第2章 阶段质量评价 B卷——高考能力达标 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

B卷——高考能力达标 (时间:120分钟　满分:150分) 一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题所给的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.命题“∃x∈R,x3-x2+1≤0”的否定是 (　 ) A.∃x∈R,x3-x2+1<0 B.∃x∈R,x3-x2+1≥0 C.∀x∈R,x3-x2+1>0 D.∀x∈R,x3-x2+1≤0 解析:选C　由存在量词命题的否定可得,所给命题的否定为“∀x∈R,x3-x2+1>0”.故选C. 2.设集合A={x|x>1},B={x|x≤2},则A∪B= (　 ) A.∅ B.{x|1<x≤2} C.{x|x≤1或x>2} D.R 解析:选D　因为A={x|x>1},B={x|x≤2},所以A∪B=R. 3.已知集合U={x|x2>1},集合A={x|x2-4x+3<0},则∁UA等于 (　 ) A.{x|1<x<3} B.{x|x<1或x≥3} C.{x|x<-1或x≥3} D.{x|x<-1或x>3} 解析:选C　∵U={x|x2>1}={x|x>1或x<-1},A={x|x2-4x+3<0}={x|1<x<3}, ∴∁UA={x|x<-1或x≥3}. 4.“x>0”是“x+≥2”成立的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选C　当x>0时,x+≥2=2,当且仅当x=时,等号成立. 因为x,同号,所以若x+≥2,则x>0,>0.所以“x>0”是“x+≥2”成立的充要条件,故选C. 5.若b>a>1,则下列不等式一定正确的是 (　 ) A.ab>2 B.a+b<2 C.< D.+>2 解析:选D　令b=,a=,则ab=×=2,故A错误;因为a>1,b>1,所以a+b>2,故B错误;又-=,已知b>a>1则b-a>0,ab>0,所以->0,即>,故C错误;+≥2=2,且b>a>1,所以等号不成立,所以+>2,故D正确. 6.设全集U,有以下四个关系式:甲:A∩B=A;乙:A∪B=B;丙:∁UB⇐∁UA;丁:(∁UA)∪(∁UB)=∁UA.如果有且只有一个不成立,则该式是 (　 ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析:选C　由题意,甲:A∩B=A⇔A⊆B;乙:A∪B=B⇔A⊆B;丙:∁UB⇐∁UA⇔∁UA⊆∁UB⇔B⊆A;丁:(∁UA)∪(∁UB)=∁UA⇔∁UB⊆∁UA⇔A⊆B.由于甲、乙、丁是等价的,故如果有且只有一个不成立,则该式是丙. 7.已知不等式ax2-bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},则函数y=ax2+bx+c的图象大致为 (　 ) 解析:选C　根据题意,ax2-bx+c>0的解集为{x|-2<x<1},则方程ax2-bx+c=0的两个根为x=-2和x=1,且a<0,则有变形可得故函数y=ax2+bx+c=ax2-ax-2a=a(x-2)(x+1),是开口向下的二次函数,且与x轴的交点坐标为(-1, 0)和(2, 0),C选项的图象符合,故选C. 8.已知关于x的不等式ax2+2bx+4<0的解集为,其中m<0,则+的最小值为 (　 ) A.-2 B.1 C.2 D.8 解析:选C　由题意可知,方程ax2+2bx+4=0的两个根为m,,则m·=,解得a=1,故m+=-2b.因为m<0,所以2b=-m-≥2=4,当且仅当-m=-,即m=-2时,等号成立.则b≥2,所以+=+≥2=2,当且仅当=,即b=4时,等号成立.故+的最小值为2. 二、多项选择题(本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分) 9.设a>1>b>-1,b≠0,则下列不等式恒成立的是 (　 ) A.< B.> C.a>b2 D.a2>b2 解析:选CD　对于A,若a=2,b=-,此时满足a>1>b>-1,但>,故A错误;对于B,若a=2,b=,此时满足a>1>b>-1,但<,故B错误;对于C,由a>1>b>-1可得a>1>b2,故C正确;对于D,由a>1>b>-1可得a2>1>b2,故D正确. 10.已知关于x的不等式t(x+1)(x-2)-1>0的解集是(x1,x2),其中x1<x2,则下列结论正确的是 (　 ) A.x1+x2-1=0 B.-1<x1<x2<2 C.|x1-x2|>3 D.x1x2+2>0 解析:选ABD　由t(x+1)(x-2)-1>0,即tx2-tx-2t-1>0的解集为(x1,x2),可知t<0,且x1+x2=1,x1x2=-=-2->-2,故A、D正确;x2-x1==<3,故C错误;由对称性可知x1>-=-1,x2<2,故B正确. 11.已知x,y都为正数,且2x+y=1,则 (　 ) A.2xy的最大值为 B.4x2+y2的最小值为 C.x(x+y)的最大值为 D.+的最小值为3+2 解析:选ABD　对于A,因为x,y都为正数,且2x+y=1,所以2xy≤=,当且仅当2x=y,即x=,y=时,等号成立.所以2xy的最大值为,所以A正确;对于B,因为2x+y=1,所以4x2+y2=(2x+y)2-4xy=1-4xy,由选项A可知xy≤,所以4x2+y2=1-4xy≥,当且仅当x=,y=时,等号成立.所以4x2+y2的最小值为,所以B正确;对于C,因为2x+y=1,所以x(x+y)≤=,当且仅当x=x+y,即x=,y=0时,等号成立,但x,y都为正数,故等号取不到,所以C错误;对于D,因为x,y都为正数,且2x+y=1,所以+=(2x+y)=3++≥3+2,当且仅当=,即x=1-,y=-1时,等号成立.所以+的最小值为3+2,所以D正确. 三、填空题(本大题共3小题,每小题5分,共15分.把答案填在题中的横线上) 12.(5分)已知全集U={1, 2, 3, 4, 5, 6},集合P={1, 3, 5},Q={1, 2, 4},则(∁UP)∪Q=　　　　.  解析:(∁UP)∪Q={2, 4, 6}∪{1, 2, 4}={1, 2, 4, 6}. 答案:{1, 2, 4, 6} 13.(5分)某公司计划建造一间体积为600 m3的长方体实验室,该实验室高为3 m,地面每平方米的造价为120元,天花板每平方米的造价为240元,四面墙壁每平方米的造价为160元,则该实验室造价的最小值约为　　　　　　万元.(参考数据:≈1.414)  解析:由题意得,地面面积和天花板面积均为200 m2.设实验室造价为y元,地面的长为x m,则宽为 m,墙壁面积为m2.所以y=(120+240)×200+160×≥72 000+320=72 000+19 200≈9.91万元,当且仅当6x=,即x=10时,等号成立. 答案:9.91 14.(5分)权方和不等式作为均值不等式的一个变化,在求二元变量最值时有很广泛的应用,其表述如下:设a,b,x,y均为正数,则+≥,当且仅当=时,等号成立.根据权方和不等式,+的最小值为　　　　　.  解析:因为0<x<,即2-3x>0,所以+=+≥=8,当且仅当=,即x=时,等号成立.所以+的最小值为8. 答案:8 四、解答题(本大题共5小题,共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 15.(13分)已知a,b,c为互不相等的正数,且abc=1,求证:++<++. 证明:∵a,b,c为互不相等的正数,且abc=1, ∴++=++ <++=++.故原不等式成立. 16.(15分)已知x>0,y>0,且+=1. (1)求x+y的最小值;(7分) (2)若xy>m2+6m恒成立,求实数m的取值范围.(8分) 解:(1)因为x>0,y>0,所以x+y=(x+y)·=5++≥5+2=9, 当且仅当=,即x=3,y=6时,等号成立.所以x+y的最小值为9. (2)因为x>0,y>0,所以1=+≥2=,所以xy≥16,当且仅当=,即x=2,y=8时,等号成立.因为xy>m2+6m恒成立,所以16>m2+6m,解得-8<m<2. 所以实数m的取值范围为(-8,2). 17.(15分)已知不等式x2+mx+n<0的解集为{x|1<x<4}. (1)求m和n的值;(5分) (2)若x2+mx+n≥ax对任意x>0恒成立,求实数a的取值范围.(10分) 解:(1)由题意知1,4是关于x的方程x2+mx+n=0的两个根. 所以-m=1+4=5,n=1×4=4, 故m=-5,n=4. (2)由(1)易知x2-5x+4≥ax对任意x>0恒成立,即a≤x+-5对任意x>0恒成立,即a≤,x>0.因为x+≥2=4,当且仅当x=2时,等号成立,所以x+-5≥-1.所以=-1, 即a的取值范围是(-∞,-1]. 18.(17分)设命题p:方程x2+(2m-4)x+m=0有两个不相等的实数根;命题q:对所有的2≤x≤3,不等式x2-4x+13≥m2恒成立. (1)若命题p为真命题,求实数m的取值范围;(5分) (2)若命题p,q一真一假,求实数m的取值范围.(12分) 解:(1)若命题p为真命题,即方程x2+(2m-4)x+m=0有两个不相等的实数根, 则有Δ=(2m-4)2-4m=4m2-20m+16>0,解得m>4或m<1. ∴实数m的取值范围为{m|m>4或m<1}. (2)若命题q为真命题,则对所有的2≤x≤3,不等式x2-4x+13≥m2恒成立. 设y=x2-4x+13只需2≤x≤3时,m2≤ymin即可. ∵y=x2-4x+13=(x-2)2+9,2≤x≤3, ∴ymin=9,∴m2≤9,解得-3≤m≤3. ∴当命题q为真命题时,实数m的取值范围为{m|-3≤m≤3}. ∵命题p,q一真一假, ∴若命题p为真命题,命题q为假命题,则有解得m>4或m<-3; 若命题p为假命题,命题q为真命题,则有解得1≤m≤3. 综上所述,当命题p,q一真一假时,实数m的取值范围为(-∞,-3)∪[1,3]∪(4,+∞). 19.(17分)某工厂生产商品M,若每件定价80元,则每年可销售80万件,税务部门对市场销售的商品要征收附加税.为了既增加国家收入,又有利于市场活跃,必须合理确定征收的税率.据市场调查,若政府对商品M征收的税率为P%(即每百元征收P元)时,每年的销售量减少10P万件,据此,问: (1)若税务部门对商品M每年所收税金不少于96万元,求P的取值范围;(7分) (2)在所收税金不少于96万元的前提下,要让厂家获得最大的销售金额,应如何确定P值;(5分) (3)若仅考虑每年税收金额最高,又应如何确定P值.(5分) 解: (1)税率为P%时,销售量为(80-10P)万件,即销售额为y1=80(80-10P), 税金为y2=80(80-10P)·P%,其中0<P<8. 由解得2≤P≤6. 故P的取值范围为[2,6]. (2)∵y1=80(80-10P)(2≤P≤6), ∴当P=2时,y1取最大值,为4 800万元. (3)∵0<P<8,y2=80(80-10P)·P%=-8(P-4)2+128, ∴当P=4时,国家所得税收金额最高为128万元. 15 / 82 学科网（北京）股份有限公司 $$