1.1.4 第1课时 两条直线平行(课件PPT)-【新课程学案】2025-2026学年高中数学选择性必修1（北师大版）

1.4 两条直线的平行与垂直 两条直线平行 [教学方式:深化学习课——梯度进阶式教学] 第1课时 课时目标 1.理解并掌握两条直线平行的条件.会运用直线方程的特征判定两条直线是否平行. 2.运用两直线平行时的斜率关系解决相应的几何问题. CONTENTS 目录 1 2 3 课前预知教材·自主落实基础 课堂题点研究·迁移应用融通 课时检测 课前预知教材·自主落实基础 01 1.斜率与两条直线平行的关系 (1)对于两条不重合的直线l1：y=k1x+b1和l2：y=k2x+b2(其中b1≠b2)，l1∥l2⇔___________. (2)若直线l1与直线l2的斜率都不存在，则它们都是倾斜角为的直线，从而它们互相_____________. k1=k2 平行或重合 |微|点|助|解| (1)利用“k1=k2⇒l1∥l2”判定两条直线平行的前提条件是这两条直线的 斜率都存在，且这两条直线不重合.反之，当l1∥l2时，未必有k1=k2. (2)对于两条不重合的直线l1与l2，设它们的倾斜角分别为α1，α2，法向量 分别为n1，n2，方向向量分别为v1，v2，则l1∥l2⇔α1=α2⇔n1∥n2⇔n1=λn2 (λ为非零实数)⇔v1∥v2⇔v1=μv2(μ为非零实数)，因此，我们除利用斜率来 判断两直线是否平行外，还可以利用直线的倾斜角或方向向量来判断. 2.两条直线平行时一般式中的系数关系 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔ 或 基础落实训练 1.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)若两条直线的倾斜角相等，则这两条直线必定平行. (　 ) (2)若两条直线平行，则这两条直线的倾斜角一定相等. (　 ) (3)若两条直线的斜率都不存在且两直线不重合，则这两条直线平行. (　 ) × √ √ (4)若两直线斜率相等，则它们互相平行. (　 ) (5)若两条直线一条直线斜率不存在，另一条斜率存在，则它们一定不平行. (　 ) (6)若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合. (　 ) × √ √ 2.过点(1，2)和点(-3，2)的直线与y=3的位置关系是 (　　) A.相交 B.平行 C.重合 D.以上都不对 √ 解析：由题意得过点(1，2)和点(-3，2)的直线的斜率为k==0， 又因为y=3的斜率为0，所以两直线平行， 故选B. 3.已知直线ax-(a+1)y-1=0与直线4x-6y+3=0平行，则实数a的值是_____.  解析：直线4x-6y+3=0的斜率为，在y轴上的截距为.由条件知直线ax-(a+1)y-1=0的斜率为，所以=，解得a=2，此时该直线在y轴上的截距为-≠，故实数a的值为2. 2 课堂题点研究·迁移应用融通 02 题型(一)　判定两条直线平行 [例1]　判断下列各组直线是否平行，并说明理由. (1)l1：3x-2y-1=0，l2：6x-4y-1=0; 解：直线l1变形可得y=x-，直线l2变形可得y=x-， 所以两直线斜率==，所以两直线平行.又两直线在y轴上的截距分别为-和-，所以两直线不重合，所以直线l1，l2平行. (2)l1：2x-5y-7=0，l2：5x-2y-1=0; 解：直线l1变形可得y=x-，直线l2变形可得y=x-， 两直线斜率≠，所以两直线不平行. (3)l1经过P(3，3)，Q(-5，3)两点，l2平行于x轴，但不经过P，Q两点; 解：l1经过P(3，3)，Q(-5，3)两点， 可得l1平行于x轴，l2平行于x轴， 但不经过P，Q两点，所以l1∥l2. (4)l1经过M(-1，0)，N(-5，-2)两点，l2经过R(-4，3)，S(0，5)两点. 解：l1经过M(-1，0)，N(-5，-2)两点，==，l2经过R(-4，3)，S(0，5)两点，则==，又因为两直线在y轴上的截距分别为和5，所以两直线不重合，所以l1∥l2. |思|维|建|模| 判定两直线平行的常用方法 (1)用斜率判断两直线是否平行时，应先看两直线的斜率是否存在，若都不存在， 则平行(不重合的情况下);若存在，再看是否相等，若相等，则平行(不重合的情况下). (2)用一般方程的系数 设直线l1与l2的方程分别为A1x+B1y+C1=0(A1，B1不同时为0)，A2x+B2y+C2=0(A2，B2不同时为0)，则l1∥l2⇔或 (3)还可用直线的倾斜角、方向向量等. 针对训练 1.下列与直线4x-y-2=0平行的直线的方程是 (　　) A.4x-y-4=0 B.4x+y-2=0 C.x-4y-2=0 D.x+4y+2=0 √ 解析：直线4x-y-2=0斜率为4，纵截距为-2，A选项：直线斜率为4， 纵截距为-4，符合;B选项：直线斜率为-4，纵截距为2，不符合; C选项：直线斜率为，纵截距为-，不符合;D选项：直线斜率为-， 纵截距为-，不符合. 2.[多选]满足下列条件的直线l1与l2一定平行的是 (　　) A.直线l1的倾斜角为60°，直线l2经过点A(1，)，B(-2，-2) B.直线l1的方向向量为n=(2，3)，直线l2经过点A(-1，-2)，B(2，1) C.直线l1经过点A(0，1)，B(1，0)，直线l2经过点M(-1，3)，N(2，0) D.直线l1经过点A(-3，2)，B(-3，10)，直线l2经过点M(5，-2)，N(5，5)　 √ √ 解析：对于A，因为直线l2经过点A(1，)，B(-2，-2)，所以直线l2的斜率k2==.又直线l1的倾斜角为60°，所以直线l1的斜率k1=tan 60°=，故直线l1与直线l2平行或重合，故A错误; 对于B，直线l1的斜率k1=，直线l2的斜率k2==1≠k1，所以直线l1与l2不平行，故B错误; 对于C，k1==-1，k2==-1，则有k1=k2.又kAM==-2≠-1， 则A，B，M不共线，故l1∥l2.故C正确;对于D，由已知点的坐标， 得l1与l2均与x轴垂直且不重合，所以l1∥l2，故D正确.故选CD. 题型(二)　根据两直线平行求参数 [例2]　(1)已知直线l1：ax+y-1=0，l2：3x+ay+=0，若l1∥l2，则它们的倾斜角为(　　) A.30° B.60° C.120° D.60°或120° √ 解析：因为l1∥l2，所以a2=3且a≠-， 所以a=.两直线的斜率为-，所以倾斜角为120°. (2)直线l1：ax+3y+2a=0与直线l2：2x+(a-1)y+(a+1)=0平行，则“l1∥l2”是“a=-2”的 (　　) A.充分不必要条件 B.充要条件 C.必要不充分条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件 √ 解析：当l1∥l2时，有a(a-1)=6，故a=-2或a=3，当a=3时， l1的方程为x+y+2=0，l2的方程为x+y+2=0，此时两条直线重合， 不符合题意;当a=-2时，l1的方程为2x-3y+4=0，l2的方程为2x-3y-1=0， 符合题意.综上，“l1∥l2”是“a=-2”的充要条件. |思|维|建|模| 已知两直线平行求方程中的参数值的方法 (1)根据条件A1B2=A2B1且B1C2≠B2C1或B1=B2=0且A1C2≠A2C1进行求解. (2)对两直线的斜率是否存在进行讨论，分斜率存在、斜率不存在两种情况求解.求出参数值后要将参数代入直线方程，检验两直线是否真正平行，排除两直线重合的情况. 针对训练 3.已知过点A(m，-1)和点B(2，m)的直线与直线x-y-1=0平行，则m的值为 (　　) A.　　　　B.-　　　　C.1　　　　D.-1 √ 解析:因为直线x-y-1=0的斜率为1，所以kAB==1，解得m=.故选A. 4.已知A(-2，m)，B(m，4)，M(m+2，3)，N(1，1)，若AB∥MN，则m的值为____________. 0或1 解析：当m=-2时，直线AB的斜率不存在，而直线MN的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意;当m=-1时，直线MN的斜率不存在，而直线AB的斜率存在，MN与AB不平行，不符合题意;当m≠-2，且m≠-1时，kAB==，kMN==.因为AB∥MN，所以kAB=kMN，即=，解得m=0或m=1.当m=0或m=1时， 经检验，两直线不重合. 综上，m的值为0或1. 题型(三)　求平行直线的方程 [例3]　已知直线l的方程为4x-3y-12=0，直线l'与l平行，求满足下列条件的直线l'的方程. (1)l'经过点(-1，3); 解：法一　l的方程可化为y=x-4，∴l的斜率为，∵l'∥l，∴l'的斜率为.又l'过点(-1，3)，∴由点斜式得直线l'的方程为y-3=(x+1)，即4x-3y+13=0. 法二　∵l'∥l，可设l'的方程为4x-3y+m=0(m≠-12)，将点(-1，3)代入得m=13，∴所求直线的方程为4x-3y+13=0. (2)l'在两坐标轴上的截距之和为. 解：法一　由题意，设所求直线的方程为4x-3y+n=0(n≠-12).令x=0，得y=;令y=0， 得x=-，所以-+=，解得n=28，所以所求直线的方程为4x-3y+28=0. 法二　由题意知，所求直线不过原点，即在两坐标轴上的截距都不为0. 故可设所求直线的方程为+=1(a≠0，b≠0)， 则有解得故所求直线的方程为4x-3y+28=0. |思|维|建|模| 与已知直线平行的直线方程的求法 (1)由已知直线求出斜率，再利用平行直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率，再由已知条件写出所求方程. (2)待定系数法：与直线Ax+By+C=0平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C)，再由直线所过的点确定C1. 针对训练 5.已知直线l过点(0，3)，且与直线x-y-1=0平行，则l的方程是 (　　) A.x+y-2=0 B.x-y+2=0 C.x+y-3=0 D.x-y+3=0 解析:设直线l的方程为x-y+c=0(c≠-1)，由点(0，3)在直线x-y+c=0上，得0-3+c=0，解得c=3，因此直线l的方程为x-y+3=0.故选D. √ 6.求与直线5x+6y+9=0平行，并且和两坐标轴在第一象限所围成的三角形面积是15的直线方程. 解：∵直线5x+6y+9=0的斜率为-，∴设所求直线方程为y=-x+b，令x=0，得y=b;令y=0，得x=.由题意知，b>0，>0，∴×b×=15，∴b=5，故所求直线方程为y=-x+5，即5x+6y-30=0. 课时检测 03 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 1.过点A(2，5)和点B(-4，5)的直线与直线y=3的位置关系是 (　　) A.相交　　　　B.平行　　　　C.重合　　　　D.以上都不对 √ 解析:斜率都为0且不重合，所以平行. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 2 3 4 2.[多选]直线l1与l2为两条不重合的直线，则下列命题正确的是 (　　) A.若l1∥l2，则斜率k1=k2 B.若斜率k1=k2，则l1∥l2 C.若倾斜角α1=α2，则l1∥l2 D.若l1∥l2，则倾斜角α1=α2 √ √ √ 解析:直线l1与l2为两条不重合的直线，因为两条直线的倾斜角为90°时，没有斜率，所以A不正确;因为两直线的斜率相等，即斜率k1=k2，得到倾斜角的正切值相等，即tan α1=tan α2，即可得到α1=α2，所以l1∥l2，所以B正确;若倾斜角α1=α2，则l1∥l2，所以C正确;若l1∥l2，则倾斜角α1=α2，所以D正确. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 3.已知直线l1的一个方向向量为(-1，2)，直线l2的一个方向向量为(m，6)，若l1∥l2，则m= (　　) A.-3　　　　B.3　　　　C.6　　　　D.9 √ 解析:设直线l1的方向向量a=(-1，2)，直线l2的方向向量b=(m，6)，由于l1∥l2，所以a∥b，因此可得2m=-6，解得m=-3.故选A. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 4.过点(-1，3)且平行于直线x-2y+3=0的直线方程为 (　　) A.2x+y-1=0 B.x-2y+7=0 C.x-2y-5=0 D.2x+y-5=0 √ 解析:设直线方程为x-2y+c=0(c≠3)，因为直线过点(-1，3)，所以-1-6+c=0，解得c=7.故所求直线方程为x-2y+7=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 5.[多选]三条直线2x+y=0，2x-y=0，2x+ay=1构成三角形，则a的取值可以是 (　　) A.-1　　　　B.1　　　　C.2　　　　D.3 √ √ 解析:由题知直线2x+y=0与2x-y=0都经过原点，而无论a为何值，直线2x+ay=1都不经过原点，因此，要满足三条直线构成三角形，只需直线2x+ay=1与另两条直线不平行，所以a≠±1. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 6.张老师不仅喜欢打羽毛球，还喜欢玩折纸游戏，他将一张画了直角坐标系(两坐标轴单位长度相同)的纸折叠一次，使点(2，0)与点(-2，4)重合，点(2 023，2 024)与点(a，b)重合，则a+b= (　　) A.4 046　　　　B.4 047　　　　C.4 048　　　　D.4 049 √ 解析:设A(2，0)，B(-2，4)，则点A，B所在直线的斜率为kAB==-1， 由题意知，过点(2 023，2 024)，(a，b)的直线与直线AB平行，所以=-1，整理得a+b=2 023+2 024=4 047. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 7.“直线xsin θ+y-1=0与x+ycos θ+1=0平行”是“θ=”的(　　) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不是充分条件，也不是必要条件 √ 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 解析:若直线xsin θ+y-1=0与x+ycos θ+1=0平行，易得sin θ≠0，cos θ≠0， 故=≠，则sin θcos θ=，即sin 2θ=，sin 2θ=1，所以2θ=+2kπ(k∈Z)，θ=+kπ(k∈Z)，得不到θ=，故不是充分条件;反之，当θ=时，=≠成立，故直线xsin θ+y-1=0与x+ycos θ+1=0平行，是必要条件.故“直线xsin θ+y-1=0与x+ycos θ+1=0平行”是“θ=”的必要不充分条件. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 8.(5分)若过点P(3，2m)和点Q(-m，2)的直线与过点M(2，-1)和点N(-3，4)的直线平行，则m的值是__________. - 解析：由题意知，PQ的斜率存在，由kPQ=kMN，得=， 解得m=-.经检验知，m=-符合题意. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 9.(5分)若直线l过点(3，4)，且平行于过点M(1，2)和N(-1，-5)的直线，则直线l的方程为____________________. 7x-2y-13=0 解析：法一　由于直线l∥MN，则直线l的斜率等于直线MN的斜率=.又直线l过点(3，4)，所以直线l的方程为y-4=(x-3)，即7x-2y-13=0. 法二　直线MN的方程为=，即7x-2y-3=0，设与直线MN平行的 直线l的方程为7x-2y+m=0(m≠-3)，因为直线l过点(3，4)，代入， 解得m=-13，所以直线l的方程为7x-2y-13=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 10.(5分)已知直线l：2x-y+4=0在x轴上的截距为a，则过点(a，3a)且与直线l平行的直线方程为_______________. 2x-y-2=0 解析：因为2x-y+4=0，令y=0，得x=-2， 所以a=-2，所以点(a，3a)为(-2，-6). 设所求直线方程为2x-y+C=0(C≠4)， 代入(-2，-6)得-4+6+C=0，则C=-2， 所以所求直线的方程为2x-y-2=0. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 11.(5分)已知直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行，且直线ax+by+1=0在y轴上的截距为，则a+b的值为__________. -7 解析：因为直线ax+by+1=0与直线4x+3y+5=0平行，所以4b=3a. 又直线ax+by+1=0在y轴上的截距为，所以b+1=0，解得b=-3， 所以a=-4.经检验，a=-4，b=-3符合题意，所以a+b=-7. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 12.(10分)在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCD的边AB∥DC，AD∥BC.已知点A(-2，0)，B(6，8)，C(8，6)，求点D的坐标. 解：设点D(x，y)，四边形ABCD的四条边AB，DC，AD，BC所在直线的斜率分别为kAB，kDC，kAD，kBC，则由AB∥DC，AD∥BC可得kAB=kDC，kAD=kBC， 即==，解得x=0，y=-2.故点D的坐标为(0，-2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 13.(10分)设直线l1的方程为(a+1)x+y+2-a=0，直线l2的方程为4x+(a-2)y-16=0，其中a∈R. (1)若直线l1经过第二、三、四象限，求a的取值范围;(5分) 解：由题意可知直线l1斜率为负，且在纵轴上的截距为负，即 解得-1<a<2，所以a的取值范围为(-1，2). 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 (2)若直线l1∥l2，求a的值.(5分) 解：因为l1∥l2，所以(a+1)(a-2)=4， 解得a=3或a=-2. 检验：当a=-2时，l1与l2重合，应舍去; 当a=3时，l1∥l2.综上，a=3. 1 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 3 4 2 14.(15分)已知△ABC的三个顶点是A(-1，-1)，B(3，1)，C(1，6)，直线l平行于AB，分别交AC，BC于点E，F，△CEF的面积是△CAB面积的.求直线l的方程. 解：由题意，边AB所在直线的斜率为kAB==，由题意知kl=kAB=，且E，F分别为边AC，BC的中点，故E点的坐标为， 所以直线l的方程为y=x+. $$