2.2.3 2.2.4 直线的方向向量与法向量(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

2.2.3　 直线的一般式方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 2.2.4　 直线的方向向量与法向量 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.了解直线的一般式方程的形式特征,理解直线的一般式方程与二元一次方程的关系. 2.能正确地进行直线的一般式方程与特殊形式的方程的转化.能运用直线的一般式方程解决有关问题. 3.了解直线的方向向量与法向量,理解它们之间的关系及它们与直线之间的关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.直线的一般式方程 (1)概念 关于x,y的二元一次方程都表示一条直线.我们把方程______________ (A,B不同时为0)称为直线的一般式方程,简称一般式. (2)几何意义 ①当B≠0时,方程Ax+By+C=0可以写成y=-x-,它表示斜率为____,在y轴上的截距为____的直线. ②当B=0,A≠0时,方程Ax+By+C=0可以写成x=-,它表示_________的直线. Ax+By+C=0 - - 垂直于x轴 2.直线方程的五种形式的比较 名称 方程形式 常数的几何意义 适用范围 点斜式 y-y0=k(x-x0) (x0,y0)是直线上一点, k是斜率 不垂直于x轴的直线 斜截式 y=kx+b k是斜率,b是直线在 y轴上的截距 不垂直于x轴的直线 两点式 (y2-y1)(x-x1)-(x2-x1)· (y-y1)=0 (x1,y1),(x2,y2)是直线上的两个定点 过任意不同的两点 截距式 +=1(a≠0,b≠0) a,b分别是直线在x轴, y轴上的非零截距 直线不垂直于x轴和y轴,且不过原点 一般式 Ax+By+C=0(A,B不同时为0) A,B,C为系数 任何情况 3.直线的方向向量 (1)我们把与直线l______的非零向量v都称为l的方向向量. (2)斜率与方向向量的关系 斜率为k的直线的方向向量为______的非零实数倍. 4.直线的法向量 与直线l ______的非零向量n=(A,B)称为直线l的一个法向量. 平行 (1,k) 垂直 |微|点|助|解| (1)任意斜率不存在时的直线的方向向量为a=(0,1); (2)斜率存在时的直线的方向向量a=(1,k); (3)任意直线的方向向量可表示为a=(cos θ,sin θ); (4)任意直线都有方向向量与法向量,且是不唯一的非零向量. 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任何直线方程都能表示为一般式. ( 　) (2)任何一条直线的一般式方程都能与其他四种形式互化. ( 　) (3)对于二元一次方程Ax+By+C=0,当A=0,B≠0时,方程表示斜率不存在的直线. ( 　) (4)当A,B同时为零时,方程Ax+By+C=0也可表示为一条直线. ( 　) (5)如果A(2,1),B(0,2)是直线l上不同的两点,则=(-2,1)是直线l的一个方向向量. ( 　) (6)一条直线的方向向量与法向量互相垂直. ( 　) √ × × × √ √ 2.[多选]直线l在平面直角坐标系中的位置如图,已知l∥x轴, 则直线l的方程可以用下面哪种形式写出 (　　) A.点斜式 B.斜截式 C.截距式 D.一般式 √ √ √ 3.如果直线l的一个方向向量是v=(-1,3),一个法向量是u=(-3,a),则a=_____. -1 解析:因为v=(-1,3)和u=(-3,a)分别是直线l的一个方向向量和一个法向量, 所以v·u=0,即(-1)×(-3)+3a=0,解得a=-1. 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　求直线的一般式方程 [例1]　写出满足下列条件的直线的方程,并化成一般式: (1)斜率是,且经过点A(5,3); 解:由点斜式,得直线方程为y-3=(x-5), 即x-y-5+3=0. (2)斜率为4,在y轴上的截距为-2; 解:由斜截式,得直线方程为y=4x-2, 即4x-y-2=0. (3)经过A(-1,5),B(2,-1)两点; 解:由两点式,得直线方程为=, 即2x+y-3=0. (4)在x轴、y轴上的截距分别为-3,-1. 解:由截距式,得直线方程为+=1, 即x+3y+3=0. 求直线的一般式方程策略 (1)直线的一般式方程Ax+By+C=0中要求A,B不同时为0. (2)由直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程去分母、移项就可以转化为直线的一般式方程(化为一般式方程后原方程的限制条件就消失了);反过来,也可以由直线的一般式方程化为斜截式、截距式,注意斜截式、截距式的适用条件. (3)解决与图象有关的问题时,常通过把直线的一般式方程化为斜截式,利用直线的斜率和纵截距作出判断. |思|维|建|模| 针对训练 1.写出满足下列条件的直线的方程,并化成一般式: (1)斜率是-,且经过点A(8,-6); 解:根据点斜式可得直线方程为y+6=-(x-8),化简可得x+2y+4=0. (2)在x轴和y轴上的截距分别是和-3; 解:根据截距式可得直线方程为+=1,化简可得2x-y-3=0. (3)倾斜角为60°,与y轴的交点到x轴的距离为3. 解:易知斜率k=tan 60°=,因为直线与y轴的交点到x轴的距离为3,所以直线在y轴的截距为±3,故所求方程为y=x+3或y=x-3, 即x-y+3=0或x-y-3=0. 题型(二)　由截距、斜率的值求参数 [例2]　已知直线l:(m+2)x-(2m+1)y-3=0(m∈R),直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于A,B两点. (1)证明:直线l过定点; 解:已知直线l:(m+2)x-(2m+1)y-3=0(m∈R),则(x-2y)m+2x-y-3=0, 由解得即直线l过定点(2,1). (2)已知点P(-1,-2),当·最小时,求实数m的值. 解:设直线的方程为+=1,a>0,b>0, 则A(a,0),B(0,b), 又直线l过定点(2,1),所以+=1. 又点P(-1,-2),则·=(a+1,2)·(1,b+2)=a+2b+5=(a+2b)+5 =9++≥9+2=13,当且仅当=, 即a=4,b=2时取等号,所以直线l的方程为x+2y-4=0,所以直线l过(4,0), 即4(m+2)-3=0,解得m=-. (1)求一般式表示的直线的斜率与其在y轴上的截距,可将其化为斜截式,求其在x轴上的截距,可令y=0,解出x即为所求. (2)涉及字母参数时,注意分母为零的讨论. |思|维|建|模| 针对训练 2.已知直线l:ax+(1-2a)y+1-a=0. (1)当直线l在x轴上的截距是它在y轴上的截距的3倍时,求实数a的值; 解:由条件知,a≠0且a≠,在直线l的方程中,令y=0得x=, 令x=0得y=, ∴=×3,解得a=1或a=,经检验,a=1,a=均符合要求, 故实数a的值为1或. (2)当直线l不通过第四象限时,求实数a的取值范围. 解:当a=时,直线l的方程为x+=0. 即x=-1,此时直线l不通过第四象限; 当a≠时,直线l的方程为y=x+. 直线l不通过第四象限,即, 解得<a≤1, 综上所述,当直线l不通过第四象限时,实数a的取值范围为. 题型(三)　直线的方向向量与法向量 [例3]　写出满足下列条件的直线的方程,并化成一般式: (1)经过点(2,1),且垂直于n=(2,-3); 解:由题意知,直线的一个法向量为n=(2,-3), 设直线的一般式方程为2x-3y+C=0, 代入点(2,1)得4-3+C=0,解得C=-1, 所以直线的方程为2x-3y-1=0. (2)经过点(2,-3),且平行于v=(2,4). 解:法一　由题意知,直线的一个方向向量为v=(2,4),则k==2, 故所求直线的方程为y+3=2(x-2), 即2x-y-7=0. 法二　由题意知,直线的一个方向向量为v=(2,4), 可知直线的一个法向量为n=(4,-2), 故设直线的一般式方程为4x-2y+C=0, 代入点(2,-3),得8+6+C=0,解得C=-14, 所以所求直线的方程为4x-2y-14=0, 即2x-y-7=0. 已知直线的方向向量和法向量求直线方程的思路 (1)若已知直线的法向量(m,n),可直接设直线的方程为mx+ny+C=0,然后代入点求C. (2)若已知直线的方向向量,可先求直线的斜率,然后利用点斜式求直线的方程(但需要考虑斜率不存在的情况)或转化为直线的法向量. |思|维|建|模| 3.已知直线l的一个方向向量为(,1),则直线l的倾斜角θ=(　　) A.0　　　　B.　　　　C.　　　　D. 针对训练 解析:由题意知,因为直线l的一个方向向量为(,1), 所以直线l的斜率k==.又k=tan θ,所以tan θ=. 因为θ∈[0,π),所以θ=. √ 4.直线l1与l2的法向量分别为v1=(2,-3),v2=(3,-1),则直线l1与l2的斜率k1,k2的大小关系为 (　　) A.k1>k2 B.k1=k2 C.k1<k2 D.不确定 解析:∵v1=(2,-3),则l1的方向向量a1=(-3,-2),∴斜率k1==. ∵v2=(3,-1),则l2的方向向量a2=(-1,-3), ∴斜率k2==3,∴k2>k1. √ 5.已知经过点(3,1)的直线l的一个方向向量为(3,2),则l的方程为 (　　) A.3x+2y-11=0 B.2x-3y-3=0 C.2x+3y-9=0 D.3x-2y-7=0 解析:设直线l上任意与点Q(3,1)不重合的一点为P(x,y),由题意与(3,2)共线,所以=,整理得l的方程为2x-3y-3=0(x≠3).又点Q(3,1)在直线l上,且点Q(3,1)满足方程2x-3y-3=0,所以l的方程为2x-3y-3=0. √ 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.若方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线,则实数m满足 (　　) A.m≠0 B.m≠- C.m≠1 D.m≠1,m≠,m≠0 √ 解析:因为方程(2m2+m-3)x+(m2-m)y-4m+1=0表示一条直线, 所以2m2+m-3=0,m2-m=0不能同时成立,解得m≠1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若直线l的倾斜角为135°,则直线l的一个法向量是 (　　) A.(1,-1) B.(1,1) C.(-1,1) D.(2,-) 解析:∵直线l的倾斜角为135°,∴直线l的斜率k=-1, ∴直线l的一个方向向量为(1,-1),则直线l的一个法向量为(1,1). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.直线的一个方向向量为v=(1,-3),且经过点(0,2),则直线的方程为 (　　) A.3x-y+2=0 B.3x+y-2=0 C.3x+y+2=0 D.3x-y-2=0 √ 解析:法一　∵直线的一个方向向量为v=(1,-3),∴k=-3, ∴直线的方程为y=-3x+2,即3x+y-2=0. 法二　由题意知直线的一个法向量为n=(3,1),∴直线的方程可设为3x+y+C=0,将点(0,2)代入得C=-2,故所求直线的方程为3x+y-2=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.[多选]已知直线ax+by+c=0的图象如图,则 (　　) A.若c>0,则a>0,b>0 B.若c>0,则a<0,b<0 C.若c<0,则a>0,b<0 D.若c<0,则a>0,b>0 解析:易知b≠0,由直线ax+by+c=0,可得y=-x-,根据题图可得-<0, ->0,∴若c<0,则a>0,b>0;若c>0,则a<0,b<0. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]对于直线l:mx+ny-3m=0(m2+n2≠0,m,n∈R),下列说法正确的是 (　) A.直线l的一个方向向量为(n,-m) B.直线l恒过定点(3,0) C.当m=n时,直线l的倾斜角为60° D.当m=-2且n>0时,l不经过第二象限 解析:直线l的一个方向向量为(n,-m),故A正确;直线l的方程可化为m(x-3)+ ny=0,所以直线l恒过定点(3,0),故B正确;当m=n时,直线l的斜率为-, 此时倾斜角为120°,故C错误;当m=-2且n>0时,直线l为y=(x-3),所以l不经过第二象限,故D正确. √ √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.若直线l:(a-2)x+ay+2a-3=0经过第四象限,则a的取值范围为 (　　) A.(-∞,0)∪(2,+∞) B.(-∞,0)∪[2,+∞) C.(-∞,0)∪ D.(-∞,0)∪ √ 解析:若a=0,则l的方程为x=-,不经过第四象限.若a=2,则l的方程为y=-,经过第四象限.若a≠0且a≠2,将l的方程转化为y=-x-,因为l经过第四象限,所以-<0或解得a<0或<a<2或a>2.综上,a的取值范围为(-∞,0)∪,故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(5分)直线3x+ay-4=0的法向量为(3,-2),则a的值为_________. -2 解析:直线3x+ay-4=0的法向量为n=(3,a),故a=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)若直线的斜率k与直线在y轴上的截距b相等,则该直线一定经过的点是_________. 解析:设直线方程为y=kx+b,∵k=b,∴y=kx+k=k(x+1),当x=-1时,y=0, ∴该直线一定经过的点是(-1,0). (-1,0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)若直线(2m2-5m+2)x-(m2-4)y+5m=0的倾斜角是45°,则实数m的值是_________. 3 解析:由已知得∴m=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知点M(-1,2),N(2,3),直线l:mx+y-m+2=0与线段MN有交点,则m的取值范围为__________________________. (-∞,-5]∪[2,+∞) 解析:因为l:mx+y-m+2=0⇒y+2=-m(x-1), 即直线l过定点Q(1,-2),斜率为-m, 因为kQM==-2,kQN==5,如图所示,所以-m≤-2或-m≥5,解得m≥2或m≤-5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(10分)设直线l的方程为(m2-2m-3)x+(2m2+m-1)y=2m-6, 根据下列条件分别求m的值. (1)在x轴上的截距为1;(3分) 解:∵直线过点P'(1,0), ∴m2-2m-3=2m-6,解得m=3或m=1, 又∵m=3时,直线l的方程为y=0,不符合题意,∴m=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)斜率为1;(3分) 解:由斜率为1,得解得m=. (3)经过定点P(-1,-1).(4分) 解:直线过定点P(-1,-1),则-(m2-2m-3)-(2m2+m-1)=2m-6, 解得m=或m=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知直线l的方程为ax+y+a+1=0(a∈R).求证: (1)无论a取何值时,l都经过一个确定的点M;(5分) 证明:由ax+y+a+1=0,得y+1=-a(x+1),所以无论a取何值,l都经过定点M(-1,-1). (2)无论a取何值时,对于l上任意一点P,向量均与向量n=(a,1)垂直.(5分) 证明:如图所示,设点P为(x,y),则=-(x+1,y+1). 由ax+y+a+1=0, 得a(x+1)+(y+1)=0, 即n·=0. 所以总与向量n=(a,1)垂直. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(15分)已知△ABC的三个顶点分别为A(-1,-1),B(3,1),C(1,2).求: (1)BC边所在直线的方程;(5分) 解:由题意知,点B(3,1),C(1,2),所以BC边所在直线的方程为=, 整理得x+2y-5=0. (2)经过BC的中点,且垂直于BC方向向量的直线方程;(5分) 解:由B(3,1)和C(1,2),可得BC的中点坐标为.因为所求直线垂直于BC的方向向量,所以=(-2,1)是所求直线的法向量, 可设所求直线的方程为-2x+y+m=0,把代入方程得-2×2++m=0, 解得m=,所以所求直线的方程为-2x+y+=0,即4x-2y-5=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)经过AB的中点,且方向向量平行于的直线方程.(5分) 解:由A(-1,-1),B(3,1), 可得AB的中点坐标为(1,0). 因为所求直线的方向向量为=(-2,1), 又1×(-2)+2×1=0,可知所求直线的法向量为(1,2),可设所求直线的方程为x+2y+n=0,把(1,0)代入,解得n=-1, 故所求直线的方程为x+2y-1=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知直线l1:x+y+4-3m=0. (1)求证:无论m为何实数,直线l1恒过一定点M;(7分) 解:将直线l1的方程化为m(x-2y-3)+2x+y+4=0, 解方程组解得故直线l1恒过定点M. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若直线l2过点M,且与x轴负半轴、y轴负半轴围成三角形面积最小, 求直线l2的方程.(8分) 解:由题意可知,直线l2的斜率存在且不为零, 设直线l2的方程为y+2=k, 令x=0,可得y=k-2,令y=0,可得x=-1, 由已知可得解得k<0, 所以三角形面积为S== 4-k- ≥=4, 当且仅当k=-2时,等号成立,此时直线l2的方程为y+2=-2,即2x+y+4=0. $$