2.3.1 第2课时 两条直线垂直的判定(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

两条直线垂直的判定 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.理解并掌握两条直线垂直的条件. 2.会用垂直的条件判定两条直线是否垂直. 3.运用两直线垂直时斜率的关系解决相应问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.斜率与两条直线垂直的关系 (1)对于两条不重合的直线l1:y=k1x+b1和l2:y=k2x+b2,l1⊥l2⇔____________. (2)特殊地,当l1,l2中一条直线的斜率不存在,另一条直线的斜率为0时,两条直线_________. 2.两条直线垂直时,一般式中系数的关系 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1,B1不同时为0), A2x+B2y+C2=0(A2,B2不同时为0),l1⊥l2⇔____________________. k1k2=-1 垂直 A1A2+B1B2=0 |微|点|助|解| (1)l1⊥l2⇔k1k2=-1成立的条件是直线的斜率都存在. (2)当直线l1⊥l2时,有k1k2=-1或其中一条直线垂直于x轴,另一条直线垂直于y轴;而若k1k2=-1,则一定有l1⊥l2. (3)当两条直线的斜率都存在时,若两条直线有垂直关系,则可以用一条直线的斜率表示另一条直线的斜率. 基础落实训练 1.已知直线l1的斜率k1=2,直线l2的斜率k2=-,则l1与l2(　　) A.平行 B.垂直 C.重合 D.非以上情况 解析:根据斜率乘积为-1,可知两条直线垂直. 2.若直线l1,l2的倾斜角分别为α1,α2,且l1⊥l2,则有(　　) A.α1-α2=90° B.α2-α1=90° C.|α2-α1|=90° D.α1+α2=180° √ √ 3.若经过点(m,3)和(2,m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直,则m的值是___________. 解析:由题意可知m≠2,则kl==,解得m=. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　两条直线垂直的判定 [例1]　判断直线l1与l2是否垂直. (1)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3); 解:设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2, 则k1=-10,k2==, 因为k1k2=-1,所以l1⊥l2. (2)l1经过点A(3,4),B(3,10),l2经过点M(-10,40),N(10,40); 解:由点A,B的横坐标相等,得l1的倾斜角为90°,则l1⊥x轴,设直线l2的斜率为k2, 则k2==0, 所以l2∥x轴,故l1⊥l2. (3)l1经过点A(-1,2),B(5,-1),l2经过点C(1,0),D(4,6); 解:直线l1的斜率k1==-,直线l2的斜率k2==2,因为k1k2=-1, 所以l1⊥l2. (4)直线l1:-3x+4y+1=0,直线l2:8x+6y-3=0. 解:法一　由-3x+4y+1=0得其斜率为k1=, 由8x+6y-3=0得其斜率为k2=-, 故k1k2=-1,所以这两条直线互相垂直. 法二　因为A1A2+B1B2=-3×8+4×6=0, 所以这两条直线互相垂直. 两条直线垂直的判定的常用方法 (1)斜率法:有两斜率均存在和一条直线斜率不存在,另一条直线斜率为零两种情形; (2)向量法:用直线的方向向量或法向量; (3)系数法:用两直线一般式的系数等式(A1A2+B1B2=0). |思|维|建|模| 针对训练 1.直线l的方向向量是e=(-1,2),则下列选项中的直线与直线l垂直的是 ( 　) A.x-2y+3=0 B.x+2y-3=0 C.2x-y+3=0 D.2x+y-3=0 解析:因为直线l的方向向量是e=(-1,2),所以直线l的斜率k1==-2, 所以与直线l垂直的直线的斜率为k2=.由x-2y+3=0,可得斜率为,故A正确;由x+2y-3=0,可得斜率为-,故B错误;由2x-y+3=0,可得斜率为2,故C错误;由2x+y-3=0,可得斜率为-2,故D错误. √ 2.[多选]满足下列条件的直线l1与l2,其中l1⊥l2的是 (　　) A.l1的倾斜角为45°,l2的斜率为1 B.l1的斜率为-,l2经过点A(2,0),B(3,) C.l1经过点P(2,1),Q(-4,-5),l2经过点M(-1,2),N(1,0) D.直线l1的斜率为,直线l2与直线2x+3y+1=0平行 √ √ 解析:=tan 45°=1,=1,≠-1,故A不正确; ==,=-×=-1,故B正确; ==1,==-1,=-1,故C正确; 直线l1的斜率k1=,直线l2的斜率k2=-,k1k2≠-1,所以l1与l2不垂直,故D不正确. 题型(二)　求与已知直线垂直的直线方程 [例2]　已知△ABC的三个顶点是A(4,0),B(6,7),C(0,4). (1)求BC边上的中线的直线方程; 解:由B(6,7),C(0,4)和中点坐标公式得BC的中点为,又A(4,0),由直线方程的两点式得BC边上的中线的直线方程为=, 整理得11x+2y-44=0. (2)求BC边上的高的直线方程; 解:由B(6,7),C(0,4),得kBC==, 所以BC边上的高的直线的斜率为-2. 又A(4,0),则BC边上的高的直线方程为y-0=-2(x-4), 整理得2x+y-8=0. (3)求AC边的垂直平分线. 解:因为A(4,0),C(0,4), 所以其中点坐标为(2,2),而kAC==-1, 则AC边的垂直平分线的斜率为1, 所以其方程为y-2=x-2,即x-y=0. 与已知直线垂直的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率,再利用垂直直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写出所求直线方程.但要注意一条直线斜率为0,另一条直线斜率不存在的情况. (2)待定系数法:与直线Ax+By+C=0垂直的直线方程可设为Bx-Ay+m=0,再由直线所过的点确定m. |思|维|建|模| 针对训练 3.求与直线4x-3y+5=0垂直,且与两坐标轴围成的△AOB周长为10的直线方程. 解:由题意,可设所求直线的方程为3x+4y+b=0. 令x=0,可得y=-,即A,令y=0,可得x=-,即B,又∵△AOB的周长为10,即|OA|+|OB|+|AB|=10, ∴++=10,解得b=±10. 故所求直线的方程为3x+4y+10=0或3x+4y-10=0. [例3]　在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点按逆时针顺序依次是O(0,0),P(1,t), Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t∈(0,+∞),试判断四边形OPQR的形状,并给出证明. 题型(三)　平行与垂直的综合问题 解:四边形OPQR是矩形.证明如下:OP边所在直线的斜率kOP=t,QR边所在直线的斜率kQR==t,OR边所在直线的斜率kOR=-,PQ边所在直线的斜率kPQ==-,所以kOP=kQR,kOR=kPQ,所以OP∥QR,OR∥PQ,所以四边形OPQR是平行四边形. 又kQR·kOR=t×=-1,所以QR⊥OR,所以四边形OPQR是矩形. 又kOQ=,kPR=,令kOQ·kPR=-1,即·=-1,无解, 所以OQ与PR不垂直,故四边形OPQR是矩形. (1)利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤 |思|维|建|模| (2)判定几何图形形状的注意点 ①在顶点确定的前提下,判定几何图形的形状时,要先画图,猜想其形状,以明确证明的目标. ②证明两直线平行时,仅有k1=k2是不够的,还要注意排除两直线重合的情况. ③判断四边形形状,要依据四边形的特点,并且不会产生其他的情况. 4.已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判断图形ABCD的形状. 针对训练 解:由斜率公式,得kAB==,kCD==,kAD==-3, kBC==-,所以kAB=kCD. 又因为kAC==0≠kAB ,说明AB与CD不重合,所以AB∥CD. 因为kAD≠kBC,所以AD与BC不平行. 又因为kAB·kAD=×(-3)=-1,所以AB⊥AD. 故四边形ABCD为直角梯形. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.直线l1,l2的斜率分别为-,-,若l1⊥l2,则实数a的值是(　　) A.-　　　　B.-　　　　C.　　　　D. √ 解析:∵l1⊥l2,∴-×=-1,∴a=-. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.已知直线l1的一个方向向量为(2,t),直线l2:2x-y+1=0,若l1⊥l2,则实数t的值为 (　　) A.1　　　　B.　　　　C.-　　　　D.-1 解析:由题意得,直线l2的斜率k2=2,因为l1⊥l2,所以直线l1的斜率k1存在, 且k1==-,所以直线l1的一个方向向量可用斜率k1表示为(1,k1)=.又因为直线l1的一个方向向量为(2,t),所以t=-1,故D正确. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知A(-2,1),C(0,5),则AC的垂直平分线所在直线方程为 (　　) A.x+2y-5=0 B.2x+y-5=0 C.x-2y+5=0 D.2x-y+5=0 √ 解析:因为A(-2,1),C(0,5),所以其中点坐标是(-1,3),又kAC==2,所以AC的垂直平分线所在直线方程为y-3=-(x+1),即x+2y-5=0.故选A. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.在平面直角坐标系内点A(4,2),B(1,-2),若在x轴上存在点C,使∠ACB=,则点C的坐标为(　　) A.(3,0) B.(0,0) C.(5,0) D.(0,0)或(5,0) 解析:设C(x0,0),则kAC=,kBC=.∵∠ACB=,∴AC⊥BC,则kAC·kBC=-1,即·=-1,解得x0=0或x0=5,∴点C的坐标为(0,0)或(5,0).故选D. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.数学家欧拉在1765年提出定理,三角形的外心、重心、垂心(外心是三角形三条边的垂直平分线的交点,重心是三角形三条中线的交点,垂心是三角形 三条高线的交点)依次位于同一直线上,且重心到外心的距离是重心到垂心 距离的一半,这条直线被后人称之为三角形的欧拉线,已知△ABC的顶点 B(-1,0),C(0,2),AB=AC,则△ABC的欧拉线方程为 (　　) A.2x-4y-3=0 B.2x+4y+3=0 C.4x-2y-3=0 D.2x+4y-3=0 √ 解析:∵B(-1,0),C(0,2),则中点坐标为,kBC==2, ∴BC的垂直平分线方程为y-1=-,即2x+4y-3=0, ∵AB=AC,△ABC的外心、重心、垂心都在线段BC的垂直平分线上, 所以△ABC的欧拉线方程为2x+4y-3=0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]已知直线l1:ax-3y+1=0,l2:x-by+2=0,则 (　　) A.若l1⊥l2,则=-3 B.若l1∥l2,则ab=3 C.若l1与坐标轴围成的三角形面积为1,则a=± D.当b<0时,l2不经过第一象限 √ √ √ 解析:当l1⊥l2时,a+3b=0,解得=-3或a=b=0,故A错误.当l1∥l2时,-ab+3=0,解得ab=3.故B正确.在直线l1:ax-3y+1=0中,当x=0时,y=,当y=0时,x=-, 所以l1与坐标轴围成的三角形面积为S=··=1,解得a=±,故C正确. 由题知当b<0时,l2:y=x+的图象如图所示,故D正确. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.已知点P(3,1),Q(0,t)是y轴上的动点,若在x轴上存在点M,使得MP⊥MQ,则实数t的取值范围是 (　　) A. B. C. D. 解析:设M(x,0).①当x=3时,PM⊥x轴,点Q在原点,此时t=0;②当x=0时, kMQ不存在,kMP=,不合题意;③当x≠0且x≠3时,则由kMP·kMQ=×=-1,得t=-x2+3x=-+≤且t≠0.综上所述,实数t的取值范围是. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)过原点作直线l的垂线,若垂足为(-2,3),则直线l的方程是__________________. 2x-3y+13=0 解析:设垂足为A,则kOA==-,由题意可知kl=-=, 所以直线l的方程是y-3=(x+2),整理得2x-3y+13=0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)当直线l1:(a+2)x+(1-a)y-1=0与直线l2:(a-1)x+(2a+3)y+2=0互相垂直时, a=____________. ±1 解析:∵l1⊥l2,∴(a+2)(a-1)+(1-a)(2a+3)=0,解得a=±1.将a=±1代入方程, 均满足题意.故a=±1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知点A(2,2)和直线l:3x+4y-20=0,则过点A且与直线l垂直的直线l1的方程为___________________. 4x-3y-2=0 解析:设所求直线l1的方程为4x-3y+m=0. 因为l1经过点A(2,2),所以4×2-3×2+m=0,解得m=-2. 故l1的方程为4x-3y-2=0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知m,n为正数,且直线x-(n-2)y+5=0与直线nx+my-3=0互相垂直,则m+2n的最小值为___________. 9 解析:∵直线x-(n-2)y+5=0与直线nx+my-3=0互相垂直,∴n-(n-2)m=0, ∴2m+n=mn,∴+=1. ∴m+2n=(m+2n) =5++≥5+2=9, 当且仅当m=n=3时取等号. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(5分)已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m=___________. 解析:如图,直线l1的倾斜角为30°+30°=60°, ∴直线l1的斜率k1=tan 60°=.由l1∥l2知, 直线l2的斜率k2=k1=.∴直线AB的斜率存在, 且kAB=-=-.∴=-, 解得m=4+. 4+ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)判断下列两条直线是否垂直,并说明理由. (1)l1:y=-3x+2,l2:y=x+5;(4分) 解:∵k1=-3,k2=, ∴k1k2=-1,则l1⊥l2. (2)l1:4x+3y=10,l2:3x-4y=5;(3分) 解:∵k1=-,k2=, ∴k1k2=-1,则l1⊥l2. (3)l1:y=2 025,l2:x=2 024.(3分) 解:∵l1的斜率为0,l2的斜率不存在,∴l1⊥l2. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知四边形ABCD的顶点A(m,n),B(5,-1),C(4,2),D(2,2),求m和n的值,使得四边形ABCD为直角梯形. 解:当∠A=∠D=90°时,如图①所示. ∵四边形ABCD为直角梯形, ∴AB∥DC且AD⊥AB,易求得m=2,n=-1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 当∠A=∠B=90°时,如图②所示. ∵四边形ABCD为直角梯形, ∴AD∥BC且AB⊥BC, ∴kAD=kBC,kAB·kBC=-1, ∴解得 综上所述,m=2,n=-1或m=,n=-. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0). (1)求点Q的坐标,满足PQ⊥MN,PN∥MQ;(5分) 解:设Q(x,y),由已知得kMN=3, 由PQ⊥MN,得kPQ·kMN=-1, 即×3=-1①. 由已知得kPN=-2,由PN∥MQ,得kPN=kMQ,即=-2②. 联立①②,解得x=0,y=1,即Q(0,1). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.(5分) 解:设Q(x,0),∵∠NQP=∠NPQ, ∴kNQ=-kNP,又∵kNQ=,kNP=-2, ∴=2,即x=1,∴Q(1,0). 又∵M(1,-1),∴MQ⊥x轴, 故直线MQ的倾斜角为90°. 15 $$