阶段质量评价 第3章 圆锥曲线与方程(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

阶段质量评价 第3章　圆锥曲线与方程 (时间:120分钟　满分:150分) 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 一、单项选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1.焦点坐标为(-1，0)的抛物线的标准方程是(　　) A.y2=-2x B.x2=2y C.x2=-4y D.y2=-4x √ 16 17 18 19 解析：焦点坐标为(-1，0)，则抛物线开口向左，焦点在x轴上，故抛物线的标准方程是y2=-4x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.若双曲线C：-=1的焦距为8，则该双曲线的渐近线方程为(　　) A.y=±x B.y=±x C.y=±x D.y=±x √ 16 17 18 19 解析：由题意可知9+m=⇒m=7，即C：-=1， 令-=0⇒y=±x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.(2024·全国甲卷)已知双曲线的两个焦点分别为(0，4)，(0，-4)，点(-6，4)在该双曲线上，则该双曲线的离心率为 (　　) A.4 B.3 C.2 D. √ 16 17 18 19 解析：法一：方程组法　根据焦点坐标可知c=4，根据焦点在y轴上，可设双曲线的方程为-=1(a>0，b>0)，则由得所以离心率e==2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二：定义法　根据焦点坐标可知c=4，由双曲线的定义，得2a=|-|=|6-10|=4， 所以离心率e==2. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知抛物线C：y2=2px(p>0)的顶点为O，点A(x0，2)在抛物线C上，且F为抛物线C的焦点，若AF=3OF，则p= (　　) A. B.1 C. D.2 √ 16 17 18 19 解析：因为点A(x0，2)在抛物线上，AF=3OF，所以x0+=，所以x0=p，所以A(p，2)，所以4=2p2，解得p=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.与圆x2+y2=1及圆x2+y2-8x+12=0都外切的圆P的圆心在 (　　) A.一个椭圆上 B.一个圆上 C.一条直线上 D.双曲线的一支上 √ 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由x2+y2-8x+12=0，得(x-4)2+y2=4，画出圆x2+y2=1与(x-4)2+y2=4的图象如图，设圆P的半径为r， ∵圆P与圆O和圆M都外切，∴PM=r+2，PO=r+1，则PM-PO=1<4，∴根据双曲线定义知点P在以O，M为焦点的双曲线的左支上. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.直线3x-4y=0与双曲线-=1的交点个数是(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 √ 16 17 18 19 解析：法一　联立得-=1，方程组无解，说明直线与双曲线没有交点. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　由-=0，得3x±4y=0，所以双曲线的渐近线方程为3x±4y=0，因为直线3x-4y=0是双曲线-=1的一条渐近线，因此交点个数为0. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=120°，PF1=4PF2，则C的离心率为 (　　) A. B. C. D. √ 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：如图所示，根据题意可设PF2=m，PF1=4m，m>0，易知F1F2=2c.由余弦定理可知cos∠F1PF2===-， 可得c2=m2，即c=m.由双曲线定义 可知PF1-PF2=3m=2a， 即a=.所以离心率e==. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.已知椭圆E：+=1上，过左焦点F1的直线l与椭圆E交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若=2，则直线l的斜率k的值为(　　) A. B.± C. D.± √ 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由椭圆方程可得F1(-1，0)，设直线l的方程为x=my-1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立方程组可得(3m2+4)y2-6my-9=0，则y1+y2=，y1y2=，由=2得(-1-x1，-y1)=2(x2+1，y2)，则-y1=2y2，代入上式得y2=，-2=，解得m2=，则m=±，则直线的斜率为±，又点A位于x轴上方，所以斜率为. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 二、多项选择题(本大题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.直线y=x-2与抛物线C：y2=2x相交于A，B两点，下列说法正确的是(　　) A.抛物线C的准线方程为y=- B.拋物线C的焦点为 C.若O为原点，则∠AOB=90° D.若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则AB=x1+x2+1 √ 16 17 18 19 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由C：y2=2x，则其焦点为F，准线方程为x=-，A错误，B正确；联立直线与拋物线方程得y2-2y-4=0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1+y2=2，y1y2=-4，而x1x2==4，由·=x1x2+y1y2=0，即⊥，故C正确；显然直线y=x-2不过焦点 F，由拋物线定义有AF=x1+，BF=x2+，所以 AF+BF=x1+x2+1>AB，D错误. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(2024·新课标Ⅰ卷)设计一条美丽的丝带，其造型 可以看作图中的曲线C的一部分.已知C过坐标原点O，且C上的点满足横坐标大于-2，到点F(2，0)的距离与到定直线x=a(a<0)的距离之积为4，则(　　) A.a=-2 B.点(2，0)在C上 C.C在第一象限的点的纵坐标的最大值为1 D.当点(x0，y0)在C上时，y0≤ √ 16 17 18 19 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：设曲线上的动点P(x，y)，则x>-2且·|x-a|=4，因为曲线过坐标原点，故×|0-a|=4，结合a<0，解得a=-2，故A正确. 若点(2，0)在C上，则·|2+2|=(2)2-22=4成立，即点(2，0)在C上，故B正确. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由曲线的方程可得y2=-(x-2)2(-2<x≤2)，取x=，则y2=-，而--1=-=>0，故此时y2>1，故C在第一象限内点的纵坐标的最大值大于1，故C错误. 对于D，当点(x0，y0)在曲线上时，由C的分析可得=-(x0-2)2 ≤，当且仅当x0=2时等号成立，故-≤y0≤，故D正确.故选ABD. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.已知椭圆C：+y2=1的左、右焦点分别为F1，F2，点P(x0，y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点，则下列说法正确的是(　　) A.△PF1F2的周长为2+4 B.△PF1F2面积的最大值为2 C.若A(1，0)，则PA的最小值为-1 D.的最小值为- √ 16 17 18 19 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：由椭圆方程+y2=1可知，a=，b=1，c=2，所以△PF1F2的周长l=PF1+PF2+F1F2=2a+2c=2+4，故A正确；因为点P(x0，y0)是椭圆C上异于左、右顶点的一点，所以0<|y0|≤1，所以△PF1F2的面积=F1F2·y0=2|y0|≤2，当|y0|=1，即y0=±1时，此时点P位于短轴端点，△PF1F2的面积最大，最大为2，故B正确；由A(1，0)，点P(x0，y0)，且+=1，因为PA== =， 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当x0=时，PA取最小值，且最小值为，故C错误；的几何意义为P(x0，y0)与点M(-4，0)两点连线的斜率，设为k，由得(1+5k2)x2+40k2x+80k2-5=0，Δ=-4(5k2+1)·(80k2-5)=20(1-11k2)≥0，解得-≤k≤， 如图，当直线y=k(x+4)与椭圆C相切时， kmin=-，所以的最小值为-， 故D正确. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)已知双曲线的两条渐近线方程为x±y=0，并且经过点A(，1)，则该双曲线的标准方程是________________.  16 17 18 19 解析：依题意可设双曲线方程为mx2-ny2=1，m，n>0.由渐近线方程为x±y=0可得n=2m，将点A(，1)代入可得6m-n=1，解得m=，n=，所以双曲线标准方程为-=1. -=1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，-4)，C(0，4)，则顶点A的轨迹方程是________________.  16 17 18 19 解析：因为BC=8，所以AB+AC=12>8，则顶点A的轨迹是椭圆，其中2a=12，a=6，c=4，b2=20，则顶点A的轨迹方程是+=1(x≠0). +=1(x≠0) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(5分)设a>b>0，椭圆+=1的离心率为e1，双曲线-=1的离心率为e2，若e1e2<1，则的取值范围是_________________.  16 17 18 19 解析：记椭圆、双曲线的半焦距分别为c1，c2，由题意知=a2-b2，=b2+a2-2b2=a2-b2，则椭圆与双曲线共焦点，设c1=c2=c，则e1=，e2=，∴e1e2=，∵e1e2<1， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 ∴==-<1.设=t>0，则t-<1，解得0<t<，即0<<，又∵a2-2b2>0，且a>b>0，∴>，故的取值范围是. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 四、解答题(本大题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)设双曲线C：-=1(a>0，b>0)，点A1，A2是双曲线C的左、右顶点，点P在双曲线C上. (1)若A1A2=4b，点P(2，-1)，求双曲线C的方程；(3分) 16 17 18 19 解：由题意有解得所以双曲线C的方程为-y2=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)当P异于点A1，A2时，直线PA1与PA2的斜率之积为2，求双曲线C的渐近线方程.(10分) 16 17 18 19 解：设点P(x0，y0)，则-=1，即=，又A1(-a，0)，A2(a，0)， 则有·=·===2，所以=，所以渐近线方程为y=±x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16.(15分)在平面直角坐标系xOy中，动圆C经过定点F(2，0)，且与定直线l：x=-2相切. (1)求动圆圆心C的轨迹方程；(5分) 16 17 18 19 解：设点C(x，y)与直线l：x=-2相切的切点为N，则CF=CN，即动点C到定点F和定直线l：x=-2的距离相等，所以点C的轨迹是以F(2，0)为焦点，直线l：x=-2为准线的抛物线，所以=2，所以p=4，故动圆圆心C的轨迹方程是y2=8x. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)经过点F的直线与动圆圆心C的轨迹分别相交于A，B两点，点P在直线l上且BP∥x轴，求证：直线AP经过原点O.(10分) 16 17 18 19 解：证明：由题意，可知直线AB的斜率不为0， 设直线AB的方程为x=my+2，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程组得y2-8my-16=0， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 则y1y2=-16，所以y2=-，则P，所以kOP==，kOA===，kOP=kOA.又OP，OA有公共点O， 所以直线AP经过原点O. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 17.(15分)已知双曲线C：-=1(a>0，b>0)的渐近线方程为y=±x，且经过点P(，1). (1)求C的方程；(3分) 16 17 18 19 解：由已知=1，得C：x2-y2=a2，代入点P(，1)得a2=1，所以双曲线C的方程为x2-y2=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)直线l1：y=kx-1与C有且只有一个公共点，求k的值；(5分) 16 17 18 19 解：直线l1：y=kx-1与双曲线C有且只有一个公共点，所以方程组只有一组解，即(1-k2)x2+2kx-2=0只有一个解.当1-k2=0，即k=±1时，满足题意.当1-k2≠0时，Δ=4k2+8(1-k2)=0，解得k=±.所以k∈. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (3)直线l2：y=x+m与C交于A，B两点，O是坐标原点.若△AOB的面积为，求m的值.(7分) 16 17 18 19 解：设A(x1，y1)，B(x2，y2)，如图所示， 联立化简得x2+2mx+2m2+ 2=0，由Δ=16m2-8>0，解得m2>， 且 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 所以AB= = =2 . 又原点O到直线AB的距离d=， 所以△AOB的面积S△AOB=AB·d=|m|=， 解得m=±1.故m的值为±1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 18.(17分)(2024·新课标Ⅰ卷)已知点A(0，3)和点P分别为椭圆C：+=1(a>b>0)上的两点. (1)求C的离心率；(3分) 16 17 18 19 解：依题意，将点A(0，3)，P的坐标分别代入椭圆方程，可得解得所以e===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若过点P的直线l交C于另一点B，且△ABP的面积为9，求l的方程.(14分) 16 17 18 19 解：由(1)得椭圆的方程为+=1， 当直线l的斜率不存在时，l的方程为x=3，可得B，此时点A(0，3)到直线PB的距离为3，则△ABP的面积为×3×3=，不符合题意.设l的方程为y=k(x-3)+，P(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得方程组 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 消去y并整理，得(4k2+3)x2-(24k2-12k)x+36k2-36k-27=0， 所以x1+x2=，x1x2=，则PB= = =. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 又A(0，3)到直线l的距离d=， 所以△ABP的面积为×PB×d=×·=9， 解得k=或k=， 所以l的方程为y=x或y=x-3. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 19.(17分)(2024·天津高考)已知椭圆+=1(a>b>0)，椭圆的离心率e=，左顶点为A，下顶点为B，O为坐标原点，C是线段OB的中点，其中S△ABC=. (1)求椭圆的方程；(5分) 16 17 18 19 解：因为e==，所以a=2c，b==c.由题知A(-a，0)，B(0， -b)，C，所以S△ABC=BC·OA=××a=××2c=， 解得c=. 所以a=2，b=3.故椭圆的方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 16 17 18 19 (2)过点的动直线与椭圆有两个交点P，Q，在y轴上是否存在点T使得·≤0?若存在，求出点T纵坐标的取值范围；若不存在，请说明理由.(12分) 解：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，T(0，t). 当直线PQ的斜率不存在时，不妨设P(0，3)，Q(0，-3)， 则·=(0，3-t)·(0，-3-t)=t2-9≤0，解得-3≤t≤3. 当直线PQ的斜率存在时，设其方程为y=kx-， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 由可得(3+4k2)x2-12kx-27=0， 所以Δ=144k2+4×27(3+4k2)>0，x1+x2=，x1x2=-. 因为·=(x1，y1-t)·(x2，y2-t)=x1x2+(y1-t)(y2-t)=x1x2+ =(1+k2)x1x2-k(x1+x2)+ =--+= 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 =≤0， 所以4k2t2-36k2+3t2+9t-≤0对k∈R恒成立， 则有解得-3≤t≤. 16 17 18 19 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 综上可得，-3≤t≤，即在y轴上存在点T使得·≤0， 且点T纵坐标的取值范围是. 16 17 18 19 $$