1.2 空间向量基本定理(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（人教A版）

1.2 空间向量基本定理 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学) 课时目标 1.类比平面向量基本定理理解空间向量基本定理,掌握判断空间三个向量是否构成基底的方法. 2.能通过空间向量的线性运算用基底表示向量,会用基底法证明空间位置关系及直线所成的角. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时跟踪检测 课前预知教材·自主落实基础 1.空间向量基本定理 空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p, 存在_____的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc 基底与 基向量 如果三个向量a,b,c不共面,那么所有空间向量组成的 集合就是{p|p=xa+yb+zc,x,y,z∈R}.把{a,b,c}叫做 空间的一个_____,a,b,c都叫做基向量 唯一 基底 2.空间向量的正交分解 单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量_________,且长度都为___,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示 正交 分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使a=xi+yj+zk.像这样,把一个空间向量分解为三个__________的向量,叫做把空间向量进行正交分解 两两垂直 1 两两垂直 |微|点|助|解| (1)基底的不唯一性.空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底,同一非零向量在不同基底下的有序实数组是不同的. (2)基底中不能有零向量.三个向量a,b,c不共面隐含着它们都不为0. (3)当基底确定后,实数组(x,y,z)是唯一确定的. 基础落实训练 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)空间向量的基底是唯一的. ( 　) (2)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c均为非零向量. ( 　) (3)若{a,b,c}是空间的一个基底,且存在实数x,y,z使得xa+yb+zc=0,则有x=y=z=0. ( 　) × √ √ 2.在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,可以作为空间的一个基底的是 (　　) A.{,,} B.{,,} C.{,,} D.{,,} 解析:因为向量,,不共面,所以可以作为空间的一个基底,而其他三组向量都共面.故选C. √ 3.在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,AD1∩A1D=O,记向量=a,=b,=c,则向量=(　　) A.a+b+c B.a+b+c C.a-b+c D.a+b+c 解析:因为在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中,AD1∩A1D=O,所以O是A1D的中点,故=+=-++=a-b+c.故选C. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　基底的判断 [例1]　(多选)下列命题正确的是 (　　) A.若{a,b,c}可以作为空间的一个基底,d与c共线,d≠0,则{a,b,d}也可以作为空间的一个基底 B.已知向量a,b不共线,存在实数λ,μ,使得c=λa+μb(λμ≠0),则{a,b,c}能构成空间的一个基底 C.设A,B,M,N是空间四点,若,,不能构成空间的一个基底,则A,B,M,N四点共面 D.已知{a,b,c}是空间的一个基底,若m=a+c,则{a,b,m}也是空间的一个基底　 √ √ √ 解析:假设d与a,b共面,则存在实数λ,μ,使得d=λa+μb.因为d与c共线, c≠0,所以存在实数k,使得d=kc.因为d≠0,所以k≠0,从而c=a+b,所以c与a,b共面,与条件矛盾,所以d与a,b不共面,所以{a,b,d}也可以作为空间的一个基底,A正确.向量a,b不共线,存在实数λ,μ,使得c=λa+μb(λμ≠0),则a,b,c共面,故不能构成空间的一个基底,B错误.由{,,}不能构成空间的一个基底,知,,共面,且有公共点B,故A,B,M,N四点共面,C正确.可证a,b,m不共面,故{a,b,m}是空间的一个基底,D正确. 　　|思|维|建|模| 判断给出的三个向量能否构成基底的方法 判断给出的三个向量组成的向量组能否作为基底,关键是要判断这三个向量是否共面,首先应考虑三个向量是否是零向量,其次判断三个非零向量是否共面.如果从正面难以入手判断三个向量是否共面,可假设三个向量共面,利用向量共面的充要条件建立方程组,若方程组有解,则三个向量共面;若方程组无解,则三个向量不共面. 针对训练 1.(多选)若{a,b,c}是空间的一个基底,则下列各组能构成空间的一个基底的是 (　　) A.{a+b,a-b,c} B.{a+b,b+c,c+a} C.{3a-4b,2b-3c,3a-6c} D.{a+b,a+b+c,2c} √ √ 解析:因为a+b,a-b,c是不共面的向量,所以能构成空间的一个基底,故A正确; a+b,b+c,c+a是不共面的向量,能构成空间的一个基底,故B正确;因为3a-6c=3a-4b+2(2b-3c),所以3a-4b,2b-3c,3a-6c是共面向量,不能构成空间的一个基底,故C错误;因为a+b=a+b+c-·2c,所以a+b,a+b+c,2c是共面向量,不能构成空间的一个基底,故D错误. 题型(二)　用基底表示向量 [例2]　如图,在三棱柱ABC⁃A'B'C'中,已知=a,=b, =c,点M,N分别是BC',B'C'的中点,试用基底{a,b,c}表示向量,. 解:=+=+(+)=++(-)=++(-) =b+a+(c-b)=b+a+c-b=a+b+c,即=a+b+c, =++=++=++(-)=a+b+(c-b) =a+b+c-b=a+b+c,即=a+b+c. 　　|思|维|建|模|　用基底表示向量的一般步骤 定基底 根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底 找目标 用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果 下结论 利用空间的一个基底{a,b,c}可以表示出空间内所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量 针对训练 2.如图,四棱锥P⁃OABC的底面为矩形,PO⊥平面OABC, E,F分别是PC和PB的中点.设=a,=b,=c, 试用a,b,c表示,,,. 解:如图,连接BO,则==(+)=(c-b-a)=-a-b+c,=+=-a+=-a+(+)=-a-b+c, =+=+=++(+)=-a+c+(-c+b) =-a+b+c,===a. 综上,=-a-b+c,=-a-b+c,=-a+b+c,=a. [例3]　如图,在直三棱柱ABC⁃A'B'C'中,AC=BC=AA', ∠ACB=90°,D,E分别为AB,BB'的中点. (1)求证:CE⊥A'D; 题型(三)　利用空间向量基本定理解决几何问题 解:证明:设=a,=b,=c, 根据题意,得|a|=|b|=|c|,a·b=b·c=c·a=0. 易知=b+c,=-c+b-a. ∴·=-c2+b2=0. ∴⊥,即CE⊥A'D. (2)求异面直线CE与AC'所成角的余弦值. 解:∵=-a+c,∴||=|a|. 又=b+c,∴||=|a|. ∵·=(-a+c)·=c2=|a|2, ∴cos<,>==. 即异面直线CE与AC'所成角的余弦值为. 　　|思|维|建|模| 用空间向量基本定理解决几何问题的一般思路 (1)选取恰当的基底. (2)将所求向量用基底表示. (3)将几何问题转化为向量问题: ①将距离和线段长转化为向量的模; ②将线线、线面、面面垂直问题转化为向量垂直问题; ③将空间角问题转化为向量夹角问题. 3.如图,正四面体V⁃ABC的高VD的中点为O, VC的中点为M. (1)求证:AO,BO,CO两两垂直; 针对训练 解:证明:设=a,=b,=c,正四面体的棱长为1, 因为=+=+×(+)=+(-+-)=(++) =(a+b+c),=-=-=(a+b+c)-a=(b+c-5a),=-=-=(a+b+c)-b=(a+c-5b),=-=-=(a+b+c)-c=(a+b-5c), 所以·=(b+c-5a)·(a+c-5b)=(18a·b-9|a|2)==0,所以⊥,即AO⊥BO.同理,AO⊥CO,BO⊥CO,所以AO,BO,CO两两垂直. (2)求<,>. 解:因为=+=-(a+b+c)+c=(-2a-2b+c), 所以||= = ==, 又||====, ·=(-2a-2b+c)·(b+c-5a)=×9a2=×9=,所以cos<,>= ==,又<,>∈[0,π],所以<,>=. 课时跟踪检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 1.(多选)已知A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线.若{,,}与 {,,}均不能构成空间的一个基底,则下列结论正确的是(　　) A.{,,}不能构成空间的一个基底 B.{,,}不能构成空间的一个基底 C.{,,}不能构成空间的一个基底 D.{,,}能构成空间的一个基底 √ √ √ 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 解析:因为{,,}与{,,}均不能构成空间的一个基底,且A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线,所以空间五点A,B,C,D,E共面,所以这五点A,B,C,D,E中,任意两个点组成的三个向量都不可能构成空间的一个基底,所以A、B、C正确,D错误. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2 3 4 2.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AB=2CD,点O为空间内任意一点,设=a,=b,=c,则向量可用a,b,c表示为(　　) A.a-b+2c B.a-b-2c C.-a+b+c D.a-b+c 解析:=+=+=+(-)=a-b+c. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 3.已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以与向量p=a+b,q=a-b构成基底的向量是 (　　) A.a B.b C.a+2b D.a+2c √ 解析:因为能与p,q构成基底的向量与p,q不共面,又a=p+q,b=p-q, a+2b=(a+b)-(a-b)=p-q,则a,b,a+2b都分别与p,q共面,故A、B、 C错误;假设a+2c与p,q共面,则存在x,y∈R,使得a+2c=xp+yq=x(a+b)+ y(a-b)=(x+y)a+(x-y)b,则2c=(x+y-1)a+(x-y)b,所以a,b,c共面,这与{a,b,c}为基底矛盾,假设不成立,所以a+2c与p,q不共面,可构成基底,故D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 4.如图,在正方体ABCD⁃A1B1C1D1中,M,N分别为AB,B1C的中点,若AB=a,则MN的长为 (　　) A.a B.a C.a D.a 解析:设=i,=j,=k,则{i,j,k}构成空间的一个正交基底. =++=i+j+(-j+k)=i+j+k,故||2=a2+a2+a2=a2, 所以MN=a. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 5.如图,在正四棱台ABCD⁃A1B1C1D1中,2AB=3A1B1,AC与BD的交点为M.设=a,=b,=c,则下列向量与相等的向量是(　　) A.-a+b+c B.-a+b+c C.-a-b+c D.-a+b+c 解析:=+=+++=-+++ =-a+c+a+=-a+b+c. √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 6.在三棱柱ABC⁃A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AB=AC=BC=1,M是B1C1的中点,则AM= (　　) A.　　　　B.　　　　C.　　　　D. √ 解析:如图,=++=++(-) =++,故||2= =||2+||2+||2+·+·+·, 在直三棱柱ABC⁃A1B1C1中,易知AA1⊥AC,AA1⊥AB, 在△ABC中,由AB=AC=BC,则∠BAC=60°,由AA1=AB =AC=1,则=+1++×1×1×=,则AM=. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 7.(多选)如图,在平行六面体ABCD⁃A1B1C1D1中, 以顶点A为端点的三条棱长都是2,且它们彼此的夹角都是60°,P为A1D与AD1的交点,若=a, =b,=c,则下列结论正确的是(　　) A.=-a-b+c B.=a+b-c C.cos<,>= D.BD1的长为2 √ √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 解析:=-=(+)-(+)=--+=-a-b+c,故A正确. =++=++=a+b+c,故B错误. ∵a2=b2=c2=4,a·b=b·c=c·a=2×2×cos 60°=2,=a,||=2,=a+b+c, ∴||2=(a+b+c)2=a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c=4+4+4+4+4+4=24,故||=2, ·=a·(a+b+c)=a2+a·b+a·c=4+2+2=8. ∴cos<,>===,故C正确. ∵=-a+b+c, ∴||2=(-a+b+c)2 =a2+b2+c2-2a·b+2b·c-2c·a =4+4+4-4+4-4=8,故||=2,故D错误.故选AC. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 8.(5分)已知{a,b,c}是空间的一个基底,向量p=3a+b+c,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,向量p=x(a+b)+y(a-b)+c,则x+y=　　　　. 解析:∵p=x(a+b)+y(a-b)+c=(x+y)a+(x-y)b+c,且p=3a+b+c,∴x+y=3. 3 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 9.(5分)若{i,j,k}是一个单位正交基底,且向量a=8i+3k,b=-i+5j-4k,则a·b=　　　　. 解析:由{i,j,k}是一个单位正交基底,则i·j=0,k·j=0,k·i=0,|i|=|k|=|j|=1, a·b=(8i+3k)·(-i+5j-4k)=-8i2+40i·j-32i·k-3i·k+15k·j-12k2=-8-12=-20. -20 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 10.(5分)如图,在长方体ABCD⁃A1B1C1D1中,AB=2, AA1=,AD=2,P为C1D1的中点,M为BC的中点.则AM与PM所成的角为　　　　. 解析:=+,=-=+--- =+---=--,故·=· =-·-·+·- -·=×4-×8=0,即⊥,则AM与PM所成的角为90°. 90° 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 11.(10分)已知{a,b,c}是空间的一个基底,且=3a+3b,=2a+4b+2c, =-a+2b+3c,=2a+b-c. (1)求证:A,B,C,D四点共面;(6分) 解:证明:=-=2a+4b+2c-(3a+3b)=-a+b+2c, =-=-a+2b+3c-(3a+3b)=-4a-b+3c,=-=2a+b-c-(3a+3b) =-a-2b-c. 设=λ+μ,即-a-2b-c=λ(-a+b+2c)+μ(-4a-b+3c), 故解得 即=-+,故A,B,C,D四点共面. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2){,,}能否作为空间的一个基底?若能,试用这一基底表示;若不能,请说明理由.(4分) 解:不能.理由如下: 设=m+n,则3a+3b=m(2a+4b+2c)+n(-a+2b+3c), 故解得=-, 所以{,,}不能作为基底. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 12.(10分)如图,已知空间四边形ABCD各边和 对角线的长都等于a,点M,N分别是AB,CD的中点. (1)求证:MN⊥AB,MN⊥CD;(5分) 解:证明:设=p,=q,=r. 由题意可知,|p|=|q|=|r|=a,且p,q,r三向量两两夹角均为60°. ∵=-=(+)-=(q+r-p),∴·=(q+r-p)·p =(q·p+r·p-p2)=(a2cos 60°+a2cos 60°-a2)=0,∴MN⊥AB,同理可证MN⊥CD. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求MN的长.(5分) 解:由(1)可知=(q+r-p). ∴||2=(q+r-p)2=[q2+r2+p2+2(q·r-p·q-r·p)] = =×2a2=. ∴||=a,∴MN的长为a. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 13.(15分)如图,已知斜三棱柱ABC⁃A1B1C1中,∠BAC=, ∠BAA1=,∠CAA1=,AB=AC=1,AA1=2, 点O是B1C与BC1的交点. (1)用向量,,表示向量;(3分) 解:由题意可知点O是B1C的中点,则=(+),所以=+=+(+)=+(-+)=(++). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (2)求异面直线AO与BC所成角的余弦值;(6分) 解:设=a,=b,=c,则|a|=|b|=1,|c|=2, a·b=0,b·c=1×2×=1,a·c=1×2×=-1, ||2==(a2+b2+c2+2a·b+2b·c+2a·c) =(1+1+4+0+2-2)=.所以||=. 又因为=b-a,所以·=(a+b+c)·(b-a)=1,||=. 所以cos<,>==.所以异面直线AO与BC所成角的余弦值为. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3 4 2 (3)判定平面ABC与平面B1BCC1的位置关系.(6分) 解:如图,取BC的中点E,连接AE,则=(+)=(a+b). 因为AB=AC,E为BC的中点,所以AE⊥BC. 又·=(a+b)·c=(a·c+b·c)=0,即AE⊥BB1. 又BC∩BB1=B,BC,BB1⊂平面B1BCC1, 所以AE⊥平面B1BCC1.因为AE⊂平面ABC, 所以平面ABC⊥平面B1BCC1. $$