2.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

1.2 椭圆的简单几何性质 椭圆的简单几何性质 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆中a，b，c的几何意义. 2.能根据几何条件求出椭圆方程，利用椭圆的方程研究它的性质并画出图形. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 1.椭圆的几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0) 范围 ____________________ ____________________ 对称性 对称轴为坐标轴，对称中心(中心)为原点 -a≤x≤a，-b≤y≤b -b≤x≤b，-a≤y≤a 顶点 ____________________ ___________________ B1(0，-b)，B2(0，b) B1(-b，0)，B2(b，0) 轴长 长轴长|A1A2|=____，短轴长|B1B2|=____ 焦点 F1(-c，0)，F2(c，0) F1(0，-c)，F2(0，c) 焦距 |F1F2|=____ 离心率 (1)定义:椭圆的焦距与长轴长度的比叫作椭圆的离心率， 用e表示，即_____=e. (2)性质:离心率e的范围是_______.e越接近于1，椭圆就越扁; e越接近于0，椭圆就越接近于_____ A1(-a，0)，A2(a，0) A1(0，-a)，A2(0，a) 2a 2b 2c (0，1) 圆 续表 2.椭圆几何性质的拓展 (1)椭圆上到中心的距离最小的点是____轴的两个端点，到中心的距离 最大的点是____轴的两个端点. (2)焦半径公式: ①椭圆+=1(a>b>0)上的点P(x0，y0)相对于左、右焦点(F1为左焦点，F2为右焦点)的焦半径分别为|PF1|= _______ ，|PF2|= ______. ②椭圆+=1(a>b>0)上的点P(x0，y0)相对于下、上焦点(F1为下焦点，F2为上焦点)的焦半径分别为|PF1|= _______ ，|PF2|= _______. 短 长 a+ex0 a-ex0 a+ey0 a-ey0 (3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为______，最小值为______. (4)O为长轴中点、短轴中点、F1F2中点. (5)P为短轴端点时，∠F1PF2最大. (6)通径长为. a+c a-c 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)椭圆+=1(a>b>0)的长轴长是a. (　 ) (2)若椭圆的对称轴为坐标轴，长轴长与短轴长分别为10，8，则椭圆的方程为+=1. (　 ) (3)设F为椭圆+=1(a>b>0)的一个焦点，M为其上任一点，则|MF|的最大值为a+c(c为椭圆的半焦距). (　 ) × × √ 2.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是 (　　) A.(-6，0)，(1，0) B.(-6，0)，(6，0) C.(-，0)，(，0) D.(0，-)，(0，) √ 解析：椭圆6x2+y2=6的标准方程为+x2=1，易知椭圆焦点在y轴上，且a2=6，a=，所以椭圆的长轴端点坐标为(0，-)，(0，). 3.若椭圆x2+2y2=1的离心率为e，则e的值为 (　　) A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D. 解析：由题意得椭圆长半轴长a=1，短半轴长b=， 所以半焦距c==，所以离心率e===，故选C. √ 4.下列四个椭圆中，形状最扁的是 (　　) A.+=1　　B.+=1　　C.+=1　　D.+=1 解析：由e=，根据选项中的椭圆的方程， 可得的值满足<<<，因为椭圆的离心率越大， 椭圆的形状越扁，所以这四个椭圆中，椭圆+=1的离心率最大， 故其形状最扁. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　由椭圆的标准方程研究其几何性质 [例1]　已知椭圆x2+(m+3)y2=m(m>0)的离心率e=，求m的值及椭圆的长轴和短轴的长、焦点坐标、顶点坐标. 解:椭圆方程可化为+=1(m>0)， ∵m-=>0，∴m>，即a2=m，b2=.∴c==. 由e=，得=，解得m=1，∴椭圆的标准方程为x2+=1.∴a=1，b=，c=. ∴椭圆的长轴长为2，短轴长为1，两焦点坐标分别为， 顶点坐标分别为(-1，0)，(1，0)，. |思|维|建|模| 用标准方程研究椭圆几何性质的步骤 (1)将椭圆方程化为标准形式. (2)确定焦点位置(焦点位置不确定的要分类讨论). (3)求出a，b，c. (4)写出椭圆的几何性质. 针对训练 1.[多选]已知椭圆C:+=1，则下列结论正确的是(　　) A.长轴长为8 　　 B.焦距为4 C.焦点坐标为(0，±2) 　　D.离心率为 √ √ √ 解析：由已知得a2=16，b2=4， 则a=4，b=2，c==2， 故椭圆长轴长为2a=8，焦距为2c=4， 焦点坐标为(±2，0)，离心率=， 故A、B、D正确，故选ABD. 题型(二)　由椭圆的几何性质求其标准方程 [例2]　求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8; 解:由题意知，2c=8，c=4，∴e===， ∴a=8，从而b2=a2-c2=48， ∴椭圆的标准方程是+=1. (2)在x轴上的一个焦点，与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6. 解:设椭圆的标准方程为+=1，a>b>0， ∵在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6，如图所示， ∴△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线(高)，且|OF|=c，|A1A2|=2b， ∴c=b=3.∴a2=b2+c2=18. 故所求椭圆的方程为+=1. |思|维|建|模| 利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 (1)确定焦点位置. (2)设出相应椭圆的标准方程. (3)根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程(组)求参数. (4)写出椭圆的标准方程. 针对训练 2.求适合下列条件的椭圆的标准方程. (1)长轴长是短轴长的5倍，且过点A(5，0); 解:若焦点在x轴上，设其标准方程为+=1(a>b>0)，由题意得解得故所求椭圆的标准方程为+y2=1. 若焦点在y轴上，设其标准方程为+=1(a>b>0)，由题意得 解得故所求椭圆的标准方程为+=1.综上所述，所求椭圆的标准方程为+y2=1或+=1. (2)离心率e=，焦距为12. 解:由e==，2c=12，得a=10，c=6， 所以b2=a2-c2=64.当焦点在x轴上时，所求椭圆的标准方程为+=1;当焦点在y轴上时，所求椭圆的标准方程为+=1. 综上所述，所求椭圆的标准方程为+=1或+=1. [例3]　已知椭圆+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P是 椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1PF2=，则椭圆的离心率为________. 题型(三)　椭圆的离心率 解析:由题意可知|PF1|=|PF2|= ==a，|F1F2|=2c.在△PF1F2中， 由余弦定理得4c2=a2+a2-2a2cos∠F1PF2， 化简得4c2=a2，则e2=，所以e=. [变式拓展] 1.若本例条件“cos∠F1PF2=”变为“∠F1PF2为直角”，求椭圆的离心率. 解:因为∠F1PF2为直角，所以△F1PF2为等腰直角三角形，所以b=c，所以a===c，所以离心率为e===. 2.若本例条件“点P是椭圆短轴的一个端点，且cos∠F1PF2=” 变为“点P为椭圆的上顶点，点Q在椭圆上且满足=3”， 求椭圆的离心率. 解:由题意P(0，b)，F1(-c，0)，F2(c，0)，其中c=. 设Q(x0，y0)，由=3，得(c，b)=3(x0-c，y0)，即 代入椭圆方程得+=1，解得离心率e=. |思|维|建|模| 椭圆离心率的两种常用求法 (1)若给定椭圆的方程，则根据焦点位置先求a2，b2，再求出a，c的值，利用公式e=直接求解; (2)若椭圆的方程未知，则根据条件建立a，b，c之间的关系式，化为关于a，c的齐次方程，再将方程两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程，解方程求得e.另外，利用图形求椭圆离心率时，通常要结合图形，特别是图形中平行、垂直、相似三角形的作用.对于椭圆，在焦点三角形中，常综合利用椭圆定义、正弦和余弦定理、等比性质等求离心率. 3.直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 针对训练 √ 解析：法一　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(-c，0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx-cy+bc=0，由已知得=×2b，整理得b2=3c2.又b2=a2-c2，所以=，即e2=，解得e=或e=-(舍去). 法二　不妨设直线l过椭圆的上顶点(0，b)和左焦点(-c，0)，b>0，c>0，则直线l的方程为bx-cy+bc=0，由已知得=×2b，所以=×2b，即=，所以e=. 法三　如图，由题意，得在椭圆中，|OF|=c，|OB|=b，|OD|=×2b=b，|BF|=a.在Rt△FOB中，|OF|×|OB|=|BF|×|OD|，即c×b=a×b， 解得=，所以椭圆的离心率e=. 4.过椭圆+=1(a>b>0)的左焦点F1作x轴的垂线交椭圆于点P，F2为右焦点，若∠F1PF2=60°，求该椭圆的离心率. 解:如图，设|F1F2|=2c，由题设条件， 可知|PF1|==，则|PF2|=. 又椭圆的离心率e====， 即该椭圆的离心率为. 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.[多选]已知椭圆C:16x2+4y2=1，则下列结论正确的是 (　　) A.长轴长为 B.焦距为 C.焦点坐标为 D.离心率为 解析：由椭圆方程16x2+4y2=1化为标准方程可得+=1，所以a=， b=，c=，所以长轴长2a=1，焦距2c=，焦点坐标为， 离心率e==. √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.(2023·新课标Ⅰ卷)设椭圆C1:+y2=1(a>1)，C2:+y2=1的离心率分别为e1，e2，若e2=e1，则a=(　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：由e2=e1，得=3.因此=3×.因为a>1，所以a=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.若椭圆+=1与椭圆+=1(k<9，k≠0)，则两椭圆必定(　　) A.有相等的长轴长 B.有相等的焦距 C.有相等的短轴长 D.有相等的离心率 解析：因为k<9，k≠0，所以25-k>9-k>0，所以椭圆+=1(k<9，k≠0)中a2=25-k≠25，b2=9-k≠9，故A、C错误;椭圆+=1(k<9，k≠0)的c2=a2-b2=25-k-(9-k)=16，椭圆+=1的c2=25-9=16，故两椭圆c相等， 所以有相等的焦距，故B正确;离心率e=，两椭圆a不相等，c相等， 显然离心率不一样，故D错误. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.若椭圆的两个焦点与短轴的一个端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. 解析：如图，不妨设椭圆的左、右焦点分别为F1，F2， B为椭圆的上顶点.依题意可知，△BF1F2是正三角形. ∵在Rt△BOF2中，|OF2|=c，|BF2|=a，∠OF2B=60°，∴cos 60°==，即椭圆的离心率e=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率e=，短轴的右端点为B，M(1，0)为线段OB的中点，则椭圆的标准方程为(　　) A.+=1　　　B.+=1　　　C.+=1　　　D.+=1 解析：因为M(1，0)为线段OB的中点，且B(b，0)，所以b=2， 又椭圆C的离心率e=，所以===， 所以a=2，所以椭圆C的标准方程为+=1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.如图，把椭圆+=1的长轴AB分成10等份， 过每个分点作x轴的垂线分别交椭圆的上半部分 于点P1，P2，…，P9，F是左焦点，则|P1F|+|P2F| +…+|P9F|=(　　) A.16　　　B.18　　　C.20　　　D.22 解析：因为把椭圆+=1的长轴AB分成10等份，过每个分点作x轴的 垂线分别交椭圆的上半部分于点P1，P2，…，P9，设椭圆的右焦点为F'，且a2=4，可得a=2，由椭圆的定义及椭圆的对称性，可得|P1F|=|P9F'|，|P2F|=|P8F'|，|P3F|=|P7F'|，…，所以|P1F|+|P2F|+…+|P9F|=(|P9F'|+|P9F|)+ (|P8F'|+|P8F|)+…+(|P5F'|+|P5F|)=9a=18. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.(2022·全国甲卷)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若·=-1，则C的方程为(　　) A.+=1　　　B.+=1　　　C.+=1　　　D.+y2=1 解析：依题意得A1(-a，0)，A2(a，0)，B(0，b)，所以=(-a，-b)，=(a，-b)，·=-a2+b2=-(a2-b2)=-c2=-1.故c=1.又C的离心率e===，所以a=3，a2=9，b2=a2-c2=8，即C的方程为+=1.故选B. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.[多选]如图所示，两个椭圆+=1，+=1， 内部重叠区域的边界记为曲线C，P是曲线C上的任意一点，下列说法正确的是(　　) A.曲线C关于直线y=x，y=-x对称 B.两个椭圆的离心率不相等 C.P到F1(-4，0)，F2(4，0)，E1(0，-4)，E2(0，4)四点的距离之和为定值 D.曲线所围区域面积必小于36 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析：对于A，两个椭圆均关于直线y=x，y=-x对称，则曲线C均关于直线y=x，y=-x对称，故A正确; 对于B，椭圆+=1的离心率e1==，椭圆+=1的离心率e2==， 所以e1=e2，故B错误; 对于C，易知F1(-4，0)，F2(4，0)分别为椭圆+=1的两个焦点，E1(0，-4)，E2(0，4)分别为椭圆+=1的两个焦点，若P不在两个椭圆的交点上，则距离之和不为定值，故C错误; 对于D，易得椭圆+=1的上、下顶点分别为(0，3)，(0，-3)，椭圆+=1的 左、右顶点分别为(-3，0)，(3，0)，所以曲线C所围区域在边长为6的正方形内部，所以面积必小于36，故选AD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)若椭圆C:+=1的一个焦点坐标为(0，1)，则C的长轴长为__________. 2 解析:∵椭圆的一个焦点坐标为(0，1)，∴m2-1-m=1，即m2-m-2=0，解得m=2或m=-1，由于+=1表示的是椭圆，则m>1，∴m=2，则椭圆方程为+=1，∴a=，2a=2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长与短半轴长的乘积.若椭圆C的中心为原点，焦点F1，F2均在x轴上，C的面积为8π，且离心率为，则C的标准方程为____________. +=1 解析:设C的标准方程为+=1(a>b>0)，则解得 所以C的标准方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知P是椭圆+=1上一点，A(0，5)，则|PA|的最小值为______. 解析:设P(x，y)，所以|PA|== ==，由于-6≤y≤6，故当y=时， 取最小值=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)求下列曲线的标准方程. (1)长轴长为12，离心率为，焦点在x轴上的椭圆;(5分) 解:由题意，2a=12，∴a=6，又e=，即=，∴c=4，∴b2=a2-c2=36-16=20.又焦点在x轴上，∴椭圆的标准方程为+=1. (2)一个焦点为(0，2)，长轴长为6的椭圆.(5分) 解:由题意，c=2，椭圆焦点在y轴上，2a=6，即a=3，∴b2=a2-c2=5，∴椭圆的标准方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)已知P为椭圆C:+=1(a>b>0)上的点，F1，F2分别是椭圆C的 左、右焦点，O为坐标原点. (1)若P为椭圆的上顶点，且PF1⊥PF2，△F1PF2的面积等于4，求椭圆的标准方程;(5分) 解:由题意可得|PF1|=|PF2|=a，因为PF1⊥PF2，所以|PF1|2+|PF2|2 =2a2=4c2，所以=|PF1|·|PF2|==4，所以a2=8，所以b2=4， 所以椭圆的标准方程为+=1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若△POF2为等边三角形，求椭圆C的离心率.(5分) 解:法一　若△POF2为等边三角形，则P的坐标为， 代入方程+=1，可得+=1，解得e2=4±2，又0<e<1， 所以e=-1. 法二　由△POF2为等边三角形，所以|OF1|=|OF2|=|OP|，所以PF1⊥PF2，由∠OF2P=，|F1F2|=2c，所以|PF1|=c，|PF2|=c，所以|PF1|+|PF2|=2a =(+1)c，所以e=-1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)设F1，F2分别是椭圆E:+=1(a>b>0)的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|F1B|. (1)若|AB|=4，△ABF2的周长为16，求|AF2|;(6分) 解:由|AF1|=3|F1B|，|AB|=4， 得|AF1|=3，|F1B|=1. 因为△ABF2的周长为16， 所以由椭圆定义可得4a=16，|AF1|+|AF2|=2a=8，故|AF2|=8-3=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若cos∠AF2B=，求椭圆E的离心率.(9分) 解:设|F1B|=k，则k>0且|AF1|=3k，|AB|=4k. 由椭圆定义可得|AF2|=2a-3k，|BF2|=2a-k. 在△ABF2中，由余弦定理可得|AB|2=|AF2|2+|BF2|2-2|AF2||BF2|cos∠AF2B， 即(4k)2=(2a-3k)2+(2a-k)2-(2a-3k)·(2a-k)， 化简可得(a+k)(a-3k)=0，而a+k>0， 故a=3k. 于是有|AF2|=3k=|AF1|，|BF2|=5k. 因此|BF2|2=|F2A|2+|AB|2， 可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c=a，所以椭圆E的离心率e==. $$