1.3 第1课时 空间向量及其运算的坐标表示(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（人教A版）

1.3　 空间向量及其运算的坐标表示 空间向量及其运算的坐标表示 [教学方式:基本概念课——逐点理清式教学] 第1课时 课时目标 1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置. 2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示,空间向量运算的坐标表示及距离公式. CONTENTS 目录 1 2 3 逐点清(一) 空间直角坐标系及点的坐标 逐点清(二)　空间向量的坐标 逐点清(三) 空间向量运算的坐标表示 4 逐点清(四)　空间向量性质的坐标表示 5 课时跟踪检测 逐点清(一)　空间直角坐标系及点的坐标 01 多维理解 1.空间直角坐标系 空间 直角 坐标系 在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时我们就建立了一个空间直角坐标系Oxyz,O叫做原点,i,j,k都叫做__________ 坐标 平面 在空间直角坐标系Oxyz中,通过_____________的平面叫做坐标平面,分别称为______平面, ______平面, ______平面 右手 直角 坐标系 在空间直角坐标系Oxyz中,让右手拇指指向______的正方向,食指指向______的正方向,如果中指指向______的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系 坐标向量 每两条坐标轴 Oxy Oyz Ozx x轴 y轴 z轴 2.空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系Oxyz中,i,j,k为坐标向量,对空间任意一点A,对应一个向量,且点A的位置由向量唯一确定,由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使=xi+yj+zk.在单位正交基底{i,j,k}下与向量对应的有序实数组_________,叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的_________,y叫做点A的_________, z叫做点A的________. (x,y,z) 横坐标 纵坐标 竖坐标 3.点的坐标的特点 点的位置 x轴上 y轴上 z轴上 坐标的形式 (x,0,0) _________ (0,0,z)   点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内 坐标的形式 _________ (0,y,z) _________ (0,y,0) (x,y,0) (x,0,z) 4.点P(a,b,c)的对称性 对称轴、对称平面或对称中心 对称点坐标 x轴 __________ y轴 _________ z轴 _________ Oxy平面 _________ Oyz平面 _________ Ozx平面 _________ 坐标原点 _________ (a,-b,-c) (-a,b,-c) (-a,-b,c) (a,b,-c) (-a,b,c) (a,-b,c) (-a,-b,-c) 循规记忆:关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反. 微点练明 1.点P(-5,0,6)位于 (　　) A.y轴上 B.z轴上 C.Ozx平面内 D.Oyz平面内 解析:因为点P(-5,0,6)的纵坐标为0,所以点P位于Ozx平面内,故选C. √ 2.(多选)如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=5, AD=4,AA1=3,以直线DA,DC,DD1分别为x轴,y轴, z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,则下列结论正确的是 (　　) A.点B1的坐标为(3,5,4) B.点C1关于点B对称的点为(8,5,-3) C.点A关于直线BD1对称的点为(0,5,3) D.点C关于平面ABB1A1对称的点为(8,5,0) √ √ √ 解析:易知点B1的坐标为(4,5,3),故A错误;由C1(0,5,3),B(4,5,0),设点C1关于点B对称的点为P(x,y,z),则=4,=5,=0,解得x=8,y=5, z=-3,故P(8,5,-3),故B正确;在长方体中,AD1=BC1==5=AB, 所以四边形ABC1D1为正方形,AC1与BD1垂直且平分,即点A关于直线BD1对称的点为C1(0,5,3),故C正确;因为CB⊥平面ABB1A1,故点C(0,5,0)关于平面ABB1A1对称的点为(0+2×4,5,0),即(8,5,0),故D正确. 3.已知点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点为P1,点P1关于坐标平面Oyz的对称点为P2,点P2关于z轴的对称点为P3,则点P3的坐标为_________. 解析:点P(2,3,-1)关于坐标平面Oxy的对称点P1的坐标为(2,3,1),点P1关于坐标平面Oyz的对称点P2的坐标为(-2,3,1),点P2关于z轴的对称点P3的坐标是(2,-3,1). (2,-3,1) 逐点清(二)　空间向量的坐标 02 多维理解 　在空间直角坐标系Oxyz中,给定向量a,作=a.由空间向量基本定理,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使a=___________.有序实数组(x,y,z)叫做a在空间直角坐标系Oxyz中的坐标,上式可简记作a=________. xi+yj+zk (x,y,z) 微点练明 1.已知{i,j,k}是空间的一个单位正交基底,且=-i+j-k,则的坐标为(　　) A.(-1,1,-1) B.(-i,j,-k) C.(1,-1,-1) D.(1,-1,1) √ 解析:根据空间向量坐标的定义,由=-i+j-k,知=(-1,1,-1). 2.已知正方体ABCD⁃A'B'C'D'的棱长为1, 且BP=BD',建立如图所示的空间直角坐标系, 则点P的坐标为(　　) A. B. C. D. 解析:记x,y,z轴正方向上的单位向量分别为i,j,k,则=i,=j,=k, 因为=+=+=+(+)=+(-++) =++=i+j+k,所以点P的坐标为.故选D. √ 3.如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,E,F分别为D1C1,B1C1的中点,若以{,,}为基底, 则向量的坐标为____________,向量的 坐标为_________,向量的坐标为_________. 解析:因为=++=++,所以向量的坐标为. 因为=++=++,所以向量的坐标为. 因为=++, 所以向量的坐标为(1,1,1). (1,1,1) 4.已知在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,∠BAC=90°,AB=AC=AA1=4,建立适当的空间直角坐标系,求向量,,的坐标. 解:建立如图所示的空间直角坐标系,设=i, =j,=k,=4i+0j+0k=(4,0,0). =+=0i+4j+4k=(0,4,4).=+=++=-4i+4j+4k=(-4,4,4). 逐点清(三) 空间向量运算的坐标表示 03 1.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么 多维理解 向量运算 向量表示 坐标表示 加法 a+b _____________________ 减法 a-b _____________________ 数乘 λa _____________________ 数量积 a·b _____________________ (a1+b1,a2+b2,a3+b3) (a1-b1,a2-b2,a3-b3) (λa1,λa2,λa3) a1b1+a2b2+a3b3 2.设A(x1,y1,z1),B(x2,y2,z2),则=____________________.即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标_______起点坐标. (x2-x1,y2-y1,z2-z1) 减去 |微|点|助|解| (1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致. (2)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2;(a+b)·(a-b)=a2-b2. (3)向量线性运算的结果仍是向量,用坐标表示;数量积的结果为数量. 微点练明 1.若向量a=(4,0,-2),向量a-b=(0,1,-2),则b= (　　) A.(-4,1,0) B.(-4,1,-4) C.(4,-1,0) D.(4,-1,-4) √ 解析:b=a-(a-b)=(4,0,-2)-(0,1,-2)=(4,-1,0). 2.已知向量a=(1,2,1),b=(1,-1,m),且a·b=-2,则m= (　　) A.-1 B.1 C.-2 D.2 √ 解析:因为a·b=-2,所以1×1+2×(-1)+1×m=-2⇒m=-1,故选A. 3.已知A(1,1,0),B(2,0,-1),C(-1,3,-2),则+=(　　) A.(4,-4,0) B.(-4,4,0) C.(-2,2,0) D.(-2,2,-2) 解析:+==(-1,3,-2)-(1,1,0)=(-2,2,-2). 4.若A(2,-4,-1),B(-1,5,1),C(3,-4,1),则·=(　　) A.-11 B.3 C.4 D.15 解析:由已知,=(2-3,-4-(-4),-1-1)=(-1,0,-2),=(-1-3,5-(-4),1-1) =(-4,9,0),∴·=4+0+0=4. √ √ 5.已知向量a=(2,3,-4),b=(-4,-3,-2),b=c-2a,则c=(　　) A.(0,3,-6) B.(0,6,-20) C.(0,6,-6) D.(6,6,-6) 解析:由题意,得c=4a+2b=(8,12,-16)+(-8,-6,-4)=(0,6,-20). √ 逐点清(四)　空间向量性质的坐标表示 04 多维理解 1.空间向量性质的坐标表示 设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则 平行 a∥b(b≠0)⇔a=λb⇔a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R) 垂直 a⊥b⇔a·b=0⇔__________________________ 模 |a|== 夹角公式 cos<a,b>==_________________________ a1b1+a2b2+a3b3=0 2.常用公式 (1)向量的坐标公式: 设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则=______________________. (2)空间两点间的距离公式: 若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则P1P2=|| =______________________________________. (3)空间线段中点的坐标公式: 若P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则线段P1P2的中点坐标为________________________. (x2-x1,y2-y1,z2-z1) 1.已知A(2,-3,-1),B(-6,5,3),则||=(　　) A.2 B.4 C.2 D.12 微点练明 解析:由A(2,-3,-1),B(-6,5,3)可得=(-8,8,4), 所以||==12. √ 2.(多选)已知向量a=(1,-1,0),b=(-1,0,1),c=(2,-3,1),则 (　　) A.向量a,b的夹角为 B.(a+2b)·(b+c)=7 C.(a+5b)⊥c D.a∥(b-c) 解析:|a|==,|b|==,a·b =1×(-1)+(-1)×0+0×1=-1,设向量a,b的夹角为θ,则cos θ===-, 因为θ∈[0,π],则θ=,A错误. a+2b=(-1,-1,2),b+c=(1,-3,2),则(a+2b)·(b+c)=-1×1+(-1)×(-3)+2×2=6,B错误. a+5b=(-4,-1,5),则(a+5b)·c=-4×2+(-1)×(-3)+5×1=0,故(a+5b)⊥c,C正确. b-c=(-3,3,0),则b-c=-3a,故a∥(b-c),D正确. √ √ 3.已知空间向量a=(1,n,2),b=(-2,1,2),若2a-b与b垂直,则|a|等于 (　　) A. B. C. D. 解析:由题意可得,2a-b=2(1,n,2)-(-2,1,2)=(4,2n-1,2),因为2a-b与b垂直,则(2a-b)·b=4×(-2)+(2n-1)×1+2×2=0,解得n=,即a=,所以|a| ==,故选C. √ 4.若四边形ABCD是平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(3,7,-5),则顶点D的坐标为 (　　) A.(1,1,-7) B.(5,3,1) C.(-3,1,5) D.(5,13,-3) √ 解析:∵四边形ABCD为平行四边形,∴=,设D(x,y,z), 则=(-2,-6,-2),=(3-x,7-y,-5-z), ∴解得 5.(多选)已知点P是△ABC所在平面外一点,若=(-2,1,4),=(1,-2,1), =(4,2,0),则下列结论正确的有(　　) A.AP⊥AB B.=(6,1,-4) C.BC= D.AP∥BC 解析:因为·=-2-2+4=0,所以AP⊥AB,故A正确;=-=(4+2,2-1,-4)=(6,1,-4),故B正确;||==,故C正确;设=λ, 则(6,1,-4)=λ(1,-2,1),故此方程组无解.所以,不共线, 故AP∥BC不成立,故D错误. √ √ √ 课时跟踪检测 05 1 3 4 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 2 1.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,3),B(-3,0,1),则线段AB的中点坐标是 (　　) A.(-1,-1,2) B.(1,1,-2) C.(2,2,-4) D.(-2,-2,4) 解析:设线段AB的中点坐标为(x,y,z),所以x==-1,y==-1, z==2,故线段AB的中点坐标是(-1,-1,2). √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 2 3 4 2.在空间直角坐标系中,已知点P(1,3,5),则点P关于x轴的对称点的坐标是 (　　) A.(-1,-3,5) B.(-1,3,-5) C.(1,-3,-5) D.(-1,-3,-5) 解析:根据空间点关于x轴对称,则x轴上坐标不变,y,z轴上坐标取相反数, 故点P关于x轴的对称点的坐标是(1,-3,-5). √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 3 4 2 3.已知点A(3,-1,0),若向量=(2,5,-3),则点B的坐标是(　　) A.(1,-6,3) B.(5,4,-3) C.(-1,6,-3) D.(2,5,-3) √ 解析:由空间向量的坐标表示可知,=-(O为坐标原点),所以=+=(2,5,-3)+(3,-1,0)=(5,4,-3),所以点B的坐标是(5,4,-3). 10 1 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 3 4 2 4.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,若点M是侧面CDD1C1的中心,则在基底{,,}下的坐标为(　　) A. B. C. D. 解析:由题可知,M为DC1的中点,=+= +(+)=+(+)=++ ,∴坐标为. √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 3 4 2 5.已知向量a=(0,1,1),b=(1,1,0),则向量b在向量a上的投影向量为 (　　) A. B. C.(0,-1,-1) D.(-1,0,-1) 解析:因为向量a=(0,1,1),b=(1,1,0),所以a·b=1,|a|=,所以向量b在向量a上的投影向量为·=a=. √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 3 4 2 6.已知向量a=(1,2,3),b=(-2,-4,-6),|c|=,若(a+b)·c=7,则a与c的夹角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.150° 解析:由已知可得a+b=(-1,-2,-3)=-a,且|a|=.又(a+b)·c=7, 所以-a·c=7,即有-|a||c|cos<a,c>=-14cos<a,c>=7,所以cos<a,c>=-. 又0°≤<a,c>≤180°,所以<a,c>=120°. √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 3 4 2 7.已知{a,b,c}是空间向量的一个基底,{a,b+c,b-c}是空间向量的另一个基底,若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,-1),则向量p在基底{a,b+c,b-c}下的坐标是 (　　) A.(2,-1,-2) B.(2,-1,2) C.(2,1,-2) D.(2,1,2) √ 解析:∵向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(2,3,-1),∴p=2a+3b-c,设向量p在 基底{a,b+c,b-c}下的坐标是(x,y,z),则p=2a+3b-c=xa+y(b+c)+z(b-c), ∴解得即(2,1,2). 10 1 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 3 4 2 8.(多选)已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论正确的是 (　　) A.若|a|=2,则m=± B.若a⊥b,则m=-1 C.不存在实数λ,使得a=λb D.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,-2) 解析:因为|a|=2,所以=2,解得m=±,故A正确; 因为a⊥b,所以-2+1-m+2m=0,所以m=1,故B错误;假设a=λb,则(1,-1,m) =λ(-2,m-1,2),所以该方程组无解,故C正确;因为a·b=-1, 所以-2+1-m+2m=-1,解得m=0,所以a=(1,-1,0),b=(-2,-1,2),所以a+b =(-1,-2,2),故D错误.故选AC. √ √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 3 4 2 9.如图,已知正方体ABCD⁃A'B'C'D'的棱长为1,以D为原点,DA,DC,DD'所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,则以下坐标表示的点在平面A'BC'内的是 (　　) A. B. C. D. √ 10 1 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 3 4 2 解析:由题意,得A'(1,0,1),B(1,1,0),C'(0,1,1),则=(0,-1,1),=(-1,0,1), 设点P(x,y,z)在平面A'BC'中,则由共面向量定理得,存在唯一的有序实数对(λ,μ), 使=λ+μ,所以即在A中, 代入点坐标,无解,故A错误;在B中,代入点坐标,解得 故B正确;在C中,代入点坐标,无解,故C错误;在D中,代入点坐标, 无解,故D错误.故选B. 10 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (参考数据:r≈6.371,≈1.41,≈1.73,≈2.45) A.-2 755 B.2 755 C.-2 246 D.2 246 √ 解析:设点P在Oxy平面上的射影为P',则OP=r,OP'=rcos 30°=r, 因为OP'与x轴正方向的夹角为60°,由OP'在x轴上的射影长为rcos 60°=r≈×6.371×1 000≈2 755,所以空间点P的横坐标约为2 755,故选B. 1 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 3 4 2 11.(5分)如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中建立空间直角坐标系,若正方体的棱长为1,则的坐标为__________,的坐标为___________, 的坐标为_____________. (1,0,0) (1,0,1) (-1,1,-1) 解析:由题图,A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0), B1(1,0,1),C1(1,1,1),∴=(1,0,0)-(0,0,0) =(1,0,0),=(1,1,1)-(0,1,0)=(1,0,1), =(0,1,0)-(1,0,1)=(-1,1,-1). 10 1 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 3 4 2 12.(5分)已知点A(0,1,1),B(3,-1,2),C(-1,4,-1),D(3,6,x), 若A,B,C,D四点共面,则x=　　　　. -3 解析:由题可知=(3,-2,1),=(-1,3,-2),=(3,5,x-1),因为A,B,C,D四点共面,所以=m+n(m,n∈R), 则(3,5,x-1)=m(3,-2,1)+n(-1,3,-2)=(3m-n,-2m+3n,m-2n), 即解得m=2,n=3,所以x=-3. 10 1 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 3 4 2 13.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,点M(1,0,3),N(0,2,0), 点P在xOz平面内,且||=||,请写出一个满足条件的点P的坐标:_______________________________________. 解析:设P(x,0,z),由||=||, 得 =, 化简得x+3z=3. (0,0,1)(答案不唯一,符合(x,0,z),x+3z=3即可) 10 1 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 3 4 2 14.(10分)已知空间三点A(-2,0,2),B(-1,1,2),C(-3,0,4),设a=,b=. (1)求cos<a,b>;(5分) 解:由题设得a=(1,1,0),b=(-1,0,2), 所以cos<a,b>====-. (2)ka+b与ka-2b互相垂直,求实数k的值.(5分) 解:由ka+b=(k-1,k,2),ka-2b=(k+2,k,-4),而(ka+b)⊥(ka-2b), 所以(ka+b)·(ka-2b)=(k-1)(k+2)+k2-8=2k2+k-10=(2k+5)(k-2)=0, 解得k=-或k=2. 10 1 5 6 7 8 9 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(10分)如图,在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AB⊥平面BB1C1C, E为棱C1C的中点,已知AB=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=.试建立合适的空间直角坐标系,求出图中所有点的坐标. 解:在平面BB1C1C上过B点作垂直BB1的直线,与CC1相交于点D,如图所示,AB⊥平面BB1C1C,BD⊂平面BB1C1C, BB1⊂平面BB1C1C,∴AB⊥BD,AB⊥BB1.又∵BB1⊥BD, ∴BD,BB1,BA两两垂直,以B为原点,分别以BD,BB1, BA所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系. AB=,BB1=2,BC=1,∠BCC1=,则CD=,BD=,∴A(0,0,),B(0,0,0), C,A1(0,2,),B1(0,2,0),C1,E为棱CC1的中点,则有E. 10 10.将地球看作半径为r km的球体,如图所示,将空间直角坐标系的原点置于球心,赤道位于Oxy平面上,z轴的正方向为球心指向正北极方向,本初子午线(,是0度经线)位于Oxz平面上,且交x轴于点S(r,0,0).已知赤道上一点E位于东经60度,则地球上位于西经60度,北纬30度的空间点P的横坐标约为( 　 ) $$