2.1 直线的斜率(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（湘教版）

第2章 平面解析几何初步 2.1　 直线的斜率 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 课时目标 1.结合图形,探索确定直线位置的几何要素:点和方向. 2.理解直线的倾斜角和斜率的概念;掌握过两点的直线斜率的计算公式. 3.理解倾斜角与斜率的关系,会求倾斜角与斜率范围. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一)　直线的倾斜角 逐点清(二)　直线的斜率 逐点清(三)　直线的倾斜角与斜率的综合应用 4 课时跟踪检测 逐点清(一)　直线的倾斜角 01 多维理解 定义 当直线l与x轴相交时,我们把x轴正向绕交点________旋转到与直线l_______方向首次重合所成的角α叫作直线l的倾斜角 规定 当直线l与x轴平行或重合时,规定倾斜角α=_______.因此, 倾斜角的取值范围为___________ 逆时针 向上 0 0≤α<π |微|点|助|解| (1)在平面直角坐标系中,每一条直线都有一个确定的倾斜角,而且方向相同的直线,其倾斜程度相同,倾斜角相等;方向不同的直线,其倾斜程度不同, 倾斜角不相等. (2)直线的倾斜角是对直线方向的定量刻画,是对直线的倾斜程度的刻画, 是相对于x轴正向位置的刻画,如图. 倾斜角 α=0 0<α< α= <α<π 直线 平行(重合)于x轴 由左向右上升 垂直于x轴 由左向右下降 微点练明 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)根据直线倾斜角的大小不能确定直线的位置. ( 　) (2)一条直线的倾斜角可以为-. ( 　) (3)倾斜角α不能确定一条直线. ( 　) (4)倾斜角为0的直线有无数条. ( 　) (5)若直线的倾斜角为α,则sin α∈(0,1). ( 　) √ × √ √ × 2.如图,直线l与y轴正向之间的夹角为30°,则直线的倾斜角为 (　　) A.30°　　　B.60°　　　C.45°　　　D.不确定 √ 解析:由倾斜角的定义可得,该直线的倾斜角为90°-30°=60°. 3.若直线l经过第二、三、四象限,则直线l的倾斜角α的取值范围是 (　　) A.0°≤α<90° B.90°≤α<180° C.90°<α<180° D.0°≤α<180° 解析:因为直线l经过第二、三、四象限,所以直线l的斜率小于0,所以直线l的倾斜角为钝角,故选C. √ 4.已知直线l1的倾斜角α1=15°,直线l1与l2的交点为A,直线l1和l2向上的方向所成的角为120°,如图,则直线l2的倾斜角为__________. 135° 解析:设直线l2的倾斜角为α2,l1和l2向上的方向所成的角为120°,所以∠BAC=120°,所以α2=120°+α1=135°. 逐点清(二)　直线的斜率 02 多维理解 1.斜率定义及公式 定义 一条直线的倾斜角α的正切值k称为这条直线的斜率,即k=________ 公式 经过两个不同点A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)的直线的斜率公式为k=_________________ tan α tan α= 2.倾斜角与斜率的关系 图示 倾斜角 (范围) α=0 0<α< α= <α<π 斜率 (范围) 0 (0,+∞) 不存在 (-∞,0) k的 增减性 — 随α的增大 而增大 — 随α的增大 而增大 |微|点|助|解| (1)斜率公式中k的值与A,B两点在该直线上的位置无关. (2)斜率公式中两纵坐标和两横坐标在公式中的顺序可以同时调换. (3)与x轴平行或重合的直线的斜率为0. (4)与x轴垂直的直线的斜率不存在,倾斜角为. 微点练明 1.判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)任一条直线都有倾斜角,都存在斜率. ( 　) (2)倾斜角为135°的直线的斜率为1. ( 　) (3)若一条直线的倾斜角为α,则它的斜率为k=tan α. ( 　) (4)经过两点的直线的斜率公式适用于任何直线. ( 　) × × × × 2.已知经过点P(3,m)和Q(m,-2)的直线的斜率为2,则m的值为 (　　) A.-1　　　　B.1　　　　C.2　　　　D. √ 解析:由k==2,得m=. 3.若A(1,2),B(3,m),C(7,m+2)三点共线,则实数m的值为(　　) A.-2　　　　B.2　　　　C.-3　　　　D.3 解析:因为3≠1,所以直线AB斜率存在.又A,B,C三点共线,则kAB=kAC,即=,解得m=3. √ 4.过A(m2+2,m2-3),B(3-m-m2,2m)两点的直线l的倾斜角为45°,则m= (　　) A.-2　　　B.-1　　　C.-2或-1　　　D.2 解析:由题意得,=1,化简可得m2+3m+2=0,解得m=-1或m=-2,当m=-1时两点重合,故m=-2. √ 5.已知直线l1经过点M(-4,3),N(8,-2)且直线l2的倾斜角是直线l1倾斜角的一半,则直线l2的斜率为_______. 解析:设直线l1的倾斜角为α,则直线l1的斜率k1=tan α==-, 由于α∈[0,π),所以sin α=,cos α=-, 所以直线l2的斜率k2=tan ===5. 5 逐点清(三)　直线的倾斜角与斜率的综合应用 03 [典例]　已知两点A(-3,4),B(3,2),过点P(1,0)的直线l与线段AB有公共点.求直线l的斜率k的取值范围. 解:如图,由题意知kPA==-1,kPB==1.要使直线l与线段AB有公共点,则直线l的斜率k的取值范围是(-∞,-1]∪[1,+∞). 　　[变式拓展] 1.若本例条件不变,求直线l的倾斜角α的取值范围. 解:由题意可知,直线l的倾斜角介于直线PB与PA的倾斜角之间,又直线PB的倾斜角是45°,直线PA的倾斜角是135°,所以α的取值范围是{α|45°≤α≤135°}. 2.若本例条件中“与线段AB有公共点”变为“与线段AB无公共点”.求直线l的斜率k的取值范围. 解:由本例知与线段AB有公共点时,斜率k满足k≤-1或k≥1.则与线段AB无公共点时斜率k的取值范围为(-1,1). 3.若本例条件变为“已知两点A(2,3),B(-1,2),若点P(x,y)在线段AB上”,求的最大值. 解:设Q(3,0),则kAQ==-3,kBQ==-,∵点P(x,y)是线段AB上的任意一点,∴的取值范围是,故的最大值为-. 数形结合法解决范围问题 　　已知一条线段AB的端点及线段外一点P,求过点P的直线l与线段AB有交点的情况下直线l的斜率(倾斜角)的取值范围,如果直线PA,PB的斜率都存在,则步骤如下: (1)连接PA,PB; (2)由k=求出kPA,kPB; (3)结合图形可得直线l的斜率(倾斜角)的取值范围. |思|维|建|模| 针对训练 　已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2). (1)求直线AB和AC的斜率; 解:由斜率公式可得直线AB的斜率kAB==,直线AC的斜率kAC==.故直线AB的斜率为,直线AC的斜率为. (2)若点D在线段BC(包括端点)上移动时,求直线AD的斜率的变化范围. 解:如图所示,当点D由点B运动到点C时, 直线AD的斜率由kAB增大到kAC, 所以由(1)知直线AD的斜率的 变化范围是. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.[多选]图中α能表示直线l的倾斜角的是 (　　) √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.如图,直线l的倾斜角为 (　　) A. B. C. D. 解析:由题图易知l的倾斜角为+=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.下面选项中,两点确定的直线的斜率不存在的是 (　　) A.(4,2)与(-4,1) B.(0,3)与(3,0) C.(3,-1)与(2,-1) D.(-2,2)与(-2,5) 解析:对于D,因为x1=x2=-2,所以直线垂直于x轴,倾斜角为90°,斜率不存在. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.过A(0,4),B(,1)两点的直线的倾斜角为(　　) A.-　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析:因为直线过点A(0,4),B(,1),所以kAB==-. 设直线的倾斜角为θ(0≤θ<π),则tan θ=-,解得θ=,故选C. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.若三点A(2,-3),B(4,3),C(5,b)在同一直线上,则实数b等于 (　　) A.-12　　　B.-6　　　C.6　　　D.12 解析:因为kAB=kAC,又kAB==3,kAC==,所以3=,即b=6. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.在平面直角坐标系内,正△ABC的边BC所在直线的斜率是0, 则边AC,AB所在直线的斜率之和为 (　　) A.-2　　　 B.0　　　C.　　　D.2 解析:由题意知,△ABC的边AC,AB所在直线的倾斜角分别为60°,120°,所以边AC,AB所在直线的斜率之和为tan 60°+tan 120°= +(-)=0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.如图,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3的图象如图所示,则下列结论正确的是 (　　) A.k1>k2>k3 B.k3>k1>k2 C.k2>k1>k3 D.k2>k3>k1 解析:由k=tan α,结合y=tan x的函数图象可知,直线l3对应的倾斜角为钝角,则k3<0,直线l1与l2都为锐角,且l2的倾斜角大于l1的倾斜角, 则k2>k1>0,故k2>k1>k3. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知直线l过点A(1,2),且不过第四象限,则直线l的斜率的取值范围是 (　　) A.[0,2]　　　B.[0,1] 　　　C.　　　D. 解析:当直线位于如图所示的阴影区域(包含边界)内时满足条件,由图知,当直线过A(1,2),O(0,0)时直线的斜率最大,为2,当直线与x轴平行时斜率最小,为0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.设直线l过原点,其倾斜角为α,将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°, 得直线l1,则直线l1的倾斜角为 (　　) A.α+40° B.α-140° C.140°-α D.α+40°或α-140° 解析:根据题意,画出图象,如图所示.因为0° ≤α<180°,显然A,B,C未分类讨论,均不全面,不合题意.通过画图(如图所示)可知,当0°≤α<140°时,l1的倾斜角为α+40°;当140°≤α<180°时,l1的倾斜角为40°+α-180°=α-140°.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,-1),B(2,0),过点A的直线交x轴于点C(a,0),若直线AC的倾斜角是直线AB的倾斜角的2倍,则a= (　　) A.　　　B.　　　C.1　　　D. 解析:设直线AB的倾斜角为α,则直线AC的倾斜角为2α,且tan 2α=,由题可知tan 2α=kAC=,tan α=kAB=,所以=,解得a=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)若斜率为2的直线经过点A(-2,3),B(2m+1,1),则实数m=_______. 解析:kAB===2,解得m=-2. -2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)设直线l的斜率为k,且-1<k≤,则直线l的倾斜角α的取值范围是__________________. ∪ 解析:因为直线l的倾斜角为α,则α∈[0,π),由-1<k≤,得-1<tan α≤, 所以α∈∪. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)已知点A(1,2),若在坐标轴上有一点P,使直线PA的倾斜角为135°,则点P的坐标为__________________. 解析:由题意知,kPA=-1.若点P在x轴上,则设P(m,0)(m≠1),则=-1,解得m=3;若点P在y轴上,则设P(0,n),则=-1,解得n=3.故点P的坐标为(3,0)或(0,3). (3,0)或(0,3) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)是函数y=x3的图象上任意三个不同的点,求证:若A,B,C三点共线,则x1+x2+x3=0. 证明:由题意知kAB=,kAC=, 又A,B,C三点共线,∴kAB=kAC, ∴=, ∴+x1x2+=+x1x3+, ∴(x2-x3)(x1+x2+x3)=0, ∵x2≠x3,∴x1+x2+x3=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)已知平面直角坐标系内三点A(-2,-4),B(2,0),C(-1,1). (1)求直线AB的斜率和倾斜角;(4分) 解:由斜率公式得直线AB的斜率为=1,记倾斜角为α,则tan α=1. 因为α∈[0,π),所以直线AB的倾斜角为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若E(m,n)是线段AC上一动点,求的取值范围.(6分) 解:由题知为直线BE的斜率. 记直线BA和BC的倾斜角分别为α,β, 直线BE的倾斜角为γ, 由图可知,γ∈[0,α]∪[β,π), 又kBC=tan β==-,kAB=tan α=1, 所以由正切函数性质可得,直线BE的斜率的取值范围为, 即的取值范围为. $$