2.2.2 不等式的解集 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

2.2.2　不等式的解集 [教学方式:基本概念课—逐点理清式教学] 　[课时目标]　不等式的解集及不等式组的解集初中已经学过,本节重温初中知识为下面的解一元二次不等式做铺垫. 逐点清(一)　不等式(组)的解集 [多维理解] 一般地,能够使不等式成立的未知数的值称为不等式的解,不等式的所有解组成的集合称为不等式的解集.对于由若干个不等式联立得到的不等式组来说,这些不等式的解集的交集称为不等式组的解集. |微|点|助|解| (1)一元一次不等式的解法 第一步:化为ax>(<)b的形式. 第二步:当a>0时,x>(<); 当a<0时,x<(>). 第三步:写出解集. (2)一元一次不等式组的解集的四种类型(设a<b) 不等 式组 数轴表示 解集 一般规律 (口诀) (b,+∞) 同大取大 (-∞,a) 同小取小 (a,b) 大小小大 中间找 ∅ 大大小小 无处找 [微点练明] 1.下列数是不等式5x-3<6的一个解的是 (　 ) A.B.2 C. D.3 解析:选A　5x-3<6,移项得5x<9,两边同除以5得x<.∵<<2<3,∴是不等式5x-3<6的一个解. 2.不等式组的解集是 (　 ) A.　 B. 　C.　 D.(-∞,9) 解析:选A　由①得x<, 由②得x<9.∴原不等式组的解集为. 3.若关于x的不等式组的整数解共有4个,则m的取值范围是 (　 ) A.(6,7) B.[6,7) C.[6,7] D.(6,7] 解析:选B　解不等式组得3≤x≤m.∵关于x的不等式组的整数解共有4个,即3,4,5,6,∴6≤m<7. 4.已知关于x的不等式组的解集为(1,3),求a的值. 解:由2x+1>3,得x>1;由a-x>1,得x<a-1. 又∵不等式组的解集为(1,3),∴a-1=3,即a=4. 逐点清(二)　绝对值不等式的解集 [多维理解] (1)一般地,含有绝对值的不等式称为绝对值不等式. (2)一般地,如果实数a,b在数轴上对应的点分别为A,B,即A(a),B(b),则线段AB的长为AB=|a-b|. (3)如果线段AB的中点M对应的数为x,则x=. |微|点|助|解| 1.绝对值不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a>0 a=0 a<0 |x|<a {x|-a<x<a} ∅ ∅ |x|>a {x|x>a或x<-a} {x∈R|x≠0} R 2.|ax+b|≤c,|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c. ②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c. [微点练明] 1.不等式|x-1|<2的解集是 (　 ) A.{x|-1<x<3} 　B.{x|1<x<3} C.{x|x<-1或x>3} 　D.{x|x<1或x>3} 解析:选A　由|x-1|<2可得-2<x-1<2,解得-1<x<3,故原不等式的解集为{x|-1<x<3}. 2.不等式1≤<2的解集为 (　 ) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 解析:选B　由1≤|2x-1|<2得,-2<2x-1≤-1或1≤2x-1<2,解得-<x≤0或1≤x<,所以不等式1≤|2x-1|<2的解集为∪. 3.设x∈R,则“<1”是“x>1或x<-2”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 解析:选A　解|x-2|<1,可得-1<x-2<1,得1<x<3.因为(1,3)⫋(-∞,-2)∪(1,+∞),所以“|x-2|<1”是“x>1或x<-2”的充分不必要条件. 　　　　　　　逐点清(三)　含有两个绝对值号的不等式的解集 [典例]　解下列不等式: (1)|x-1|>|2x-3|; (2)|x-1|+|x-2|>2. [解]　(1)因为|x-1|>|2x-3|, 所以(x-1)2>(2x-3)2, 即(2x-3)2-(x-1)2<0. 所以(2x-3+x-1)(2x-3-x+1)<0, 即(3x-4)(x-2)<0,所以<x<2. 即原不等式的解集为. (2)原不等式⇔或或⇔或 或⇔x<或x>,所以原不等式的解集为∪. |思|维|建|模| 1.求解|f(x)|>|g(x)|或|f(x)|<|g(x)|型不等式的方法为平方法,如本典例(1). 2.|x-a|+|x-b|≥c和|x-a|+|x-b|≤c型不等式的2种解法 (1)利用绝对值不等式的几何意义. (2)利用x-a=0,x-b=0的解,将数轴分成三个区间,然后在每个区间上将原不等式转化为不含绝对值的不等式而解之. 　　[针对训练] 1.不等式|x+3|-|x-3|>3的解集是 (　 ) A. B. C.[3,+∞) D.(-3,0] 解析:选A　当x<-3时,-(x+3)+(x-3)>3,-6>3,无解.当-3≤x≤3时,x+3+x-3>3,所以x>,故<x≤3.当x>3时,x+3-(x-3)>3,6>3,所以x>3.综上可知,原不等式的解集为. 2.解不等式|2x-1|<|x|+1. 解:当x<0时,原不等式可化为-2x+1<-x+1, 解得x>0.又因为x<0, 所以这样的x不存在. 当0≤x<时,原不等式可化为-2x+1<x+1, 解得x>0.又因为0≤x<,所以0<x<. 当x≥时,原不等式可化为2x-1<x+1, 解得x<2.又因为x≥,所以≤x<2. 综上所述,原不等式的解集为(0,2). [课时检测] 1.不等式>2的解集是 (　 ) A.{x|x>1} B.{x|x<-3} C.{x|-3<x<1} D.{x|x<-3或x>1} 解析:选D　因为不等式|x+1|>2,所以x+1>2或x+1<-2,解得x>1或x<-3,所以不等式的解集为{x|x<-3或x>1}. 2.在一元一次不等式组的解集中,整数解的个数是 (　 ) A.4 B.5 C.6 D.7 解析:选C　解不等式2x+1>0,得x>-.解不等式x-5≤0,得x≤5.所以不等式组的解集为,整数解为0,1,2,3,4,5,共6个. 3.已知<b的解集是{x|-3<x<9},则实数a,b的值是 (　 ) A.a=-3,b=6 B.a=3,b=-6 C.a=3,b=6 D.a=-3,b=-6 解析:选C　因为|x-a|<b,所以a-b<x<a+b. 因为|x-a|<b的解集是{x|-3<x<9},所以所以 4.已知数轴上,A(1),B(x),C(-3),若A与B关于点C对称,则x的值为 (　 ) A.-1 B.-7 C.5 D.3 解析:选B　∵数轴上,A(1),B(x),C(-3),且A与B关于点C对称,∴=-3,解得x=-7,故选B. 5.若不等式≤m的解集为[-1,5],则实数a,m的值为 (　 ) A.a=-2,m=7 B.a=-2,m=3 C.a=2,m=-3 D.a=2,m=3 解析:选D　因为≤m,所以a-m≤x≤a+m.因为不等式≤m的解集为[-1,5],所以解得a=2,m=3. 6.已知a>0,若不等式<a的一个必要条件为0<x<3,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,1] B.(-∞,2] C.(0,1] D.(0,2] 解析:选C　因为|x-1|<a,所以1-a<x<1+a.因为不等式|x-1|<a的一个必要条件为0<x<3,所以得0<a≤1. 7.若不等式组有解,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,-36) B.(-∞,-36] C.(-36,+∞) D.[-36,+∞) 解析:选C　解不等式1+x<a,得x<a-1.解不等式+1≥-1,得x≥-37.因为不等式组有解,所以a-1>-37,即a>-36. 8.(多选)下列不等式(组)的解集是[-3,1]的是 (　 ) A.|x+1|≤2 B. C. D. 解析:选ABC　对于A,∵|x+1|≤2,∴-2≤x+1≤2,∴-3≤x≤1; 对于B,∵∴即-3≤x≤1; 对于C,∵∴ ∴-3≤x≤1;对于D,∵ ∴∴x≤.故选A、B、C. 9.不等式|x-1|+|x-2|≤3的最小整数解是 (　 ) A.0 B.-1 C.1 D.2 解析:选A　原不等式可化为或或 解得0≤x≤3, 所以最小整数解是0.故选A. 10.已知[x]表示不超过x的最大整数,例如[2.3]=2,[-1.8]=-2,则关于x的方程[1+|x+1|]=3的解集为 (　 ) A.{3,1} B.或 C.或 D.或 解析:选D　因为[x]表示不超过x的最大整数,[1+|x+1|]=3,所以3≤1+|x+1|<4,即2≤|x+1|<3,即解得-4<x≤-3或1≤x<2.所以关于x的方程[1+|x+1|]=3的解集为{x|-4<x≤-3或1≤x<2}. 11.(5分)不等式组的所有正整数解的和为　　　　.  解析:解原不等式组,得不等式组的解集是-≤x<4.所以不等式组的正整数解是1,2,3,故它们的和为1+2+3=6. 答案:6 12.(5分)设数轴上点A与数-3对应,点B与数1对应,且线段BC的长为2.则AC=　　　　,BC的中点对应的数为　　　　.  解析:设C对应的数为x,则|1-x|=2, 结合数轴得x=3或x=-1, 所以AC=|-3-3|或AC=|-3+1|, 即AC=6或AC=2. 故BC的中点坐标为=2或=0. 所以BC的中点对应的数为2或0. 答案:6或2　2或0 13.(5分)若关于x的不等式|mx-2|<3的解集为,则m=　　　　.  解析:|mx-2|<3⇔-3<mx-2<3⇔-1<mx<5. ①若m>0,则-<x<, 由题意得-=-且=,无解. ②若m<0,则<x<-, 由题意得=-且-=,解得m=-6. 综上可得m=-6. 答案:-6 14.(5分)若关于x的不等式|x+2|+|x-1|<a的解集为∅,则a的取值范围是　　　　.  解析:对任意的x∈R,|x+2|+|x-1|≥3恒成立,要使原不等式的解集为∅,则需a≤3. 答案:(-∞,3] 15.(10分)解下列不等式: (1)x+|2x+3|≥2; (5分) (2)|x+1|+|x-1|≥3. (5分) 解:(1)原不等式可化为或 解得x≤-5或x≥-. 综上,原不等式的解集是(-∞,-5]∪. (2)法一　当x≤-1时,原不等式可化为-(x+1)-(x-1)≥3,解得x≤-. 当-1<x<1时,原不等式可以化为x+1-(x-1)≥3,即2≥3,不成立,无解. 当x≥1时,原不等式可以化为x+1+x-1≥3. 所以x≥. 综上,原不等式的解集为∪. 法二　将原不等式转化为|x+1|+|x-1|-3≥0. 构造函数y=|x+1|+|x-1|-3, 即y= 作出函数的图象,如图所示, 函数的零点是-,. 由图象可知,当x≤-或x≥时y≥0, 即|x+1|+|x-1|-3≥0. 所以原不等式的解集为∪. 16.(10分)如果关于x的不等式组的整数解仅有1,2,试求整数a,b的所有可能的值. 解:原不等式组的解集可利用a,b表示为≤x≤.根据不等式组的整数解仅有1,2,可确定a,b的范围为0<≤1,2≤<3,即0<a≤3,4≤b<6.因为a,b为整数,所以a的值可能为1或2或3,b的值可能为4或5. 学科网（北京）股份有限公司 $$