3.4.3 第2课时 空间中的距离问题(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

空间中的距离问题 [教学方式：深化学习课——梯度进阶式教学] 第2课时 课时目标 1.能用向量法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题. 2.通过空间中距离问题的求解，体会向量法在研究几何问题中的作用. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.点到平面的距离 点P到平面α的距离，等于点P与平面α内任意一点 连线所得向量，在平面α的单位法向量n0方向上所作 投影向量的长度，即d=________. |·n0| 2.点到直线的距离 若点P是直线l外一点，l0是直线l的单位方向向量，点A是 直线l上任意一点，则点P到直线l的距离为 d=____________________. 基础落实训练 1.已知A(2，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，则点A到直线BC的距离为 (　　) A.2 B. C.4 D. 解析：由题意可得，=(2，-1，0)，=(0，-1，2)，则在上的投影数量为==，则点A到直线BC的距离为==. √ 2.已知a=(1，1，1)为平面α的一个法向量，A(1，0，0)为α内的一点，则点D(1，1，2)到平面α的距离为 (　　) A. B. C. D. 解析：依题意，=(0，1，2)，又a=(1，1，1)为平面α的一个法向量，所以点D(1，1，2)到平面α的距离d===. √ 3.已知点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，P(1，-1，0)，那么过点P平行于平面ABC的平面与平面ABC的距离是 (　　) A. B. C. D. 解析：因为点A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，2)，所以=(-1，1，0)，=(-1，0，2)，=(0，-1，0)，设平面ABC的一个法向量为n=(x，y，z)，则即令x=1，得y=1，z=，则n=，所以d==，故选C. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　点到直线的距离 [例1]　如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1=1，AB= 4，BC=3，∠ABC=90°，求点B到直线A1C1的距离. 解：以B为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则A1(4，0，1)，C1(0，3，1)，B(0，0，0). 直线A1C1的方向向量=(-4，3，0)，=(0，3，1)， 所以点B到直线A1C1的距离d ===. |思|维|建|模| 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求直线的单位方向向量u. (3)计算所求点P与直线上某一点所构成的向量a. (4)利用公式PQ=计算点到直线的距离. 针对训练 1.如图，在长方体ABCD-A'B'C'D'中，AB=1，BC=2，AA'= 3，点M是AD的中点，求点M到直线B'D'的距离. 解：连接D'M，建立如图所示的空间直角坐标系， M(1，0，0)，D'(0，0，3)，B'(2，1，3)，= (-1，0，3)，=(2，1，0)， 所以点M到直线B'D'的距离为 ==. 题型(二)　点到平面的距离 [例2]　如图，P，O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、 下底面的中心，AB=AA1=2. (1)求平面PBC的法向量； 解：因为P，O分别是正四棱柱ABCD-A1B1C1D1上、下底面的中心，连接OA，OB，OC，OP，所以OA，OB，OP两两互相垂直，以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，因为AB=AA1=2，所以OA=OC=OB=2，OP=AA1=2， 所以B(0，2，0)，C(-2，0，0)，P(0，0，2)，所以=(0，2，-2)，=(-2，0，-2). 设平面PBC的一个法向量为m=(x，y，z)， 则⇒ 取z=1，则x=-1，y=1，所以m=(-1，1，1)，所以平面PBC的一个法向量为(-1，1，1). (2)求点O到平面PBC的距离. 解：由(1)知平面PBC的一个法向量为(-1，1，1)，又=(0，2，0)， 所以点O到平面PBC的距离 d===， 所以点O到平面PBC的距离为. |思|维|建|模| 利用向量法求点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量. (3)找出该点与平面内一点连线形成的斜线段对应的向量. (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的距离. 针对训练 2.如图，将边长为 的正方形ABCD沿对角线BD折成 直二面角，求点D到平面ABC的距离. 解：设O是BD的中点，连接OA，OC，由于折叠前四边 形ABCD是正方形，边长为，所以OA=OB=OC=OD =1.依题意，平面ABD⊥平面BCD且交线为BD， OA⊂平面ABD，OA⊥BD，所以OA⊥平面BCD， 由于OC⊂平面BCD，所以OA⊥OC，则OA，OC，OD 两两相互垂直，以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则D(0，1，0)，B(0，-1，0)，A(0，0，1)，C(1，0，0)，=(0，2，0)，=(0，1，1)，=(1，1，0)，设平面ABC的一个法向量为n=(x，y，z)， 则故可设n=(1，-1，1)， 所以点D到平面ABC的距离为==. [例3]　如图，在四棱锥O-ABCD中，底面ABCD是边长为 2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M，N，R分别是 OA，BC，AD的中点.求： (1)直线MN与平面OCD的距离； 题型(三)　线面距与面面距 解：因为OA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，以 点A为坐标原点，AB，AD，AO所在直线分别为x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(2，2，0)， D(0，2，0)，O(0，0，2)，M(0，0，1)，N(2，1，0)， R(0，1，0)， 因为M，R分别为OA，AD的中点，则MR∥OD， 因为MR⊄平面OCD，OD⊂平面OCD，所以MR∥平面OCD，因为AD∥BC且AD=BC，R，N分别为AD，BC的中点，则CN∥RD且CN=RD， 所以四边形CDRN为平行四边形，所以RN∥CD， 因为RN⊄平面OCD，CD⊂平面OCD，所以RN∥平面OCD，因为MR∩RN=R，MR，RN⊂平面MNR，所以平面MNR∥平面OCD， 因为MN⊂平面MNR，所以MN∥平面OCD， 设平面OCD的一个法向量为n=(x，y，z)，=(2，0，0)，=(0，-2，2)，则 取y=1，可得n=(0，1，1)，=(0，1，0)，所以直线MN与平面OCD的距离为d1===. (2)平面MNR与平面OCD的距离. 解：因为平面MNR∥平面OCD，所以平面MNR与平面OCD的距离为d2===. |思|维|建|模| 　　线面距、面面距实质上都是求点面距，求直线到平面、平面到平面的距离的前提是线面、面面平行. 3.如图，在直棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面为直角梯 形，AB∥CD且∠ADC=90°，AD=1，CD=，BC= 2，AA1=2，E是CC1的中点，求直线A1B1与平面ABE 的距离. 针对训练 解：∵A1B1∥AB，A1B1⊄平面ABE，AB⊂平面ABE， ∴A1B1∥平面ABE，∴A1B1到平面ABE的距离就是点 A1到平面ABE的距离. 如图，以D为坐标原点， 分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则A1(1，0，2)，A(1，0，0)，E(0，，1)，C(0，，0).过点C作AB的垂线交AB于点F，易得BF=，∴B(1，2，0)，∴=(0，2，0)，=(-1，-，1). 设平面ABE的一个法向量为n=(x，y，z)， 则即∴y=0，x=z，不妨取n=(1，0，1). ∵=(0，0，2)，∴点A1到平面ABE的距离d===. ∵直线A1B1与平面ABE的距离等于点A1到平面ABE的距离， ∴直线A1B1与平面ABE的距离为. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知A(1，2，0)，B(3，1，2)，C(2，0，4)，则点C到直线AB的距离为 (　　) A.2 B. C.2 D.2 √ 解析：因为=(2，-1，2)，=(1，-2，4)，所以在方向上的投影数量为==4.设点C到直线AB的距离为d，则d= ==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若平面α的一个法向量为n=(1，2，1)，=(-1，-1，2)，A∉α，B∈α，则点A到平面α的距离为(　　) A.1 B. C. D. √ 解析：因为=(-1，-1，2)，平面α的一个法向量为n=(1，2，1)，所以点A到平面α的距离为=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，则点C1到直线CE的距离为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：建立空间直角坐标系，如图，则C(1，1，0)，C1(1，1，1)，E，所以==(0，0，1)， 所以在上的投影数量为==， ==. 所以点C1到直线EC的距离d= 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为 DD1的中点，F为BB1的中点，则直线FC1到平面AB1E 的距离为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：由题意易知直线FC1∥平面AB1E，所以F到平面 AB1E的距离即为直线FC1到平面AB1E的距离.建立如图 所示的空间直角坐标系，则A(1，0，0)，E， B1(1，1，1)，F，C1(0，1，1)，所以 ==(0，1，1)，=， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设平面AB1E的一个法向量n=(x，y，z)，则即取z=2，则x=1，y=-2，所以n=(1，-2，2)，所以F到平面AB1E的距离d===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=2，AA1=6，点E，F分别为棱BB1，AC的中点，则点C1到平面A1EF的距离为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：如图，取A1C1的中点G，连接FG，以F为坐标 原点，FB，FC，FG所在直线分别为x轴，y轴，z轴， 建立空间直角坐标系，则F(0，0，0)，A1(0，-1，6)， E(，0，3)，C1(0，1，6)，所以=(0，-1，6)， =(，0，3)，=(0，1，6)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设平面A1EF的一个法向量为n=(x，y，z)，所以令z=1，解得x=-，y=6，所以平面A1EF的一个法向量为n=(-，6，1)，所以点C1到平面A1EF的距离d==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1 =AB=AC=2，AB⊥AC，M是CC1的中点，N是BC的中点， P是A1B1的中点，则点A到平面MNP的距离为 (　　) A. B. C. D. √ 解析：如图，以A为原点，AB，AC，AA1所在直线分别 为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，连接AM，则 A(0，0，0)，M(0，2，1)，N(1，1，0)，P(1，0，2)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 所以=(-1，2，-1)，=(0，1，-2)，=(0，2，1)，设平面MNP的一个法向量为u=(x，y，z)，则 令y=2，则x=3，z=1， 所以平面MNP的一个法向量u=(3，2，1)，所以点A到平面MNP的距离为==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.如图，在三棱锥A-BCD中，AB=AC=AD=6，AB，AC， AD两两垂直，E为AB的中点，F为AD上更靠近点D的三 等分点，O为△BCD的重心，则O到直线EF的距离为 (　　) A.2 B.1 C. D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：以A为原点，AB，AC，AD所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(6，0，0)，C(0，6，0)， D(0，0，6)，E(3，0，0)，F(0，0，4)，得O(2，2，2)，= (-3，0，4)，取a==(-1，2，2)，u==(-3，0，4)= ，则a2=9，a·u=， 所以点O到直线EF的距离为 =. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)在四棱锥S-ABCD中，=(4，-1，0)，=(0，3，0)，= (-3，1，-5)，则这个四棱锥的高h为____ . 5 解析：设平面ABCD的一个法向量为n=(x，y，z)，则 所以x=y=0，所以取n=(0，0，1)，所以此四棱锥的高h===5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)在空间直角坐标系O-xyz中，A(1，2，1)，B(2，1，m)，C(0，1，2)，若点C到直线AB的距离不小于，写出一个满足条件的m的值：_______________________________________.  解析：因为=(1，-1，m-1)，=(-1，-1，1)，所以点C到直线AB的距离d==≥，解得1-≤m≤1+. 1(答案不唯一，只要1-≤m≤1+即可) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a，则平面AB1D1与平面BDC1的距离为_____.  解析：因为B1D1∥BD，B1D1⊄平面BDC1，BD⊂平面 BDC1，所以B1D1∥平面BDC1，同理AD1∥平面BDC1， 又B1D1∩AD1=D1，所以平面AB1D1∥平面BDC1，则两 平行平面间的距离等于点B到平面AB1D1的距离. 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线 分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系， a 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则A(a，0，0)，B(a，a，0)，C(0，a，0)，A1(a，0，a)，B1(a，a，a)，D1(0，0，a)，则=(0，a，a)，=(-a，-a，0)，=(0，-a，0).设平面AB1D1的一个法向量为n=(x，y，z)，则 即令x=1，则y=-1，z=1，则n=(1，-1，1)，则点B到平面AB1D1的距离d===a，所以平面AB1D1与平面BDC1的距离为a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)如图，四棱锥P-ABCD中，平面PBC⊥平面 ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，△PBC是 等边三角形，M，N分别为AB和PC的中点，则平面 DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值为 ______.  解析：连接AC，BD相交于点O，O点为底面ABCD的中 心，取BC中点为E，连接EO，EP，则EP⊥BC，因为 平面PBC⊥平面ABCD，则EP⊥平面ABCD，以点E为 原点，分别以为x，y，z轴正半轴，建立 如图所示的空间直角坐标系， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 且底面ABCD的边长为2，△PBC是等边三角形，则D(2，1，0)， M(1，-1，0)，C(0，1，0)，P(0，0，)，则N， O(1，0，0)，则== =(1，1，0).设平面DMN的一个法向量为n=(x，y，z), 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则 解得令z=7，则y=-，x=2，所以n=(2，-，7)，且平面DMN上任意一点到底面ABCD中心距离的最小值即为点O到平面DMN的距离，则d===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)如图，长方体ABCD-A'B'C'D'的顶点坐标为 B(1，0，0)，C(1，2，0)，D(0，2，0)，A'(0，0，2)， B'(1，0，2)，D'(0，2，2)，E和F分别是棱DD'和BB ' 的中点，求CE与A'F之间的距离. 解：因为E和F分别是棱DD'和BB'的中点， 则E(0，2，1)，F(1，0，1).又=(-1，0，1)， =(1，0，-1)，且直线CE与A'F无公共点， 所以CE∥A'F.因此点F到直线CE的距离即为平行线CE与A'F之间的距离. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 又因为=(-1，0，1)，=(0，2，-1)， 所以在上的投影数量为===. 所以点F到直线CE的距离d===. 因此CE与A'F之间的距离为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图，在直二面角D-AB-E中，四边形ABCD是 边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中 ∠AEB=90°，求点D到平面ACE的距离. 解：取AB的中点O，连接OE. 因为△AEB是等腰直角三角形，所以OE⊥AB，OE=OA=1. 由已知得，平面ABCD⊥平面AEB，平面ABCD∩平面AEB=AB， 所以OE⊥平面ABCD. 以O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 (其中z轴平行于BC )， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则C(0，1，2)，A(0，-1，0)，E(1，0，0)，D(0，-1，2)， 所以=(0，0，2)，=(1，1，0)，=(0，2，2). 设平面ACE的一个法向量为n=(x，y，z)，则即令y=1，∴n=(-1，1，-1).故点D到平面ACE的距离d===. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)(2024·天津高考)如图，已知直四棱柱ABCD- A1B1C1D1中，AD⊥AB，AB∥CD，AA1=2，AB=2AD =2，DC=1，N是B1C1的中点，M是DD1的中点. (1)求证D1N∥平面CB1M；(7分) 解：证明：以A为坐标原点，以AB，AD，AA1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，依题意，得B(2，0，0)，C(1，1，0)，D(0，1，0)，B1(2，0，2)，C1(1，1，2)，D1(0，1，2)， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 则M(0，1，1)，N， 所以==(1，-1，2)，=(-1，0，1). 设平面CB1M的一个法向量为n=(x1，y1，z1)， 则即 取x1=1，得z1=1，y1=3，则n=(1，3，1). 因为·n=·(1，3，1)=-=0， 所以⊥n，显然D1N⊄平面CB1M， 所以D1N∥平面CB1M. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值；(4分) 解：由(1)知=(1，-1，2)，=(-1，1，0)， 设平面BB1C1C的一个法向量为m=(x2，y2，z2)， 则即 取x2=1，得y2=1，z2=0，则m=(1，1，0). 设平面CB1M与平面BB1C1C的夹角为θ， 则cos θ=|cos<n，m>|===. 所以平面CB1M与平面BB1C1C夹角的余弦值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)求点B到平面CB1M的距离.(4分) 解：由(1)知=(0，0，2). 设点B到平面CB1M的距离为d， 则d===. 所以点B到平面CB1M的距离为. $$