3.1.2 第3课时 直线与椭圆的位置关系(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

直线与椭圆的位置关系 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第3课时 课时目标 会判断直线与椭圆的位置关系,掌握点差法在中点弦问题中的应用. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 直线与椭圆位置关系的判断 题型(二)　弦长问题 题型(三)　中点弦问题 4 课时跟踪检测 题型(一) 直线与椭圆位置关系的判断 01 　　一般,联立直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的方程,得 消去y,得一个一元二次方程. 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 ______ Δ>0 相切 ______ Δ=0 相离 ______ Δ<0 2 1 0 [例1]　已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.试问当m取何值时,直线l与椭圆C: (1)相交; 解:联立得9x2+8mx+2m2-4=0,Δ=64m2-36(2m2-4)=144-8m2, 当直线与椭圆相交,即Δ>0时,144-8m2>0,解得-3<m<3. (2)相切; 解:当直线与椭圆相切,即Δ=0时,144-8m2=0,解得m=±3. (3)相离? 解:当直线与椭圆相离,即Δ<0时,144-8m2<0,解得m>3或m<-3. 　　判断直线与椭圆的位置关系,可·以直接由直线方程和椭圆方程联立后,通过消元得到关于x(或y)的一元二次方程,然后利用判别式判断即可;有些题目也可注意直线所恒过的点与椭圆的位置关系,从而判断直线与椭圆的位置关系. |思|维|建|模| 1.直线l:ax+y-a+1=0与椭圆+=1的位置关系是(　　) A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 针对训练 √ 解析:法一　∵ax+y-a+1=0,即a(x-1)+y+1=0,∴直线l恒过定点M(1,-1). 又∵椭圆+=1,∴+<1,∴定点M在椭圆内,∴直线l与椭圆相交. 法二　⇒(3a2+2)x2-6a(a-1)x+3(a2-2a-1)=0, ∴Δ=36a2(a-1)2-12(3a2+2)(a2-2a-1)=48a2+48a+24=48+12>0恒成立, ∴直线l与椭圆相交. 2.直线l:y=kx+2与椭圆C:+y2=1有公共点,则k的取值范围为 _____________________________. ∪ 解析:联立整理得(2k2+1)x2+8kx+6=0. 因为直线l与椭圆C有公共点. 所以Δ=(8k)2-24(2k2+1)≥0, 解得k≥或k≤-. 题型(二)　弦长问题 02 [例2]　已知斜率为2的直线经过椭圆+=1的右焦点F2,与椭圆相交于 A,B两点,则弦AB的长为____________. 解析:∵直线AB过椭圆+=1的右焦点F2(1,0),且斜率为2, ∴直线AB的方程为y=2(x-1),即2x-y-2=0. 法一　由方程组 解得或则交点A(0,-2),B. ∴|AB|===. 法二　设点A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组消去y,得3x2-5x=0, 解得x1=0,x2=.∴|AB|=|x1-x2|=×=. 法三　设点A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组消去x,得3y2+2y-8=0,则由根与系数的关系得y1+y2=-,y1y2=-, ∴|AB|=|y1-y2|=×=. 求弦长的一般步骤 (1)联立直线与椭圆的方程; (2)设法消去未知数y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程,由根与系数的关系得到x1+x2,x1x2(或y1+y2,y1y2); (3)代入弦长公式|AB|=·|x1-x2|=或|AB|=|y1-y2|=(k≠0)求解. |思|维|建|模| 3.已知椭圆+y2=1与直线y=x+m交于A,B两点,且|AB|=,则实数m的值为 (　　) A.±1　　　B.±　　　C.　　　D.± 针对训练 √ 解析:由消去y并整理,得3x2+4mx+2m2-2=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-,x1x2=. 由题意,得|AB|== =,解得m=±1. 4.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为6,离心率为. (1)求椭圆C的方程; 解:由题意可得解得a=3,c=2. ∴b2=a2-c2=5. ∴椭圆C的方程为+=1. (2)若直线y=x+m与椭圆C交于A,B两点,求|AB|的最大值. 解:设A(x1,y1),B(x2,y2). 由⇒14x2+18mx+9m2-45=0. 由Δ=(18m)2-4×14×(9m2-45)>0,得m2-14<0. ∴x1+x2=-,x1x2=. ∴|AB|= =≤, 当且仅当m=0时等号成立. ∴|AB|max=. 题型(三)　中点弦问题 03 [例3]　已知椭圆+=1和点P(4,2),直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点. 当点P恰好为线段AB的中点时,求l的方程. 解:法一:根与系数的关系、中点坐标公式法 设l的斜率为k,则其方程为y-2=k(x-4). 联立消去y,得(1+4k2)x2-(32k2-16k)x+(64k2-64k-20)=0. 设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=. 因为线段AB的中点恰好为P(4,2),所以==4,解得k=-,且满足Δ>0. 所以直线l的方程为y-2=-(x-4),即y=-x+4. 法二:点差法　设A(x1,y1),B(x2,y2), 则有两式相减得+=0, 整理得kAB==-. 因为P(4,2)是线段AB的中点,所以x1+x2=8,y1+y2=4,所以kAB=-=-,所以直线AB的方程为y-2=-(x-4),即y=-x+4. 法三:共线法　设所求直线与椭圆的一个交点为A(x,y),另一个交点为B,由于点P(4,2)为线段AB的中点,因此B(8-x,4-y).因为A,B两点都在椭圆上, 所以 ①-②,得x+2y-8=0. 即点A的坐标满足这个方程,根据对称性,点B的坐标也满足这个方程,而过A,B两点的直线只有一条,故所求直线的方程为x+2y-8=0. 解决椭圆中点弦问题的三种方法 |思|维|建|模| 根与系数 的关系法 联立直线方程和椭圆方程构成方程组,消去一个未知数,利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决 点差法 利用交点在曲线上,坐标满足方程,将交点坐标分别代入椭圆方程,然后作差,构造出中点坐标和斜率的关系 共线法 利用中点坐标公式,如果弦的中点为P(x0,y0),设其中一个交点为A(x,y),则另一个交点为B(2x0-x,2y0-y),将A,B的坐标分别代入椭圆方程,作差即得所求直线方程 5.若椭圆+=1的弦AB被点P(1,1)平分,则AB所在直线的方程为(　　) A.9x+4y-13=0 B.4x+9y-13=0 C.x+2y-3=0 D.x+3y-3=0 针对训练 √ 解析:若直线AB⊥x轴,则点A,B关于x轴对称,则直线AB的中点在x轴,不合乎题意, 所以直线AB的斜率存在,设点A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=y1+y2=2,所以 两式作差可得+=0,即+=0,即+=0,可得直线AB的斜率为kAB==-,所以直线AB的方程为y-1=-(x-1),即4x+9y-13=0. 6.已知椭圆+=1(a>b>0)的一条弦所在的直线方程是2x-y+9=0,弦的中点坐标是M(-4,1),则椭圆的离心率是(　　) A.　　　B. 　　　C.　　　D. 解析:设直线2x-y+9=0与椭圆相交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,弦的中点坐标是M(-4,1),则x1+x2=-8,y1+y2=2,直线AB的斜率k==2.由 得+=0,∴=-×=2,∴=,故椭圆的离心率e===. √ 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知直线l:x+y-3=0,椭圆+y2=1,则直线与椭圆的位置关系是(　　) A.相离 B.相切 C.相交 D.相交或相切 解析:把x+y-3=0代入+y2=1,得+(3-x)2=1,即5x2-24x+32=0. ∵Δ=(-24)2-4×5×32=-64<0,∴直线与椭圆相离. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.直线y=x-1被椭圆2x2+y2=4所截得的弦的中点坐标是 (　　) A. B. C. D. 解析:由消去y得2x2+(x-1)2=4,即3x2-2x-3=0, ∴弦的中点的横坐标是x=×=,代入直线方程y=x-1中,得y=-, ∴弦的中点坐标是. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.经过点P且与椭圆+y2=1相切的直线方程是(　　) A.x+2y-4=0 B.x-2y-4=0 C.x+2y-2=0 D.x-2y+2=0 √ 解析:显然当x=1时,直线与椭圆有两个交点,不符合题意;当存在斜率k时,直线方程设为y-=k(x-1),与椭圆的方程联立,得 得(1+4k2)x2+4kx(-2k)+4k2-4k-1=0,直线与椭圆相切,故Δ=0, 即[4k(-2k)]2-4×(1+4k2)×(4k2-4k-1)=0,解得k=-, 所以切线方程为x+2y-4=0,故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知斜率为1的直线l过椭圆+y2=1的右焦点,交椭圆于A,B两点, 则弦AB的长为(　　) A.　　　B.　　　C. 　　　D. √ 解析:由椭圆方程得,a2=4,b2=1,所以c2=3,所以右焦点坐标为(,0),则直线l的方程为y=x-,设A(x1,y1),B(x2,y2),联立消y得,5x2-8x+8=0, 则x1+x2=,x1·x2=,所以|AB|=· =×=.即弦AB的长为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.若椭圆+=1的弦AB中点坐标为, 则直线AB的斜率为(　　) A.　　　　B.-　　　　C.　　　　D.- √ 解析:由于+=<1,所以点在椭圆内部,设A(x1,y1),B(x2,y2), 由已知x1+x2=2,y1+y2=1,两式相减得+ =0, 所以kAB==-=-=-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.(2023·新课标Ⅱ卷)已知椭圆C:+y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,直线y=x+m 与C交于A,B两点,若△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,则m=(　　) A.　　　B.　　　C.-　　　D.- 解析:将直线y=x+m与椭圆C联立消去y可得4x2+6mx+3m2-3=0. 因为直线y=x+m与椭圆C相交于A,B两点,则Δ=36m2-4×4(3m2-3)>0, 解得-2<m<2.由题意,F1(-,0),F2(,0),因为△F1AB面积是△F2AB面积的2倍,所以点F1到直线AB的距离是点F2到直线AB的距离的2倍,即=2×, 解得m=-或m=-3(舍去),故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)若直线y=x+2与椭圆+=1有两个公共点,则m的取值范围是 ________________________. (1,3)∪(3,+∞) 解析:∵+=1表示椭圆,∴m>0且m≠3. 由得(m+3)x2+4mx+m=0, ∴Δ=16m2-4m(m+3)>0,解得m>1或m<0. ∴m>1且m≠3,∴m的取值范围是(1,3)∪(3,+∞). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)已知直线l:y=kx+1与椭圆+y2=1交于M,N两点,且|MN|=, 则k=__________. ±1 解析:设M(x1,y1),N(x2,y2),由消去y并化简得(1+2k2)x2+4kx=0,所以x1+x2=-,x1x2=0,由|MN|=,得(x1-x2)2+(y1-y2)2=, 所以(1+k2)(x1-x2)2=,所以(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]=, 即(1+k2)=,化简得k4+k2-2=0,所以k2=1,所以k=±1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的右焦点为F(4,0),过点F的直线交椭圆E于 A,B两点,若AB的中点坐标为M(1,-1),则椭圆E的方程为____________. 解析:由题意,设A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程+=1,可得 两式相减可得+=0,变形可得kAB==, 又AB的中点M为(1,-1),所以x1+x2=2,y1+y2=-2,代入上式可得,kAB==, 又kAB=kMF,F(4,0),kMF=,所以=,3b2=a2,又a2=b2+c2,c2=16,解得a2=24,b2=8, 所以椭圆E的方程为+=1. +=1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)如图,椭圆有这样的光学性质:从椭圆的一个 焦点出发的光线,经椭圆反射后,反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下题:已知曲线C的方程为+=1,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF1|=,过点P且与直线l垂直的直线l'与椭圆长轴交于点M,则|F1M|∶|F2M|=__________. 解析:由椭圆的光学性质得到PM平分∠F1PF2,所以=, 由|PF1|=,|PF1|+|PF2|=4,得|PF2|=,故|F1M|∶|F2M|=3∶5. 3∶5 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知椭圆C:+=1的左、右顶点分别为A,B,P为C上一点(异于A,B),直线PA,PB与直线x=4分别交于M,N两点,则|MN|的最小值为___________. 6 解析:如图所示,设P(x0,y0),则+=1,易知A(-2,0),B(2,0),直线PA和直线PB的斜率存在,且斜率之积为kPA·kPB=·==-. 设直线PA的方程为y=k(x+2),则M(4,6k), 直线PB的方程为y=-(x-2),则N, 所以|MN|==|6k|+≥2=6.当且仅当12k2=3,即k=±时, 等号成立,故|MN|的最小值为6. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(0,-1),F2(0,1), 且椭圆C经过点P. (1)求椭圆方程;(4分) 解:∵椭圆C的焦点为F1(0,-1),F2(0,1),∴c=1　①, 又∵点在椭圆C:+=1上, ∴+=1　②, 而a2=b2+c2　③, ∴联立①②③得 ∴椭圆方程为+x2=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若A点为椭圆上一动点,求A点到直线y=x-4的最小距离.(6分) 解:设l:y=x+m与椭圆相切, ∴联立方程组 ∴3x2+2mx+m2-2=0,Δ=4m2-4×3(m2-2)=0,∴m=±, 显然易知当m=-时,l:y=x-与y=x-4距离最近, ∴d===2-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知椭圆M:+=1(a>b>0)的短半轴长为3,离心率为. (1)求椭圆M的方程;(3分) 解:由椭圆M:+=1 的短半轴长为3,离心率为,可得b=3且=, 即a=c, 因为a2=b2+c2,可得2c2=9+c2,解得c=3, 所以a=3,所以椭圆的方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)过P(1,1)的直线l交椭圆M于A,B两点,且P为AB的中点,求弦AB的长度.(7分) 解:设A(x1,y1),B(x2,y2),因为P(1,1)为AB的中点,可得=1,=1,则 两式相减得9(x2-x1)(x1+x2)+18(y2-y1)(y1+y2)=0,即=-=-,即kAB=-,所以直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+2y-3=0,联立方程组整理得x2-2x-9=0, 可得x1+x2=2,x1x2=-9,则|AB|=|x1-x2|=· =·=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)如图,过点B(0,-b)作椭圆+=1(a>b>0)的弦,求这些弦中的最大弦长. 解:设M(x,y)是椭圆上任意一点,则|BM|2=x2+(y+b)2=x2+y2+2by+b2①, 由+=1,有x2=(b2-y2)②. 将②代入①式,整理得|BM|2=y2+2by+(a2+b2) =·+. ∵-b≤y≤b, 当b≤c时,≤b, ∴当y=时,|BM|的最大值为. 当b>c时,>b, ∴当y=b时,点M为(0,b),即y轴上方顶点位置,∴|BM|的最大值为2b. 综上所述,当b≤c时,这些弦中的最大弦长为;当b>c时,这些弦中的最大弦长为2b. $$