1.2.1 圆的标准方程(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

§2 圆与圆的方程 2.1　 圆的标准方程 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 课时目标 1.会根据圆心与半径写圆的标准方程，根据圆的标准方程得圆心与半径. 2.会用待定系数法和几何法求圆的标准方程.会用坐标法和几何法判断点与圆的位置关系. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 1.圆的标准方程 圆的图示 圆的几何特征 圆上任一点到______的距离等于定长 圆的标准方程 圆心坐标为(a，b)，半径为r的圆的方程为_______________.特别地，当圆心在坐标原点时，有a=b=0，那么圆的方程为x2+y2=r2 圆心 (x-a)2+(y-b)2=r2 2.点与圆的位置关系 圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2，圆心为A(a，b)，半径为r.设所给点为M(x0，y0)，A，M两点间距离为d，则 位置关系 利用距离判断 利用方程判断 点M在圆上 d___r (x0-a)2+(y0-b)2=r2 点M在圆外 d___r (x0-a)2+(y0-b)2>r2 点M在圆内 d___r (x0-a)2+(y0-b)2<r2 = > < 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)方程(x-a)2+(y-b)2=m2一定表示圆. (　 ) (2)确定一个圆的几何要素是圆心和半径. (　 ) (3)点(0，0)在圆(x-1)2+(y-2)2=1上. (　 ) (4)若圆的标准方程是(x+m)2+(y+n)2=a2(a≠0)，此时圆的半径一定是a. (　 ) × √ × × 2.若某圆的标准方程为(x-1)2+(y+5)2=3，则此圆的圆心坐标和半径分别为 (　　) A.(-1，5)， B.(1，-5)， C.(-1，5)，3 D.(1，-5)，3 √ 3.已知圆C的方程为(x+1)2+(y-3)2=12，则点A(1，6)在(　　) A.圆内　　　B.圆上　　　C.圆外　　　 D.不确定 解析：圆心坐标为(-1，3)，半径为=2，因为 =>2，所以点A(1，6)在圆外，故选C. √ 4.已知圆心坐标为(-2，1)的圆过点(0，1)，则该圆的标准方程是 (　　) A.(x+2)2+(y-1)2=4 B.(x+2)2+(y-1)2=1 C.(x-2)2+(y+1)2=4 D.(x-2)2+(y+1)2=1 解析：∵圆过点(0，1)，即点(0，1)在圆上，∴该圆的半径为圆心(-2，1)与点(0，1)两点之间的距离r==2，∴该圆的标准方程是(x+2)2+(y-1)2=4. √ 课堂题点研究·迁移应用融通 题型(一)　点与圆的位置关系 [例1]　(1)已知a，b是方程x2-x-=0的两个不相等的实数根，则点P(a，b)与圆C:x2+y2=8的位置关系是(　　) A.点P在圆C内 B.点P在圆C外 C.点P在圆C上 D.无法确定 √ 解析：由题意，得a+b=1，ab=-， ∴a2+b2=(a+b)2-2ab=1+2<8， ∴点P在圆C内. (2)已知点P(2，1)和圆C:+(y-1)2=1，若点P在圆C上，则实数a=_________;若点P在圆C外，则实数a的取值范围为________________________.  -2或-6 (-∞，-6)∪(-2，+∞) 解析:由题意，当点P在圆C上时，由+(1-1)2=1 ，解得a=-2或a=-6. 当点P在圆C外时，由+(1-1)2>1，解得a<-6或a>-2. 　　|思|维|建|模|　判断点与圆的位置关系的两种方法 几何法 利用点到圆心的距离与半径比较大小并作出判断 代数法 把点的坐标代入圆的标准方程，判断式子两边的大小，并作出判断 针对训练 1.点P(3，m)与圆(x+1)2+y2=9的位置关系是 (　　) A.在圆内　　　B.在圆外　　　C.在圆上　　　D.不确定 (-∞，2)∪(4，+∞) √ 解析：将点P(3，m)代入圆的方程得(3+1)2+m2=16+m2>9，则点在圆外，故选B. 2.若点A(a，a-1)在圆(x-3)2+(y-2)2=2的外部，则实数a的取值范围是_____________________. 解析:因为点A(a，a-1)在圆(x-3)2+(y-2)2=2的外部，所以(a-3)2+(a-3)2>2，解得a>4或a<2. 题型(二)　圆的标准方程 方法1　直接法求圆的标准方程 [例2]　求满足下列条件的圆的标准方程: (1)圆心坐标是(4，0)，且过点(2，2); 解:r2=(2-4)2+(2-0)2=8，∴圆的标准方程为(x-4)2+y2=8. (2)圆心在y轴上，半径为5，且过点(3，-4). 解:设圆心为C(0，b)，则(3-0)2+(-4-b)2=52，∴b=0或b=-8， ∴圆心坐标为(0，0)或(0，-8).又r=5，∴圆的标准方程为x2+y2=25或x2+(y+8)2=25. 　|思|维|建|模| 直接法求圆的标准方程的策略 　确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径，常用到中点坐标公式、两点间距离公式，有时还用到平面几何知识，如“弦的中垂线必过圆心” “两条弦的中垂线的交点必为圆心”等. 方法2　待定系数法求圆的标准方程 [例3]　已知A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)，则△ABC外接圆的方程为__________________. (x-1)2+(y-3)2=5 解析:设△ABC外接圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2， 因为A(0，1)，B(2，1)，C(3，4)， 所以有解得 因此△ABC外接圆的方程为(x-1)2+(y-3)2=5. 　　|思|维|建|模| 待定系数法求圆的标准方程的策略 　　设出圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2，由题目给出的已知条件找到参数a，b，r的关系，列出方程组并求出a，b，r.此方法的计算量较大，应注意运算的技巧性.方程组中圆的标准方程左端是平方和的形式，右端是同一常数，两式相减后可简化运算. 方法3　几何性质法求圆的标准方程 [例4]　过点A(1，-1)，B(-1，1)，且圆心在直线x+y-2=0上的圆的方程是(　　) A.(x-3)2+(y+1)2=4 B.(x+3)2+(y-1)2=4 C.(x-1)2+(y-1)2=4 D.(x+1)2+(y+1)2=4 √ 解析：法一　由已知可得线段AB的中点坐标为(0，0)，kAB==-1，∴弦AB的垂直平分线的斜率为k=1，线段AB的垂直平分线的方程为y-0=1·(x-0)，即y=x， 则圆心是直线y=x与x+y-2=0的交点. 由得 即圆心坐标为(1，1)， 圆的半径为=2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. 法二　设点C为圆心. ∵点C在直线x+y-2=0上， ∴可设点C的坐标为(a，2-a). 又∵该圆经过A，B两点，∴|CA|=|CB|. ∴ = ， 解得a=1. ∴圆心坐标为C(1，1)，半径长r=|CA|=2. 故所求圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=4. |思|维|建|模| 几何法求圆的标准方程的两种思路 (1)根据题意设出圆心坐标、半径，然后由圆上任意一点到圆心的距离等于半径列方程求得参数的值，由此确定圆心坐标和半径; (2)从几何的角度考虑，圆心在圆的弦的垂直平分线上，求出连接圆上两点的线段的垂直平分线的方程，与已知的圆心所在直线的方程联立求得圆心坐标，再由两点间距离公式求得半径. 针对训练 3.已知点A(1，-1)和点B(-1，3)，则以线段AB为直径的圆的标准方程为 (　 ) A.(x+2)2+(y-4)2=5 B.(x+2)2+(y-4)2=20 C.x2+(y-1)2=5 D.x2+(y-1)2=20 √ 解析：法一　因为点A(1，-1)和点B(-1，3)为直径端点，所以AB的中点M，即M(0，1)为圆心，由|AB|= =2，则圆的半径r==，故圆的标准方程为x2+(y-1)2=5. 法二　由题意圆的方程可以为(x-1)(x+1)+(y+1)(y-3)=0，即x2+y2-2y-4=0， 即x2+(y-1)2=5. 4.已知圆C过点A(1，2)和B(1，10)且圆心C到直线x-2y-1=0的距离与半径长相等.求圆C的方程. 解:圆心在线段AB的垂直平分线y=6上，设圆心坐标为(a，6)，半径为r，则圆的方程为(x-a)2+(y-6)2=r2.将点(1，10)代入得(1-a)2+(10-6)2=r2　①. 而r=，代入①，得(a-1)2+16=，解得a=3，r=2， 或a=-7，r=4.故圆C的方程为(x-3)2+(y-6)2=20或(x+7)2+(y-6)2=80. 课时检测 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.以(2，-1)为圆心坐标，4为半径的圆的标准方程为 (　　) A.(x+2)2+(y-1)2=4 B.(x+2)2+(y+1)2=4 C.(x-2)2+(y+1)2=16 D.(x+2)2+(y-1)2=16 √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.点P(1，3)与圆x2+y2=24的位置关系是 (　　) A.在圆外 B.在圆内 C.在圆上 D.不确定 解析：∵12+32=10<24，∴点P在圆内. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.[多选]已知圆M:(x-4)2+(y+3)2=25，则下列说法正确的是 (　　) A.圆M的圆心坐标为(4，-3) B.圆M的圆心坐标为(-4，3) C.圆M的半径为5 D.圆M被y轴截得的弦长为6 解析：由圆M:(x-4)2+(y+3)2=52，故圆心坐标为(4，-3)，半径为5，则A、C正确;令x=0，得y=0或y=-6，弦长为6，故D正确.故选ACD. √ √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.已知直线l过圆x2+(y-3)2=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则直线l的方程是 (　　) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 解析：圆x2+(y-3)2=4的圆心坐标为点(0，3)，又因为直线l与直线x+y+1=0垂直，所以直线l的斜率k=1.由点斜式，得直线l的方程是y-3=x-0，化简得x-y+3=0. √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.已知圆E经过三点A(0，1)，B(2，0)，C(0，-1)，且圆心在x轴的正半轴上，则圆E的标准方程为 (　　) A.+y2= B.+y2= C.+y2= D.+y2= √ 解析：法一:待定系数法　根据题意，设圆E的圆心坐标为(a，0)(a>0)， 半径为r，则圆E的标准方程为(x-a)2+y2=r2(a>0). 由题意得解得 所以圆E的标准方程为+y2=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 法二:几何法　因为圆E经过点A(0，1)，B(2，0)， 所以圆E的圆心在线段AB的垂直平分线y-=2(x-1)上.又圆E的圆心在x轴的正半轴上，所以圆E的圆心坐标为. 则圆E的半径为|EB|==， 所以圆E的标准方程为+y2=. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.[多选]已知圆C经过点A(0，0)，B(2，0)，△ABC为直角三角形，则圆C的方程为 (　　) A.(x-1)2+(y-1)2=4 B.(x-1)2+(y+1)2=2 C.(x-1)2+(y-1)2=2 D.(x-1)2+(y-2)2=5 解析：设圆心C(a，b)，由题意可知，|CA|=|CB|，即= ，解得a=1.因为△ABC为直角三角形，所以∠ACB为直角，则|AC|2+|BC|2=|AB|2，即a2+b2+(a-2)2+b2=4，解得b=±1，则圆C的半径为|CA|==，圆心为C(1，±1)，因此，圆C的方程为(x-1)2+(y+1)2=2或(x-1)2+(y-1)2=2，故选BC. √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.[多选]设有一组圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)，下列命题正确的是 (　　) A.不论k如何变化，圆心C始终在一条直线上 B.所有圆Ck均不经过点(3，0) C.经过点(2，2)的圆Ck有且只有一个 D.所有圆的面积均为4 解析：由题意可知圆Ck:(x-k)2+(y-k)2=4(k∈R)的圆心C(k，k)，半径r=2.不论k如何变化，圆心C(k，k)始终在直线y=x上，故A正确;令(3-k)2+(0-k)2=4，整理得2k2-6k+5=0，因为Δ=(-6)2-4×2×5=-4<0，可知方程无解，所以所有圆Ck均不经过点(3，0)，故B正确;令(2-k)2+(2-k)2=4，整理得k2-4k+2=0，因为Δ=(-4)2 -4×1×2=8>0，可知方程有两个不同的解，所以经过点(2，2)的圆Ck有且只有两个，故C错误;因为半径r=2，所以所有圆的面积均为π×22=4π，故D错误. √ √ 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)与圆(x-2)2+(y+3)2=16同圆心，且过点P(-1，1)的圆的标准方程为______________________. (x-2)2+(y+3)2=25 解析:因为已知圆的圆心坐标为(2，-3)，所以所求圆的圆心坐标为(2，-3)，所以所求圆的半径为=5，所以所求圆的标准方程为(x-2)2+(y+3)2=25. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)若点P(5a+1，12a)在圆(x-1)2+y2=1的外部，则a的取值范围为______________________________. ∪ 解析:∵点P在圆外，∴(5a+1-1)2+(12a)2>1，169a2>1，a2>， ∴a>或a<-. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，点M(0，)在圆C上， 且圆心到直线2x-y=0的距离为，则圆C的标准方程为____________. (x-2)2+y2=9 解析:设圆心C的坐标为(a，0)(a>0)，由题意知，=，解得a=2，∴C(2，0)，则圆C的半径为r=|CM|= =3. ∴圆C的标准方程为(x-2)2+y2=9. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)若圆经过A(2，5)，B(-2，1)两点，并且圆心在直线y=x上，则圆的标准方程为__________________，圆上的点到直线3x-4y+23=0的最小距离为_____. (x-2)2+(y-1)2=16 1 解析:由题意，得线段AB的中点为(0，3)，因为经过A(2，5)，B(-2，1)的直线的斜率为=1，所以线段AB的垂直平分线的方程为y=-x+3，与直线方程y=x联立，解得即圆心坐标为(2，1)，所以圆的半径r==4， 所以圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=16.因为圆心到直线3x-4y+23=0的距离d==5，所以圆上的点到直线3x-4y+23=0的最小距离为d-r=1. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)根据下列条件，分别求相应圆的标准方程. (1)圆心坐标为C，半径r=;(3分) 解:将圆心坐标和半径代入圆的标准方程可得圆的方程为+(y-3)2=3. (2)圆心坐标为C(，1)，过点A(-1，);(3分) 解:易知圆的半径为r=|AC|= =， 所以圆的方程为(x-)2+(y-1)2=6. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (3)与x轴相交于A(1，0)，B(5，0)两点，且半径等于.(4分) 解:易知圆心在线段AB的垂直平分线上，不妨设圆心坐标为(3，a)， 由半径为可得r==，解得a=±1. 当圆心坐标为(3，1)时，圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5. 当圆心为(3，-1)时，圆的方程为(x-3)2+(y+1)2=5. 因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5或(x-3)2+(y+1)2=5. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)如图，已知两点P1(4，9)和P2(6，3)， 且圆以P1P2为直径. (1)求圆的方程;(6分) 解:设圆心C(a，b)，半径r，则由C为P1P2的 中点得a==5，b==6.又由两点间的 距离公式得r=|CP1|==， ∴所求圆的方程为(x-5)2+(y-6)2=10. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)试判断点M(6，9)，N(3，3)，Q(5，3)是在圆上，在圆内，还是在圆外?(4分) 解:分别计算点到圆心的距离|CM|==， |CN|==>，|CQ|==3<. 因此，点M在圆上，点N在圆外，点Q在圆内. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2，0)，AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，点T(-1，1)在AD边所在直线上. (1)求AD边所在直线的方程;(6分) 解:因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0，且AD与AB垂直， 所以直线AD的斜率为-3. 又因为点T(-1，1)在直线AD上， 所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1)，即3x+y+2=0. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)求矩形ABCD外接圆E的方程.(9分) 解:由解得故点A的坐标为(0，-2)， 因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2，0)， 所以点M为矩形ABCD外接圆圆心. 又因为|AM|==2， 从而矩形ABCD外接圆E的方程为(x-2)2+y2=8. 15 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 15.(15分)已知圆C的圆心在y轴上，且经过点A(2，0)，B(1，3). (1)求圆C的标准方程;(5分) 解:由题意，设圆C的标准方程为x2+(y-a)2=r2，代入点A(2，0)，B(1，3)，解得a=1，r=， 故圆C的标准方程为x2+(y-1)2=5. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 (2)若圆C上存在一点P满足△ABP的面积为5，求直线BP的方程.(10分) 解:法一　由A(2，0)，B(1，3)可得直线AB的斜率为k==-3， 故直线AB的方程为3x+y-6=0，|AB|==， 由S△ABP=5得点P到直线AB的距离为=. 设P(x0，y0)，则 解得或即P(-2，2)或P(-1，-1). 当P(-2，2)时，直线BP的方程为x-3y+8=0， 当P(-1，-1)时，直线BP的方程为2x-y+1=0. 综上，直线BP的方程为x-3y+8=0或2x-y+1=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法二　因为直线AB的斜率kAB==-3， 所以直线AB的方程为y=-3x+6，即3x+y-6=0，|AB|==，设点P到直线AB的距离为d， 则由S△ABP=5得d==. 将直线AB沿着与AB垂直的方向平移个单位长度， 此时该平行线与圆的交点即为点P，设该平行线的方程为3x+y+C=0， 则=，解得C=4或C=-16， 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 当C=4时，联立解得或 即P(-2，2)或P(-1，-1)， 当P(-2，2)时，直线BP的方程为x-3y+8=0， 当P(-1，-1)时，直线BP的方程为2x-y+1=0; 当C=-1时，联立方程组无解. 综上，直线BP的方程为x-3y+8=0或2x-y+1=0; 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3 4 2 法三　同法一得到直线AB的方程为3x+y-6=0， 点P到直线AB的距离为=， 设P(cos θ，1+sin θ)，其中θ∈[0，2π)，则有=， 联立cos2θ+sin2θ=1， 解得或 即P(-2，2)或P(-1，-1) 当P(-2，2)时，直线BP的方程为x-3y+8=0， 当P(-1，-1)时，直线BP的方程为2x-y+1=0. 综上，直线BP的方程为x-3y+8=0或2x-y+1=0. $$