1.5 第2课时 距离公式的综合应用(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（苏教版）

距离公式的综合应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 1.进一步掌握距离公式的应用，初步掌握用坐标法(解析法)研究几何问题. 2.能根据点到直线的距离公式和两平行线间的距离公式解决相关问题. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　坐标法及应用 题型(二)　与平面图形有关的 距离问题 题型(三)　平行直线间的距离的最值问题 4 课时检测 题型(一)　坐标法及应用 01 [例1]　已知在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，对角线为AC和BD.求证：AC=BD. 证明：如图所示，建立平面直角坐标系， 设A(0，0)，B(a，0)，C(b，c)， 则点D的坐标是(a-b，c). ∴AC==，BD==. 故AC=BD. |思|维|建|模| 　　用坐标法解题时，虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立，但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分，因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”. 1.建立适当的平面直角坐标系，证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 针对训练 证明：设△ABC是等腰三角形，以底边CA所在直线为x轴， 过顶点B且垂直于CA的直线为y轴，建立平面直角坐标系. 设A(a，0)，B(0，b)(a>0，b>0)，则C(-a，0). 直线AB的方程为+=1，即bx+ay-ab=0. 直线BC的方程为+=1，即bx-ay+ab=0. 设底边AC上任意一点为P(t，0)(-a≤t≤a)， 则点P到直线AB的距离为PE==， 点P到直线BC的距离为PF==，点A到直线BC的距离为h==. 所以PE+PF=+==h. 因此，等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高. 题型(二)　与平面图形有关的 距离问题 02 [例2]　已知▱ABCD，A(1，2)，B(2，4)，C，求： (1)点D的坐标及点A到直线CD的距离； 解：设点D(x0，y0)，则线段BD的中点坐标为， 依题意，线段AC的中点坐标为，由平行四边形性质知解得x0=-，y0=3， 所以点D的坐标为.直线CD的斜率k==2，直线CD的方程为y-5=2，即2x-y+4=0，所以点A(1，2)到直线CD的距离d==. (2)平行四边形ABCD的面积. 解：由(1)知，线段CD的长CD==， 所以平行四边形ABCD的面积S=CD·d=×=4. |思|维|建|模| 与三角形、四边形有关的问题要在坐标法解题的大背景下，善于发现、利用几何特征，并借助直线方程、距离公式进行解决. 2.如图，已知▱ ABCD的面积为8，A为原点， 点B的坐标为(2，-1)，点C，D在第一象限. (1)求直线CD的方程； 针对训练 解：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以AB∥CD，所以kCD=kAB=-. 设直线CD的方程为y=-x+m(m>0)， 即x+2y-2m=0. 因为▱ ABCD的面积为8，AB=， 所以AB与CD的距离为. 易知直线AB的方程为x+2y=0，于是=， 解得m=±4.又m>0，所以m=4， 故直线CD的方程为x+2y-8=0. (2)若BC=，求点D的横坐标. 解：设点D的坐标为(a，b). 因为BC=，所以AD=. 所以解得或 故点D的横坐标为或2. 题型(三)　平行直线间的距离的最值问题 03 [例3]　两条互相平行的直线分别过点A(6，2)和B(-3，-1)，并且各自绕着A，B旋转，如果两条平行直线间的距离为d.求： (1)d的变化范围； 解：如图，显然有0<d≤AB.而AB==3. 故所求的d的变化范围为(0，3]. (2)当d取最大值时，两条直线的方程. 解：由图可知，当d取最大值时， 两直线与AB垂直.而kAB==， 所以所求直线的斜率为-3. 故所求的直线方程分别为y-2=-3(x-6) 和y+1=-3(x+3)， 即3x+y-20=0和3x+y+10=0. |思|维|建|模| 应用数形结合思想求最值 (1)解决此题的关键是理解式子表示的几何意义，将“数”转化为“形”，从而利用图形的直观性加以解决. (2)数形结合、运动变化的思想方法在解题的过程中经常用到.当图形中的元素运动变化时我们能直观观察到一些量的变化情况，进而可求出这些量的变化范围. 针对训练 3.设两条平行直线的方程分别为x+y+a=0，x+y+b=0.已知a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，且0≤c≤，则这两条平行直线之间的距离的最大值为_____________.  解析：因为a，b是方程x2+x+c=0的两个实根，由根与系数的关系可得a+b=-1，ab=c，所以(a-b)2=(a+b)2-4ab=1-4c∈. 又两条平行直线间的距离d==，所以≤d≤， 所以两条平行直线间距离的最大值为. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.以A(5，5)，B(1，4)，C(4，1)为顶点的△ABC的形状是 (　　) A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰非等边三角形 D.等腰直角三角形 √ 解析：根据两点间的距离公式，得AB==，AC==，BC==3， 所以AB=AC≠BC，且AB2+AC2≠BC2，故△ABC是等腰非等边三角形. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知直线l1：mx-y-2m=0，直线l2与l1平行且经过点Q(-1，4)，则l1，l2之间距离的最大值是 (　　) A.6 B.5 C.4 D.3 √ 解析：直线l1：mx-y-2m=0，即y=m(x-2)，恒过定点A(2，0).显然若直线l2平行于l1且过点Q，则l1，l2之间距离的最大值为AQ==5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知两条直线3ax-y-2=0和(2a-1)x+5ay-1=0分别过定点A，B，则AB的值为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：直线3ax-y-2=0经过定点A(0，-2).(2a-1)x+5ay-1=0化为a(2x+5y)-x-1=0，令解得x=-1，y=，即直线(2a-1)x+5ay-1=0过定点B.则AB==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.已知A，B两点分别在两条互相垂直的直线2x-y=0和x+ay=0上，且线段AB的中点为P，则线段AB的长为(　　) A.11 B.10 C.9 D.8 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：因为直线2x-y=0和x+ay=0互相垂直，所以2×=-1，解得a=2.所以线段AB的中点为P(0，5).设A(m，2m)，B，则解得所以A(4，8)，B(-4，2)， 所以AB==10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知点P为x轴上的点，A(-1，2)，B(0，3)，以A，B，P为顶点的三角形的面积为，则点P的坐标为(　　) A.(4，0)或(10，0) B.(4，0)或(-10，0) C.(-4，0)或(10，0) D.(-4，0)或(11，0) √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 解析：根据题意，设点P的坐标为(x0，0)，则kAB==1，故直线AB为y-3=x，即x-y+3=0，故P到直线AB上的距离为d==，又因为AB==，所以S△ABC=AB·d=××=，解得x0=4或x0=-10，即点P的坐标为(4，0)或(-10，0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知直线l：y=k(x-2)+1(k∈R)上存在一点P，满足OP=1，其中O为坐标原点.则实数k的取值范围是 (　　) A. B. C. D. √ 解析：因为直线l：y=k(x-2)+1(k∈R)上存在一点P，使得OP=1，所以原点O到直线l的距离小于等于1，即≤1，解得0≤k≤，即实数k的取值范围是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.若动点A(x1，y1)，B(x2，y2)分别在直线l1：x+y-7=0和l2：x+y-5=0上移动，则AB的中点M到原点距离的最小值为(　　) A.3 B.2 C. D.4 √ 解析：由题意，知点M在直线l1与l2之间且与两条直线距离相等的直线上，设该直线方程为x+y+c=0，则=，即c=-6，∴点M在直线x+y-6=0上，∴点M到原点的距离的最小值就是原点到直线x+y-6=0的距离，即=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)如图，在△ABC中，A(5，-2)，B(7，4)，且AC的中点M在y轴上，BC的中点N在x轴上，则点C的坐标为__________，AC=___________.  解析：设C(x，y)，由题意得解得所以点C的坐标是(-5，-4)，AC==2. (-5，-4) 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)经过两条直线x+3y-10=0和3x-y=0的交点，且和原点相距为1的直线的条数为__________.  解析：设所求直线l的方程为x+3y-10+λ(3x-y)=0，即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0.因为原点到直线的距离d==1，所以λ=±3，即直线方程为x-1=0或4x-3y+5=0，所以所求直线的条数为2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)若某直线被两条平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为2，则该直线的倾斜角大小为___________.  解析：由两条平行直线的距离公式，可得直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0的距离为d==.又直线被两条平行直线l1：x-y+1=0与l2：x-y+3=0所截得的线段的长为2，即该直线与直线l1所成角为30°，又直线l1的倾斜角为45°，则该直线的倾斜角大小为15°或75°. 15°或75° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知点A(-，0)，B(cos α，sin α)且AB=2，则α的一个值为______________________________________________.(写出符合题意的一个答案即可)  解析：根据两点间的距离公式，得=2， 即sin2α+cos2α+3+2cos α=4，即cos α=0，所以α可以为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)如图，已知直线l1：x+y-1=0，现将直线l1向上平移到直线l2的位置，若l2，l1和坐标轴围成的梯形面积为4，则l2的方程为_____________.  解析：设l2的方程为y=-x+b(b>1)，则题图中A(1，0)，D(0，1)，B(b，0)，C(0，b)，所以AD=，BC=b，梯形的高h就是两平行直线l1与l2的距离，故h==(b>1)，由梯形面积公式得×=4，所以b2=9，b=±3.但b>1，所以b=3，从而得到直线l2的方程为x+y-3=0. x+y-3=0 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)已知△ABC的顶点坐标为A(0，5)，B(1，-2)，C(-5，4). (1)求△ABC的BC边上的高所在直线的方程；(4分) 解：根据两点的斜率公式，可得kBC==-1，根据两条直线垂直时的斜率关系可知，所求直线的斜率为1，而高线经过点A(0，5)， 由直线斜截式方程得y-5=x， 故所求直线的方程是x-y+5=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求直线AB的方程及△ABC的面积.(6分) 解：根据两点的斜率公式，可得kAB==-7，又因为经过点A(0，5)，所以由直线斜截式方程得y-5=-7x，故直线AB的方程是7x+y-5=0，由两点间距离公式可得AB==5，由点到直线距离公式，可得点C到AB的距离是d==，所以△ABC的面积是S△ABC=×5×=18. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)如图，正方形ABCD中，在BC上任取一点P(点P不与B，C重合)，过点P作AP的垂线PQ交角C的外角平分线于点Q.用坐标法证明：AP=PQ. 证明：以B为原点，射线BC，BA分别为x，y轴的 正半轴建立平面直角坐标系.如图所示，设正方形 的边长为a，则A(0，a)，C(a，0)，设点P的坐标 为(t，0)(0<t<a).kAP=-，lPQ：y=(x-t)　①， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 lCQ：y=x-a　②. 联立①②可得Q(a+t，t)(或利用三角形全等求得点Q坐标). ∵AP=，PQ=，∴AP=PQ. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知直线l1：mx+y-m-2=0，l2：3x+4y-n=0. (1)求直线l1的定点P，并求出直线l2的方程，使得定点P到直线l2的距离为；(7分) 解：直线l1：mx+y-m-2=0，即m(x-1)+y-2=0，令x-1=0，解得x=1，y=2，可得直线l1的定点P(1，2). ∵定点P(1，2)到直线l2：3x+4y-n=0的距离为=， ∴n=3或n=19，故直线l2：3x+4y-3=0或3x+4y-19=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)过点P引直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点，求使得△AOB面积最小时，直线l的方程.(8分) 解：设过点P引直线l分别交x，y轴正半轴于A，B两点，设A(a，0)，B(0，b)，则P，A，B三点共线，=，∴ab=2a+b≥2， 令t=ab>0，则有t2-8t≥0，解得t<0(舍去)或t≥8，∴t的最小值为8.∴△AOB面积为ab最小值为4，此时a=2，b=4，直线l的斜率为-2，直线l的方程为y-2=-2(x-1)，即2x+y-4=0. $$