2.2.2 直线的两点式方程(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（人教A版）

2.2.2　 直线的两点式方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的两点式方程. 2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.直线的两点式方程 经过两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(其中x1≠x2,y1≠y2)的直线的方程为___________.我们把它叫做直线的两点式方程,简称两点式. = |微|点|助|解| (1)当过两点(x1,y1),(x2,y2)的直线斜率不存在(x1=x2)或斜率为0(y1=y2)时,不能用两点式方程表示. (2)在记忆和使用两点式直线方程时,必须注意坐标的对应关系,即x1,y1是同一个点的坐标,x2,y2是另一个点的坐标. (3)把直线的两点式方程化为(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1),则该方程表示过平面内任意不同两点(x1,y1),(x2,y2)的直线. 2.直线的截距式方程 我们把直线l与x轴的交点(a,0)的横坐标a叫做直线l在______________,此时直线l在y轴上的截距是____.方程+=1由直线l在两条坐标轴上的截距a与b确定,我们把方程+=1叫做直线的截距式方程,简称截距式. x轴上的截距 b |微|点|助|解| (1)如果已知直线在两坐标轴上的截距,可以直接代入截距式求直线的方程. (2)截距式方程应用的前提是截距存在且不为0,即与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示. (3)截距式中a≠0,b≠0,但截距可以为0,因此在解决截距相等的问题时, 要注意截距为0的情况. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)能用两点式方程表示的直线也可用点斜式方程表示. (　 ) (2)方程=和方程(y-y1)(x2-x1)=(x-x1)(y2-y1)适用的范围相同.(　 ) (3)过点(1,3)和(1,5)的直线也可以用两点式方程来表示. (　 ) √ × × 2.经过点A(-3,2),B(4,4)的直线的两点式方程为 (　　) A.= B.= C.= D.= 解析:因为直线经过点A(-3,2),B(4,4),所以由方程的两点式可得直线方程为=,即=. √ 3.在x轴、y轴上的截距分别是-2,3的直线方程为 (　　) A.+=1 B.-=1 C.-=1 D.+=-1 解析:因为直线在x轴、y轴上的截距分别是-2,3,所以直线方程是+=1,即-=1. 4.直线-=1在y轴上的截距为(　　) A.-4 B.-2 C.2 D.4 √ √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　直线的两点式方程 [例1]　已知△ABC的三个顶点A(1,1),B(2,0),C(4,4). (1)求AB边所在直线的方程; 解:因为A(1,1),B(2,0),由直线的两点式方程,可得AB边所在直线的方程为=,化简可得x+y-2=0. (2)求BC边上中线所在直线的方程. 解:由B(2,0),C(4,4), 则BC的中点D, 即D(3,2),则BC边上中线AD所在直线的方程为=, 化简可得x-2y+1=0. 　　[变式拓展] 若本例条件不变,求AB边上的中垂线的方程. 解:由本例(1)知AB边上的中垂线的斜率为1,因为线段AB的中点坐标为,所以由点斜式方程,得AB边上的中垂线的方程为y-=x-,即x-y-1=0. 已知两点求直线方程的方法思路 已知直线上两点的坐标求直线方程时,若满足两点式方程的适用条件, 可直接将两点的坐标代入直线的两点式方程,化简即得.代入点的坐标时注意横、纵坐标的对应关系.若点的坐标中含有参数,需注意对参数的讨论.在斜率存在的情况下,也可以选用斜率公式求出斜率,再用点斜式求方程. |思|维|建|模| 针对训练 1.已知点A(3,4),B(-1,3),直线l:y=kx+3与直线AB垂直,则实数k= (　　) A.-　　　　B.　　　　C.4　　　　D.-4 解析:直线AB的方程为=,即y=+,因为直线l:y=kx+3与直线AB垂直,所以k=-1,解得k=-4. √ 2.(多选)已知直线l经过点(-3,-2),(1,2),则下列在直线l上的点是 (　　) A.(-2,-1)　 B.(-1,0)　 C.(0,1)　 D.(2,1) 解析:由直线的两点式方程,得直线l的方程为=,即x-y+1=0,将各个选项中的坐标代入直线l的方程,可知点(-2,-1),(-1,0),(0,1)都在直线l上,点(2,1)不在直线l上. √ √ √ 题型(二)　直线的截距式方程 [例2]　求过点A(3,4),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程. 解:当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,可设直线l的方程为+=1.又l过点A(3,4),所以+=1,解得a=-1.所以直线l的方程为+=1,即x-y+1=0. 当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0, 即直线l过原点时,设直线l的方程为y=kx, 因为l过点A(3,4),所以4=k·3,解得k=, 直线l的方程为y=x,即4x-3y=0. 综上,直线l的方程为x-y+1=0或4x-3y=0. 　　[变式拓展] 1.若本例中点A的坐标改为“A(-3,-4)”,其他条件不变,又如何求解? 解:当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且不为0时,设直线l的方程为+=1,又l过点A(-3,-4),所以+=1,解得a=1.所以直线l的方程为+=1,即x-y-1=0. 当直线l在两坐标轴上的截距互为相反数且为0,即直线l过原点时,设直线l的方程为y=kx,由于l过(-3,-4),所以-4=k·(-3),解得k=.所以直线l的方程为4x-3y=0. 综上,直线l的方程为x-y-1=0或4x-3y=0. 2.若本例中“截距互为相反数”变为“截距相等”呢? 解:当截距不为0时,设直线l的方程为+=1,又l过(3,4),∴+=1,解得a=7,∴直线l的方程为x+y-7=0. 当截距为0时,设直线l的方程为y=kx,又l过(3,4),∴4=k·3, 解得k=, ∴直线l的方程为y=x,即4x-3y=0. 综上,直线l的方程为x+y-7=0或4x-3y=0. 求直线的截距式方程的方法思路 (1)由已知条件确定横、纵截距. (2)若两截距为零,则直线过原点,直接写出方程即可;若两截距不为零, 则代入公式+=1,可得所求的直线方程. [提醒]　如果题目中出现直线在两坐标轴上的截距相等、截距互为相反数或在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上的截距的多少倍等条件,采用截距式求直线方程时一定要考虑“零截距”的情况. |思|维|建|模| 针对训练 3.若直线l过点B(4,-3),且在x轴上的截距是在y轴上截距的2倍,则该直线的斜率是 (　　) A.- B.- C.或- D.-或- 解析:若直线l过坐标原点,则kl=-,此时横、纵截距都等于0,满足题意; 若直线l不过坐标原点,设直线l的方程为+=1,因为直线过点B(4,-3),所以+=1,解得b=-1,所以直线方程为x+2y+2=0,此时kl=-,故选D. √ 4.(多选)过点P(2,1)且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线方程为 (　　) A.x+y-3=0 B.x+y+3=0 C.x-y-1=0 D.x-2y=0 解析:当直线的截距不为0时,设直线的截距式方程为+=1, 由题可得所以或解得或 所以直线方程为x+y-3=0或x-y-1=0,故A、C正确;当直线的截距为0时, 设直线方程为y=kx,由题可知k=,故直线方程为x-2y=0,D正确. √ √ √ [例3]　过点P(1,1)作直线l,与两坐标轴相交所得三角形面积为4,则直线l有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 题型(三)　直线方程的综合应用 √ 解析:由题意设直线l的方程为+=1,直线过P(1,1),则+=1,直线与坐标轴的交点为(a,0),(0,b),又S=|ab|=4,ab=±8,+==1,a+b=ab,当ab=8时, a+b=8,由 得或当ab=-8时,a+b=-8, 由 得或所以直线l共有4条. 　　直线的截距式方程是两点式方程的特殊情况(两个点是直线与坐标轴的交点,记为(a,0),(0,b)),用它来画直线以及求直线与坐标轴围成的图形面积或周长时较为方便,直线与坐标轴围成的三角形的面积S=|a||b|. |思|维|建|模| 5.已知直线l过点M(2,1),且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A,B两点, O为原点,求△AOB面积的最小值. 针对训练 解:依题意,设直线l在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b(a>0,b>0),则直线l的方程为+=1,∵直线l过点M(2,1),∴+=1, ∴S△AOB=ab=ab=(2b+a)=(2b+a)=2++. ∵a>0,b>0,∴>0,>0,∴2++≥2+2=4,即S△AOB≥4, 当且仅当即时取等号, ∴△AOB面积的最小值为4. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.过点(1,2),(5,3)的直线方程是 (　　) A.= B.= C.= D.= √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.下列说法正确的是 (　　) A.方程=k表示过点P1(x1,y1)且斜率为k的直线 B.直线y=kx+b与y轴的交点为B(0,b),其中截距b=|OB| C.在x轴、y轴上的截距分别为a,b的直线方程为+=1 D.方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)表示过任意不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线　 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 解析:对于A,由=k表示过点P1(x1,y1)且斜率存在,不含点P(x1,y1)的直线,所以A不正确;对于B,直线y=kx+b与y轴交于一点B(0,b),其中截距不是距离,截距为点B的纵坐标,其值可正可负可为0,所以B不正确;对于C,当直线经过原点时,直线在坐标轴上的截距都是0,不能表示为+=1,所以C不正确;对于D,方程(x2-x1)(y-y1)=(y2-y1)(x-x1)为直线的两点式方程的变形,可以表示过任意不同两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的直线,所以D正确.故选D. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,则实数a的值是 (　　) A.1 B.-1 C.-2或-1 D.-2或1 解析:显然a≠0.把直线l:ax+y-2=0化为+=1.∵直线l:ax+y-2=0在x轴和y轴上的截距相等,∴=2,解得a=1,故选A. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.若直线+=1过第一、二、三象限,则(　　) A.a>0,b>0 B.a>0,b<0 C.a<0,b>0 D.a<0,b<0 解析:因为直线l在x轴上的截距为a,在y轴上的截距为b,且经过第一、二、三象限,故a<0,b>0. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.(多选)已知△ABC的三个顶点A(3,2),B(-2,3),C(4,5),则下列说法正确的是 (　　) A.直线AC的斜率为 B.直线AB的倾斜角为锐角 C.BC边的中点坐标为(1,4) D.BC边上的中线所在的直线方程为x+y-5=0 解析:直线AC的斜率为=3,故A错误; 直线AB的斜率为=-<0,所以直线AB的倾斜角为钝角,故B错误; 设BC边的中点为D(x0,y0),则x0==1,y0==4,即点D(1,4),故C正确; BC边上的中线AD所在的直线方程为=,整理得x+y-5=0,故D正确. √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.一条光线从点P(5,8)射出,与y轴相交于点Q(0,-1)且被y轴反射,则反射光线所在直线在x轴上的截距为 (　　) A. B.- C. D.- 解析:P(5,8)关于y轴的对称点为P'(-5,8),则反射光线所在直线为P'Q.所以反射光线所在直线的方程为=,即9x+5y+5=0.令y=0, 解得x=-,所以反射光线所在直线在x轴上的截距为-.故选B. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(多选)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围可以是 (　　) A. B.(-∞,-1) C. D. 解析:设直线的斜率为k,如图,过定点A的直线经过点B(3,0)时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;过定点A的直线经过点C(-3,0)时,直线l在x轴上的截距为-3,此时k=.综上,满足条件的直线l的斜率的取值范围是(-∞,-1)∪. √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8. (5分)经过两点M(4,3),N(1,5)的直线交x轴于点P,则P点的坐标为_______. 解析:由两点式得MN的方程为=,即2x+3y-17=0,令y=0,得x=,故P. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9. (5分)过点P(1,2)且在两坐标轴上截距的和为0的直线方程为 _____________________. 解析:当直线过原点,即在坐标轴上的截距均为零时, 得直线方程为2x-y=0;当在坐标轴上的截距不为零时, 可设直线方程为-=1,将x=1,y=2代入方程可得a=-1,得直线方程为x-y+1=0.∴直线方程为2x-y=0或x-y+1=0. 2x-y=0或x-y+1=0 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10. (5分)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4),B(0,0),C(4,0),则边AC的垂直平分线的方程为__________. 解析:因为边AC的中点为D(2,2),且|AB|=|BC|=4,|AC|=4,所以△ABC为等腰直角三角形.所以边AC的垂直平分线过B(0,0),D(2,2),故由两点式方程得=,即x-y=0. x-y=0 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11. (5分)已知A(3,0),B(0,4),直线AB上有一动点P(x,y),则xy的最大值为________. 解析:由直线方程的截距式知,直线AB的方程为+=1,设P(x,y), 则x=3-y,∴xy=3y-y2=(-y2+4y)=[-(y-2)2+4]≤3. 当且仅当y=2时等号成立,即当点P坐标为时,xy取得最大值3. 3 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知直线l经过点(1,6)和点(8,-8). (1)求直线l方程的两点式,并化为截距式;(5分) 解:直线l方程的两点式为=, 即2x+y=8,化为截距式为+=1. (2)求直线l与两坐标轴围成的图形面积.(5分) 解:如图,直线l与两坐标轴围成的图形是Rt△AOB,且OA⊥OB,|OA|=4,|OB|=8, 故S△AOB=|OA|·|OB|=×4×8=16. 故直线l与两坐标轴围成的图形面积为16. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知△ABC的三个顶点分别为A(0,4), B(-2,6),C(-8,0). (1)求边AC和AB所在直线的方程;(5分) 解:由截距式,得边AC所在直线的方程为+=1, 即x-2y+8=0.由两点式,得边AB所在直线的方程为=,即x+y-4=0. (2)求AC边上的中线BD所在直线的方程.(5分) 解:由题意,得点D的坐标为(-4,2), 由两点式,得中线BD所在直线的方程为=,即2x-y+10=0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(10分)若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形,且此三角形的面积为18,求直线l的方程. 解:∵直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形, ∴直线l在两坐标轴上的截距相等或互为相反数且不为0. 若l在两坐标轴上的截距相等,且设为a(a≠0), 则直线方程为+=1,即x+y-a=0. ∵|a|·|a|=18,即a2=36,∴a=±6,∴直线l的方程为x+y±6=0. 若l在两坐标轴上的截距互为相反数,不妨设在x轴上的截距为a,则在y轴上的截距为-a(a≠0),故直线方程为+=1,即x-y-a=0. ∵|-a|·|a|=18,即a2=36,∴a=±6,∴直线l的方程为x-y±6=0. 综上所述,直线l的方程为x+y±6=0或x-y±6=0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知a>0,直线l1:x+ay=2a+4与y轴的交点为A,l2:2x+ay=2a+8与x轴的交点为B,l1与l2的交点为C,求四边形OACB面积的最小值. 解:因为直线l1:x-4=-a(y-2),l2:2(x-4)=-a(y-2)都过点(4,2), 所以点C的坐标是(4,2). 在x+ay=2a+4中,令x=0,得y=2+,所以A. 在2x+ay=2a+8中,令y=0,得x=4+a,所以B(4+a,0), 所以S四边形OACB=S△OAC+S△OCB=××4+×(4+a)×2 =8+a+≥8+2=8+4,当且仅当a=,即a=2时等号成立. 所以当a=2时,四边形OACB的面积取得最小值,为8+4. $$