1.2.2 全称量词命题与存在量词命题的否定 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

1.2.2　全称量词命题与存在量词命题的否定 　　　　　　　　　　　　　　　　 [教学方式:基本概念课逐点理清式教学] [课时目标] 1.通过实例总结含有一个量词的命题与它们的否定在形式上的变化规律. 2.能正确地对含有一个量词的命题进行否定. 逐点清(一)　命题的否定 [多维理解] 1.命题的否定 一般地,对命题p加以否定,就得到一个新的命题,记作“􀱑p”,读作“非p”或“p的否定”. 2.命题􀱑p的真假性 命题􀱑p的真假性可以用下表(真值表)表示: 命题p 命题p的否定(􀱑p) 真 假 假 真 　　显然,􀱑p与p不能同真或同假,其中一个为真,另一个必定为假.它们是互为否定的,从而有􀱑(􀱑p)=p. |微|点|助|解| 常见词语的否定形式 原词语 否定词语 原词语 否定词语 是 不是 至少有一个 一个也没有 都是 不都是 至多有一个 至少有两个 大于 不大于 至少有n个 至多有(n-1)个 小于 不小于 至多有n个 至少有(n+1)个 任意的 某个 能 不能 所有的 某些 等于 不等于 [微点练明] 1.命题“自然数a,b,c中恰有一个为偶数”的否定可以是 (　 ) A.自然数a,b,c都是奇数 B.自然数a,b,c都是偶数 C.自然数a,b,c中至少有两个偶数 D.自然数a,b,c中至少有两个偶数或都是奇数 答案:D 2.若命题p:x∈(A∩B),则􀱑p为 (　 ) A.x∈A且x∉B B.x∉A或x∉B C.x∉A且x∉B D.x∉(A∪B) 解析:选B　∵x∈(A∩B),∴x∈A且x∈B, ∴􀱑p:x∉A或x∉B,故选B. 3.写出下列命题的否定形式,并判断其真假. (1)p:面积相等的三角形都是全等三角形; (2)p:若m2+n2=0,则实数m,n全为零; (3)p:实数a,b,c满足abc=0,则a,b,c中至少有一个为0. 解:(1)􀱑p:面积相等的三角形不都是全等三角形.真命题. (2)􀱑p:若m2+n2=0,则实数m,n不全为零.假命题. (3)􀱑p:实数a,b,c满足abc=0,则a,b,c都不为0.假命题. 　　　　　 逐点清(二)　全称量词命题与存在量词命题的否定 [多维理解] 　　含量词的命题的否定 命题 命题的否定 结论 存在量词命题“∃x∈M,p(x)” ∀x∈M,􀱑p(x) 存在量词命题的否定是全称量词命题 全称量词命题“∀x∈M,q(x)” ∃x∈M,􀱑q(x) 全称量词命题的否定是存在量词命题 总结起来八个字“改变量词,否定结论”,从集合的角度来看,x的范围没有变,只是对结论进行了否定. [微点练明] 1.命题“∃x>0,2x2=5x-1”的否定是 (　 ) A.∀x>0,2x2≠5x-1 　B.∀x≤0,2x2=5x-1 C.∃x>0,2x2≠5x-1 　D.∃x≤0,2x2=5x-1 解析:选A　存在量词命题的否定是全称量词命题. 2.命题“有的四边形不是正方形”的否定是 (　 ) A.有的四边形是正方形 B.所有四边形都是正方形 C.不是四边形的图形是正方形 D.不是四边形的图形不是正方形 解析:选B　根据存在量词命题的否定是全称量词命题,可知,命题“有的四边形不是正方形”的否定是“所有四边形都是正方形”. 3.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想是1742年哥德巴赫给数学家欧拉的信中提出的猜想:“任意大于2的偶数都可以表示成两个质数之和”,则哥德巴赫猜想的否定为 (　 ) A.任意小于2的偶数都不可以表示成两个质数之和 B.任意大于2的偶数都不可以表示成两个质数之和 C.至少存在一个小于2的偶数不可以表示成两个质数之和 D.至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和 解析:选D　根据全称量词命题的否定是存在量词命题,知哥德巴赫猜想的否定为“至少存在一个大于2的偶数不可以表示成两个质数之和”. 4.(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p:∀x∈R,|x+1|>1;命题q:∃x>0,x3=x,则 (　　) A.p和q都是真命题 B.􀱑p和q都是真命题 C.p和􀱑q都是真命题 D.􀱑p和q都是真命题 解析:选B　法一　对于p,由|x+1|>1,得x2+2x>0,解得x>0或x<-2,显然∀x∈R,|x+1|>1不恒成立, 所以命题p为假命题,􀱑p为真命题.对于q,由x3=x,解得x=0或x=1或x=-1,所以∃x>0使得x3=x,所以q是真命题. 法二　对于p,取x=-1,则有|x+1|=0<1,故p是假命题,􀱑p是真命题.对于q,取x=1,则有x3=13=1=x,故q是真命题,􀱑q是假命题.综上,􀱑p和q都是真命题. 　　　　　 逐点清(三)　全称量词命题与存在量词命题的应用 [典例]　(1)已知命题p:∀1≤x≤2,x2-a≥0,若命题􀱑p为真命题,求实数a的取值范围; (2)已知命题“∀x∈R,ax2+2x+1≠0”为假命题,求实数a的取值范围. 解:(1)对于∀1≤x≤2,不等式x2-a≥0⇔a≤x2恒成立,而(x2)min=1,则a≤1, 即命题p:a≤1,则命题􀱑p:a>1,所以实数a的取值范围是(1,+∞). (2)因为原命题为假命题,所以原命题的否定为真命题,即命题“∃x∈R,ax2+2x+1=0”为真命题, 则关于x的方程ax2+2x+1=0有实根. 所以a=0或 解得a=0或a≤1且a≠0,所以a≤1. 所以实数a的取值范围为{a|a≤1}. 　　[变式拓展] 1.本例(1)中的条件变为“∀1≤x≤2,ax+1>0是真命题”,求实数a的取值范围. 解:因为∀1≤x≤2,ax+1>0,所以解得a>-.故a的取值范围为. 2.本例(1)增加条件“命题q:∃x∈R,x2+2ax+2a+a2=0,若命题p和􀱑q均为真命题”,求实数a的取值范围. 解:由∃x∈R,x2+2ax+2a+a2=0,得Δ=4a2-4(2a+a2)=-8a≥0,解得a≤0,即命题q:a≤0,则命题􀱑q:a>0,由例题知命题p:a≤1,由命题p和􀱑q均为真命题,得0<a≤1,所以实数a的取值范围是(0,1]. 3.将本例(2)中的条件“ax2+2x+1≠0”改为“2x≠-x2+a”,求实数a的取值范围. 解:因为命题“∀x∈R,2x≠-x2+a”是假命题,所以此命题的否定“∃x∈R,2x=-x2+a”是真命题,即x2+2x-a=0有实根,所以Δ=4+4a≥0,则a≥-1,所以实数a的取值范围是{a|a≥-1}. |思|维|建|模| 依据含量词命题的真假求参数取值范围的策略 (1)首先根据全称量词和存在量词的含义透彻地理解题意. (2)其次根据含量词命题的真假把命题的真假问题转化为集合间的关系或函数的最值问题,再转化为关于参数的不等式(组)求参数的取值范围. (3)注意p与􀱑p的真假性只能一真一假,解决问题时可以相互转化. 　　[针对训练] 1.已知命题p:“∀x≥3,使得2x-1≥m”是真命题,则实数m的取值范围是　　　　.  解析:∀x≥3,使得2x-1≥m成立,只需m≤2×3-1=5. 答案:{m|m≤5} 2.已知命题p:∀x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},且􀱑p是假命题,求实数a的取值范围. 解:因为􀱑p是假命题,所以p是真命题. 又∀x∈{x|-3≤x≤2},都有x∈{x|a-4≤x≤a+5},所以{x|-3≤x≤2}⊆{x|a-4≤x≤a+5}, 则解得-3≤a≤1.即实数a的取值范围是{a|-3≤a≤1}. [课时检测] 1.命题“存在实数x,使x>1”的否定是 (　 ) A.对任意实数x,都有x>1 B.不存在实数x,使x≤1 C.对任意实数x,都有x≤1 D.存在实数x,使x≤1 解析:选C　利用存在量词命题的否定是全称量词命题求解.“存在实数x,使x>1”的否定是“对任意实数x,都有x≤1”. 2.设x∈Z,集合A是奇数集,集合B是偶数集.若命题p:∀x∈A,2x∈B,则 (　 ) A.􀱑p:∀x∈A,2x∈B B.􀱑p:∀x∉A,2x∉B C.􀱑p:∃x∉A,2x∈B D.􀱑p:∃x∈A,2x∉B 解析:选D　命题p:∀x∈A,2x∈B是一个全称量词命题,命题p的否定应为:∃x∈A,2x∉B. 3.(多选)关于命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的叙述,正确的是 (　 ) A.􀱑p:∃x∈R,x2+1=0 B.􀱑p:∀x∈R,x2+1=0 C.p是真命题,􀱑p是假命题 D.p是假命题,􀱑p是真命题 解析:选AC　命题p:“∀x∈R,x2+1≠0”的否定是“∃x∈R,x2+1=0”.所以p是真命题,􀱑p是假命题. 4.如果命题􀱑p与􀱑q至少有一个为真命题,那么 (　 ) A.p,q均为真命题 B.p,q均为假命题 C.p,q中至少有一个为真命题 D.p,q中至多有一个为真命题 解析:选D　因为命题􀱑p与􀱑q至少有一个为真命题,所以􀱑p与􀱑q可能恰有一个为真命题或者两个都为真命题.当􀱑p与􀱑q恰有一个为真命题时,p,q其中一个是真命题,另一个是假命题;当􀱑p与􀱑q都为真命题时,p,q均为假命题,所以p,q中至多有一个为真命题. 5.(多选)对下列命题的否定说法正确的是 (　 ) A.p:能被2整除的数是偶数;p的否定:存在一个能被2整除的数不是偶数 B.p:有些矩形是正方形;p的否定:所有的矩形都不是正方形 C.p:有的三角形为正三角形;p的否定:所有的三角形不都是正三角形 D.p:∀n∈N,2n≤100;p的否定:∃n∈N,2n>100 解析:选ABD　“有的三角形为正三角形”为存在量词命题,其否定为全称量词命题:“所有的三角形都不是正三角形”,故选项C错误. 6.下列命题为真命题的是 (　 ) A.对每一个无理数x,x2也是无理数 B.存在一个实数x,使x2+2x+4=0 C.有些整数只有两个正因数 D.所有的素数都是奇数 解析:选C　若x=,则x2=2是有理数,故A错误;因为x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以存在一个实数x,使x2+2x+4=0是假命题,故B错误;因为2=1×2,所以有些整数只有两个正因数,故C正确;2是素数,但2不是奇数,故D错误.故选C. 7.命题“∃x0∈R,x2+2x+a=0”是真命题,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,1] B.[1,+∞) C.(-∞,1) D.(1,+∞) 解析:选A　因为命题“∃x0∈R,x2+2x+a=0”是真命题,所以Δ=4-4a≥0,解得a≤1.因此,实数a的取值范围是a≤1. 8.已知命题“∃x∈R,使4x2+(a-2)x+=0”是假命题,则实数a的取值范围是 (　 ) A.(-∞,0) B.[0,4] C.[4,+∞) D.(0,4) 解析:选D　∵命题“∃x∈R,使4x2+(a-2)x+=0”是假命题,∴命题“∀x∈R,使4x2+(a-2)x+≠0”是真命题,即判别式Δ=(a-2)2-4×4×<0, 即Δ=(a-2)2<4,则-2<a-2<2,即0<a<4. 9.能说明全称量词命题“∀x∈R,x(x2-3x+2)=0”为假命题的例子是 (　 ) A.x=0 B.x=1 C.x=2 D.x=3 解析:选D　因为x(x2-3x+2)=0,即x(x-2)·(x-1)=0,解得x=0或x=1或x=2,所以当x≠0且x≠1且x≠2时,均能说明全称量词命题“∀x∈R,x(x2-3x+2)=0”为假命题,故符合题意的为D. 10.若命题“∀x∈R,ax2+1≥0”为真命题,则实数a的取值范围为 (　 ) A.{a|a>0} B.{a|a≥0} C.{a|a≤0} D.{a|a≤1} 解析:选B　依题意命题“∀x∈R,ax2+1≥0”为真命题,当a=0时,1≥0成立,当a>0时,ax2+1≥0成立,当a<0时,函数y=ax2+1开口向下,ax2+1≥0不恒成立.综上所述,a≥0. 11.(5分)命题“存在x∈R,使得x2+2x+5=0”的否定是　　　　　　　　.  解析:存在量词命题的否定是全称量词命题,将“存在”改为“任意”,“=”改为“≠”. 答案:任意x∈R,使得x2+2x+5≠0 12.(5分)已知p:x>1或x<-3,q:x>a(a为实数).若􀱑q的一个充分不必要条件是􀱑p,则实数a的取值范围是　　　　.  解析:由题意得,􀱑p:-3≤x≤1,q:x≤a. 因为􀱑q的一个充分不必要条件是􀱑p, 所以{x|-3≤x≤1}⫋{x|x≤a},所以a≥1. 答案:[1,+∞) 13.(5分)已知命题p:∃x>0,x+a-1=0为假命题,则实数a的取值范围为　　　　.  解析:因为命题p:∃x>0,x+a-1=0为假命题, 所以􀱑p:∀x>0,x+a-1≠0是真命题,即x≠1-a, 所以1-a≤0,即a≥1. 所以a的取值范围为{a|a≥1}. 答案:{a|a≥1} 14.(5分)某中学开展小组合作学习模式,高二某班某组小王同学给组内小李同学出题如下:若命题“∃x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的下方”是假命题,求m的取值范围.小李略加思索,反手给了小王一道题:若命题“∀x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的上方或x轴上”是真命题,求m的取值范围.你认为,两位同学题中m的取值范围是否一致?　　　　.(填“是”“否”中的一种)  解析:∵命题“∃x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的下方”的否定是“∀x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的上方或x轴上”. 而命题“∃x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的下方”是假命题,则其否定“∀x∈R,函数y=x2+2x+m的图象在x轴的上方或x轴上”为真命题.∴两位同学题中m的取值范围是一致的. 答案:是 15.(10分)写出下列命题的否定,并判断其真假. (1)p:不论m取何实数,方程x2+x-m=0必有实数根; (4分) (2)q:存在一个实数x,使得x2+x+3≤0; (3分) (3)r:等圆的面积相等,周长相等. (3分) 解:(1)这一命题可以表述为p:“对所有的实数m,方程x2+x-m=0有实数根”, 其否定形式是􀱑p:“存在实数m,使得x2+x-m=0没有实数根”. 当Δ=1+4m<0,即m<-时,一元二次方程没有实数根,所以p是真命题. (2)这一命题的否定形式是q:对所有实数x,都有x2+x+3>0. 利用配方法可以验证q是一个真命题. (3)这一命题的否定形式是􀱑r:存在一对等圆,其面积不相等或周长不相等,由平面几何知识知r是一个假命题. 16.(10分)命题p是“对某些实数x,有x-a>0或x-b≤0”,其中a,b是常数. (1)写出命题p的否定. (3分) (2)当a,b满足什么条件时,命题p的否定为真? (7分) 解:(1)命题p的否定:对任意实数x,有x-a≤0且x-b>0. (2)要使命题p的否定为真, 则需要使的解集不为空集. 故a,b应满足的条件是b<a. 学科网（北京）股份有限公司 $$