1.3 第2课时 空间向量坐标运算的应用(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（人教A版）

空间向量坐标运算的应用 [教学方式:拓展融通课——习题讲评式教学] 第2课时 课时目标 进一步学习空间向量坐标运算,能运用空间向量坐标运算解决空间中平行与垂直的问题,会求两点距离、模及异面直线所成的角. 课时跟踪检测 CONTENTS 目录 1 2 3 题型(一)　利用空间向量的坐标运算证明平行问题 题型(二)　利用空间向量的坐标运算证明垂直问题 题型(三) 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题 4 题型(一) 利用空间向量的坐标运算证明平行问题 01 [例1]　如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,若O1为A1C1中点,O2为AC中点. 求证:(1)BO1∥D1O2; 证明:如图,以D为坐标原点,,,分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,设正方体的棱长为1. 依题意知B(1,1,0),O1,D1(0,0,1),O2, ∴=,=,∴=-, ∴∥,即BO1∥D1O2. (2)平面ACD1∥平面BA1C1. 证明:∵A1(1,0,1),C1(0,1,1),A(1,0,0),C(0,1,0), ∴=(-1,1,0),=(-1,1,0), ∴=,∴AC∥A1C1.又AC⊂平面ACD1, A1C1⊄平面ACD1,∴A1C1∥平面ACD1. 又由(1)知BO1∥平面ACD1,而A1C1∩BO1=O1, 且A1C1⊂平面BA1C1,BO1⊂平面BA1C1, ∴平面ACD1∥平面BA1C1. |思|维|建|模| 判断空间向量平行的步骤 (1)向量化:将空间中的平行转化为向量的平行. (2)向量关系代数化:写出向量的坐标. (3)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ ∈ R)或==(x2,y2,z2都不为0)判断两向量是否平行. [提醒]　由空间向量平行求值只需根据平行的条件建立方程(组)求解即可. 针对训练 1.如图,在四棱锥P⁃ABCD中,底面ABCD为矩形, PD⊥平面ABCD,E为CP的中点,N为DE的中点, DM=DB,DA=DP=1,CD=2,求证:MN∥AP. 证明:法一　由题意知,直线DA,DC,DP两两垂直, 以D为坐标原点,DA,DC,DP所在直线分别为x轴、 y轴、z轴建立空间直角坐标系,如图所示, 则D(0,0,0),A(1,0,0),P(0,0,1),N,M,所以=(-1,0,1),=,所以=. 又M∉AP,故MN∥AP. 法二　由题意可得=+=+ =+×(+) =++=+=(+) =.又M∉AP,所以MN∥AP. 题型(二)　利用空间向量的坐标运算证明垂直问题 02 [例2]　如图,在四棱锥P⁃ABCD中,PD⊥底面ABCD, 底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点. (1)求证:EF⊥CD; 解:证明:以D为坐标原点,,,分别为x轴、y轴、 z轴的正方向,建立空间直角坐标系(如图),设AD=a(a>0), 则D(0,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,P(0,0,a), F, 所以=,=(0,a,0),所以·=· (0,a,0)=0,所以EF⊥CD. (2)已知点G在平面PAD内,且GF⊥平面PCB, 试确定点G的位置. 解:因为G∈平面PAD,设G(x,0,z), 所以=.由(1)知=(a,0,0),=(0,-a,a). 因为GF⊥平面PCB,所以·=·(a,0,0)=a=0, ·=·(0,-a,a)=+a=0,所以x=,z=0, 所以点G的坐标为,即点G为AD的中点. 　　|思|维|建|模| 判断空间向量垂直的步骤 (1)向量化:将空间中的垂直转化为向量的垂直. (2)向量关系代数化:写出向量的坐标. (3)对于a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),根据x1x2+y1y2+z1z2是否为0判断两向量是否垂直. [提醒]　由空间向量垂直求值只需根据垂直的条件建立方程(组)求解即可. 针对训练 2.如图,在三棱台A1B1C1⁃ABC中,∠BAC=90°, A1A⊥平面ABC,A1A=,AB=AC=2A1C1=2, D为BC的中点.求证:平面A1AD⊥平面BCC1B1. 证明:由题意可建立如图所示的空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),A1(0,0,),D(1,1,0), 所以=(-2,2,0),=(1,1,0),=(0,0,). 因为·=-2+2+0=0,·=0+0+0=0,所以⊥, ⊥,所以BC⊥AD,BC⊥AA1.又AD∩AA1=A,AD, AA1⊂平面A1AD,所以BC⊥平面A1AD,又BC⊂平面BCC1B1,所以平面A1AD⊥平面BCC1B1. 题型(三) 利用空间向量的坐标运算解决夹角和距离问题 03 [例3]　如图,在棱长为1的正方体ABCD⁃A1B1C1D1中, E,F分别为D1D,BD的中点,点G在棱CD上,且CG=CD, H为C1G的中点. (1)求FH的长; 解:如图,建立空间直角坐标系,D为坐标原点, 则有F,H, ∴=,∴||= =.∴FH的长为. (2)求异面直线EF与C1G所成角的余弦值. 解:由(1)知E,F, ∴=,∴||=. 又C1(0,1,1),G, ∴=, ∴||=. ∴·=×0+×+×(-1)=,∴|cos<,>|==. 即异面直线EF与C1G所成角的余弦值为. 　　|思|维|建|模| 利用空间向量的坐标运算求夹角和距离的一般步骤 建系 根据题目中的几何图形建立恰当的空间直角坐标系 求坐标 利用题设条件写出相关点的坐标,进而求得相关向量的坐标 计算 利用空间向量的夹角和距离的公式求解 针对训练 3.如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,CA=CB=1, ∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别是B1C1,A1A的中点. (1)求M,N的距离; 解:如图,建立空间直角坐标系,依题意得A1(1,0,2), C(0,0,0),B(0,1,0),N(1,0,1),B1(0,1,2),C1(0,0,2).M,∴=,∴||==.∴M,N的距离为. (2)求cos<,>的值. 解:由(1)得=(1,-1,2),=(0,1,2), ·=3,||=,||=, ∴cos<,>==. 课时跟踪检测 04 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 1.已知=(1,2,3),=(a,b,b-2),若点A,B,C共线,则||=(　　) A. B.2 C.3 D.9 √ 解析:因为点A,B,C共线,所以与共线,所以==, 解得a=-2,b=-4,故=(-2,-4,-6),=-=(-3,-6,-9), ||==3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 2 3 4 2.已知A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC的形状是 (　　) A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形 解析:因为=(3,4,-8),=(2,-3,1),=(5,1,-7),·=10-3-7=0, ∴BC⊥AC,而||=,||=5,所以△ABC是直角三角形. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,则 (　　) A.A1C⊥B1D B.A1C⊥BC C.B1D⊥BC D.B1D⊥AC 解析:以D为原点,{,,}为单位正交基底建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(1,0,0), A1(1,0,1),B(1,1,0),B1(1,1,1),C(0,1,0),所以= (-1,1,-1),=(-1,-1,-1),=(-1,0,0),=(-1,1,0).因为·=1,·=1,·=1,·=0, 所以B1D⊥AC.故选D. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 4.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,PQ与直线A1D和AC都垂直,则直线PQ与BD1的关系是 (　　) A.异面 B.平行 C.垂直不相交 D.垂直且相交 解析:设正方体的棱长为1.以D为坐标原点,DA,DC, DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,则=(1,0,1),=(-1,1,0).设=(a,b,c),则取=(1,1,-1).∵=(0,0,1)-(1,1,0)=(-1,-1,1)=-,∴∥,∴PQ∥BD1. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),则以AB,AC为邻边的平行四边形的面积为 (　　) A.7 B.7 C. D. 解析:因为A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5),所以=(-2,-1,3),=(1,-3,2), 所以||=,||=,所以cos∠BAC===, 所以∠BAC=60°,平行四边形面积为2S△ABC,在△ABC中由正弦定理得S△ABC =||×||×sin∠BAC,设平行四边形的面积为S,所以S=× ×sin 60°=7. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知正方体ABCD⁃A1B1C1D1的棱长为1,点M在AC1上且=,点N为B1B的中点,则||为(　　) A. B. C. D. 解析:以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),C1(0,1,1),N,设M(x,y,z), ∵点M在AC1上且=,∴(x-1,y,z)=(-x,1-y, 1-z),∴x=,y=,z=,即M.又N, ∴||==. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 7.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABC⁃A1B1C1中,M是A1C1的中点,AB=2AA1=2AC, =,=3,若=x+y+z,则x+y+z=(　　) A. B. C. D. 解析:如图,以A1为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的 正方向建立空间直角坐标系.不妨令AB=4,则A(2,0,0),B(2,4,0), A1(0,0,0),C(2,0,2),M(0,0,1),N.因为=3, 所以G,则=,=(-2,0,0),=(0,4,0), =(0,0,2),则解得故x+y+z=. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(5分)如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1, AA1=2,以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.若D为A1C与AC1的交点,点E为空间中一点,且满足B1C1∥ED, EB1∥DC1,则点E的坐标为　　　　　　　. 解析:由题意知B1(1,0,2),C1(0,1,2),D,设点E(x,y,z), 则=(-1,1,0),=,=,=(1-x,-y,2-z), 因为B1C1∥ED,EB1∥DC1,所以设=λ,=μ,则 且解得λ=μ=1,x=1,y=-,z=1,所以点E. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 9.(5分)在空间直角坐标系中,向量a满足|a|=3,且与向量b=(1,1,1)的夹角的余弦值为,请写出向量a的一个坐标:___________. 解析:设a=(x,y,z), 由 得 则向量a的一个坐标为(1,2,2). (1,2,2) 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 10.(5分)已知空间三点A(-1,1,0),B(2,2,1),C(1,1,1),则点A到直线BC的距离为　　　　. 解析:由题意得=(3,1,1),=(-1,-1,0),所以cos<,> ===-,可得sin<,>= ==,所以点A到直线BC的距离为||·sin<,> =×=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)已知向量a=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2).在直线AB上, 存在一点E,使得⊥a,其中O为坐标原点,则点E的坐标为　　 　　　. 解析:设=λ,因为A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),所以=(1,-1,-2), =(λ,-λ,-2λ),=(3,1,-4),=-=(λ-3,-λ-1,-2λ+4), 因为⊥a,所以-2(λ-3)+(-λ-1)+(-2λ+4)=0,解得λ=,又A(-3,-1,4), =,所以点E的坐标为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AD=AA1=1, AB=2,点E在棱AB上移动,则直线D1E与A1D所成角的大小为_______,若D1E⊥EC,则AE=_______. 解析:在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,以D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.又AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上移动. 则D(0,0,0),D1(0,0,1),A(1,0,0),A1(1,0,1),C(0,2,0), 设E(1,m,0),0≤m≤2, 则=(1,m,-1),=(-1,0,-1), ∴·=-1+0+1=0, ∴直线D1E与A1D所成角的大小为90°. ∵=(-1,2-m,0),D1E⊥EC, ∴·=-1+m(2-m)+0=0, 解得m=1,∴AE=1. 90° 1 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(10分)如图,在四棱锥S⁃ABCD中,底面ABCD为正方形,侧棱SD⊥底面ABCD,E,F,G分别为AB,SC,SD的中点.若AB=a,SD=b. (1)求||;(5分) 解:以D为原点,分别以射线DA,DC,DS为x轴、 y轴、z轴的正半轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E,F, G,所以=, 则||==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求cos<,>.(5分) 解:由(1)知=,=(-a,0,0), 所以cos<,>== ==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)如图,在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,线段BB1, A1C1,BC的中点分别为D,E,F.已知AB⊥AC,AB=2, AC=4,AA1=2. (1)求证:A1F⊥DE;(5分) 解:证明:由题意易知AB,AC,AA1两两相互垂直,以A为坐标原点,,,分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系. 则A1(0,0,2),C1(4,0,2),D(0,2,1),E(2,0,2),F(2,1,0). 因为=(2,1,-2),=(2,-2,1), 所以·=2×2+1×(-2)+(-2)×1=0,因此A1F⊥DE. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)求sin<,>.(5分) 解:由(1)知=(2,-2,1),=(-2,1,-2), 则||==3, ||==3, 可得cos<,>===-, 所以sin<,>==. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)如图,在四棱锥P⁃ABCD中,△PBC为等腰直角三角形, 且∠CPB=90°,四边形ABCD为直角梯形,满足AD∥BC,CD⊥AD, BC=CD=2AD=4,PD=2. (1)若点F为DC的中点,求cos<,>;(9分) 解:因为△PBC为等腰直角三角形,∠CPB=90°,BC=CD=4, 所以PC=PB=2. 又PD2=(2)2=24,PC2+CD2=(2)2+42=24,所以DC⊥PC. 而CD⊥AD,AD∥BC,故CD⊥BC, 因为PC∩BC=C,PC,BC⊂平面PBC,所以CD⊥平面PBC. 以C为原点,CP,CD所在直线分别为x,z轴,过点C作PB的平行线为y轴,建立空间直角坐标系,如图所示, 则P(2,0,0),B(2,2,0),F(0,0,2),A(,,4), =(,-,-4),=(-2,-2,2), 所以cos <,>===-. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若点E为PB的中点,点M为AB上一点,当⊥时,求的值.(6分) 解:由(1)知E(2,,0),设=t, 而=(,,-4),所以=(t,t,-4t), 所以M(+t,+t,4-4t), 所以=(t-,t,4-4t).又=(-2,-2,2), ⊥,所以·=-2×(t-)-2×t+8-8t=0, 解得t=,所以=. $$