3.1.1 第1课时 椭圆的定义及其标准方程(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（人教A版）

第三章 圆锥曲线的方程 3.1　 椭　圆 3.1.1　 椭圆及其标准方程 椭圆的定义及其标准方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.理解并掌握椭圆的定义.　 2.掌握椭圆的标准方程的推导.　 3.会求简单的椭圆的标准方程. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.椭圆的定义 定义 平面内与两个定点F1,F2的_____________________ (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆 焦点 两个______叫做椭圆的焦点 焦距 两焦点间的______叫做椭圆的焦距,焦距的______称为半焦距 集合语言 P={M|________________,2a>|F1F2|} 距离的和等于常数 |MF1|+|MF2|=2a 定点 距离 一半 |微|点|助|解| (1)对定义中限制条件“两个定点”的理解 椭圆定义中的两个定点F1,F2是指不重合的两点,当F1与F2重合时,相应点的集合是圆. (2)对定义中限制条件“2a(大于|F1F2|)”的理解 条件 结论 2a>|F1F2| 动点的轨迹是椭圆 2a=|F1F2| 动点的轨迹是线段F1F2 2a<|F1F2| 动点不存在,因此轨迹不存在 2.椭圆的标准方程 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 标准方程 __________________ __________________ 图形 焦点坐标 __________________ __________________ 焦距 2c a,b,c的关系 ___________ 异同点 相同点:椭圆的大小、形状相同;不同点:焦点位置不同,方程不同 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c) a2=b2+c2 |微|点|助|解| (1)a,b,c(都是正数)为三边长,恰好构成一个直角三角形(图中阴影部分),a是斜边长,所以a>b,a>c,且a2=b2+c2 (如图所示).另外,a=|OA1|=|OA2|=|A1A2|(A1,A2是图中 椭圆与x轴的交点). (2)椭圆标准方程的形式:等号左边是“平方+平方”,右边是“1”,特别注意右边不是0. (3)判断焦点位置的方法:标准方程中含x2项的分母较大⇔焦点在x轴上;标准方程中含y2项的分母较大⇔焦点在y轴上.因此要根据标准方程中分母的大小来判断,简记为“焦点位置看大小,焦点随着大的跑”. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=4,则点P的轨迹是椭圆. ( 　) (2)已知点F1(-1,0),F2(1,0),动点P满足|PF1|+|PF2|=2,则点P的轨迹是椭圆. (　 ) (3)已知点F1(0,-1),F2(0,1),动点P满足|PF1|+|PF2|=1,则点P的轨迹是椭圆. (　 ) (4)椭圆定义中到两定点的距离之和是常数,而不能是变量. ( 　) √ × × √ 2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)上任意一点到两焦点的距离之和为4,焦距为2,则C的方程为(　　) A.+=1 B.+=1 C.+=1 D.+=1 解析:由题设,知可得则b2=a2-c2=3,∴C的方程为+=1. √ 3.若方程+=1表示焦点在x轴上的椭圆,则m的取值范围为(　　) A. B. C.(-∞,-3) D.(2,+∞) 解析:由题意可得0<3+m<2-m,解得-3<m<-,所以m的取值范围为. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　椭圆的定义 [例1]　平面内有一个动点M及两定点A,B.设p:|MA|+|MB|为定值, q:点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆.那么p是q的 (　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 √ 椭圆定义的应用类型 (1)判定点的轨迹是否为椭圆,关键看是否符合椭圆的定义; (2)作为性质运用.椭圆上所有的点一定满足定义的条件(即到两焦点的距离之和为常数). |思|维|建|模| 针对训练 1.(多选)设定点F1(0,-3),F2(0,3),动点P满足|PF1|+|PF2|=a+(a>0),则点P的轨迹可能是(　　) A.圆　　　　B.线段　　　　C.椭圆 　　　　D.直线 √ √ 解析:易知a+≥6,故选BC. 2.已知P,Q为椭圆上两点且F1,F2为椭圆的两个焦点,当|PF1|=4时, |PF2|=8.求Q在运动过程中,|QF1|·|QF2|的最大值. 解:由题意|QF1|+|QF2|=|PF1|+|PF2|=4+8=12,由基本不等式|QF1|·|QF2|≤==36,当且仅当|QF1|=|QF2|=6时, 等号成立,故|QF1|·|QF2|的最大值为36. 题型(二)　求椭圆的标准方程 方法1　定义法求椭圆的标准方程 [例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)一个焦点坐标为(-5,0),且椭圆上的点到两焦点的距离之和是26; 解:由题意2a=26,a=13,又c=5,所以b= ==12, 椭圆标准方程为+=1. (2)一个焦点坐标为(0,2),且椭圆经过点(-,). 解:由题意椭圆另一焦点为(0,-2). 2a=+=+ =-++=4,a=2,c=2, 所以b==2,焦点在y轴上,椭圆标准方程为+=1. 定义法就是根据椭圆定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置写出椭圆方程. |思|维|建|模| 方法2　待定系数法求椭圆的标准方程 [例3]　(1)求焦点在坐标轴上,且经过两点(2,-)和的椭圆的标准方程; 解:设椭圆的一般方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B), 分别将两点的坐标(2,-),代入椭圆的一般方程, 得解得 所以所求椭圆的标准方程为+=1. (2)求与椭圆+=1有相同焦点,且过点(3,)的椭圆的标准方程. 解:由题意可设所求椭圆的标准方程为+=1(λ>-9). 又椭圆过点(3,),将x=3,y=代入方程得+=1, 解得λ=11或λ=-21(舍去). 故所求椭圆的标准方程为+=1. 1.待定系数法求椭圆的标准方程 (1)定位置:根据条件确定椭圆的焦点在哪条坐标轴上. (2)设方程:设椭圆方程为+=1或+=1(a>b>0).无法确定焦点位置时, 可设为Ax2+By2=1(A>0,B>0,且A≠B). (3)寻关系:根据条件列出关于a,b,c(或A,B)的方程组. (4)得方程:解方程组,将所求得的相应值代入所设方程即可. 2.与已知椭圆共焦点的椭圆方程的设法 与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,λ>-b2);与椭圆+=1(a>b>0)有公共焦点的椭圆方程为+=1(a>b>0,λ>-b2). |思|维|建|模| 针对训练 3.求满足下列条件的椭圆的标准方程: (1)焦点坐标分别为(-3,0),(3,0),经过点(0,4); 解:设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),依题可得c=3, 将(0,4)代入到方程+=1中得b=4,故a===5, 所以椭圆的标准方程为+=1. (2)焦点在y轴上的椭圆上任意一点到两个焦点的距离的和为8,c=; 解:设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),依题可得2a=8,即a=4,所以b===,所以椭圆的标准方程为+=1. (3)两个焦点坐标分别是(0,-2)和(0,2),并且经过点; 解:易知c=2,焦点在y轴上, 可设椭圆的标准方程为+=1, 将代入标准方程解得b2=6, 则椭圆的标准方程为+=1. (4)椭圆中c=b,且a+b=6; 解:因为c=b,a2-b2=c2,解得a=2b, 又因为a+b=6,所以b=2,a=4,椭圆的标准方程为+=1或+=1. (5)以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,). 解:由题意,椭圆9x2+5y2=45化为标准方程+=1,知焦点F1(0,2),F2(0,-2), 设所求椭圆方程为+=1(λ>0), 将x=2,y=代入,得+=1,解得λ=8或λ=-2(舍去). ∴所求椭圆的标准方程为+=1. [例4]　(1)“2<m<6”是“方程+=1表示椭圆”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 题型(三)　椭圆标准方程的应用 √ 解析:若方程+=1表示椭圆,则 解得2<m<6且m≠4,所以“2<m<6”是“方程+=1表示椭圆” 的必要不充分条件. (2)已知椭圆的标准方程为+=1(m>0),并且焦距为6,则实数m的值为____________. 4或 解析:因为2c=6,所以c=3. ①当焦点在x轴上时,由椭圆的标准方程知25-m2=9,解得m=4. ②当焦点在y轴上时,由椭圆的标准方程知m2-25=9,解得m=.综上,m=4或m= . 由椭圆的标准方程求基本量a,b,c时,一要看清方程是否为椭圆的标准方程,不是标准方程的先化为标准方程;二是看清椭圆焦点位置,通过焦点位置确定a2,b2的值,进而通过c2=a2-b2求得c2,开方求得a,b,c. |思|维|建|模| 4.已知方程mx2+(2m-1)y2=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是 (　　) A.　　　B.　　　C.(1,+∞) 　　　D.(0,1) 针对训练 解析:将椭圆方程变形为+=1,因为焦点在y轴上,所以>>0, 解得<m<1.故选B. √ 5.已知P为椭圆C:+=1上的动点,A(-1,0),B(1,0),且|PA|+|PB|=4,则b2=(　　) A.1　　　　B.2　　　　C.3　　　　D.4 解析:因为A(-1,0),B(1,0),可得|AB|=2,则|PA|+|PB|=4>|AB|=2, 由椭圆的定义,可得点P的轨迹表示以A,B为焦点的椭圆,其中2a=4, 2c=2,可得a=2,c=1,所以b2=a2-c2=3,又因为点P在椭圆C:+=1上, 所以b2=3. √ 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.已知点A(-3,0),B(0,2)在椭圆+=1上,则椭圆的标准方程为(　　) A.+=1　　　　B.+=1　　　　C.+y2=1　　　　D.+=1 √ 解析:由题意得解得m2=9,n2=4.所以椭圆的标准方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.若椭圆+=1(m>0)的一个焦点坐标为(1,0),则m的值为(　　) A.5　　　　B.3　　　　C.　　　　D. 解析:根据题意知,椭圆的焦点在x轴上,且c=1,则有4-m2=1,解得m=±.又m>0,则m=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.如果方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则m的取值范围是(　　) A.(3,4) 　　　B.　　　C.　　　D. √ 解析:∵方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,∴4-m>0,m-3>0且m-3>4-m,解得<m<4.故选D. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.椭圆+=1的右焦点到直线x-y=0的距离为(　　) A.　　　　B.　　　　C.1　　　　D. 解析:在椭圆+=1中,a2=4,b2=3,则c==1,所以椭圆的右焦点为F(1,0).所以椭圆的右焦点F(1,0)到直线x-y=0的距离为d==. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.关于椭圆C:+=1,有下列四个命题:甲:m=4;乙:n=9;丙:C的焦距为6; 丁:C的焦点在x轴上.如果只有一个假命题,则该命题是(　　) A.甲　　　　B.乙　　　　C.丙 　　　　D.丁 √ 解析:当甲、乙为真命题时,椭圆方程为+=1,椭圆的焦距为2c=2 =2,且焦点在y轴上,此时丙和丁都是假命题,不符合题意,因此甲和乙有 一个是假命题.当乙、丙和丁是真命题时,b==3,2c=6,∴a2=b2+c2=9+9=18,此时椭圆方程为+=1,符合题意,故甲是假命题. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.椭圆+=1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标为(　　) A.±　　　　B.±　　　　C.±　　　　D.± 解析:∵线段PF1的中点M在y轴上且O是线段F1F2的中点(F2为椭圆的另一个焦点),∴PF2⊥x轴,∴点P的横坐标是±3,∵点P在椭圆上,∴+=1,即y2=,则点P的纵坐标为±,故点M的纵坐标为±. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.中国是世界上最古老的文明中心之一,中国古代对世界上最重要的贡献之一就是发明了瓷器,中国陶瓷是世界上独一无二的.它的发展过程蕴藏着十分丰富的科学和艺术,陶瓷形状各式各样,从不同角度诠释了数学中几何的形式之美.现有一椭圆形明代瓷盘,经测量得到图中数据,则该椭圆瓷盘的焦距为 (　　) A.8　　　　B.2　　　　C.4　　　　D.4 √ 解析:由题图可设瓷盘所在椭圆的方程为+=1(a>b>0),易知2a=8,2b=4,所以a=4,b=2,所以c==2,因此焦距2c=4.故选C. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8. (5分)椭圆+=1的焦距是_______,焦点坐标是________________. 16 (-8,0),(8,0) 解析:由椭圆方程知,椭圆焦点在x轴上,且a2=100,b2=36,所以c2=a2-b2=64,解得c=8,所以焦距2c=16,两焦点的坐标分别是(-8,0),(8,0). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9. (5分)已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是______. 解析:由椭圆4x2+ky2=4,可得x2+=1,易知>1,且-1=1,故k=2. 2 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10. (5分)已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F1的直线交椭圆于A,B两点,若|AF2|+|BF2|=14,则|AB|=________. 10 解析:因为a=6,|AF1|+|AF2|=2a,|BF1|+|BF2|=2a,两式相加得|AF2|+|BF2|+|AB|=4a=24.又|AF2|+|BF2|=14,所以|AB|=10. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11. (5分)阿基米德既是古希腊著名的物理学家,也是著名的数学家,他利用“逼近”的方法得到椭圆的面积除以圆周率π等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积. 若椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别是F1,F2,P是C上一点,|PF1|=3|PF2|, ∠F1PF2=,C的面积为12π,则C的标准方程为________________. +=1 解析:由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a,又|PF1|=3|PF2|,所以|PF1|=a,|PF2|=a.又∠F1PF2=,所以|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos∠F1PF2,所以4c2=a2+ a2-a2,所以a=c,b==c.又椭圆的面积为12π,所以c·cπ=12π,解得c2=7,a2=16,b2=9,所以椭圆C的标准方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)求满足下列条件的椭圆的标准方程. (1)b=1,c=,焦点在y轴上;(2分) 解:因为b=1,c=,所以a2=b2+c2=16,因为椭圆焦点在y轴上,所以其标准方程为+x2=1. (2)a=10,c=6;(2分) 解:因为a=10,c=6,所以b2=a2-c2=100-36=64,因为椭圆焦点位置不确定,所以其标准方程为+=1或+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)经过点P(-2,0),Q(0,2)两点;(2分) 解:由题意得P,Q分别是椭圆长轴和短轴上的端点,且椭圆的焦点在x轴上,所以a=2,b=2,所以椭圆的标准方程为+=1. (4)与椭圆+=1有相同的焦点且经过点(2,-).(4分) 解:设椭圆+=1的两个焦点为F1,F2,且焦点在x轴上,因为c==1,所以F1(-1,0),F2(1,0),故设椭圆方程为+=1(a>b>0), 由题意得解得或 (舍去). 所以椭圆的标准方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知椭圆+=1上一点M(x0,y0),且x0<0,y0=2. (1)求x0的值;(4分) 解:由题意知点M(x0,2)在椭圆+=1上,则+=1,解得=9, 又x0<0,∴x0=-3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求过点M且与椭圆+=1共焦点的椭圆的方程.(6分) 解:易知椭圆+=1的焦点在x轴上,且c2=9-4=5,故可设所求椭圆的方程为+=1(a2>5).由(1)可知点M的坐标为(-3,2),将其代入所设方程, 得+=1(a2>5),解得a2=15.故所求椭圆的方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)已知椭圆M与椭圆N:+=1有相同的焦点,且椭圆M过点. (1)求椭圆M的标准方程;(5分) 解:由题意,知椭圆N的焦点为(-2,0),(2,0), 设椭圆M的方程为+=1(a>b>0), 则化简并整理得5b4+11b2-16=0,故b2=1或b2=-(舍去),a2=5, 故椭圆M的标准方程为+y2=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)设椭圆M的左、右焦点分别为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.(5分) 解:由(1)知F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2的面积为×4×|y0|=1, 解得y0=±. 又+=1,所以=,x0=±, 所以点P有4个,它们的坐标分别为,,,. 解析:当|MA|+|MB|为定值时,若定值大于|AB|时,点M轨迹是椭圆,若定值等于|AB|,点M轨迹是线段,若定值小于|AB|,则轨迹不存在;当点M的轨迹是以A,B为焦点的椭圆时,|MA|+|MB|必为定值. 所以pq,但q⇒p,故p为q的必要不充分条件. $$