2.1.1 第2课时 椭圆的标准方程的综合应用(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

椭圆的标准方程的综合应用 [教学方式：拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 　理解点与椭圆的位置关系.进一步熟悉椭圆的定义，并能运用其解决相关的问题.理解焦点三角形的相关结论. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　点与椭圆的位置关系 题型(二)　椭圆定义的应用 题型(三) 与椭圆有关的轨迹问题 4 课时检测 题型(一)　点与椭圆的位置关系 01 [例1]　(1)已知直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点，则点P(m，n)与椭圆+=1的位置关系是(　　) A.在椭圆内　　　B.在椭圆外　　　C.在椭圆上　　　D.不确定 √ 解析：∵直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点，∴>， 即m2+n2<5，∴m2<5，n2<5.又∵+<+=<1， ∴点P(m，n)在椭圆内部. (2)若点P(0，1)位于焦点在x轴上的椭圆+=1内部，则m的取值范围是__________. (1，5) 解析：由题意知+<1，又m>0，∴m>1.又椭圆的焦点在x轴上，∴m<5，故m的取值范围是(1，5). |思|维|建|模| 点与椭圆位置关系的判断 (1)根据椭圆的定义判断点P(x0，y0)与椭圆的位置关系如下： |PF1|+|PF2|<2a⇔点P在椭圆内部； |PF1|+|PF2|=2a⇔点P在椭圆上； |PF1|+|PF2|>2a⇔点P在椭圆外部. (2)对于点P(x0，y0)与椭圆C：+=1(a>b>0)的位置关系，有如下结论： 点P(x0，y0)在椭圆外⇔+>1； 点P(x0，y0)在椭圆内⇔+<1； 点P(x0，y0)在椭圆上⇔+=1. 针对训练 1.若点(3，2)在椭圆+=1上，则下列说法正确的是(　　) A.点(-3，-2)不在椭圆上 B.点(3，-2)不在椭圆上 C.点(-3，2)在椭圆上 D.无法判断上述点与椭圆的关系 √ 解析：点(-3，-2)与点(3，2)关于原点对称，点(3，-2)与(3，2)关于x轴对称，点(-3，2)与(3，2)关于y轴对称，若点(3，2)在椭圆+=1上，根据椭圆的对称性，(-3，-2)，(3，-2)，(-3，2)三点都在椭圆上，故选C. 2.若点A(a，1)在椭圆+=1的外部，则a的取值范围是(　　) A.(-) B.(-∞，-)∪(，+∞) C.(-2，2) D.(-1，1) √ 解析：因为点A(a，1)在椭圆+=1的外部，所以+>1， 解得a∈(-∞，-)∪(，+∞)，故选B. 题型(二)　椭圆定义的应用 02 　　设F1和F2是椭圆的两个焦点，P为椭圆上的任意一点，当P，F1，F2三点不在同一条直线上时，点P，F1，F2构成一个三角形，我们把这个三角形称为椭圆的焦点三角形，如图所示.它们具有以下性质： (1)|PF1|+|PF2|=2a，|F1F2|=2c. (2)|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2. (3)当|PF1|=|PF2|时，∠F1PF2最大. (4)焦点三角形的周长为2a+2c. (5)S=|PF1||PF2|sin∠F1PF2=b2tan. [例2]　已知点P是椭圆+=1上一点，椭圆的左、右焦点分别为F1，F2， 且cos∠F1PF2=，求△PF1F2的面积. 解：由椭圆+=1，得a=5，b=3，c=4. |PF1|+|PF2|=10，在△PF1F2中，由余弦定理可得，|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos∠F1PF2 =(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|-2|PF1||PF2|·， 可得64=100-|PF1| · |PF2|，得|PF1||PF2|=， 故S△F1PF2=|PF1| · |PF2|sin∠F1PF2=××=. 　　[变式拓展] 1.若本例增加条件“点B为短轴的一个端点”，求△BF1F2的周长. 解：由例2得|BF1|+|BF2|=10，|F1F2|=8，故△BF1F2的周长为10+8=18. 2.若本例条件去掉“cos∠F1PF2=”，求△PF1F2面积的最大值. 解：当|PF1|=|PF2|时，最大，此时=×2c×b=12.故△PF1F2面积的最大值为12. 3.本例增加条件“B(2，2)”，求|PF1|+|PB|的最大值与最小值. 解：由题易知B在椭圆内，则由椭圆定义得 |PF1|+|PF2|=2a=10，当直线BF2与椭圆交点 在x轴的上方，且P，B，F2三点共线时， |PF1|+|PB|取得最小值，最小值为|PF1|+|PB| =|PF1|+|PF2|-|BF2|=10-|BF2|=10-=10-2；当直线BF2与椭圆交点在x轴的下方，且P，B，F2三点共线时，|PF1|+|PB|取得最大值，其最大值为|PF1|+|PB|=|PF1|+|PF2|+|BF2|=10+|BF2|=10+2. 针对训练 3.已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过点F1的直线l交该椭圆于P，Q两点，若|PF2|+|QF2|=9，则|PQ|=(　　) A.5　　　　B.6　　　　C.7　　　　D.8 解析：∵椭圆+=1，∴a2=16，a=4，∵P，Q在椭圆上，∴|PF1|+|PF2|=2a=8，|QF1|+|QF2|=2a=8，∴△PQF2的周长为|PF1|+|PF2|+|QF1|+|QF2|=|PF2|+|QF2|+|PQ|=16，∵|PF2|+|QF2|=9，∴|PQ|=7. √ 4.如图，椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2， 点P在椭圆上，若|PF1|=4，∠F1PF2=120°， 则a的值为__________. 解析：根据题意可得|PF1|+|PF2|=2a，可得|PF2|=2a-4， 又c2=a2-2，利用余弦定理可得cos∠F1PF2==-，即=-，整理可得=-，解得a=3. 3 题型(三) 与椭圆有关的轨迹问题 03 [例3]　已知平面内B，C是两个定点，|BC|=8，△ABC的周长为18， 以BC中点为坐标原点，以BC所在直线为x轴，求出△ABC顶点A的轨迹方程. 解：根据椭圆定义，平面上到两个定点的距离之和为定值， 且定值大于定长的点的集合轨迹为椭圆，|BC|=8，2c=8， c=4以及2a=18-8=10，a=5，则有a2=25，c2=16，那么b2=a2-c2=9， 且A，B，C三点构成三角形，那么点A的轨迹方程为+=1(y≠0). 　　[变式拓展] 本例条件“△ABC的周长为18”变为“直线AB，AC的斜率分别为kAB，kAC，且kAB·kAC=-”.其他条件不变，△ABC顶点A的轨迹方程如何求解. 解：设点A(x，y)，B坐标为(-4，0) ，C坐标为(4，0)，则有kAB=，kAC=，且kAB·kAC=-，那么·=- ，化简可得=- ， -16y2=9x2-9×16，9x2+16y2=9×16，且A，B，C三点构成三角形， 那么点A的轨迹方程为+=1(y≠0). |思|维|建|模| 求轨迹方程的常用方法 (1)已知曲线类型用待定系数法；(2)所求轨迹的点与已知轨迹的点有固定关系，用代入法；(3)不能判定出曲线类型且不属于(2)的情况下，常用直接法. 针对训练 5.一动圆过定点A(2，0)，且与定圆x2+4x+y2-32=0内切，求动圆圆心M的轨迹方程. 解：将定圆的方程化为标准形式为(x+2)2+y2=62，这时，已知圆的圆心坐标为B(-2，0)，半径为6，如图，设动圆圆心M的坐标为(x，y)，由于动圆与已知圆相内切，设切点为C.∴|BM|+|CM|=6. 又|CM|=|AM|， ∴|BM|+|AM|=6，根据椭圆的定义知M的轨迹是以点B(-2，0)和点A(2，0)为焦点，且2a=6的椭圆.∴a=3，c=2，b= =， ∴所求圆心的轨迹方程为+=1. 课时检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.若椭圆+=1上一点P到一个焦点的距离为5，则点P到另一个焦点的距离为(　　) A.2　　　　B.3　　　　C.4　　　　D.5 解析：由椭圆的定义知a=5，点P到两个焦点的距离之和为2a=10.因为点P到一个焦点的距离为5，所以到另一个焦点的距离为10-5=5. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.点P(4cos α，2sin α)(α∈R)与椭圆C：+=1的位置关系是(　　) A.点P在椭圆C上 B.不能确定，与α的取值有关 C.点P在椭圆C内 D.点P在椭圆C外 解析：把(4cos α，2sin α)(α∈R)代入椭圆方程的左边，得 +=4(cos2α+sin2α)=4>1，因此点P在椭圆C外.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.若椭圆+y2=1上一点A到左焦点F1的距离为2，B为AF1的中点，O是坐标原点，则|OB|的值为(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 解析：由已知得a=3，设椭圆的右焦点为F2，则|AF2|=2a-2=6-2=4.易知OB是△AF1F2的中位线，所以|OB|==2.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.已知圆B：(x+2)2+y2=64，点A(2，0)，动点C为圆B上任意一点，则AC的垂直平分线与BC的交点P的轨迹方程是 (　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 √ 解析：由题意得|PA|=|PC|，则|PB|+|PA|=|PB|+|PC|=|BC|=8>|AB|=4，故点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，其中a=4，c=2， ∴b2=a2-c2=16-4=12，∴点P的轨迹方程是+=1，故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.设F1，F2为椭圆C：+y2=1的两个焦点，点P在C上，若·=0， 则|PF1|·|PF2|=(　　) A.0　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.4 √ 解析：由椭圆C：+y2=1，可得a=，b=1，c=2，因为·=0， 所以PF1⊥PF2，由题意可得 即|PF1|·|PF2|=[(|PF1|+|PF2|)2-(|PF1|2+|PF2|2)]==2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.椭圆+=1的一个焦点为F1，点P在椭圆上，如果线段PF1的中点M在y轴上，那么点M的纵坐标为(　　) A.±　　　B.±　　　C.±　　　D.± 解析：∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点)，∴PF2⊥x轴，∴点P的横坐标是±3，∵点P在椭圆上，∴+=1，即y2=，则点P的纵坐标为±，故点M的纵坐标为±. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.[多选]设椭圆+=1的右焦点为F，直线y=m(0<m<)与椭圆交于A，B两点，则下述结论正确的是(　　) A.|AF|+|BF|为定值 B.△ABF的周长的取值范围是[6，12] C.当m=时，△ABF为直角三角形 D.当m=1时，△ABF的面积为 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析：设椭圆的左焦点为F'， 则|AF'|=|BF|，∴|AF|+|BF|=|AF|+|AF'|=2a=6，为定值，A正确； △ABF的周长为|AB|+|AF|+|BF|， ∵|AF|+|BF|为定值6，|AB|的范围是(0，6)， ∴△ABF的周长的范围是(6，12)，B错误； 令y=，可得A，B两点坐标，不妨设A(-)，B()， 又F(，0)，∴·=(-2，0)·(-，-)=6-6<0， ∴△ABF不是直角三角形，C错误； 令y=1，可得A，B两点坐标， 不妨设A(-，1)，B(，1)，则BF⊥x轴， ∴S△ABF=×2×1=，D正确.故选AD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.已知点F是椭圆C：+=1的左焦点，点P为C上一点，A， 则|PA|+|PF|的最小值为(　　) A.　　　B.　　　C.4　　　D. √ 解析：设椭圆C：+=1的右焦点为F'(2，0).由A， 得|AF'|=.根据椭圆的定义可得|PF|+|PF'|=2a=6， 所以|PA|+|PF|=|PA|+6-|PF'|≥6-|AF'|=6-=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线交椭圆于A，B两点，若|AF2|+|BF2|=14，则|AB|=__________. 10 解析：因为a=6，|AF1|+|AF2|=2a，|BF1|+|BF2|=2a， 两式相加得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=24.又|AF2|+|BF2|=14， 所以|AB|=10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)在平面直角坐标系中，已知△ABC的顶点A(-3，0)，C(3，0)，顶点B在椭圆+=1上，则=__________. 解析：由椭圆的方程得a=5，b=4，c=3.∵△ABC的顶点A(-3，0)，C(3，0)，顶点B在椭圆+=1上，∴|BC|+|AB|=2a=10，|AC|=2c=6，∴由正弦定理可知===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)椭圆+y2=1上有动点P，点F1，F2分别是椭圆的左、右焦点， 求△PF1F2的重心M的轨迹方程. 解：设点P，M的坐标分别为(x1，y1)，(x，y)，∵在已知椭圆的方程中，a=3，b=1，∴c==2，则已知椭圆的两焦点为F1(-2，0)，F2(2，0). ∵△PF1F2存在，∴y1≠0.由三角形重心坐标公式得 即∵y1≠0，∴y≠0.∵点P在椭圆上，∴+=1， ∴+(3y)2=1(y≠0)，故△PF1F2的重心M的轨迹方程为x2+=1(y≠0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)已知椭圆的两个焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，P为椭圆上一点，且2|F1F2|=|PF1|+|PF2|. (1)求此椭圆的标准方程；(5分) 解：设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0)，焦距为2c， 由椭圆的两个焦点分别为F1(-2，0)，F2(2，0)，可得c=2，|F1F2|=4， ∴8=|PF1|+|PF2|=2a，可得a=4， 则b2=a2-c2=16-4=12. ∴椭圆的标准方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)若点P在第二象限，∠F2F1P=120°，求△PF1F2的面积.(5分) 解：∵点P在第二象限，∠F2F1P=120°， 在△PF1F2中，|PF2|=2a-|PF1|=8-|PF1|， ∴根据余弦定理得|PF2|2=|PF1|2+|F1F2|2-2|PF1||F1F2|cos 120°， 即(8-|PF1|)2=|PF1|2+16+4|PF1|，解得|PF1|=， ∴S△PF1F2=|F1F2||PF1|sin 120°=×4××=.故△PF1F2的面积是. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)设点M(x，y)是椭圆+=1上的任意一点，求x+y的最值. 解：设x=4cos θ，y=3sin θ，θ∈[0，2π)， 则x+y=4cos θ+3sin θ=5sin(θ+φ)，其中tan φ=. 因为sin(θ+φ)∈[-1，1]， 所以x+y∈[-5，5]. 所以(x+y)min=-5，(x+y)max=5. $$