3.1.2 第2课时 椭圆简单几何性质的综合应用(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

椭圆简单几何性质的综合应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 拓展椭圆的几何性质.能解决与椭圆几何性质有关的最值(范围)问题.利用椭圆的几何性质解决一些简单的实际问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一) 求椭圆离心率的最值(范围) 题型(二)　椭圆中与几何性质有关的 最值问题 题型(三)　椭圆的实际应用问题 4 课时跟踪检测 题型(一)　求椭圆离心率的最值(范围) 01 [例1]　已知F1,F2是椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆上一点, ∠F1PF2=90°,求椭圆离心率的取值范围. 解:法一:利用基本不等式　不妨设|PF1|=m,|PF2|=n, 因为∠F1PF2=90°, 所以m2+n2=|F1F2|2=4c2. 而m+n=2a⇒m2+2mn+n2=4a2. 由基本不等式2mn≤m2+n2,可知4a2≤m2+m2+n2+n2=2(m2+n2), 所以m2+n2≥2a2,于是4c2≥2a2⇒e=≥. 又因为椭圆离心率小于1, 所以所求椭圆离心率的取值范围为. 法二:利用焦半径公式　设P(x1,y1),由焦半径公式知|PF1|=a+ex1,|PF2|=a-ex1. 因为∠F1PF2=90°, 所以|PF1|,|PF2|,|F1F2|满足勾股定理. 所以4c2=(a+ex1)2+(a-ex1)2=2a2+2e2, 整理得==·(2c2-a2)=2a2-. 又因为0≤<a2(点P不能与长轴端点重合), 所以0≤2a2-<a2,即0≤2-<1. 化简整理可得椭圆离心率的取值范围为. 法三:利用余弦定理　设椭圆短轴的一个端点为B.由于椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°, 则∠F1BF2最大且为钝角或直角. 于是cos∠F1BF2≤0. 由余弦定理可得cos∠F1BF2===1-≤0. 化简整理可得≥,所以≤e<1, 即椭圆离心率的取值范围为. 法四:利用数形结合　如图,设椭圆短轴的一个端点为B.要使∠F1BF2为钝角或直角(即使得椭圆上存在点P,使∠F1PF2=90°), 显然需有|OF2|≥|OB|,即c≥b. 此时,∠OBF2≥45°,即∠F1BF2≥90°, 当点P沿椭圆运动时才会出现∠F1PF2为直角的情况. 所以c2≥b2=a2-c2,于是a2≤2c2. 所以≥. 又椭圆的离心率小于1, 故椭圆离心率的取值范围为. 　　求离心率的取值范围,关键在于需要找到一个或多个限制a,b,c的不等式,即要构造一个关于a,b,c的不等式或不等式组. |思|维|建|模| 1.已知椭圆+=1(a>b>0)的上、下焦点分别为F1,F2,且椭圆上存在点P,使得|PF1|=7|PF2|,则该椭圆离心率的取值范围是(　　) A.　　　B.　　　C. 　　　D. 针对训练 解析:由椭圆的定义得|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=7|PF2|,所以|PF1|=a, |PF2|=a.又|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c,当且仅当点P在椭圆下顶点时等号成立,所以a-a≤2c,即a≤2c,则e=≥,即≤e<1,所以椭圆离心率的取值范围是.故选C. √ 题型(二)　椭圆中与几何性质有关的最值问题 02 [例2]　已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若点A(3,0),M满足|AM|=1, 且·=0,则|PM|的最小值是________. 解析:易知点A(3,0)是椭圆的右焦点. 因为·=0,所以PM⊥AM,所以|PM|2=|AP|2-|AM|2=|AP|2-1, 所以|AP|越小,|PM|就越小.当P为椭圆的右顶点时,|AP|取得最小值2, 所以|PM|的最小值是=. 求最值问题的基本策略 (1)求解形如|PA|+|PB|的最值问题,一般通过椭圆的定义把折线转化为直线,当且仅当三点共线时|PA|+|PB|取得最值. (2)求解形如|PA|的最值问题,一般通过二次函数的最值求解,此时一定要注意自变量的取值范围. (3)求解形如ax+by的最值问题,一般通过数形结合的方法转化为直线问题解决. (4)利用不等式,尤其是基本不等式求最值或取值范围. |思|维|建|模| 2.设P,Q分别为圆x2+(y-6)2=2和椭圆+y2=1上的点,则P,Q两点间的最大距离是(　　) A.5　　　B.+　　　C.7+　　　D.6 针对训练 解析:由题意,P,Q两点间的最大距离可以转化为圆心坐标(0,6)到椭圆上的点的最大距离再加上圆的半径.设Q(x,y),则圆心到点Q的距离d===.又-1≤y≤1,所以dmax=5,所以P,Q两点间的最大距离是6. √ 3.若点O和点F分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则·的最大值为(　　) A.2　　　B.3　　　C.6　　　D.8 解析:设P(x0,y0),则+=1,即=3-.因为F(-1,0),所以· =x0·(x0+1)+=+x0+3=(x0+2)2+2.又x0∈[-2,2],所以·∈[2,6],所以(·)max=6. √ 题型(三)　椭圆的实际应用问题 03 [例3]　某颗小行星的运行轨道是一个椭圆,太阳位于椭圆的一个焦点处.小行星离太阳的最近距离是1.486天文单位,最远距离是5.563天文单位 (1天文单位是指太阳与地球之间的平均距离,约为1.50×108 km,是天文学的一种长度单位).求椭圆轨道的长半轴长和短半轴长各是多少个天文单位. (参考数据:≈2.875 2) 解:如图,设椭圆的焦点为F1,F2,焦距为2c, 太阳位于焦点F1处,小行星的位置P到两焦点的距离之和|PF1|+|PF2|等于一个固定值2a. 要使|PF1|最大,距离之差|PF1|-|PF2|最大,但|PF1|-|PF2|≤|F1F2|=2c, 当且仅当F1,F2,P成一条直线且F2在F1和P之间时,|PF1|-|PF2|达到最大值2c, |PF1|达到最大值=a+c. 而当|PF2|达到最大值a+c时,|PF1|达到最小值a-c, 所以 解得a=3.524 5,c=2.038 5, 因此b==≈2.875 2, 故椭圆轨道的长半轴长为3.524 5天文单位,短半轴长为2.875 2天文单位. |思|维|建|模| 椭圆在实际问题中的应用方法 　　对于椭圆的实际应用问题,首先要抽象出相应的数学问题,即建立数学模型,一般要先建立平面直角坐标系,然后利用椭圆的定义,构造参数a,b,c之间的关系,得到椭圆方程,最后解决数学问题并解释实际问题.解题时注意图形本身的特征. 针对训练 4.某操场的正前方有两根高度均为6 m、相距10 m的旗杆(都与地面垂直).有一条26 m长的绳子,两端系在两根旗杆的顶部,并按如图所示的方式绷紧,使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内.假定这条绳子在系到旗杆上时长度没有改变,求绳子与地面(水平面)的接触点到两根旗杆的距离各是多少. 解:建立如图所示的平面直角坐标系, 因为|PB|+|PD|=26>10, 所以点P在以B,D为焦点的椭圆上. 设椭圆的方程为+=1(a>b>0), 显然2a=26,2c=10⇒a=13, c=5⇒b==12, 所以椭圆的方程为+=1. 因为旗杆的高度为6 m, 所以+=1⇒x=±, 则-5=,+5=. 所以绳子与地面(水平面)的接触点到两根旗杆的距离分别是 m, m. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知F1,F2是椭圆C:+=1的两个焦点,点M在C上,则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A.13　　　　B.12　　　　C.9　　　　D.6 解析:由椭圆C:+=1,得|MF1|+|MF2|=2×3=6, 则|MF1|·|MF2|≤=32=9, 当且仅当|MF1|=|MF2|=3时等号成立.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.在椭圆+=1中,A1,A2分别为椭圆的左、右顶点,F1为左焦点, M是椭圆上的点,则△MF1A2的面积的最大值为(　　) A.16 B.32 C.16 D.32 解析:由题意可知当M为短轴端点时,△MF1A2的面积取最大值.因为椭圆方程为+=1, 所以a=5,b=4,c=3,因此△MF1A2的面积的最大值为(a+c)b=×8×4=16.故选A. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知椭圆+=1上一点P,F1,F2分别是椭圆的左、右焦点,若△F1PF2为直角三角形,则满足条件的点P有(　　) A.2个 B.4个 C.6个 D.8个 解析:当∠PF1F2为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点P有2个;同理当∠PF2F1为直角时,这样的点P有2个;当点P为椭圆的短轴端点时,∠F1PF2最大,且为直角,这样的点P有2个,故符合要求的点P共有6个.故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知椭圆的标准方程为+=1,则椭圆上的点P到椭圆中心O的距离|OP|的取值范围为(　　) A.[6,10] B.[6,8] C.[8,10] D.[16,20] √ 解析:设P(x0,y0),则|OP|=.由椭圆的性质,知|x0|≤a=10, |y0|≤b=8.因为点P在椭圆上,所以+=1,所以=64-, 所以|OP|=.因为0≤≤100,所以64≤+64≤100, 所以8≤|OP|≤10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知F1,F2分别是椭圆M:+=1(a>b>0)的左、右焦点,点P在椭圆M上, 且|PF1|-|PF2|=4b,则M的离心率的取值范围为(　　) A. B. C. D. 解析:由题意得则|PF1|=a+2b,|PF2|=a-2b, 由|PF1|=a+2b≤a+c,|PF2|=a-2b≥a-c,得2b≤c,即4b2=4(a2-c2)≤c2, 得≥.又0<e<1,所以M的离心率的取值范围为. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]已知椭圆C:+=1,F1,F2是椭圆的左、右焦点,P为椭圆上任意一点. 下列说法正确的是(　　) A.椭圆离心率为 B.|PF1|的最大值为3 C.0≤∠F1PF2≤ D.|PF1|+|PF2|=2 解析:由椭圆C:+=1,可得a=2,b=,则c==1,由椭圆C的离心率为e==,所以A正确;由椭圆的几何性质,当点P为椭圆的右顶点时,可得|PF1|max =a+c=3,所以B正确;当点P为椭圆的短轴的端点时,可得|PF1|=|PF2|=a=2, |F1F2|=2c=2,所以∠F1PF2=,根据椭圆的几何性质,可得0≤∠F1PF2≤, 所以C正确;由椭圆的定义,可得|PF1|+|PF2|=2a=4,所以D错误. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.设B是椭圆C:+=1(a>b>0)的上顶点,若C上的任意一点P都满足|PB|≤2b,则C的离心率的取值范围是(　　) A. B. C. D. 解析:法一　依题意,B(0,b),设P(acos θ,bsin θ),θ∈[0,2π),因为|PB|≤2b, 所以对任意θ∈[0,2π),(acos θ)2+(bsin θ-b)2≤4b2恒成立,即(a2-b2)sin2θ+ 2b2sin θ+3b2-a2≥0对任意θ∈[0,2π)恒成立.令sin θ=t,t∈[-1,1],f(t)=(a2-b2)t2+ 2b2t+3b2-a2,则原问题转化为对任意t∈[-1,1],恒有f(t)≥0成立.因为f(-1)=0,所以只需-≤-1即可,所以2b2≥a2,则离心率e=≤,故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二　依题意,B(0,b),设椭圆上一点P(x0,y0),则|y0|≤b,由+=1,可得=a2-,则|PB|2=+(y0-b)2=+-2by0+b2=--2by0+a2+b2≤4b2.因为当y0=-b时,|PB|2=4b2,所以-≤-b,得2c2≤a2,所以离心率e=≤,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)德国天文学家开普勒发现天体运行轨道是椭圆.已知地球运行的轨道是一个椭圆,太阳在它的一个焦点上,轨道近日点到太阳中心的距离和远日点到太阳中心的距离之比是29∶30,那么地球运行轨道所在椭圆的离心率为____________. 解析:设椭圆的长半轴长为a,半焦距为c,由题意可得=, 整理得a=59c,即=.∴地球运行轨道所在椭圆的离心率是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)已知椭圆的短半轴长为1,离心率0<e≤,则长轴长的取值范围为___________. (2,4] 解析:∵e=,b=1,0<e≤,∴0<≤, 则1<a≤2,∴2<2a≤4,即长轴长的取值范围是(2,4]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知点P在焦点为F1(-4,0)和F2(4,0)的椭圆上,若△PF1F2面积的最大值为16,则椭圆的标准方程为____________. +=1 解析:由题意得c=4.因为△PF1F2面积的最大值为16,所以×2c×b=16,即4b=16,b=4,所以a2=b2+c2=16+16=32.所以椭圆的标准方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知F1,F2是椭圆的两个焦点,满足·=0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是__________. 解析:根据椭圆的对称性,不妨设焦点在x轴上的椭圆标准方程为+=1(a>b>0),设F1(-c,0),F2(c,0),设M(x0,y0),·=0⇒(-c-x0,-y0)·(c-x0,-y0)=0⇒-c2+ =0⇒=c2-,点M(x0,y0)在椭圆内部,有+<1⇒b2+a2(c2-)-a2b2<0⇒> 2a2-,要想该不等式恒成立,只需2a2-<0⇒2a2c2<a4⇒2c2<a2⇒e=<, 而e>0⇒0<e<. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的焦距为2,离心率为. (1)求椭圆C的标准方程;(4分) 解:依题意,得2c=2,所以c=,离心率e===,所以a=2, 所以b==, 所以椭圆C的标准方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若点A(0,1),点B在椭圆C上,求线段AB长度的最大值.(6分) 解:设B(x,y),则+=1, 所以x2=4=4-2y2,y∈[-,]. 由两点间的距离公式,得|AB|= == =,所以当y=-1,x=±时,线段AB的长度最大,为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图所示的图徽外框由半圆和半椭圆组成,半圆 的直径为10,椭圆的离心率为,且短轴与半圆的直径重合, 图徽内有一矩形区域ABCD用于绘画图案,矩形关于椭圆的长轴对称,且顶点在图徽外框上. (1)建立适当的平面直角坐标系,求出半圆的方程和 半椭圆的方程;(4分) 解:以半圆的直径为x轴,圆心为坐标原点,建立如图所示的平面直角坐标系,由已知,圆的半径为5,则半圆的方程为x2+y2=25(y≤0). 椭圆的短半轴长b=5,=,又b2=a2-c2,所以a2=100,b2=25, 所以半椭圆的方程为+=1(y≥0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)根据美学知识,当=0.6时达到最佳美观的效果,求达到最佳美观的效果时AB的长.(6分) 解:设第一象限内的点A的横坐标为m(0<m<5),则|AB|=2m, |AD|=+=3.由=0.6得=,解得m=,此时|AB|=.故达到最佳美观的效果时AB的长为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)椭圆E与椭圆+=1有共同的焦点,且经过点A. (1)求椭圆E的标准方程和离心率;(8分) 解:由+=1可得c=1, 设椭圆E的标准方程为+=1(a>b>0), 因为椭圆E经过点A, 所以解得所以椭圆E的标准方程为+=1,e==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)设F为E的左焦点,M为椭圆E上任意一点,求·的最大值.(7分) 解:由(1)可知椭圆E:+=1,所以F(-1,0). 设M(x,y),则=(x,y),=(x+1,y), 所以·=x2+x+y2=x2+x+3=(x+2)2+2. 因为-2≤x≤2,所以当x=2时,·取得最大值,为×(2+2)2+2=6, 即·的最大值为6. $$