第1章 直线与圆 专题微课 对称问题及应用(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

专题微课　对称问题及应用 　　直线是解析几何中最基本的一种曲线.直线中的对称问题是研究其他曲线对称性的基础，是解析几何中重要的基础内容.对称点、对称直线的求法及对称问题的简单应用，在解题过程中所体现的思想与方法是学生必须掌握的.中学教材对本部分内容没有系统编排，本课时对其进行了适当的归纳总结. CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　几类常见的对称问题 题型(二)　光的反射问题 题型(三)　利用对称解决距离的最值问题 4 课时检测 题型(一)　几类常见的对称问题 01 [例1]　已知直线l:y=3x+3，求: (1)点P(4，5)关于l的对称点的坐标; 解:设点P关于直线l的对称点为P'(x'，y')，则线段PP'的中点在直线l上， 且直线PP'垂直于直线l，即解得 所以点P'的坐标为(-2，7). (2)直线y=x-2关于l的对称直线的方程; 解:解方程组得 则点在所求直线上. 在直线y=x-2上任取一点M(2，0)， 设点M关于直线l的对称点为M'(x0，y0)， 则解得点M'也在所求直线上. 由两点式得直线方程为=，化简得7x+y+22=0，即为所求直线的方程. (3)直线l关于点A(3，2)的对称直线的方程. 解:在直线l上取两点E(0，3)，F(-1，0)， 则E，F关于点A(3，2)的对称点分别为 E'(6，1)，F'(7，4). 因为点E'，F'在所求直线上， 所以由两点式得所求直线方程为=， 即3x-y-17=0. |思|维|建|模| 1.中心对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于点对称的主要求解方法 若点M(x1，y1)及N(x，y)关于P(a，b)对称，则由中点坐标公式得 (2)直线关于点的对称的主要求解方法 ①在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程; ②求出一个对称点，再利用两对称直线平行，由点斜式得到所求直线方程. 2.轴对称问题的两个类型及求解方法 (1)点关于直线的对称 若两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)关于直线l:Ax+By+C=0对称， 则可得 (其中B≠0，x1≠x2). (2)直线关于直线的对称 一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况:一是已知直线与对称轴相交;二是已知直线与对称轴平行. 针对训练 1.点(1，2)关于直线x-2y-2=0的对称点坐标是 (　　) A.(-1，-4)　　　B.(3，-2)　　　C.(0，4)　　　D.(-1，6) √ 解析:设点P(1，2)关于直线x-2y-2=0的对称点坐标为Q(a，b)， 可得-2×-2=0①， 斜率×=-1②. 由①②解得a=3，b=-2.则点P(1，2)关于直线x-2y-2=0的对称点坐标为(3，-2). 2.直线l:4x+3y-2=0关于点A(1，1)对称的直线方程为 (　　) A.4x+3y-4=0 B.4x+3y-12=0 C.4x-3y-4=0 D.4x-3y-12=0 解析:设直线l:4x+3y-2=0关于点A(1，1)对称的直线上任意一点P(x，y)，则P(x，y)关于A(1，1)对称点为(2-x，2-y)，又因为(2-x，2-y)在4x+3y-2=0上，所以4(2-x)+3(2-y)-2=0，即4x+3y-12=0. 3.若直线y=ax+2与y=3x-6关于直线y=x对称，则实数a=　　　.  √ 解析:直线y=3x-6过点(0，-6)，点(0，-6)关于直线y=x对称点为(-6，0)，依题意可知点(-6，0)在直线y=ax+2上，所以-6a+2=0，解得a=. 题型(二)　光的反射问题 02 [例2]　已知光线从点A(-2，4)射出，经直线l:2x-y-7=0反射， 反射光线过点B(5，8).求: (1)反射光线所在直线的方程; 解:设点A关于l的对称点为A'(x0，y0)， 则解得 即A'(10，-2).∴反射光线所在直线方程为=，即2x+y-18=0. (2)光线从点A到点B经过的路程. 解:设反射点为P，则光线从点A到点B经过的路程为|AP|+|PB|=|A'P|+|PB|=|A'B|==5. 　　|思|维|建|模| 利用对称解决光线反射问题的方法 　　根据平面几何知识和光学知识，入射光线、反射光线所在的直线关于法线对称，即入射光线、反射光线上对应的点是关于法线对称的.利用点的对称关系可以求解光线反射问题.如图所示，点A，B分别为入射光线、反射光线上的点，点A，B关于l的 对称点分别为A'，B'，则点A'在反射光线所在的 直线上，点B'在入射光线所在的直线上， 于是可利用两点式求得入射光线或反射光线所在的直线方程. 针对训练 4.已知光线经过已知直线l1:3x-y+7=0和l2:2x+y+3=0的交点M，且射到x轴上一点N(1，0)后被x轴反射. (1)求反射光线所在的直线l3的方程; 解:由 可得即M(-2，1)，又N(1，0)， 所以kMN==-， 所以反射光线所在的直线l3的斜率为， 故反射光线所在的直线l3的方程为y=(x-1)，即x-3y-1=0. (2)求与l3距离为 的直线方程. 解:由题可设所求直线方程为x-3y+c=0， 则=， 解得c=9或c=-11， 所以与l3距离为的直线方程为 x-3y+9=0或x-3y-11=0. 题型(三)　利用对称解决距离的最值问题 03 [例3]　已知平面上两点A(4，1)和B(0，4)，在直线l:3x-y-1=0上求一点M. (1)使||MA|-|MB||最大; 解:如图，设C(m，n)为B关于直线l的对称点， 则BC中点在直线l上， 所以 解得即C(3，3)，由|MB|=|MC|， 则||MA|-|MB||=||MA|-|MC||≤|AC|， 要使||MA|-|MB||最大，只需A，C，M共线，||MA|-|MB||max=|AC|=. (2)使|MA|+|MB|最小. 解:要使|MA|+|MB|最小，只需A，B，M共线， 所以(|MA|+|MB|)min=|AB|=5. |思|维|建|模| 利用对称性求距离的最值问题 　　由平面几何知识(三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差的绝对值小于第三边)可知，要解决在直线l上求一点，使这点到两定点A，B的距离之差最大的问题，若这两点A，B位于直线l的同侧，则只需求出直线AB的方程，再求它与已知直线的交点，即得所求的点的坐标;若A，B两点位于直线l的异侧，则先求A，B两点中某一点，如A关于直线l的对称点A'，得直线A'B的方程，再求其与直线l的交点即可.对于在直线l上求一点P，使P到平面上两点A，B的距离之和最小的问题可用类似方法求解. 针对训练 5.已知点R在直线x-y+1=0上，M(1，3)，N(3，-1)，则||RM|-|RN||的最大值为 (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D.2 √ 解析:设点M(1，3)关于直线x-y+1=0的对称点为M'(x0，y0)， 则解得∴M'(2，2)，又N(3，-1)， ∴||RM|-|RN||=||RM'|-|RN||≤|M'N|=. 6.已知实数x，y满足x+y+1=0，则+的最小值为(　　) A.　　　　B.2　　　　C.　　　　D.2 解析:+表示直线x+y+1=0上一动点P(x，y)到定点A(1，1)，B(2，0)的距离之和，如图所示，设点A(1，1)关于直线x+y+1=0的对称点为A'(x0，y0)， 则解得 √ 所以对称点为A'(-2，-2)，则|A'B|==2，由图知+的最小值为2，故选D. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.点(3，9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标是 (　　) A.(-1，-3)　　　B.(17，-9)　　　C.(-1，3)　　　D.(-17，9) 解析:设点(3，9)关于直线x+3y-10=0对称的点的坐标为(a，b)， 则由解得 所以该点的坐标是(-1，-3). √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.直线2x+3y-6=0关于点(-1，2)对称的直线方程是 (　　) A.3x-2y-10=0 B.3x-2y-23=0 C.2x+3y-4=0 D.2x+3y-2=0 解析:设对称的直线方程上的一点的坐标为(x，y)，则其关于点(-1，2) 对称的点的坐标为(-2-x，4-y)，因为点(-2-x，4-y)在直线2x+3y-6=0上， 所以2(-2-x)+3(4-y)-6=0即2x+3y-2=0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.直线x-2y+1=0 关于直线x=1对称的直线方程是 (　　) A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0 C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0 √ 解析:在直线x-2y+1=0上任取两点，不妨取点(1，1)，，这两点关于直线x=1对称的点分别为 (1，1)，，两对称点所在直线的方程为 y-1=-(x-1)，即 x+2y-3=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.[多选]已知光线自点(4，2)射入，经倾斜角为45°的直线l:y=kx+1反射后经过点(3，0)，则反射光线经过的点为 (　　) A.　　B.(9，-15)　　C.(-3，15)　　D.(13，2) √ √ 解析:由题意知，k=tan 45°=1，设点(4，2)关于直线y=x+1的对称点为(m，n)，则解得所以反射光线所在的直线方程为y=(x-3) =(x-3)，所以当x=9时，y=-15;当x=-3时，y=15，故选BC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(1，1)，若将军从山脚下的点B(4，4)处出发，河岸线所在直线l的方程为x-y+1=0，则“将军饮马”的最短总路程是 (　　) A.3　　　　B.　　　　C.　　　　D.2 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:如图，设B(4，4)关于直线x-y+1=0对称的 点为C(a，b)， 则有 可得即C(3，5)，依题意可得“将军饮马”的最短总路程为|AC|==2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]已知点P(2，3)与直线l:x-y+2=0，下列说法正确的是 (　　) A.过点P且与直线l平行的直线方程为x-y+1=0 B.过点P且截距相等的直线与直线l一定垂直 C.点P关于直线l的对称点坐标为(1，4) D.直线l关于点P对称的直线方程为x-y=0 √ √ √ 解析:设所求直线方程为x-y+n=0，则2-3+n=0，解得n=1，所以过点P且与直线l平行的直线方程为x-y+1=0，故A正确; 若截距都为0，即过点P(2，3)且经过坐标原点的直线为y=x，此时直线的斜率k=，但是kl=1，k·kl=≠-1，所以直线y=x与直线l不垂直，故B错误; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设点P关于直线l的对称点坐标为(a，b)，则解得 所以点P关于直线l的对称点坐标为(1，4)，故C正确;因为点(-2，0)，(0，2)在直线l上，点(-2，0)关于点P(2，3)对称的点为(6，6)，点(0，2)关于点P(2，3)对称的点为(4，4)，则过(6，6)和(4，4)的直线方程为y-4=(x-4)，即x-y=0，所以直线l关于点P对称的直线方程为x-y=0，故D正确.故选ACD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.不论实数a取何值时，直线(2a-1)x+(-a+3)y-5=0都过定点M，则直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为 (　　) A.x-2y-6=0 B.x-2y=0 C.2x-y-9=0 D.2x-y-3=0 解析:由(2a-1)x+(-a+3)y-5=0可得a(2x-y)-x+3y-5=0，令 解得x=1，y=2，所以M(1，2).设直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程 为2x-y+b=0，则M(1，2)到直线2x-y+3=0与2x-y+b=0的距离相等，所以 =，解得|b|=3，即b=3(舍去)或b=-3.故直线2x-y+3=0关于点M的对称直线方程为2x-y-3=0. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.已知两点A(-4，8)，B(2，4)，点C在直线y=x+1上，则|AC|+|BC|的最小值为 (　　) A.2　　　　B.9　　　　C.　　　　D.10 解析:依题意，设B(2，4)关于直线y=x+1的对称点为B'(m，n)， ∴解得∴B'(3，3). 连接AB'交直线y=x+1于点C'，连接BC'，如图， 在直线y=x+1上任取点C，连接AC，BC，B'C，显然， 直线y=x+1垂直平分线段BB'，则有|AC|+|BC|=|AC|+|B'C|≥|AB'|=|AC'|+|B'C'| =|AC'|+|BC'|，当且仅当点C与C'重合时取等号，∴(|AC|+|BC|)min=|AB'| ==，故|AC|+|BC|的最小值为. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)将一张坐标纸折叠一次，使点(3，2)与点(1，4)重合，则折痕所在直线的一般式方程为_______________. x-y+1=0 解析:∵点(3，2)与点(1，4)连线斜率k==-1，∴折痕所在直线斜率k'=1.又点(3，2)与点(1，4)的中点为(2，3)，∴折痕所在直线方程为y-3=x-2，即x-y+1=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知一条光线从点P(7，5)射入，经x轴反射后沿直线x-ay+3=0射出，则a=_________. -2 解析:点P(7，5)关于x轴对称的点为P'(7，-5)，由题意可知，反射光线经过点P'(7，-5)，将点P'(7，-5)的坐标代入方程x-ay+3=0，解得a=-2. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知P为直线l:2x-y+3=0上一点，点P到A(1，0)和B(2，2)的距离之和最小时点P的坐标为___________________. 解析:易知点A，B在直线的同侧，设点A(1，0)关于l的对称点为A'(x0，y0)， 则解得即A'(-3，2).由题意知， 点P为直线A'B与l的交点，直线A'B的方程为y=2，故点P的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)已知直线l:x+2y-1=0和点A(1，2). (1)请写出过点A且与直线l平行的直线;(3分) 解:设过点A且与直线l平行的直线为x+2y+C=0(C≠-1)，将A(1，2)代入， 可得C=-5，所以直线方程为x+2y-5=0. (2)求点A关于直线l的对称点的坐标.(7分) 解:设点A关于直线l的对称点为A'(m，n)，由题意可得 解得所以点A'的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)一条光线从点P(6，4)射出，与x轴相交于点Q(2，0)，经x轴反射后与y轴交于点H. (1)求反射光线QH的方程;(6分) 解:如图所示，作点P(6，4)关于x轴的对称点的 坐标P'(6，-4)， 则反射光线所在的直线过点P'和Q， 所以kP'Q==-1， 所以直线P'Q的直线方程为y=-(x-2). 所以反射光线QH的直线方程为y=-x+2，其中x∈(-∞，2]. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求△PQH的面积.(4分) 解:由(1)知H(0，2)，kPQ·kQH=-1，所以PQ⊥QH， 所以|QH|==2， |PQ|==4， 所以S△PQH=×|QH||PQ|=×2×4=8. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)如图所示，m，n，l是三条公路，m与n是 互相垂直的，它们在O点相交，l与m，n的交点分别是M，N且|OM|=4，|ON|=8，工厂A在公路n上，|OA|=2，工厂B到m，n的距离分别为2，4.货车P在公路l上. (1)要把工厂A，B的物品装上货车P，问:P在什么位置时，搬运工走的路程最少?(8分) 解:以m，n所在直线分别为y，x轴建立平面直角坐标系 如图所示，则有A(2，0)，B(-2，-4)，M(0，4)，N(-8，0) ，故公路l所在的直线方程为x-2y+8=0， 求P在什么位置时，搬运工走的路程最少，即求|PA|+|PB|的值最小时P的位置. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 设点A关于直线l的对称点为A'(m，n)， 则解得 ∴A'(-2，8). 又P为直线l上的一点，则|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|，当且仅当B，P，A'三点共线时等号成立，此时|PA|+|PB|取得最小值|A'B|，点P就是直线A'B与直线l的交点. 联立解得∴P(-2，3). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求P在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多? (假设货物一次性搬运完)(7分) 解:求P在什么位置时，B工厂搬运工与A工厂搬运工走的路程差距最多， 等价于求点P的位置，使||PB|-|PA||的值最大，A，B两点在直线l的同侧， P是直线l上的点，则||PB|-|PA||≤|AB|，当且仅当A，B，P三点共线时 等号成立，此时||PB|-|PA||取得最大值|AB|，点P即直线l与直线AB的交点. 又∵A(2，0)，B(-2，-4)，∴直线AB的方程为y=x-2，联立 解得∴P(12，10). $$