精品解析：河北省沧州市青县第二中学2024-2025学年九年级下学期3月月考数学试题

河北省沧州市青县2024－2025学年第二学期青县第二中学九年级数学第一次阶段性考试 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 在一，－│－12│，（－1) 3，0，－(一5）中，负整数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】正整数，0，负整数组成整数，审清题意本题要选的是负整数． 【详解】以上数据中只有－│－12│，（－1) 3，是负整数． 故选B． 【点睛】此题考查负整数的概念，解题关键在于掌握其定义． 2. 下列说法正确的是（ ） A. 9的立方根是3 B. 无限小数都是无理数 C. 是分数 D. 实数与数轴上的点一一对应 【答案】D 【解析】 【详解】本题考查了立方根的定义，实数与无理数的定义，实数与数轴，理解相关知识是解答关键． 根据立方根的定义，实数与数轴及无理数的定义，实数与数轴分别判定即可求解． 解：A．9的立方根为，故此项不符合题意； B．无限不循环小数是无理数，故此项不符合题意； C．是无理数，不是分数，故此项不符合题意； D．实数与数轴上的点一一对应，故此项符合题意． 故选：D． 3. 如果，那么代数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，利用分式化简法则将化简，再把代入即可，熟练掌握分式混合运算的法则是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 原式， 故选：B． 4. 若，则的值是（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】设，利用换元法将原方程转化为一元二次方程，再利用的非负性得出结果． 【详解】解：由题意得，， 设， ， ， ， 或， ， （不符合题意，舍去）， ， 故选：． 【点睛】本题考查了换元法，一元二次方程的解法，代数式的非负性，对整体思想的把握是解决问题的关键． 5. 如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：①β﹣α，②α﹣β，③180°﹣α+β，④360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的有（ ） A. ③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意分别画出E的三种情况，如图所示．第一种情况：直线平行得到同位角相等，∠BAE＝∠DFE=α，利用三角形的外交和即可求出；同理可得第二种情况；第三种情况：直线平行同旁内角互补，可得∠AEF＝180°-α，∠CEF＝180°-β，∠AEF和∠CEF相加即可求出． 【详解】 ∵CD∥AB ∴∠BAE＝∠DFE=α 又∵∠DCE＝β， ∴∠AEC=α-β ∴②正确 ∵CD∥AB ∴∠DCE＝∠EFB=β 又∵∠BAE＝α， ∴∠AEC=β-α ∴①正确 过点E，作EF∥AB ∵EF∥AB ∴EF∥AB∥CD ∵∠BAE＝α，∠DCE＝β， ∴∠AEF＝α，∠CEF＝β， ∠AEC=∠AEF+∠CEF=α+β ∵CD∥AB ∴∠BAE＝∠DFE=α 又∵∠DCE＝β， ∴∠AEC=α-β ∴②正确 ∵CD∥AB ∴∠DCE＝∠EFB=β 又∵∠BAE＝α， ∴∠AEC=β-α ∴①正确 过点E，作EF∥AB ∵EF∥AB ∴EF∥AB∥CD ∵∠BAE＝α，∠DCE＝β， ∴∠AEF＝180°-α，∠CEF＝180°-β， ∠AEC=∠AEF+∠CEF=360°-α-β ∴④正确 ∴①②④正确 故选：C． 【点睛】此题考查了平行线的性质和三角形外角和，解题的关键是平行线的性质和三角形外交和相结合． 6. 一次函数与正比例函数为常数且在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象的判断，熟练掌握一次函数的性质是解题关键． 根据一次函数的图象与系数的关系，由一次函数图象分析可得a、的符号，进而可得的符号，从而判断的图象是否正确，进而比较可得答案． 【详解】解：根据一次函数的图象分析可得： A、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； B、由一次函数图象可知，；即，与正比例函数的图象可知，一致，故此选项符合题意； C、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； D、由一次函数图象可知，，即；正比例函数的图象可知，不一致，故此选项不符合题意； 故选：B． 7. 如图所示的是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼的位置，表示旗杆的位置，则实验楼的位置可表示成（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用已知点坐标得出原点位置进而得出答案． 【详解】解：如图所示， 实验楼的位置可表示成． 故选A． 【点睛】本题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题的关键． 8. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 解：由，可得； 由或或，可得； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题时注意：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 9. 如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，OA在轴上，AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，AC与OD相交于点E，且OC＝，CE＝，反比例函数的图象经过点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过C作CF⊥OE于点F，过点E作EG⊥OB于点G，过点E作EH⊥OA于点H，利用勾股定理求出CF=EF=1及OF=2，然后通过证明△OFC∽△OGE，得到，可求出，根据角平分线的性质可得到GE=EH=，在Rt△OEH中，利用勾股定理可求出，进而求出E点坐标，将E点坐标代入中，即可求得k． 【详解】解：∵∠OBA＝90°，AC平分∠OAB，OD平分∠AOB， ∴∠DOA+∠OAC=45°， ∴∠OEA=135°， ∴∠OEC=45°， 过C作CF⊥OE于点F，过点E作EG⊥OB于点G，过点E作EH⊥OA于点H， 在Rt△CEF中，∠OEC=45°，， ∴CF=EF， 设CF=EF=x，则有，即有：， 解得：x=1或-1(舍)， ∴CF=EF=1， 在Rt△OCF中，OC=， ∴OF=， ∵∠COF=∠EOG，∠OFC=∠OGE=90°， ∴△OFC∽△OGE， ∴，即， ∴， ∵OD平分∠AOB， ∴GE=EH=， 在Rt△OEH中，， ∴E()， ∵E在上， ∴， ∴k=， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数图像上点的坐标特征，勾股定理，求出E点坐标是解答本题的关键． 10. 盒子中装有红、白两种颜色的球若干个（球的材质、大小都相同），小明每次摸出1个球记录下颜色，然后放回去摇匀，再进行下一次，小明进行了十组试验，试验结果如下表： 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 红球 3 5 4 2 4 5 7 4 3 4 白球 17 15 16 18 16 15 13 16 17 16 根据上面的数据，小明最有可能是用下面（ ）盒做的试验． A. B. C. D. 红球： 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了生活中的概率，根据表格可知红球的数量明显少于白球的数量，且白球的数量占总球数的一半以上可知，据此可得答案． 【详解】解：观察表格可知，红球的数量明显少于白球的数量，且白球的数量占总球数的一半以上，故四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 11. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A. 255054 B. 255064 C. 250554 D. 255024 【答案】D 【解析】 【分析】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2017，解得n≤252，可得在不超过2017的正整数中，“和谐数”共有252个，依此列式计算即可求解． 【详解】由（2n+1）2﹣（2n﹣1）2=8n≤2017， 解得：n≤252， 则在不超过2017的正整数中， 所有的“和谐数”之和为32﹣12+52﹣32+…+5052﹣5032=5052﹣12=255024． 故选:D． 【点睛】本题考查了平方差公式，弄清题中“和谐数”的定义是解答本题的关键． 12. 如图1，为的直径，点在线段的延长线上，，动点在上方的上运动（含两点），连接，设．有以下结论： 结论Ⅰ：当线段与只有一个公共点时，的范围是； 结论Ⅱ：当线段与有两个公共点时，如图2，若，则． 下列判断正确的是（ ） A. Ⅰ和Ⅱ都正确 B. Ⅰ和Ⅱ都错误 C. Ⅰ错误Ⅱ正确 D. Ⅰ正确Ⅱ错误 【答案】A 【解析】 【分析】（1）根据直线与圆的位置关系得到故结论Ⅰ正确，根据相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质可得到结论Ⅱ正确． 【详解】解：①∵当点与点重合时， 线段与圆只有一个公共点，此时； ②当线段所在的直线与圆相切时，如图所示， 线段与圆只有一个公共点， ∵，，， ∴， ∴， ∴当线段与只有一个公共点时，的范围是； 故结论Ⅰ正确； 连接， ∵是圆的直径， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴，， ∴在中，， ∴， 故结论Ⅱ正确； 故选． 【点睛】本题考查了切线的性质，锐角三角函数，相似三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，直角所对的圆周角是直角，勾股定理，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 写出一个次数是2，且字母只有a、b的三项式_______． 【答案】a2+b+1（答案不唯一） 【解析】 【分析】直接利用多项式的含义写出一个符合题意的答案即可. 【详解】解：由题意知：a2+b+1（答案不唯一）. 故答案为：a2+b+1（答案不唯一）. 【点睛】本题考查了整式，正确掌握多项式的含义是解题的关键. 14. 平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=________． 【答案】24 【解析】 【详解】解：正多边形的每个内角都相等，正五边形的每个内角为108°，正六边形的每个内角为120°， 所以∠1=120°-108°=12°；∠2=108°-90°=18°；∠3=90°-60°=30°， 所以∠3＋∠1－∠2＝30°+12°-18°=24° 故答案为：24 【点睛】本题考查多边形的内角和公式，正多边形的定义． 15. 若方程2x+1＝﹣3和的解相同，则a的值是_____． 【答案】4 【解析】 【分析】先求已知方程的解，再利用解相同，确定含字母系数方程的解，把解代入方程，可求字母系数． 【详解】2x+1＝﹣3， 解得：x＝﹣2， 将x＝﹣2代入，得， 解得：a＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元一次方程的解，关键是正确解一元一次方程，理解方程的解的定义，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值． 16. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ，则点F与点C的最小距离为_____． 【答案】3﹣1　． 【解析】 【分析】如图，取AB的中点G，连接FG，根据已知条件易证△AFG∽△EAD，根据相似三角形的性质求得FG=1；即可得点F在以点G为圆心，半径为1的圆上，所以当点F在线段GC上时，点F与点C的距离最小，由此即可求得点F与点C的最小距离. 【详解】如图，取AB的中点G，连接FG， ∵AB=4，AD=6， ∴AG=2，； 在Rt△AEF，∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ， ∴, ∴, ∵∠EAF＝∠BAD＝90°， ∴∠FAG＝∠EAD， ∴△AFG∽△EAD， ∴, ∵DE=3, ∴FG=1； ∵点E为⊙D上一动点， ∴点F在以点G为圆心，半径为1的圆上， ∴当点F在线段GC上时，点F与点C的距离最小， 在Rt△GBC中，BC=6，GB=3，由勾股定理求得GC=3， ∴FC=3﹣1． 即点F与点C的最小距离为3﹣1． 故答案为3﹣1． 【点睛】本题考查了最短距离问题，证得点F在以点G为圆心，半径为1的圆上及当点F在线段GC上时，点F与点C的距离最小是解决问题的关键. 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. 如图，已知∠ABD＝∠DCA，∠DBC＝∠ACB，求证：AB＝DC． 【答案】 证明：∵∠ABD＝∠DCA，∠DBC＝∠ACB， ∴∠ABD+∠DBC＝∠DCA+∠ACB 即∠ABC＝∠DCB 在△ABC和△DCB中 ， ∴△ABC≌△DCB（ASA）， ∴AB＝DC． 【解析】 【分析】利用ASA证出△ABC≌△DCB，根据全等三角形的性质即可证出结论． 【详解】略 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定及性质，掌握利用ASA判定两个三角形全等是解题关键． 18. 如图，在平面直角坐标系中，A(－2，2)，B(－3，－2)． (1)若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为___； (2)将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为____； (3)求A，B，C，D组成的四边形ABCD的面积． 【答案】（1）(2，2)；（2） (2，－1)；(3) ． 【解析】 【分析】（1）根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，可得答案； （2）根据点向右平移加，向上平移加，可得答案； （3）根据图形割补法，可得矩形BFDE，根据面积的和差，可得答案． 【详解】解：（1）若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为 （2，2）； 故答案为：（2，2）； （2）将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为（2，-1）； 故答案为：（2，-1）； （3）如图 ， S四边形ABCD=S矩形BFDE-S△ABE-S△BCF=5×4-×1×4-×1×5=． 【点睛】本题考查关于x轴、y轴对称的点的坐标；坐标与图形变化-平移． 19. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次参与调查的共有　　 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为　　； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果我国有亿人在使用手机； ①请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数； ②在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“”的概率是多少？ 【答案】（1）； （2） 如图：     （3）①亿；② 【解析】 【分析】（1）由用电话沟通的人数及其所占百分比可求出总人数，用乘以利用“微信”沟通人数占被调查人数的比例即可； （2）先求出短信沟通的人数，再根据种方式的人数之和等于总人数求出使用“微信”的人数，从而补全图形； （3）①用总人数乘以样本中用微信人数所占比例； ②先求出抽取的恰好使用“”的频率，再用频率估计概率即可得出答案． 【小问1详解】 解：∵喜欢用“电话”进行沟通的人数为，所占百分比为， ∴此次共抽查了（人）， 表示“微信”的扇形圆心角的度数为：， 故答案为：；． 【小问2详解】 喜欢用“短信”进行沟通的人数为：（人）， 喜欢用“微信”进行沟通的人数为：（人）， 【小问3详解】 ①由（2）知：参与调查的人中喜欢用“微信”进行沟通的人数有人， ∴在全国使用手机的亿人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有（亿人）， ∴估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有亿人． ②由（1）可知：参与这次调查的共有人，其中喜欢用“”进行沟通的人数为人， ∴在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的频率是． ∴用频率估计概率，在全国使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“”的概率是， ∴抽取的恰好使用“”的概率是． 【点睛】本题考查利用频率估计概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据． 20. 为响应阳光体育运动的号召，学校决定从体育用品商店购买一批篮球和足球，按标价若购买2个篮球和3个足球需600元，若购买3个篮球和1个足球需550元． （1）求篮球、足球每个分别是多少元？ （2）由于购买数量较多，商店决定给予一定的优惠，篮球每个优惠，足球每个优惠，若学校决定买两种球共40个，在购买资金不超过4500元时，则购买蓝球至多是多少个？ 【答案】（1）篮球、足球每个分别是150元，100元 （2）购买篮球至多是30个 【解析】 【分析】（1）设篮球、足球每个分别是x元，y元，根据购买2个篮球和3个足球需600元，若购买3个篮球和1个足球需550元列出方程组求解即可； （2）设购买篮球m个，则购买足球个，根据购买费用不超过4500元列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设篮球、足球每个分别是x元，y元， 由题意得，， 解得， ∴篮球、足球每个分别是150元，100元； 【小问2详解】 解：设购买篮球m个，则购买足球个， 由题意得，， 解得， ∴m的最大值为30， ∴购买篮球至多是30个． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程组和不等式是解题的关键． 21. 如图，在⊙O中，点D为AB的中点，点P为半径OC延长线上一点，连结AC，AP，且AC平分∠PAB． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若AB平分OC，且⊙O的半径为2，求PA的长度． 【答案】 （1）∵OC=OA， ∴∠OAC=∠OCA， ∵AC平分∠PAB， ∴∠CAP=∠CAD， ∵点D为AB的中点， OC⊥AB， ∠CAD+∠OCA=90°， ∠CAP+∠OAC=90°， ∠PAO=90°， ∴PA是⊙O的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）由垂径定理得OC⊥AB，再结合圆的性质和角平分线的性质证明∠CAP+∠OAC=90°，根据切线的判定定理即可证明结论； （2）根据题意得AB与OC互相垂直平分，即可证明△OAC为等边三角形，得∠O=60°，再利用锐角三角函数求出PA的长即可． 【详解】解：（1）略 （2）∵点D为AB的中点，AB平分OC， ∴AB与OC互相垂直平分， ∴OA=AC=OC，即△OAC为等边三角形， ∴∠O=60°， ∴在中，． 【点睛】本题考查圆的性质和锐角三角函数，解题的关键是掌握垂径定理，切线的判定定理，以及利用锐角三角函数解直角三角形的方法． 22. 【阅读材料】： 解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，． 【模仿练习】 （1）解方程； 【拓展应用】 （2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值； （3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由． 【答案】（1），；（2）；（3）是定值， 【解析】 【分析】本题考查阅读理解，反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定和性质，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键． （1）根据阅读材料，进行计算，即可； （2）过点作轴于点，过点作轴于点，则，根据是等腰直角三角形，则，；根据，，等量代换，全等三角形的判定和性质，则，，，最后根据反比例函数的图象和性质，即可； （3）过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点，同理证明，得，；求得，根据点在函数图象上，则∵，在反比例函数图象上，，推出，解得，即可． 【详解】（1） 解：先两边同乘以，得， 解得：，， 经检验无增根， ∴原方程的解为，； （2）过点作轴于点，过点作轴于点， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴，； ∵，， ∴， ∴， ∵点坐标是， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∵点在反比例函数图像上， ∴， 由（1）可知，， ∵， ∴． （3）是定值，理由如下： 过点作轴的平行线交轴于点，作轴交直线于点， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵，在反比例函数图象上， ∴， ∴， 解得， ∴． 23. 已知抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点． ①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，求线段OE的长； ②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①；②在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形．当点F的坐标为时，点D的坐标：或；当点F的坐标为时，点D的坐标：． 【解析】 【分析】(1)把，代入即可得出抛物线的表达式； （2）①求出直线BC解析式：，再由直线MN：及抛物线的对称轴：，即可得出．进而得出直线CD的解析式为：，即可得出答案；②分以BC为边时，即， ，以及分以BC为对角线时，进行讨论即可得出答案 ． 【小问1详解】 解：将点，代入得： 解得 ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 ①由（1）可知：， 设直线BC：，将点，代入得： 解得 ∴直线BC：，则直线MN：． ∵抛物线的对称轴：， 把代入，得， ∴． 设直线CD：，将点，代入得： 解得 ∴直线CD：． 当时，得， ∴， ∴． ②存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形． 理由如下： （I）若平行四边形以BC为边时，由可知，FD在直线MN上， ∴点F是直线MN与对称轴l的交点，即． 由点D在直线MN上，设． 如图2-1，若四边形BCFD是平行四边形，则． 过点D作y轴的垂线交对称轴l于点G，则． ∵， ∴， ∵轴， ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，解得． ∴， 如图2-2，若四边形BCDF是平行四边形，则． 同理可证：， ∴， ∵，， ∴，解得． ∴ （II）若平行四边形以BC为对角线时，由于点D在BC的上方，则点F一定在BC的下方． ∴如图2-3，存在一种平行四边形，即． 设，，同理可证：， ∴， ∵，，， ∴． 解得 ∴，． 综上所述，存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形． 当点F的坐标为时，点D的坐标：或； 当点F的坐标为时，点D的坐标：． 【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法，二次函数的性质，平行四边形的性质，熟练掌握相关知识，正确进行分类讨论是解题的关键. 24. 操作体验：数学活动《折纸与证明》中，有这样一段活动材料： ①如图1-①，把正方形对折后再展开，折痕为； ②如图1-②，将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B； ③如图1-③，沿折叠，得（如图1-④）． （1）根据以上操作，结合图2试证明是等边三角形； 初步探究： （2）将沿翻折到位置，延长交于点Q，如图3，求证：点Q是的三等分点． 深入探究： （3）如图4，点M在上移动，将沿翻折到点，连接、并延长交于点H，N是的中点，连接，，请直接写出、、之间的等量关系______． 【答案】 （1）证明：在正方形中，，， ∵为正方形对折线， ∴，， ∴， ∵为对折所得， ∴， ∴， ∴是等边三角形； （2）证明：连接，设正方形边长为a，则，， ∵为翻折所得， ∴，且，， ∴， 又， ∴， ∴， 设长度为， 则，， 在中，， ∴， 解得：， 即， ∴点是的三等分点； （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质可得，，，根据翻折性质可得，结合正方形的性质即可得证； （2）连接，设正方形边长为a，根据证明，可得出，设长度为，表示出，，的长，结合勾股定理解出的长即可得证； （3）过D作交于G，根据翻折的性质、等腰三角形三线合一的性质等可得出，结合已知可得出，根据等角对等边得出，根据证明，得出，则，在中，根据勾股定理可求出，即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解： 理由：过D作交于G ∵翻折， ∴，， ∵N为中点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，翻折性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，等边三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识并采用数形结合的方法巧妙作辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北省沧州市青县2024－2025学年第二学期青县第二中学九年级数学第一次阶段性考试 一、选择题（共12题，共36.0分） 1. 在一，－│－12│，（－1) 3，0，－(一5）中，负整数的个数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列说法正确的是（ ） A. 9的立方根是3 B. 无限小数都是无理数 C. 是分数 D. 实数与数轴上的点一一对应 3. 如果，那么代数的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若，则的值是（ ） A. B. 3 C. 3或 D. 或 5. 如图，已知直线AB，CD被直线AC所截，，E是平面内任意一点（点E不在直线AB，CD，AC上），设∠BAE＝α，∠DCE＝β，下列各式：①β﹣α，②α﹣β，③180°﹣α+β，④360°﹣α﹣β，可以表示∠AEC的度数的有（ ） A. ③④ B. ①③④ C. ①②④ D. ②③④ 6. 一次函数与正比例函数为常数且在同一平面直角坐标系的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图所示的是一所学校的平面示意图，若用表示教学楼的位置，表示旗杆的位置，则实验楼的位置可表示成（ ） A. B. C. D. 8. 如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在Rt△OAB中，∠OBA＝90°，OA在轴上，AC平分∠OAB，OD平分∠AOB，AC与OD相交于点E，且OC＝，CE＝，反比例函数的图象经过点E，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 盒子中装有红、白两种颜色的球若干个（球的材质、大小都相同），小明每次摸出1个球记录下颜色，然后放回去摇匀，再进行下一次，小明进行了十组试验，试验结果如下表： 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十 红球 3 5 4 2 4 5 7 4 3 4 白球 17 15 16 18 16 15 13 16 17 16 根据上面的数据，小明最有可能是用下面（ ）盒做的试验． A. B. C. D. 红球： 11. 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的平方差，那么称该正整数为“和谐数”如（8=32﹣12，16=52﹣32，即8，16均为“和谐数”），在不超过2017的正整数中，所有的“和谐数”之和为（　　） A. 255054 B. 255064 C. 250554 D. 255024 12. 如图1，为的直径，点在线段的延长线上，，动点在上方的上运动（含两点），连接，设．有以下结论： 结论Ⅰ：当线段与只有一个公共点时，的范围是； 结论Ⅱ：当线段与有两个公共点时，如图2，若，则． 下列判断正确的是（ ） A. Ⅰ和Ⅱ都正确 B. Ⅰ和Ⅱ都错误 C. Ⅰ错误Ⅱ正确 D. Ⅰ正确Ⅱ错误 二、填空题（共4题，共12.0分） 13. 写出一个次数是2，且字母只有a、b的三项式_______． 14. 平面上，将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、正六边形的一边重合并叠在一起，如图，则∠3+∠1﹣∠2=________． 15. 若方程2x+1＝﹣3和的解相同，则a的值是_____． 16. 如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，以D为圆心，3为半径作⊙D，E为⊙D上一动点，连接AE，以AE为直角边作Rt△AEF，使∠EAF＝90°，tan∠AEF＝ ，则点F与点C的最小距离为_____． 三、解答题（共8题，共72.0分） 17. 如图，已知∠ABD＝∠DCA，∠DBC＝∠ACB，求证：AB＝DC． 18. 如图，在平面直角坐标系中，A(－2，2)，B(－3，－2)． (1)若点D与点A关于y轴对称，则点D的坐标为___； (2)将点B先向右平移5个单位再向上平移1个单位得到点C，则点C的坐标为____； (3)求A，B，C，D组成的四边形ABCD的面积． 19. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样、便捷．为此，老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）进行调查．将统计结果绘制了如图所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次参与调查的共有　　 人；在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为　　； （2）将条形统计图补充完整； （3）如果我国有亿人在使用手机； ①请估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数； ②在全国使用手机的人中随机抽取一人，用频率估计概率，求抽取的恰好使用“”的概率是多少？ 20. 为响应阳光体育运动的号召，学校决定从体育用品商店购买一批篮球和足球，按标价若购买2个篮球和3个足球需600元，若购买3个篮球和1个足球需550元． （1）求篮球、足球每个分别是多少元？ （2）由于购买数量较多，商店决定给予一定的优惠，篮球每个优惠，足球每个优惠，若学校决定买两种球共40个，在购买资金不超过4500元时，则购买蓝球至多是多少个？ 21. 如图，在⊙O中，点D为AB的中点，点P为半径OC延长线上一点，连结AC，AP，且AC平分∠PAB． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若AB平分OC，且⊙O的半径为2，求PA的长度． 22. 【阅读材料】： 解方程：时，先两边同乘以x，得，解之得，，经检验无增根，所以原方程的解为，． 【模仿练习】 （1）解方程； 【拓展应用】 （2）如图1，等腰直角的直角顶点的坐标为，B，C两点在反比例函数的图象上，点的坐标是，且，求的值； （3）如图2在双曲线有，两点，如果，，那么是否为定值，若存在请求出，不存在请说明理由． 23. 已知抛物线与x轴相交于点，，与y轴相交于点C． （1）求抛物线的表达式； （2）如图1，将直线BC间上平移，得到过原点O的直线MN．点D是直线MN上任意一点． ①当点D在抛物线的对称轴l上时，连接CD，关x轴相交于点E，求线段OE的长； ②如图2，在抛物线的对称轴l上是否存在点F，使得以B，C，D，F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点F与点D的坐标；若不存在，请说明理由． 24. 操作体验：数学活动《折纸与证明》中，有这样一段活动材料： ①如图1-①，把正方形对折后再展开，折痕为； ②如图1-②，将点A翻折到上的点处，且使折痕过点B； ③如图1-③，沿折叠，得（如图1-④）． （1）根据以上操作，结合图2试证明是等边三角形； 初步探究： （2）将沿翻折到位置，延长交于点Q，如图3，求证：点Q是的三等分点． 深入探究： （3）如图4，点M在上移动，将沿翻折到点，连接、并延长交于点H，N是的中点，连接，，请直接写出、、之间的等量关系______． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $