2.3.2 两条直线的交点坐标(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

2.3.2　 两条直线的交点坐标 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　两条直线的交点坐标 逐点清(二) 　过两条直线交点的直线系方程 逐点清(三) 与三角形有关的问题 4 课时跟踪检测 逐点清(一) 两条直线的交点坐标 01 多维理解 1.两条直线的交点 设两条直线的方程分别为l1:A1x+B1y+C1=0,l2:A2x+B2y+C2=0.如果这两条直线相交,由于交点同时在这两条直线上,交点的坐标一定是这两个方程的________;反之,如果将这两条直线的方程联立,若方程组有唯一解,那么以这个解为坐标的点必是直线l1和直线l2的交点. 公共解 2.方程组的解的组数与两直线的位置关系 方程组 的解的情况 一组解 无解 无数组解 直线l1,l2的公共点个数 _____个 _____个 _______个 直线l1,l2的位置关系 _______ _______ _______ 一 相交 零 平行 无数 重合 微点练明 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)若点A(1,-1)在直线Ax+By=0上,则A=B. ( 　) (2)若两直线的方程组成的方程组有解,则两直线相交. ( 　) (3)若两直线相交,则交点坐标一定是两直线方程所组成的二元一次方程组的解. ( 　) (4)若直线2x+y+1=0与直线x-y-4=0的交点为(a,b),则a-b=4. ( 　) √ × √ √ 2.直线2x+3y-k=0和直线x-ky+12=0的交点在x轴上,则k的值为 (　　) A.-24 B.24 C.6 D.±6 解析:联立解得因为直线2x+3y-k=0和 直线x-ky+12=0的交点在x轴上,所以y==0,解得k=-24. √ 3.已知直线5x+4y=2a+1与直线2x+3y=a的交点位于第四象限,则a的取值范围是_____________. 解析:联立方程组解得 即交点坐标为,因为交点位于第四象限, 所以>0且<0,解得-<a<2,即a的取值范围是. 4.分别判断下列直线是否相交,若相交,求出交点坐标. (1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0; 解:联立方程组解得因此直线l1和l2相交, 交点坐标为(3,-1). (2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0; 解:联立方程组 ①×2得4x-12y+8=0.①和②可以化为同一个方程,即①和②表示同一条直线,直线l1与l2重合. (3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3. 解:联立方程组无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2. 逐点清(二) 过两条直线交点的直线系方程 02 多维理解 (1)若已知直线l1:A1x+B1y+C1=0与l2:A2x+B2y+C2=0相交,则方程A1x+B1y+ C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(其中λ∈R,这条直线可以是l1,但不能是l2)表示过l1和l2的交点的直线系方程. (2)求过两条直线交点的直线方程的方法 方程组法 一般是先解方程组求出两直线的交点坐标,再结合其他条件求出直线方程 直线系法 先设出过两直线交点的直线系方程,再结合条件利用待定系数法求出参数,最后确定直线方程 微点练明 1.无论k为何值,直线(k+2)x+(1-k)y-4k-5=0都过一个定点,则该定点为 (　) A.(1,3) B.(-1,3) C.(3,1) D.(3,-1) 解析:直线方程可化为2x+y-5+k(x-y-4)=0,则此直线过直线2x+y-5=0和直线x-y-4=0的交点.由解得因此所求定点为(3,-1). √ 2.经过直线3x+2y+6=0和2x+5y-7=0的交点,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为 (　　) A.x+y+1=0 B.x-y+1=0 C.x+y+1=0或3x+4y=0 D.x-y+1=0或x+y+1=0 解析:设直线方程为3x+2y+6+λ(2x+5y-7)=0,即(3+2λ)x+(2+5λ)y+6-7λ=0,令x=0,得y=,令y=0,得x=.由=,得λ=或λ=.所以直线方程为x+y+1=0或3x+4y=0. √ 3.已知两条直线l1:x+2y-6=0和l2:x-2y+2=0的交点为P.求: (1)过点P与Q(1,4)的直线方程; 解:设过直线l1:x+2y-6=0和l2:x-2y+2=0交点的直线方程为x+2y-6+m(x-2y+2)=0, 即(m+1)x+(2-2m)y+2m-6=0①. (1)把点Q(1,4)代入方程①,化简得3-5m=0,解得m=.所以过两直线交点P与Q的直线方程为x+y-=0,即2x+y-6=0. (2)过点P且与直线x-3y-1=0垂直的直线方程. 解:由直线①与直线x-3y-1=0垂直,得m+1-3(2-2m)=0,解得m=, 所以所求直线的方程为x+y-=0, 即3x+y-8=0. 逐点清(三) 与三角形有关的问题 03 [典例]　当实数m为何值时,三条直线l1:3x+my-1=0,l2:3x-2y-5=0, l3:6x+y-5=0不能围成三角形? 解:当三条直线交于一点或其中有两条互相平行时,它们不能围成三角形. 由解得将x=1,y=-1代入直线l1的方程,得m=2.故当m=2时,三条直线交于一点.当m=-2时,l1∥l2;当m=时,l1∥l3. 故当m=±2或m=时,l1,l2和l3不能围成三角形. 　　给出三条直线方程,方程中含有参数,若三条直线能构成三角形,求参数的取值范围时,可以先找不能构成三角形的条件,然后利用补集思想求其反面,即得所求参数的取值范围. |思|维|建|模| 针对训练 　已知△ABC的顶点A(5,1),边AB上的中线CM所在直线方程为2x-y-5=0,边AC上的高BH所在直线过点(1,-2),且直线BH的一个方向向量为(-2,-1). (1)求顶点C的坐标; 解:因为kBH=,由AC⊥BH,则kAC=-2,又A(5,1),所以直线AC的方程为 y-1=-2(x-5),即2x+y-11=0.则得顶点C的坐标为(4,3). (2)求直线BC的方程. 解:设点B(x,y),则M,M在CM上,即2×--5=0, 即2x-y-1=0, BH的方程为y+2=(x-1), 则得B的坐标为(-1,-3). 又C(4,3),所以直线BC的方程为=, 即6x-5y-9=0. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.不论m为何实数,直线l:(m-1)x+(2m-3)y+m=0恒过定点 (　　) A.(-3,-1) B.(-2,-1) C.(-3,1) D.(-2,1) 解析:直线l的方程可化为m(x+2y+1)-x-3y=0,令 解得∴直线l恒过定点(-3,1). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.若直线y=-2x+4与直线y=kx的交点在直线y=x+2上,则实数k= (　　) A.4　　　　B.2　　　　C.　　　　D. 解析:解方程组得直线y=-2x+4与直线y=x+2的交点,依题意,=k,解得k=4,所以实数k=4. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知直线l经过两条直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点,且l的一个方向向量为v=(-3,2),则直线l的方程为 (　　) A.2x-3y+1=0 B.2x+3y-5=0 C.3x-2y-5=0 D.2x+3y-1=0 解析:联立解得即直线l1:x+y=2,l2:2x-y=1的交点坐标为(1,1).又直线l的一个方向向量v=(-3,2),所以直线l的斜率为-,故直线l的方程为y-1=-(x-1),即2x+3y-5=0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.若直线2x-y+m=0和直线3x-y+3=0的交点在第二象限,则m的取值范围为 (　　) A.(-∞,3) B.(2,+∞) C.(-∞,2)∪(3,+∞) D.(2,3) √ 解析:联立解得所以交点为(m-3,3m-6), 由于(m-3,3m-6)在第二象限,所以解得2<m<3, 所以m的取值范围为(2,3),故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知实数a,b满足a+2b=1,则直线ax+3y+b=0过定点 (　　) A. B. C. D. 解析:由a+2b=1,得a=1-2b,则直线ax+3y+b=0可化为(1-2b)x+3y+b=0,整理得x+3y-b(2x-1)=0,所以解得 故直线过定点. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.过两直线x+y-3=0,2x-y=0的交点,且与直线y=x平行的直线方程为( ) A.x+3y+5=0 B.x+3y-5=0 C.x-3y+5=0 D.x-3y-5=0 √ 解析:由解得则直线x+y-3=0,2x-y=0的交点为(1,2).又直线y=x的斜率为,则所求直线方程为y-2=(x-1),整理得x-3y+5=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.设直线kx-y-k+=0过定点A,直线2kx-y-8k=0过定点B,则直线AB的倾斜角为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. √ 解析:kx-y-k+=0可变形为k(x-1)-(y-)=0,令解得 所以点A的坐标为(1,),2kx-y-8k=0可变形为k(2x-8)-y=0, 令解得所以点B的坐标为(4,0),所以直线AB的斜率为=-,故直线AB的倾斜角为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.下面三条直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,则m的取值范围是 (　　) A. B. C. D. √ 解析:由解得即直线l1与l2的交点为M(1,1),因为直线l1:3x+y=4,l2:x-y=0,l3:2x-3my=4不能构成三角形,所以l3过点M,或l3分别与l1,l2平行,若l3过点M,则2-3m=4,即m=-;若l3∥l1,则=-3,即m=-; 若l3∥l2,则=1,所以m=.综上,m的可能取值为-,,-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.[多选]已知直线l1:(a+1)x+ay+2=0,l2:ax+(1-a)y-1=0,则 (　　) A.若l1⊥l2,则a2=1 B.若l1∥l2,则a2= C.当a=1时,l1与l2相交,交点为(1,-2) D.当0≤a≤1时,l2不经过第三象限 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:直线l1:(a+1)x+ay+2=0,l2:ax+(1-a)y-1=0,若l1⊥l2,则a(a+1)+a(1-a) =0,解得a=0,即a2=0,故A错误;若l1∥l2,则解得a2=,故B正确;当a=1时,直线l1:2x+y+2=0,l2:x-1=0,∴l1与l2相交,交点为(1,-4),故C错误;当a=1时,l2:x-1=0,不经过第三象限;当0<a<1时,x=0时,y=>0,当y=0时,x=>0,∴l2不经过第三象限;当a=0时,l2:y-1=0,不经过第三象限.综上,当0≤a≤1时,l2不经过第三象限,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.已知直线l1:x+2y-6=0,l2:x-y-3=0,则l1,l2,x轴及y轴围成的四边形的面积为 (　　) A.8　　　B.6　　　C.　　　D.3 解析:解方程组得 即直线l1,l2的交点坐标为(4,1); 直线l1:x+2y-6=0与x轴、y轴的交点坐标分别为(6,0),(0,3);直线l2:x-y-3=0与 x轴、y轴的交点坐标分别为(3,0),(0,-3).如图所示,可得所求四边形的面积为×6×3-×3×1=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)斜率为-2,且过两条直线3x-y+4=0和x+y-4=0交点的直线方程为_____________. 2x+y-4=0 解析:法一　由方程组得 ∴交点坐标为(0,4),即y-4=-2x, ∴所求直线方程为2x+y-4=0. 法二　设所求直线方程为3x-y+4+λ(x+y-4)=0,即(3+λ)x+(λ-1)y+4-4λ=0, ∴k==-2,解得λ=5.∴所求直线方程为2x+y-4=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知直线l经过直线2x-y-3=0和4x-3y-5=0的交点P,且垂直于直线x+y-2=0,则直线l的方程为_____________. x-y-1=0 解析:由得即点P的坐标为(2,1),因为直线l与直线x+y-2=0垂直,所以直线l的斜率为1,由点斜式得直线l的方程为y-1=1×(x-2),即x-y-1=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)已知定点A(0,1),点B在直线x+y+1=0上运动,当线段AB最短时,点B的坐标是___________. (-1,0) 解析:当直线AB和直线x+y+1=0互相垂直时,线段AB最短.即直线AB 的方程的斜率为k=1,所以直线AB的方程为y=x+1. 联立解得即B(-1,0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知平行四边形ABCD中,AB边所在直线方程为x+y-1=0,AD边所在直线方程为3x-y+4=0. (1)求点A的坐标;(3分) 解:联立解得所以A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若点C的坐标为(3,3),分别求BC与DC边所在直线的方程.(7分) 解:因为四边形ABCD是平行四边形, 所以AB∥CD,设CD边所在直线的方程为x+y+m=0,代入点C的坐标(3,3),得m=-6, 所以CD边所在直线的方程为x+y-6=0, 同理AD∥BC,设BC边所在直线的方程为3x-y+n=0,代入点C的坐标(3,3),得n=-6, 所以BC边所在直线的方程为3x-y-6=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)如图,已知在△ABC中,A(-8,2),AB边上的中线CE所在直线的方程为x+2y-5=0,AC边上的中线BD所在直线的方程为2x-5y+8=0,求直线BC的方程. 解:设B(x0,y0),则AB的中点E的坐标为, 由条件可得 解得即B(6,4). 同理可求得C点的坐标为(5,0). 故所求直线BC的方程为=, 即4x-y-20=0. $$