精品解析：广东省汕头市潮南区峡山初级中学2024-2025学年下学期开学测试（数学科）试卷

2024～2025年学年度第二学期 九年级开学测试卷（数学科） 一、选择题 1. 反比例函数的图像位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第二、三象限 D. 第一、二象限 2. 某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 3. 点在反比例函数的图像上，则的值是（ ） A. B. C. D. 4. 点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（ ） A. B. C. D. 5. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A 反比例函数图象经过点 B. 当时， C. 该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D. 若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 6. 已知y与x成正比例，z与y成反比例，则z与x之间关系为（ ） A 成正比例 B. 成反比例 C. 既成正比例又成反比例 D. 既不成正比例也不成反比例 7. 反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 8. 如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 9. 如图，点是反比例函数的图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上一点，连接，．若的面积为3，则的值是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 10. 已知抛物线与x轴没有交点，则函数的大致图象是（　　） A. B. C. D. 二、填空题 11. 已知函数反比例函数，且图象位于第一、三象限，则________． 12. 双曲线在每一象限内y随x的增大而增大，则m的取值范围是____． 13. 已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(3，－1)，则当1＜y＜3时，自变量x的取值范围是__________． 14. 已知函数（）与的图象交于、两点，过点作垂直于轴，垂足为点，则的面积为______． 15. 如图，双曲线（）经过矩形的边的中点，交于点．若梯形的面积为，则双曲线的解析式为_______． 三、解答题（一） 16. 已知与成反比例，且当时，，求当时，的值． 17. 已知反比例函数的图象经过点． （1）函数的图象位于哪些象限内？ （2）点是否在这个函数图象上？ 18. 舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成乌云密布的阴天，这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的．在一舞台场景的灯光变化的电路中，保持电压不变，电流（安培）与电阻（欧姆）成反比例，当电阻欧姆时，电流安培． （1）求与之间的函数关系式； （2）当电流安培时，求电阻的值． 四、解答题（二） 19. 如图是某个反比例函数的图像的一部分，，是该图像的端点． （1）求此函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）请你举出一个能用本题的函数关系描述的生活实例． 20. 如图7，反比例函数的图像与一次函数的图象交于点A、B，其中． （1）求m，b的值； （2）求点B的坐标，并写出时，的取值范围． 21. 如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点． （1）求反比例函数和正比例函数的表达式； （2）若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标． 五、解答题（三） 22. 如图，点A坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到． （1）反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式； （2）一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式． 23. 如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线BD//y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4． （1）当m=4，n=20时． ①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式． ②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． （2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025年学年度第二学期 九年级开学测试卷（数学科） 一、选择题 1. 反比例函数的图像位于（ ） A. 第一、三象限 B. 第二、四象限 C. 第二、三象限 D. 第一、二象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，比较简单，容易掌握．根据反比例函数的比例系数来判断图象所在的象限，，位于一、三象限；，位于二、四象限． 【详解】解：，， 函数图象过二、四象限． 故选：B． 2. 某城市市区人口万人，市区绿地面积50万平方米，平均每人拥有绿地平方米，则与之间的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据：平均每人拥有绿地，列式求解． 【详解】解：依题意，得：平均每人拥有绿地． 故选：C 【点睛】本题考查了反比例函数，解题的关键是掌握题目中数量之间的相互关系． 3. 点在反比例函数的图像上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查对反比例函数的图像上的坐标特征，解一元一次方程等知识点的理解和掌握，能理解题意是解此题的关键．题型较好．把代入反比例函数，得到关于k的一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入反比例函数， ， 解得：， 故选：C． 4. 点，，，在反比例函数图象上，则，，，中最小的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质，当k>0时，在每一个向西安内，y随x的增大而减少，可直接进行求解． 【详解】解：由反比例函数解析式可知：， ∴在每个象限内，y随x的增大而减小， ∵点，，，在反比例函数图象上， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 5. 关于反比例函数，下列说法错误的是（ ） A. 反比例函数图象经过点 B. 当时， C. 该反比例函数图象与函数的图象没有交点 D. 若点在该反比例函数的图象上，则点也在其图象上 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟知反比例函数的性质是解答此题的关键． 根据反比例函数的性质及图象上点的坐标特点对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：， 反比例函数的图象经过点， 故选项A正确，不合题意； 当时，，故选项B正确，不合题意； ， 反比例函数图象的两个分支位于第一，三象限， 函数的图象经过第二，四象限， 该反比例函数图象与函数的图象没有交点，故选项C正确，不合题意； 点在该反比例函数的图象上， ， ， 点不在其图象上，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 6. 已知y与x成正比例，z与y成反比例，则z与x之间的关系为（ ） A. 成正比例 B. 成反比例 C 既成正比例又成反比例 D. 既不成正比例也不成反比例 【答案】B 【解析】 【分析】先得到y与x之间的关系式，z与y之间的关系式，进而得到z与x之间的关系式，看符合哪类函数的一般形式即可． 【详解】∵y与x成正比例，z与y成反比例， ∴y=kx，z=， ∴y=， ∴kx=， ∴z=， ∴z与x成反比例. 故选B. 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数，概念问题是数学学习的基础，很重要，但此类问题往往知识点比较独立，故在中考中不太常见，常以填空题、选择题形式出现，属于基础题，难度一般. 7. 反比例函数与一次函数的图形有一个交点，则的值为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】把点B坐标代入一次函数解析式，求出m值，可得出B点坐标，把 B点的坐标代入反比例函数解析式即可求出k的值． 详解】解：由题意，把B（，m）代入，得m= ∴B（，） ∵点B为反比例函数与一次函数的交点， ∴k=x·y ∴k=×=． 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，熟知一次函数反比例函数图像的交点坐标都适合两个函数解析式是解题关键． 8. 如图是同一直角坐标系中函数和的图象．观察图象可得不等式的解集为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象进行分析即可得结果； 【详解】解：∵ ∴ 由图象可知，函数和分别在一、三象限有一个交点，交点的横坐标分别为， 由图象可以看出当或时，函数在上方，即， 故选：D． 【点睛】本题主要考查一次函数和反比例函数的应用，掌握一次函数和反比例函数图象的性质是解本题的关键． 9. 如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴，垂足为．点为轴上一点，连接，．若的面积为3，则的值是（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，连接，如图，利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，根据图象所在象限可得到满足条件的k的值． 【详解】如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 10. 已知抛物线与x轴没有交点，则函数的大致图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵抛物线与x轴没有交点，∴方程没有实数根，∴△=4﹣4×1×（﹣m﹣2）=4m+12＜0，∴m＜﹣3，∴函数的图象在二、四象限．故选C． 二、填空题 11. 已知函数是反比例函数，且图象位于第一、三象限，则________． 【答案】2 【解析】 【详解】根据反比函数的解析式y=（k≠0），故可知n+1≠0，即n≠-1，且n2－5=-1，解得n=±2，然后根据函数的图像在第一、三象限，可知n＞0，所以可求得n=2. 故答案为2. 12. 双曲线在每一象限内y随x的增大而增大，则m的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握这些知识是关键；根据反比例函数在每一象限内y随x的增大而增大，则有，从而可求解． 【详解】解：∵双曲线在每一象限内y随x的增大而增大， ∴， 解得：； 故答案为：． 13. 已知反比例函数y＝(k≠0)的图象经过点(3，－1)，则当1＜y＜3时，自变量x的取值范围是__________． 【答案】－3＜x＜－1 【解析】 【分析】根据反比例函数的性质即可确定自变量的取值范围. 【详解】已知反比例函数y=（k≠0）的图象经过（3，﹣1），所以k=3×（﹣1）=﹣3，即反比例函数的解析式为y=．由k=﹣3＜0可知该反比例函数的图象经过第二、四象限，且在每个象限内y随x的增大而增大．当y=1时，x=﹣3；当y=3时，x=﹣1．所以1＜y＜3时，自变量x的取值范围是﹣3＜x＜﹣1． 【点睛】反比例函数的性质.：k＞0时，y随x的增大而减小；k＜0时y随x的增大而增大. 14. 已知函数（）与的图象交于、两点，过点作垂直于轴，垂足为点，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，正比例函数与反比例函数图象若有交点，必为两个，且关于原点对称，即和是同底等高的两个三角形，都等于的一半，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设的坐标为， 根据正比例函数与反比例函数都是中心对称图形，可得， ∴， ∵ ∴的面积为， 故答案为：． 15. 如图，双曲线（）经过矩形的边的中点，交于点．若梯形的面积为，则双曲线的解析式为_______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数系数的几何意义，矩形的性质，先根据矩形的特点设出的坐标，根据矩形的面积求出点横纵坐标的积，由为的中点求出点的横纵坐标，再由待定系数法即可求出反比例函数的解析式，掌握反比例函数系数k的几何意义是解题的关键． 【详解】解：连接， 设，则，，设， ∵和都在反比例函数图象上， ∴，， 即， ∵梯形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，解得， ∴函数解析式为：， 故答案为：． 三、解答题（一） 16. 已知与成反比例，且当时，，求当时，的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，求反比例的函数值，设，利用待定系数法求出，再把代入中求出y的值即可得到答案． 【详解】解：设， ∵当时，， ∴， 解得：， ∴与之间的函数关系式为：， ∴当时，． 17. 已知反比例函数的图象经过点． （1）函数的图象位于哪些象限内？ （2）点是否在这个函数图象上？ 【答案】（1）反比例函数的图象位于第二、四象限内 （2）点不在这个函数的图象上 【解析】 【分析】此题考查了求反比例函数解析式、反比例函数的图象和性质、求反比例函数值，准确求出反比例函数解析式是关键． （1）利用待定系数法求出反比例函数解析式，根据反比例函数的图象和性质进行解答即可； （2）求出时的反比例函数值即可作出判断． 【小问1详解】 解：设反比例函数解析式为，把代入得到， 解得 ∴反比例函数的解析式为， ∵， ∴反比例函数的图象位于第二、四象限内； 【小问2详解】 当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 18. 舞台灯光可以在很短的时间内将阳光灿烂的晴日变成乌云密布的阴天，这样的效果就是通过改变电阻来控制电流的变化实现的．在一舞台场景的灯光变化的电路中，保持电压不变，电流（安培）与电阻（欧姆）成反比例，当电阻欧姆时，电流安培． （1）求与之间的函数关系式； （2）当电流安培时，求电阻的值． 【答案】（1） （2）电阻的值为欧姆 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）设，再利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出当安培时，R的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设， ∵当电阻欧姆时，电流安培， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：在中，当安培时，欧姆． 四、解答题（二） 19. 如图是某个反比例函数的图像的一部分，，是该图像的端点． （1）求此函数的表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）请你举出一个能用本题函数关系描述的生活实例． 【答案】（1） （2）可表示矩形长、宽分别为x、y，并且长x不小于、不大于，矩形的面积为 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数的解析式， （1）先根据已知点的坐标利用待定系数法求出反比例函数的解析式，然后根据图像的位置确定自变量的取值范围即可； （2）根据题意举例即可． 【小问1详解】 设反比例函的表达式为 将代入得， 解得 ∴反比例函的表达式为 由图象可得， ∴； 【小问2详解】 根据题意得，举例如下： 可表示矩形长、宽分别为x、y，并且长x不小于、不大于，矩形的面积为． 20. 如图7，反比例函数的图像与一次函数的图象交于点A、B，其中． （1）求m，b的值； （2）求点B的坐标，并写出时，的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，一次函数图象上点的特点以及反比例函数的性质、用待定系数法求反比例函数的解析式． （1）先将代入反比例函数与一次函数，可求出m、b． （2）联立列方程组，求出点B的坐标，当时，即一次函数的图象在反比例函数的图象上方，再由图象求出x的取值范围． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象过点， ∴， 则； ∵一次函数的图象过点， ∴， 则； 综上：，； 【小问2详解】 解：∵， 解得，， ∴点， 根据图象可得，当时，． 21. 如图，反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点． （1）求反比例函数和正比例函数的表达式； （2）若y轴上有一点的面积为4，求点的坐标． 【答案】（1）； （2）或 【解析】 【分析】（1）把分别代入函数的解析式，计算即可． （2）根据反比例函数的中对称性质，得到，设，根据，列式计算即可． 【小问1详解】 ∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点， ∴， 解得， 故反比例函数的表达式为，正比例函数的表达式． 【小问2详解】 ∵反比例函数（为常数，）与正比例函数（为常数，）的图像交于两点， 根据反比例函数图象的中心对称性质， ∴，设， 根据题意，得， ∴， 解得或， 故点C的坐标为或． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性，三角形面积的特殊坐标表示法，熟练掌握反比例函数与正比例函数的综合，反比例函数的中心对称性是解题的关键． 五、解答题（三） 22. 如图，点A的坐标是，点B的坐标是，点C为中点，将绕着点B逆时针旋转得到． （1）反比例函数的图像经过点，求该反比例函数的表达式； （2）一次函数图像经过A、两点，求该一次函数的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由点B的坐标是，点C为中点，可得，，由旋转可得：，，可得，可得，从而可得答案； （2）如图，过作于，则，而，，证明，可得，，，设直线为，再建立方程组求解即可． 【小问1详解】 解：∵点B的坐标是，点C为中点， ∴，， 由旋转可得：，， ∴， ∴， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 如图，过作于， 则，而，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 设直线为， ∴，解得：， ∴直线为． 【点睛】本题考查的是旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，全等三角形的判定与性质，熟练的求解是解本题的关键． 23. 如图，四边形ABCD的四个顶点分别在反比例函数与(x＞0，0＜m＜n)的图象上，对角线BD//y轴，且BD⊥AC于点P．已知点B的横坐标为4． （1）当m=4，n=20时． ①若点P的纵坐标为2，求直线AB的函数表达式． ②若点P是BD的中点，试判断四边形ABCD的形状，并说明理由． （2）四边形ABCD能否成为正方形？若能，求此时m，n之间的数量关系；若不能，试说明理由． 【答案】（1）①；②四边形是菱形，理由见解析；（2）四边形能是正方形，理由见解析，m+n=32. 【解析】 【分析】（1）①先确定出点A，B坐标，再利用待定系数法即可得出结论； ②先确定出点D坐标，进而确定出点P坐标，进而求出PA，PC，即可得出结论； （2）先确定出B（4，），D（4，），进而求出点P的坐标，再求出A，C坐标，最后用AC=BD，即可得出结论． 【详解】（1）①如图1， ， 反比例函数为， 当时，， ， 当时， ， ， ， 设直线的解析式为， ， ， 直线的解析式为； ②四边形是菱形， 理由如下：如图2， 由①知，， 轴， ， 点是线段的中点， ， 当时，由得，， 由得，， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）四边形能是正方形， 理由：当四边形是正方形，记，的交点为， , 当时，， ，， ， ，，， ， ， . 【点睛】此题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，正方形的性质，判断出四边形ABCD是平行四边形是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $