2.5.2 圆的一般方程-【金版教程】2025-2026学年新教材高中数学选择性必修第一册创新导学案word（湘教版2019）

数学　选择性必修　第一册　导学案 【湘教】 2.5.2　圆的一般方程 （教师独具内容） 课程标准：回顾确定圆的几何要素，在平面直角坐标系中，探索并掌握圆的一般方程. 教学重点：圆的一般方程的探求过程及其特点. 教学难点：根据具体条件，选用圆的一般方程解决有关问题. 核心素养：通过推导圆的一般方程并运用方程解决问题，进一步提升数学抽象素养和数学运算素养. 核心概念掌握 知识点一　圆的一般方程 （1）当D2＋E2－4F>0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫作圆的一般方程，其圆心为，半径为. （2）当D2＋E2－4F＝0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示一个点. （3）当D2＋E2－4F<0时，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0不表示任何图形. 知识点二　用待定系数法求圆的方程的大致步骤 （1）根据题意，选择标准方程或一般方程； （2）根据条件列出关于a，b，r或D，E，F的方程组； （3）解出a，b，r或D，E，F，得到标准方程或一般方程. 1.判断二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0是否表示圆要“两看”： 一看方程是否具备圆的一般方程的特征：①A＝C≠0；②B＝0； 二看D2＋E2－4AF是否大于0，或直接配方变形，判断等号右边是否为大于零的常数. 2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系 已知点M（x0，y0）和圆的方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0），则其位置关系如下表： 位置关系 代数关系 点M在圆外 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0 点M在圆上 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F＝0 点M在圆内 x＋y＋Dx0＋Ey0＋F<0 1.判一判（正确的打“√”，错误的打“×”） （1）方程2x2＋y2－7y＋5＝0表示圆.（　） （2）方程x2－xy＋y2＋6x＋7y＝0表示圆.（　） （3）方程x2＋y2＋x＋y＋1＝0表示圆.（　） （4）若方程x2＋y2－2x＋Ey＋1＝0表示圆，则E≠0.（　） 答案　（1）×　（2）×　（3）×　（4）√ 2.做一做 （1）圆x2＋y2＋4x－6y－3＝0的圆心和半径分别为（　） A.（4，－6），16 B.（2，－3），4 C.（－2，3），4 D.（2，－3），16 （2）圆x2＋y2－4x＋6y＝0的圆心坐标是　　. （3）过O（0，0），A（3，0），B（0，4）三点的圆的一般方程为　　. （4）方程x2＋y2＋4x－2y＋5m＝0表示圆的条件是　　. 答案　（1）C　（2）（2，－3）　（3）x2＋y2－3x－4y＝0　（4）m<1 核心素养形成 题型一　圆的一般方程的定义 例1　若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圆，求： （1）实数m的取值范围； （2）圆心坐标和半径. [解]　（1）据题意知D2＋E2－4F＝（2m）2＋（－2）2－4（m2＋5m）>0，即4m2＋4－4m2－20m>0，解得m<，故实数m的取值范围为. （2）将方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0写成圆的标准方程为（x＋m）2＋（y－1）2＝1－5m，故圆心坐标为（－m，1），半径r＝. 感悟提升 二元二次方程与圆的关系 （1）形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圆有如下两种方法：①由圆的一般方程的定义判断D2＋E2－4F是否为正.若D2＋E2－4F>0，则方程表示圆，否则不表示圆；②将方程配方变形成“标准”形式后，根据圆的标准方程的特征，观察是否可以表示圆. （2）由圆的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0求圆心和半径的方法：①利用配方法将圆的一般方程化为标准方程，可以非常直观地求出圆心及半径；②运用二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0判断是否为圆，如果是，也可以利用公式写出圆心，利用公式r＝求出半径. [跟踪训练1]　下列方程各表示什么图形？若表示圆，求出其圆心和半径. （1）x2＋y2＋x＋1＝0； （2）x2＋y2＋2ax＋a2＝0（a≠0）； （3）2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0（a≠0）. 解　（1）∵D＝1，E＝0，F＝1， ∴D2＋E2－4F＝1－4＝－3<0， ∴方程不表示任何图形. （2）∵D＝2a，E＝0，F＝a2， ∴D2＋E2－4F＝4a2－4a2＝0， ∴方程表示点（－a，0）. （3）两边同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F＝0， ∴D2＋E2－4F＝2a2>0， ∴方程表示圆，它的圆心为， 半径r＝＝|a|. 题型二　求圆的一般方程 例2　已知一圆过P（4，－2），Q（－1，3）两点，且圆心在x轴上，求圆的方程. [解]　（待定系数法）设圆的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 将P，Q的坐标分别代入上式， 得 ∵圆心在x轴上，∴－＝0，　③ 联立①②③，解得 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0. 感悟提升 待定系数法求圆的方程 （1）如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再用待定系数法求出a，b，r. （2）如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出D，E，F. [跟踪训练2]　根据下列条件求圆的一般方程. （1）已知A（－1，5），B（－2，－2），C（5，5），求△ABC外接圆方程的一般形式； （2）已知圆C的圆心在直线x－2y＝1上，且经过原点和A（2，1），求圆C的一般方程. 解　（1）设△ABC外接圆方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，由题意知 解得 ∴△ABC外接圆的方程为x2＋y2－4x－2y－20＝0. （2）设圆C的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0， 由题意知解得 ∴圆的一般方程为x2＋y2－x－y＝0. 随堂水平达标 1.方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则实数k的取值范围为（　） A. B. C. D. 答案　D 解析　若方程x2＋y2－x＋y＋k＝0表示一个圆，则1＋1－4k>0，解得k<.故选D. 2.已知圆C：x2＋y2－2x－2y＝0，则点P（3，1）在（　） A.圆内 B.圆上 C.圆外 D.无法确定 答案　C 解析　因为32＋12－2×3－2×1＝2>0，所以点P在圆C外.故选C. 3.（多选）已知圆C：2x2＋2y2＋ax－4y－3＝0的直径为，则圆C的圆心坐标可以是（　） A. B. C.（3，2） D.（－3，2） 答案　AB 解析　因为圆C：2x2＋2y2＋ax－4y－3＝0，即＋（y－1）2＝，所以圆C的圆心坐标为，半径为.又圆C的直径为，所以2＝，解得a＝±6.所以圆C的圆心坐标可以是，也可以是.故选AB. 4.已知a∈R，方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则圆心坐标是________，半径是________. 答案　（－2，－4）　5 解析　方程a2x2＋（a＋2）y2＋4x＋8y＋5a＝0表示圆，则a2＝a＋2，故a＝－1或2.当a＝2时，方程为4x2＋4y2＋4x＋8y＋10＝0，即x2＋y2＋x＋2y＋＝0，亦即＋（y＋1）2＝－，不成立，故舍去；当a＝－1时，方程为x2＋y2＋4x＋8y－5＝0，即（x＋2）2＋（y＋4）2＝25，故圆心坐标为（－2，－4），半径为5. 5.在平面直角坐标系中，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（－3，0），B（2，0），C（0，－4），经过这三个点的圆记为M. （1）求BC边的中线AD所在直线的一般式方程； （2）求圆M的方程. 解　（1）解法一：由B（2，0），C（0，－4）， 知BC的中点D的坐标为（1，－2）. 又A（－3，0）， 所以直线AD的方程为＝， 即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0. 解法二：由题意，得|AB|＝|AC|＝5， 则△ABC是等腰三角形，所以AD⊥BC. 因为直线BC的斜率kBC＝2， 所以直线AD的斜率kAD＝－， 由直线的点斜式方程，得直线AD的方程为y－0＝－（x＋3），即中线AD所在直线的一般式方程为x＋2y＋3＝0. （2）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0. 将A（－3，0），B（2，0），C（0，－4）三点的坐标分别代入方程，得 解得 所以圆M的方程是x2＋y2＋x＋y－6＝0. 课后课时精练 一、选择题 1.方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1表示的几何图形是（　） A.圆 B.直线 C.点 D.以上都不对 答案　A 解析　方程2x2＋2y2＋4x＋6y＝1可化为x2＋y2＋2x＋3y－＝0，则D＝2，E＝3，F＝－，所以D2＋E2－4F＝22＋32－4×＝15>0，所以方程表示圆.故选A. 2.若圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心在y轴上且过原点，则（　） A.D＝0，E＝0，F≠0 B.F＝0，D≠0，E≠0 C.D＝0，F＝0，E≠0 D.E＝0，F＝0，D≠0 答案　C 解析　∵圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的圆心在y轴上且过原点，∴D＝0，F＝0，E≠0. 3.当a为任意实数时，直线（a－1）x－y＋a＋1＝0恒过定点C，则以C为圆心，为半径的圆的一般方程为（　） A.x2＋y2－2x＋4y＝0 B.x2＋y2＋2x＋4y＝0 C.x2＋y2＋2x－4y＝0 D.x2＋y2－2x－4y＝0 答案　C 解析　直线（a－1）x－y＋a＋1＝0可化为（－x－y＋1）＋a（1＋x）＝0，由得C（－1，2）.∴圆的方程为（x＋1）2＋（y－2）2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0. 4.若方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r（r>0）的圆，则该圆圆心位于（　） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 答案　D 解析　因为方程x2＋y2＋ax－2ay＋2a2＋3a＝0表示的图形是半径为r的圆，所以a2＋（－2a）2－4（2a2＋3a）＝－3a2－12a>0，即a（a＋4）<0，所以－4<a<0.又该圆圆心坐标为，所以该圆圆心位于第四象限. 5.（多选）已知圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则下列说法中正确的是（　） A.圆M的圆心坐标为（4，－3） B.圆M的半径为25 C.点（2，－3）在圆M的内部 D.圆M与x轴正半轴的交点坐标为（8，0） 答案　ACD 解析　圆M的一般方程为x2＋y2－8x＋6y＝0，则（x－4）2＋（y＋3）2＝25，故圆的圆心坐标为（4，－3），半径为5，A正确，B错误；将点（2，－3）代入圆M的一般方程，得22＋（－3）2－8×2＋6×（－3）＝－21<0，故点（2，－3）在圆M的内部，C正确；令y＝0，得x2－8x＝0，解得x＝0或x＝8，则圆M与x轴正半轴的交点坐标为（8，0），D正确.故选ACD. 二、填空题 6.已知圆C：x2＋y2－2ax＋2ay＋2a2＋2a－1＝0的圆心到直线l：x－y－1＝0的距离为，则a的值为___________. 答案　－ 解析　∵圆C：（x－a）2＋（y＋a）2＝1－2a，∴圆心坐标为（a，－a），r＝.设圆心到直线l的距离为d，则d＝＝，解得a＝或－，又1－2a>0，∴a＝－. 7.已知圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0关于直线y＝2x＋b对称，则a－b的取值范围是___________. 答案　（－∞，1） 解析　将圆的方程配方得（x＋1）2＋（y－2）2＝5－a，故圆心坐标为（－1，2），半径为.由题意知，直线y＝2x＋b过圆心（－1，2），∴2＝2×（－1）＋b，∴b＝4.∵此圆的半径为，∴a<5，∴a－b<1. 8.已知圆C：x2＋y2－4x－4y＝0与x轴相交于A，B两点，则弦AB的长度为___________，弦AB所对的圆心角为___________. 答案　4　90° 解析　将圆C的方程化为标准方程，得（x－2）2＋（y－2）2＝8，令y＝0，得x＝0或x＝4，所以A（0，0），B（4，0），|AB|＝4.因为半径为2，所以|CA|＝|CB|＝2，所以|CA|2＋|CB|2＝|AB|2，因此弦AB所对的圆心角为90°. 三、解答题 9.已知圆C：x2＋y2－4x－14y＋45＝0及点Q（－2，3）. （1）若点P（m，m＋1）在圆C上，求线段PQ的长及直线PQ的斜率； （2）若P为圆C上任意一点，求|PQ|的最大值和最小值. 解　（1）由点P在圆C上，得m2＋（m＋1）2－4m－14（m＋1）＋45＝0，解得m＝4. ∴点P的坐标为（4，5）. 故|PQ|＝＝2，kPQ＝＝. ∴线段PQ的长为2，直线PQ的斜率为. （2）由题意知|PQ|取得最大值和最小值时，P点为过Q与圆心C的直线与圆C的两个交点. 又圆心C（2，7），半径R＝2，|QC|＝4， ∴|PQ|的最大值为|QC|＋R＝6，最小值为|QC|－R＝2. 10.已知一个圆过点A（4，2），B（－1，3），它与x轴的交点坐标为（x1，0），（x2，0），与y轴的交点坐标为（0，y1），（0，y2），且x1＋x2＋y1＋y2＝2，求此圆的方程. 解　设圆的一般方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）， 令y＝0，得x2＋Dx＋F＝0， 所以x1＋x2＝－D. 令x＝0，得y2＋Ey＋F＝0， 所以y1＋y2＝－E. 所以x1＋x2＋y1＋y2＝－（D＋E）＝2， 所以D＋E＝－2.① 又A（4，2），B（－1，3）两点在圆上， 所以16＋4＋4D＋2E＋F＝0，② 1＋9－D＋3E＋F＝0，③ 由①②③解得D＝－2，E＝0，F＝－12， 故所求圆的方程为x2＋y2－2x－12＝0. 1.设△ABC的顶点为A（0，a），B（－，0），C（，0），其中a>0，圆M为△ABC的外接圆. （1）求圆M的方程； （2）当a变化时，圆M是否过某一定点？请说明理由. 解　（1）设圆M的方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0（D2＋E2－4F>0）. ∵圆M过点A（0，a），B（－，0），C（，0）， ∴解得 ∴圆M的方程为x2＋y2＋（3－a）y－3a＝0. （2）当a变化时，圆M过定点（0，－3）.理由如下： 圆M的方程可化为（3＋y）a－（x2＋y2＋3y）＝0， 由解得x＝0，y＝－3. ∴圆M过定点（0，－3）. 2.已知方程x2＋y2－2（t＋3）x＋2（1－4t2）y＋16t4＋9＝0（t∈R）表示的图形是圆. （1）求t的取值范围； （2）求其中面积最大的圆的方程； （3）若点P（3，4t2）恒在所给圆内，求t的取值范围. 解　（1）已知方程可化为（x－t－3）2＋（y＋1－4t2）2＝（t＋3）2＋（1－4t2）2－16t4－9＝－7t2＋6t＋1， ∴r2＝－7t2＋6t＋1>0，解得－<t<1. 故t的取值范围为. （2）由（1）知r＝ ＝， ∴当t＝∈时，rmax＝，此时圆的面积最大，所对应的圆的方程是＋＝. （3）当且仅当32＋（4t2）2－2（t＋3）×3＋2（1－4t2）·4t2＋16t4＋9<0时，点P恒在圆内， ∴8t2－6t<0，∴0<t<. 故t的取值范围为. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$