形进行如下操作：第1次，分别连接对边中点，得到如图2的5个正方形；第2次，将图2左上角正方形按上述方法再分割，得到如图3的9个正方形．依此类推，第5次，同样的操作后会得到 个正方形．根据以上操作，若要得到201个正方形，需要操作 次． 【答案】 21 50 【分析】此题主要考查了图形的变化类，根据已知得出正方形个数的变化规律是解题关键． 根据正方形的个数变化可设第n次得到个正方形，由此即可解题． 【详解】解：（个）， 设若要得到201个正方形，需要操作n次． 则 ， 答：第次，同样的操作后会得到个正方形．根据以上操作，若要得到个正方形，需要操作次． 故答案为：21；50. 9．把图中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、、、和一张长方形纸片，并将它们按图的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为，阴影部分的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式加减的应用，根据各线段的数量关系列出代数式，并正确进行计算是解题关键． 根据题意可表示出正方形A、的边长，再根据图中长方形的周长为，可求出的值；根据图的周长比阴影部分的周长多个A的边长，可求出阴影部分的周长． 【详解】解：由图可得，正方形的边长为， 正方形的边长为， ， ， 如图，阴影部分的周长比图的周长少个的边长， 阴影部分的周长： ． 故答案为：． 10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行．例如，当时，运用F①得；运用F②继续运算得．现取，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是 ． 【答案】4 【分析】本题考查了数字的变化类、有理数的混合运算，解决本题的关键是掌握“给什么用什么”是“新定义”解题的基本思路． 计算出时第次运算的结果，通过计算从第5次开始，结果就只有1和4两个数循环出现，进而观察规律即可得结论． 【详解】解：当， 第1次“F”运算的结果是：， 第2次“F”运算的结果是：， 第3次“F”运算的结果是：， 第4次“F”运算的结果是： 第5次“F”运算的结果是， 第6次“F”运算的结果是， 第7次“F”运算的结果是， … 以此类推可知，从第5次“F”运算开始，每两次“F”运算为一个循环，运算的结果为1、4依次出现，且当次数为偶数时，结果是4，次数为奇数时，结果是1， ∵， ∴第2024次“F”运算的结果是4， 故答案为：4． 三、解答题 11．定义新运算：满足． (1)当，，化简并按x进行降幂排列． (2)若，求第（2）问中的值． 【答案】(1) (2)32 【分析】（1）根据，进行整式的加减运算，即可求解； （2）根据非负数的性质，求出，再代入第（1）题化简的结果即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵， ∴ ∴， 把，代入得，． 【点睛】本题主要考查整式的化简求值，掌握去括号合并同类项法则是关键． 12．据调查，很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 在一次普及“交通安全知识”的综合实践活动中，七年级学生们对货车（如图）的盲区面积进行探究，得到货车盲区的部分分布图（如图），盲区的面积相同，都是，盲区的面积是，盲区的面积是． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）． (2)若，，求图中盲区的总面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据题意列出算式，进而计算即可； （）把代入（）所得的结果中计算即可求解； 本题考查了整式的加减的实际应用，代数式的值，掌握整式的加减运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：由题意得，盲区的总面积； （2）解：当，时，， ∴图中盲区的总面积为． 13．阅读下面的文字，完成解答过程． (1)，，，…，按照等号右边的形式直接写出结果：______． (2)计算：______； (3)尝试并计算：______． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了有理数的四则运算，能根据所给等式发现各部分的变化规律是解题的关键． （1）根据所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题． （2）根据（1）中发现的规律进行计算即可． （3）根据（1）中发现的规律进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知， 因为，，，， 所以第个等式可表示为：． 当时， ． 故答案为：． （2）解：由（1）知， 原式 ． 故答案为：． （3）解：由（1）知， 原式 ． 故答案为：． 14．观察下列单项式的规律：x，，，，，…，解答下列问题； (1)归纳猜想：（每空只能填写一个式子）第10个单项式为______，第n个单项式为______． (2)实践应用：第2024个单项式为______，第2025个单项式为______． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题主要考查了数字变化的规律及单项式，能根据所给单项式发现其系数及次数的变化规律是解题的关键． （1）观察所给单项式的系数及次数，发现规律即可解决问题； （2）根据(1)中发现的规律即可解决问题． 【详解】（1）解∶观察所给单项式可知， 单项式的系数依次为∶1，，4，，16，…， 所以第n个单项式的系数为∶ ， 单项式的次数依次为∶1，2，3，4，5，……， 所以第n个单项式的次数为∶n， 所以第n个单项式可表示为∶ ， 当时， 第10个单项式为， 故答案为∶，； （2）解∶由(1)知， 当时， 第2024个单项式为∶； 当时， 第2025个单项式为∶ 故答案为∶，． 15．某校体育组需添置一批体育器材，包括足球50个；跳绳条（）．已知某品牌足球每个统一定价为110元，跳绳每条统一定价为20元．现有、两家商店提出了各自的优惠方案： 店：买一个足球送一条跳绳； 店：足球和跳绳都打9折． (1)分别在，两家商店购买，各需付款多少元？（用含的代数式表示，并化简） (2)当时， ①通过计算说明此时在哪家商店购买较为合算？ ②你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算共需付款多少元． 【答案】(1)元，元 (2)）①B店；②能，先在A店购买50个足球，送50条跳绳，再在B店购买250条跳绳，10000元 【分析】本题考查列代数式、代数式求值，理解题意并列出代数式是解题的关键． （1）分别根据“在A店购买需付款＝足球定价×购买足球数量+跳绳定价×（购买跳绳数量﹣50）”和“在B店购买需付款＝折扣×（足球定价×购买足球数量+跳绳定价×购买跳绳数量）”解答即可； （2）①将分别代入（1）中求得的两个代数式，计算并比较大小即可； ②先在A店购买50个足球，送50条跳绳，再在B店购买250条跳绳并计算总付款即可． 【详解】（1）解：在A店购买需付款（元）， 在B店购买需付款（元）． 答：在A店购买需付款元，在B店购买需付款元． （2）解：①当时，（元）， （元）， ∵， ∴在B店购买较为合算． ②先在A店购买50个足球，送50条跳绳，再在B店购买250条跳绳更为省钱． （元）． 答：先在A店购买50个足球，送50条跳绳，再在B店购买250条跳绳更为省钱，共需付款10000元． 16．【观察思考】如图是由正方形组成的一系列图案，其中第个图案有个正方形；第个图案有个正方形；第个图案有个正方形； 【规律发现】（）第个图案有______个正方形； （）第（是正整数）个图案有______（结果无需化简）个正方形； 【规律应用】（）结合图案中正方形的组合方式，小明说：“用个正方形可以组成符合该规律的图案．”判断小明的说法是否正确，并说明理由． 【答案】（）；（）；（）小明的说法不正确，理由见解析 【分析】（）根据已知图案正方形的各数可得第个图案正方形的个数为个，据此即可求解； （）根据（）的结论求解即可； （）令，可得，据此即可判断求解； 本题考查了图形类规律探究，从已有图形找到图形的变化规律是解题的关键． 【详解】解：由所给图形可知， 第个图案正方形的个数为； 第个图案正方形的个数为； 第个图案正方形的个数为； ； ∴第个图案正方形的个数为个， 当时，， 即第个图案正方形的个数为个， 故答案为：； （）由（）知，第个图案正方形的个数为个， 故答案为：； （）小明的说法不正确，理由如下： 令， 解得， ∵不是整数 ， ∴用个正方形不可以组成符合该规律的图案， ∴小明的说法不正确． 17．将整数按下列方式排列成数表，用斜十字框“”框出任意的个数（如图），如果用（处于斜十字中心）表示类似“”形框中的个数，记． (1)若最小，那么 ，若最大，那么 ； (2)用等式表示与之间的关系 ； (3)若，求的值； (4)能等于吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3) (4)不能，理由见解析 【分析】（）由图中数表关系解答即可求解； （）利用图中数表关系表示出与的关系，再根据计算即可求解； （）把代入（）所得关系计算即可求解； （）把代入（）所得关系计算即可判断求解； 本题考查了有理数的加法运算，整式的加减，代数式是应用，由数表求出与之间的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：由图中数表关系可得：当，取最小值，， 当时，取最大值， 故答案为：，； （2）解：由图可得，，，，， ∴， 即， 故答案为：； （3）解：当时，， ∴； （4）解：不能，理由如下： 当时，， ∴， ∵为的倍数时在最右列，不符合要求， ∴四数的和不能为． 18．定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数． (1)填空：2023与 是关于的平均数， 与是关于2的平均数． (2)若a与2b是关于3的平均数，2b与c是关于的平均数，c与d是关于9的平均数，求 (3)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值． 【答案】(1)； (2)29 (3) 【分析】（1）根据平均数的定义，进行求解即可； （2）根据题意，得到，代入代数式求值即可； （3）根据a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，得到中不含项，求出的值，进而求出的值即可． 本题考查整数的加减运算，代数式求值．理解并掌握平均数的定义是解题的关键． 【详解】（1）解：， ∴2023与2025是关于的平均数， ， ∴与是关于2的平均数， 故答案为：；； （2）由题意得：， ∴ ； （3） ， ∵a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关， ∴， ∴， ∴， ∴． 19．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/米3 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米3 超出10立方米的部分 8元/米3 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水8立方米，则应交水费多少元？ (2)若某户居民2，3月份共用水15吨， ①当2月份用水4吨时，求该户居民2，3月份共交水费多少元？ ②若某户居民2月份用水a立方米，当时，该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 【答案】(1)20元 (2)①元；②元 (3)当时，总水费为元；② 当时，总水费为元；当时，总水费为元 【分析】本题考查了有理数的混合运算的应用、列代数式及整式加减的应用，理解题意，正确列式计算是解此题的关键． （1）根据题意列式计算即可得解； （2）①先求出三月份用水量，再列式计算即可得解；②先求出三月份用水量，再列式计算即可得解； （3）由题意知，4月份的用水量少于，再分三种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：应交水费（元）； （2）解：① ∵某户居民2，3月份共用水15吨，2月份用水4吨， ∴月份用水（吨）， ∴该用户2，3月份应交水费（元）； ② ∵某户居民2，3月份共用水15吨，某户居民2月份用水a立方米， ∴月份用水吨， 当时，该用户3月份应交水费元； （3）解：由题意知，4月份的用水量少于， ①当时，月份用水量超过 总水费为元 ②当时，月份的用水量不少于，但不超过， 总水费为元 ③当时，月份的用水量超过，但不到， 总水费为元； 综上所述，当时，总水费为元；② 当时，总水费为元；当时，总水费为元． 20．【提出问题】数学课上，老师提出一个问题：求的值． 【问题探究】甲、乙两位同学的探究过程如下： 甲同学借助图形进行探究，如图，他将一个面积为1的正方形纸片进行分割，部分②面积是部分①面积的一半，部分③面积是部分②面积的一半，依此类推，他用最大正方形的面积减去阴影部分面积即是的值． 乙同学从代数角度进行探究，设，则用第二个等式减去第一个等式即可求出的值． 由甲、乙同学的探究过程可知． （1）阴影面积为_____________； （2）____________； 【拓展应用】 （3）根据上述两位同学的探究方法，归纳_____________； （4）由（3）归纳的结论，计算______________，请说明理由．    【答案】（1）；（2）；（3）；（4），理由见解析 【分析】本题主要考查图形规律，数字规律，理解题意，找出数字规律、图形规律是解题的关键． （1）根据一个面积为1的正方形纸片进行分割，部分②面积是部分①面积的一半，部分③面积是部分②面积的一半，依此类推，即可求解； （2）根据材料提示方法计算即可； （3）设，则，根据材料提示方法计算即可求解； （4）设，则，根据材料提示计算即可． 【详解】解：（1）根据图示可得， 故答案为：； （2）设，则， ∴ ∴， 故答案为：； （3）设，则， ∴， 故答案为：； （4）设，则， ∴， ∴， 故答案为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 整式运算中的应用、规律、新定义型的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、整式的加减实际应用问题 类型二、单项式的规律探究问题 类型三、整式中的数字类规律探究问题 类型四、整式中的图形类规律探究问题 类型五、整式加减中的新定义型问题 压轴专练 类型一、整式的加减实际应用问题 1.实际问题建模：将实际情境中的数量关系（如长度、面积、费用等）转化为整式，明确各整式代表的实际意义，建立数学模型。 2.整式运算应用：根据题意进行整式的加减运算（去括号、合并同类项），化简表达式以解决求和、差或比较大小等问题。 3.结果验证：将运算结果回归实际情境，检验是否符合题意（如非负性、实际单位），确保模型与运算的合理性。 例1．“双减”政策减轻了学生的课业负担，学校里的社团活动更加受到学生们的青睐．为满足学生课外活动需要，学校决定添置一批某品牌的足球和跳绳．已知足球每个定价为80元，跳绳每根定价为20元．现有A、B两家网店提供包邮服务，并提出了各自的优惠方案．具体如下： A网店：足球和跳绳都按定价的付款．B网店：买一个足球送一根跳绳． 已知该校计划从上述网店中购买足球50个，跳绳根（）． (1)在A网店购买需付款______元，在B网店购买需付款______元； （只能选择一家购买，用含的式子表示） (2)若只选择一家网店购买，当时，请通过计算说明学校选哪家网店比较合算； (3)当时，你能给出一种更为省钱的方法吗？试直接写出你的购买方法和所需费用． 【变式1-1】为响应国家“乡村振兴”的号召，李峰回家乡承包了一片土地用于种植草莓，土地平面示意图如图（图中长度单位：），请根据示意图回答下列问题： (1)用含，的式子表示出这片土地的总面积． (2)由于草莓品种和各个地块土壤条件存在差异，地块①和地块②平均每平方米可种植株草莓，地块③和地块④平均每平方米可种植株草莓，则李峰总共可种植多少株草莓?（用含，的式子表示） (3)在满足（2）问的条件下，当，时，李峰种植草莓的总数量为多少株? 【变式1-2】某小型工厂生产酸枣面和黄小米，每日这两种产品共生产1500袋，两种产品的成本和售价如下表，设该工厂每天生产酸枣面袋． 成本/（元/袋） 售价/（元/袋） 酸枣面 40 46 黄小米 13 15 (1)每天生产袋酸枣面的成本为_____元，黄小米的成本为_____元．（用含的代数式表示，结果需化为最简形式） (2)用含的整式表示每天获得的利润，并进行化简． (3)当时，（2）问中的利润为_____元． 【变式1-3】综合与实践 问题情境 劳动基地的蔬菜都成熟了，学校计划将蔬菜送给敬老院的老人，现有长为a厘米，宽为b厘米，高为c厘米的箱子若干，将蔬菜装满每个盒子后需利用打包带进行打包． 方案设计 如图，小红和小明各设计了一种打包方式（接头处的长度不计，本题所有问题只考虑打包带的长度，不考虑其他影响因素）． 问题解决 (1)用含a，b，c的式子表示这两种打包方式所用的打包带的长度：小红的方案中所用打包带的长度为________厘米；小明的方案中所用打包带的长度为________厘米． (2)当厘米，厘米，厘米时，小红和小明设计的这两种打包方式所用的打包带的长度分别是多少？ (3)当时，比较小红和小明设计的方案中，哪种所用的打包带的长度更短． 类型二、单项式的规律探究问题 1.系数规律分析：观察单项式系数的符号（如正负交替）、绝对值变化（等差、等比或乘方关系），归纳系数与序号的代数式关系。 2.字母及指数规律：确定所含字母种类，分析每个字母指数与序号的对应规律（如线性或二次关系），明确指数变化的周期性或递推性。 3.综合表达：结合系数、字母、指数的规律，用含序号n的代数式表示第n个单项式，代入特殊值验证规律的一致性，确保表达式准确。 例2．观察下列关于的单项式：，，，，，，…，按照上述规律，第个（为正整数）单项式是 ． 【变式2-1】观察下列单项式：，，，，，，……则第个单项式为 ． 【变式2-2】请观察下面按照某种规律排列的一组单项式： …… （1）第3个单项式应该是： ； （2）第n个单项式应该是： ． 【变式2-3】观察下列单项式：，，，，，，，写出第个单项式．为了解决这个问题，特提供下面解题思路： (1)这组单项式的系数的符号规律是 ；系数的绝对值规律是 ． (2)这组单项式的次数的规律是 ． (3)根据上面的归纳，可以猜想第个单项式是(只能填写一个代数式) ． (4)请你根据猜想，写出第个、第个单项式，它们分别是 、 ． 类型三、整式中的数字类规律探究问题 1. 数字特征提取：观察数列的增减趋势、符号变化（如正负交替），分析相邻数的差、商或平方关系，确定基础规律类型（等差、等比、平方数等）。 2. 整式表达构建：用字母n（序号）表示数的位置，根据数字与序号的关联，构建含n的整式（如一次式、二次式），体现数字随序号的变化规律。 3. 规律验证：代入不同序号值检验整式是否匹配对应数字，修正表达式以确保对所有项成立，强化从特殊到一般的归纳能力。 例3．观察下列各式： 第1个式子：， 第2个式子：， 第3个式子：． … 根据其规律，解答下列问题： (1)　　． (2)第n个式子为　　． (3)利用以上规律计算：． 【变式3-1】试探索代数式与的关系． (1)当，时，分别求代数式与的值； (2)当，时，分别求代数式与的值； (3)从上述计算中，你发现了什么规律？ 当，时，请利用你发现的规律求代数式 的值． 【变式3-2】观察下面的等式： ； ； ； ； ． 回答下列问题： (1)填空：______； (2)设满足上面特征的等式最左边的数为a，请你直接写出此时的等式． 【变式3-3】观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第（取正整数）个等式：______（用含的等式表示）； (2)利用以上规律计算的值． 类型四、整式中的图形类规律探究问题 1.图形量化转化：将图形的构成要素（如个数、长度、面积）转化为具体数字，建立与图形序号的对应关系，明确量化对象的实际意义。 2.数值规律归纳：分析量化后数值的变化模式（如线性增长、平方增长），找出与序号n的关联，提炼出含n的整式表达式。 3.规律验证应用：代入不同序号验证整式是否匹配图形数量，结合图形特征调整表达式，确保规律的普遍性和准确性。 例4．用火柴棒按图中的方式搭图形． 图形标号 ① ② ③ ④ ⑤ 火柴棒根数 5 9 13 a b 按上述信息填空： (1) ， ； (2)按照这种方式搭下去，则搭第n个图形需要火柴棒的根数为 ；（用含n的代数式来表示） (3)按照这种方式搭下去，用（2）中的代数式求第2025个图形需要的火柴棒根数． 【变式4-1】【观察思考】 如图，这是由基本图形组成的一系列图案，其中第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；第个图案由个基本图形组成；……按此规律排列下去． 【规律发现】 （1）第个图案有 个基本图形；第（是正整数）个图案有 （用含的式子表示）个基本图形． 【规律应用】 （2）摆第个图案需要多少个基本图形？ 【变式4-2】如图，边长相等的小正方形组成一组有规律的图案，其中部分小正方形涂有阴影． (1)①第3个图案中涂阴影的小正方形的个数为______． ②第4个图案中涂阴影的小正方形的个数为______． (2)用含的代数式表示第个图案中涂阴影的小正方形的个数． 【变式4-3】学科素养·实践探究（河北模拟）下列是用火柴棒拼出的图形． 仔细观察，找出规律，解答下列各题： (1)第4个图中共有___________根火柴，第7个图中共有___________根火柴； (2)第个图形中共有___________根火柴：（用含的式子表示） (3)请判断上组图形中前2024个图形火柴数的总和是否为2024的倍数，并说明理由． 类型五、整式加减中的新定义型问题 1.新定义理解：准确解读新运算或新概念的规则（如自定义符号的运算顺序、新整式的构成方式），明确符号、字母的含义及适用范围。 2.转化应用：将新定义转化为熟悉的整式加减运算，按规则拆解新表达式，运用去括号、合并同类项等法则化简计算。 3.验证与拓展：通过实例验证对新定义的理解，结合整式性质解决求值、比较等问题，提升知识迁移能力。 例5．定义：若，则称a与b是关于2的平衡数． (1)3与______是关于2的平衡数，与______是关于2的平衡数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是不是关于2的平衡数，并说明理由． 【变式5-1】定义新运算：满足． (1)计算的值； (2)当，，化简． (3)若，求第（2）问中的值． 【变式5-2】我们定义：如果两个多项式与的和为常数，则称与互为“对消多项式”，这个常数称为它们的“对消数”．如多项式与多项式，则与互为“对消多项式”，它们的“对消数”为3． (1)下列各组多项式中，互为“对消多项式”的是___________（填序号）； ①与；        ②与； ③与；    ④与． (2)多项式与（为常数）互为“对消多项式”，求它们的“对消数”． 【变式5-3】［定义］：已知为关于的多项式，若，其中为大于0的常数，则称是的“友好式”，叫做关于的“友好值”． ［例如］：，，，则称是的“友好式”，关于的“友好值”为5. 根据以上信息，解答下列问题： (1)已知，，则是的“友好式”吗？若是，请求出关于的“友好值”；若不是，请说明理由； (2)已知，，若是的“友好式”，且“友好值”与的取值无关，保持1不变，求的值． 一、单选题 1．按一定规律排列的单项式：，第n个单项式是（   ） A． B． C． D． 2．一列数，其中，则的值是（    ） A． B． C．1010 D．1010 3．对于任意式子，，定义：．当时，式子的值是（    ） A． B． C．7 D．9 4．如图1，“燕几”即宴几，是世界上最早的一套组合桌，由北宋进士黄伯思设计．全套“燕几”一共有七张桌子，包括两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面可拼合成不同的图形．如图2给出了《燕几图》中名为“回文”的桌面拼合方式，若每张桌面的宽为a尺（注：1尺米），“回文”桌面的周长可以表示为（   ）        A．尺 B．尺 C．尺 D．尺 5．我国末朝时期的数学家杨辉，曾将大小完全相同的圆弹珠逐层堆积、形成“三角垛”、图1有1颗弹珠：图2有3颗弹珠：图3有6颗弹珠，往下依次是第4个图，第5个图，…；若用表示图n的弹珠数，其中，2， 3， …，则 的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．观察下列代数式：，按照上述规律，第个代数式是 ．第n个代数式是 ． 7．定义一种新运算，规定：．若，则的值为 ． 8．将如图1的正方形进行如下操作：第1次，分别连接对边中点，得到如图2的5个正方形；第2次，将图2左上角正方形按上述方法再分割，得到如图3的9个正方形．依此类推，第5次，同样的操作后会得到 个正方形．根据以上操作，若要得到201个正方形，需要操作 次． 9．把图中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片A、、、和一张长方形纸片，并将它们按图的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为，阴影部分的周长为 ． 10．定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，；②当n为偶数时，（其中k是使为奇数的正整数），两种运算交替进行．例如，当时，运用F①得；运用F②继续运算得．现取，则有，按此规律继续计算，第2024次“F”运算的结果是 ． 三、解答题 11．定义新运算：满足． (1)当，，化简并按x进行降幂排列． (2)若，求第（2）问中的值． 12．据调查，很多交通事故和汽车盲区有关，汽车盲区是指驾驶员位于正常驾驶位置时，其视线被车体遮挡而不能直接观察到的那部分区域．在汽车行驶时，若行人、非机动车处于汽车盲区内，极易引发交通事故． 在一次普及“交通安全知识”的综合实践活动中，七年级学生们对货车（如图）的盲区面积进行探究，得到货车盲区的部分分布图（如图），盲区的面积相同，都是，盲区的面积是，盲区的面积是． (1)用含的代数式表示图中盲区的总面积（结果需化简）． (2)若，，求图中盲区的总面积． 13．阅读下面的文字，完成解答过程． (1)，，，…，按照等号右边的形式直接写出结果：______． (2)计算：______； (3)尝试并计算：______． 14．观察下列单项式的规律：x，，，，，…，解答下列问题； (1)归纳猜想：（每空只能填写一个式子）第10个单项式为______，第n个单项式为______． (2)实践应用：第2024个单项式为______，第2025个单项式为______． 15．某校体育组需添置一批体育器材，包括足球50个；跳绳条（）．已知某品牌足球每个统一定价为110元，跳绳每条统一定价为20元．现有、两家商店提出了各自的优惠方案： 店：买一个足球送一条跳绳； 店：足球和跳绳都打9折． (1)分别在，两家商店购买，各需付款多少元？（用含的代数式表示，并化简） (2)当时， ①通过计算说明此时在哪家商店购买较为合算？ ②你能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算共需付款多少元． 16．【观察思考】如图是由正方形组成的一系列图案，其中第个图案有个正方形；第个图案有个正方形；第个图案有个正方形； 【规律发现】（）第个图案有______个正方形； （）第（是正整数）个图案有______（结果无需化简）个正方形； 【规律应用】（）结合图案中正方形的组合方式，小明说：“用个正方形可以组成符合该规律的图案．”判断小明的说法是否正确，并说明理由． 17．将整数按下列方式排列成数表，用斜十字框“”框出任意的个数（如图），如果用（处于斜十字中心）表示类似“”形框中的个数，记． (1)若最小，那么 ，若最大，那么 ； (2)用等式表示与之间的关系 ； (3)若，求的值； (4)能等于吗？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 18．定义：若，则称a与b是关于数n的平均数．比如3与是关于的平均数，7与13是关于10的平均数． (1)填空：2023与 是关于的平均数， 与是关于2的平均数． (2)若a与2b是关于3的平均数，2b与c是关于的平均数，c与d是关于9的平均数，求 (3)现有与（k为常数），且a与b始终是关于数n的平均数，与x的取值无关，求n的值． 19．为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采取价格调控手段以达到节水的目的，下表是该市自来水收费价格的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/米3 超出6立方米但不超出10立方米的部分 4元/米3 超出10立方米的部分 8元/米3 注：水费按月结算 (1)若某户居民2月份用水8立方米，则应交水费多少元？ (2)若某户居民2，3月份共用水15吨， ①当2月份用水4吨时，求该户居民2，3月份共交水费多少元？ ②若某户居民2月份用水a立方米，当时，该用户3月份应交水费多少元（用含a的整式表示，结果要化成最简形式）？ (3)若某户居民4，5月份共用水15立方米（5月份用水量多于4月份），设4月份用水x立方米，求该户居民4，5月份共交水费多少元（用含x的整式表示，结果要化成最简形式）． 20．【提出问题】数学课上，老师提出一个问题：求的值． 【问题探究】甲、乙两位同学的探究过程如下： 甲同学借助图形进行探究，如图，他将一个面积为1的正方形纸片进行分割，部分②面积是部分①面积的一半，部分③面积是部分②面积的一半，依此类推，他用最大正方形的面积减去阴影部分面积即是的值． 乙同学从代数角度进行探究，设，则用第二个等式减去第一个等式即可求出的值． 由甲、乙同学的探究过程可知． （1）阴影面积为_____________； （2）____________； 【拓展应用】 （3）根据上述两位同学的探究方法，归纳_____________； （4）由（3）归纳的结论，计算______________，请说明理由．    1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$