1.2.3 第1课时 充分条件与必要条件、充要条件 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

1.2.3　充分条件、必要条件 第1课时　充分条件与必要条件、充要条件 [教学方式:基本概念课逐点理清式教学] 　 [课时目标] 1.理解充分条件的意义,理解判定定理与充分条件的关系. 2.理解必要条件的意义,理解性质定理与必要条件的关系. 3.理解充要条件的意义,理解数学定义与充要条件的关系. 逐点清(一)　充分条件与必要条件 [多维理解] “若p,则q”为真命题 “若p,则q”为假命题 推出关系 p⇒q pq 条件关系 p是q的充分条件,q是p的必要条件 p不是q的充分条件,q不是p的必要条件 定理关系 判定定理给出了相应数学结论成立的充分条件; 性质定理给出了相应数学结论成立的必要条件 |微|点|助|解| (1)对于命题“若p,则q”的条件和结论,我们都视为条件,只看“⇒”的推出方向,“箭尾”是“箭头”的充分条件,“箭头”是“箭尾”的必要条件. (2)若p⇒q,则p是q的充分条件.所谓充分,就是说条件是充分的,也就是说条件是充足的,条件是足够的,条件是足以保证的.“有之必成立,无之未必不成立”. (3)若p⇒q,则q是p的必要条件.所谓必要,就是条件是必须有的,必不可少,缺其不可.“有之未必成立,无之必不成立”. (4)p是q的充分条件反映了p⇒q,而q是p的必要条件同样反映了p⇒q,这说明p是q的充分条件与q是p的必要条件表述的是同一逻辑关系,只是说法不同. (5)如果“若p,则q”为假命题,那么由p推不出q,记作pq.此时,我们就说p不是q的充分条件,q不是p的必要条件. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件. (　 ) (2)若p是q的充分条件,则p是唯一的. (　 ) (3)若q不是p的必要条件,则“p⇒/ q”成立. (　 ) (4)“x>0”是“x>1”的充分条件. (　 ) 答案:(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 2.从符号“⇒”“”“⇔”中选择适当的一个填空: (1)x2>1　　x>1;  (2)a,b都是偶数　　a+b是偶数;  (3)x2=1　　|x|=1;  (4)n是偶数　　n是4的倍数.  答案:(1) (2)⇒　(3)⇔　(4) 3.下列是“四边形是矩形”的充分条件是 (　 ) A.四边形的对角线相等 B.四边形的两组对边分别相等 C.四边形有两个内角都为直角 D.四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补 解析:选D　四边形的对角线相等且平分才是矩形,故A错误;四边形的两组对边分别相等为平行四边形,故B错误;四边形有三个内角为直角才是矩形,故C错误;四边形两组对边分别平行则为平行四边形,则相邻两角互补,又有一组对角互补,故相邻两角相等,又相邻两角之和为180°,故相邻两角均为直角,故该平行四边形是矩形,故D正确. 4.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的充分条件的是 (　 ) A.若x<1,则x<2 B.若两个三角形的三边对应成比例,则这两个三角形相似 C.若|x|≠1,则x≠1 D.若ab>0,则a>0,b>0 解析:选ABC　由x<1,可以推出x<2,所以选项A符合题意;由两个三角形的三边对应成比例,可以推出这两个三角形相似,所以选项B符合题意;由|x|≠1,可以推出x≠1,所以选项C符合题意;由ab>0,不一定能推出a>0,b>0,比如a=b=-1,所以选项D不符合题意. 5.(多选)下列“若p,则q”形式的命题中,p是q的必要条件的是 (　 ) A.若x,y是偶数,则x+y是偶数 B.若a<2,则方程x2-2x+a=0有实根 C.若四边形的对角线互相垂直,则这个四边形是菱形 D.若ab=0,则a=0　 解析:选BCD　A:x+y是偶数不一定能推出x,y是偶数,因为x,y可以是奇数,不符合题意;B:当方程x2-2x+a=0有实根时,则有(-2)2-4a≥0⇒a≤1,显然能推出a<2,符合题意;C:因为菱形对角线互相垂直,所以由四边形是菱形能推出四边形的对角线互相垂直,符合题意;D:显然由a=0可以推出ab=0,符合题意. 逐点清(二)　充要条件 [多维理解] (1)如果p⇒q且qp,则称p是q的充分不必要条件. (2)如果pq且q⇒p,则称p是q的必要不充分条件. (3)如果p⇒q且q⇒p,则称p是q的充分必要条件(简称为充要条件),记作p⇔q,此时,也读作“p与q等价”“p当且仅当q”. |微|点|助|解| 1.条件p与结论q的关系与充分、必要条件 条件p与结论q的关系 结论 p⇒q,但qp p是q的充分不必要条件 q⇒p,但pq p是q的必要不充分条件 p⇒q且q⇒p,即p⇔q p与q互为充要条件 p⇒/ q,且qp p是q的既不充分也不必要条件 2.从集合的角度看充分、必要条件 如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表: 关系 A⫋B B⫋A A=B A⊈B且B⊈A 图示 结论 p是q的充分不必要条件 p是q的必要不充分条件 p是q的充要条件 p是q的既不充分也不必要条件 [微点练明] 1.“x=1”是“x2-2x+1=0”的 (　 ) A.充要条件 B.充分不必要条件 C.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 解析:选A　解x2-2x+1=0得x=1,所以“x=1”是“x2-2x+1=0”的充要条件. 2.(多选)对任意实数a,b,c,下列命题正确的是 (　 ) A.“a=b”是“ac=bc”的充要条件 B.“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件 C.“a>b”是“a2>b2”的充分不必要条件 D.“a<5”是“a<3”的必要不充分条件 解析: 选BD　由ac=bc,得ac-bc=0,即c(a-b)=0,故c=0或a=b,所以a=b是ac=bc的充分不必要条件,所以A不正确;因为a+5是无理数,5是有理数,所以a是无理数,若a是无理数,则a+5是无理数,故“a+5是无理数”是“a是无理数”的充要条件,所以B正确;若0>a>b,则a2<b2,所以“a>b”不是“a2>b2”的充分条件,所以C不正确;a<5推不出a<3,若a<3,则a<5,故“a<5”是“a<3”的必要不充分条件,所以D正确. 3.已知a,b是实数,则“a>0且b>0”是“a+b>0且ab>0”的　　　　条件.  解析:a>0且b>0⇒a+b>0且ab>0,a+b>0且ab>0⇒a>0且b>0. 答案:充要 逐点清(三)　充分、必要条件的探求 [典例]　(1)使“x≤-或x≥3”成立的一个充分不必要条件是 (　 ) A.x<0 　　　B.x≥0 C.x∈{-1, 3, 5} 　　　D.x≤-或x≥3 (2)设a,b∈R,则“ab+1=a+b”的充要条件是 (　 ) A.a,b都为1 　　　B.a,b都不为1 C.a,b中至少有一个为1 　　　D.a,b都不为0 [解析]　(1)对于A,x<0不能推出x≥3或x≤-,反之也不能,是其既不充分也不必要条件; 对于B,x≥0不能推出x≥3或x≤-,反之也不能,是其既不充分也不必要条件; 对于C,x∈{-1,3,5}可以推出x≥3或x≤-,反之不能,是其充分不必要条件; 对于D,x≤-或x≥3,是其充要条件. (2)由ab+1=a+b,可得(a-1)(b-1)=0,解得a=1或b=1, 故“ab+1=a+b”的充要条件是“a,b中至少有一个为1”.故选C. [答案]　(1)C　(2)C 　　|思|维|建|模| 1.探求充分、必要条件的方法 (1)寻求q的充分条件p,即求使q成立的条件p,从集合的角度看,是找q的子集; (2)寻求q的必要条件p,即求以q为条件可推出的结论p,从集合的角度看,是找能包含q的集合. 2.探求充要条件的方法 (1)先由结论寻找使之成立的条件,再由条件来推证结论成立,即保证必要性和充分性都成立. (2)变换命题为其等价命题,使每一步都可逆,直接得到使结论成立的充要条件. 　　[针对训练] 1.“a<0,b<0”的一个必要条件为 (　 ) A.a+b<0 B.a+b>0 C.>1 D.<-1 解析:选A　对于A,因为a<0,b<0,所以a+b<0,即a+b<0是“a<0,b<0”的必要条件,A正确;对于B,当a<0,b<0时,a+b>0不可能成立,B不正确;对于C,当a<0,b<0时,>1不一定成立,如a=-1,b=-2满足条件,而<1,C不正确;对于D,当a<0,b<0时,必有>0成立,即不能推出<-1,D不正确.故选A. 2.(多选)使0<x<3成立的一个充分条件是 (　 ) A.2<x≤3 B.0≤x<1 C.0<x≤2 D.1<x<2 解析:选CD　从集合观点看,求0<x<3成立的一个充分条件,就是从A、B、C、D中选出集合{x|0<x<3}的子集.由于{x|0<x≤2}⊆{x|0<x<3},{x|1<x<2}⊆{x|0<x<3},故选C、D. [课时检测] 1.若集合A={1, a},B={1,2,3},则“a=3”是“A⊆B”的 (　 ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.充要条件 解析:选A　∵A={1, a},B={1,2,3},A⊆B,∴a∈B且a≠1,∴a=2或a=3,即a=3⇒A⊆B,∴“a=3”是“A⊆B”的充分条件. 2.俗语云“好人有好报”,“好人”是“有好报”的 (　 ) A.充分条件 B.必要条件 C.既不充分也不必要条件 D.无法判断 解析:选A　“好人”是“有好报”的充分条件,反之未必成立,故选A. 3.(多选)下列选项中,可以是x2<4的一个必要条件的是 (　 ) A.-2<x<2 B.-2≤x≤2 C.0<x<2 D.-2<x<0 解析:选AB　∵x2<4,∴-2<x<2,∴A、B是x2<4的必要条件. 4.(2023·天津高考)“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 解析:选B　若a2=b2,则当a=-b≠0时,有a2+b2=2a2,2ab=-2a2,即a2+b2≠2ab,所以由a2=b2⇒/ a2+b2=2ab;若a2+b2=2ab,则有a2+b2-2ab=0,即(a-b)2=0,所以a=b,则有a2=b2,即a2+b2=2ab⇒a2=b2.所以“a2=b2”是“a2+b2=2ab”的必要不充分条件.故选B. 5.(多选)下列命题中,p是q的充分条件的是 (　 ) A.p:a是无理数,q:a2是无理数 B.p:四边形为等腰梯形,q:四边形对角线相等 C.p:x>2,q:x≥1 D.p:a>b,q:ac2>bc2 解析:选BC　A中,a=是无理数,a2=2是有理数,所以p不是q的充分条件;B中,因为等腰梯形的对角线相等,所以p是q的充分条件;C中,x>2⇒x≥1,所以p是q的充分条件;D中,当c=0时,ac2=bc2,所以p不是q的充分条件. 6.等式|a+b|=|a|+|b|成立的充要条件是 (　 ) A.ab=0 B.ab<0 C.ab≥0 D.ab≤0 解析:选C　|a+b|=|a|+|b|⇔(a+b)2=(|a|+|b|)2⇔a2+2ab+b2=a2+2|ab|+b2⇔ab=|ab|⇔ab≥0. 7.(多选)已知p,q都是r的充分条件,s是r的必要条件,q是s的必要条件,则 (　 ) A.p是q的既不充分也不必要条件 B.p是s的充分条件 C.r是q的必要不充分条件 D.s是q的充要条件 解析:选BD　由已知得p⇒r⇒s⇒q,q⇒r⇒s.∴p是q的充分条件;p是s的充分条件;r是q的充要条件;s是q的充要条件.故选B、D. 8.使不等式0<<1 成立的一个充分不必要条件可以是 (　 ) A.0<x< B.x>1 C.x>2 D.x>0 解析:选C　由0<<1⇒⇒x>1(其成立的充分不必要条件需为{x|x>1}的真子集),所以结合选项知,使不等式0<<1成立的一个充分不必要条件可以是x>2. 9.(5分)“x2=2x”是“x=0”的　　　　条件,“x=0”是“x2=2x”的　　　　条件(用“充分”“必要”填空).  解析:由于x=0⇒x2=2x,所以“x2=2x”是“x=0”的必要条件,“x=0”是“x2=2x”的充分条件. 答案:必要　充分 10.(5分)对于集合A,B及元素x,若A⊆B,则x∈B是x∈(A∪B)的　　　　条件.  解析:由x∈B,显然可得x∈(A∪B);反之,由于A⊆B,则(A∪B)=B,所以由x∈(A∪B)可得x∈B,故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件. 答案:充要 11.(10分)下列命题中,哪些命题是“四边形是正方形”的充分条件? (1)对角线相等的菱形; (2)对角线互相垂直的矩形; (3)对角线相等的平行四边形; (4)有一个角是直角的菱形. 解:(1)菱形的对角线垂直,它的对角线相等时,一定是正方形,是充分条件. (2)矩形的对角线相等,它的对角线垂直时,一定是正方形,是充分条件. (3)对角线相等的平行四边形是矩形,不一定是正方形,不是充分条件. (4)菱形的四边相等,有一个角是直角,则四个内角都是直角,它是正方形,是充分条件. 12.(10分)设A={a+b||a2-2b2|=1,a,b∈Z},现有以下三个条件: 甲:x∈A且y∈A;乙:xy∈A;丙:∈A. 求证:甲分别是乙和丙的充分条件. 证明:设x=a+b,y=c+d,则|a2-2b2|=1,a,b∈Z,|c2-2d2|=1,c,d∈Z, 则xy=(a+b)(c+d)=(ac+2bd)+(bc+ad),显然ac+2bd,bc+ad∈Z. 因为(ac+2bd)2-2(bc+ad)2=(a2-2b2)(c2-2d2),a,b,c,d∈Z, 所以|(ac+2bd)2-2(bc+ad)2|=|(a2-2b2)(c2-2d2)|=1,a,b,c,d∈Z, 所以xy∈A.所以甲是乙的充分条件. 因为===-, 且|a2-2b2|=1,a,b∈Z, 所以若a2-2b2=1,则=a-b∈A;若a2-2b2=-1,则=-a+b∈A. 所以甲是丙的充分条件. 综上,甲分别是乙和丙的充分条件. 13.(10分)已知a,b,c∈R,a≠0.判断“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的什么条件?并说明理由. 解:“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件.理由如下: 当a,b,c∈R,a≠0时,若a-b+c=0,则-1满足一元二次方程ax2+bx+c=0, 即“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”, 故“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充分条件. 若一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1,则a-b+c=0, 故“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的必要条件. 综上所述,“a-b+c=0”是“一元二次方程ax2+bx+c=0有一根为-1”的充要条件. 学科网（北京）股份有限公司 $$