1.2.1 命题与量词 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

　　　　　　　　1.2　常用逻辑用语 1.2.1　命题与量词 [教学方式:基本概念课逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解命题、全称量词与存在量词的意义以及全称量词命题和存在量词命题的意义,熟悉常见的全称量词和存在量词. 2.能应用数学知识判断全称量词命题和存在量词命题的真假. 逐点清(一)　命题及其真假 [多维理解] 一般地,在数学中,我们把用语言、符号或式子表达的,可供真假判断的陈述语句称为命题.其中判断为真的语句称为真命题,判断为假的语句称为假命题. 一个命题,一般可以用一个小写英文字母表示,如p,q,r,…. [微点练明] 1.下列语句是命题的是 (　 ) A.0是偶数吗? B.这个数学问题真难啊! C.你,出去! D.x2+y2=0只有一组解 解析:选D　可以判断真假的陈述句叫做命题.根据定义可知,只有D选项符合题意. 2.(多选)下列四个命题,属于真命题的是 (　 ) A.平面上两组对边平行且相等的四边形是正方形 B.线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 C.所有质数的平方都不是偶数 D.不存在一个奇数,它的立方是偶数　 解析:选BD　对于A,平面上两组对边平行且相等的四边形不一定是正方形,故A是假命题;对于B,根据垂直平分线的性质可得线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等,故B是真命题;对于C,2是质数,但22=4为偶数,故C是假命题;对于D,任何奇数的立方都为奇数,故D是真命题. 3.关于区间I=(a,+∞),有下列四个命题: 甲:小于1的数都不在区间I内 乙:区间I内不存在两个数互为倒数 丙:区间I内存在小于1的数 丁:区间I内每个数的平方都大于它本身 如果只有一个假命题,则该命题是 (　 ) A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 解析:选C　由题意得,根据甲和丙两个命题可知甲和丙互相矛盾,故两个命题必然一真一假;又因为只有一个假命题,所以乙和丁都为真命题;根据乙和丁可知I=(a,+∞)⊆(1,+∞),故丙为假命题. 逐点清(二)　量　词 [多维理解] 　　全称量词命题与存在量词命题 全称量词 存在量词 量词 任意、所有、每一个 存在、有、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题 含有全称量词的命题,称为全称量词命题 含有存在量词的命题,称为存在量词命题 命题 形式 “对集合M中的所有元素x,r(x)”的命题,可简记为“∀x∈M,r(x)” “存在集合M中的元素x,s(x)”的命题,可简记为“∃x∈M,s(x)” |微|点|助|解| (1)有些全称量词命题中的全称量词是省略的,理解时需要把它补充出来. (2)要判定全称量词命题“∀x∈M,r(x)”是真命题,必须对限定集合M中的每一个元素x,验证r(x)成立;要判定其是假命题,只需举出一个反例即可. (3)要判断存在量词命题“∃x∈M,s(x)”是真命题,只需要在限定集合M中找到一个元素x0,使s(x0)成立即可;要判断一个存在量词命题是假命题,需对集合M中的任意一个元素x,证明s(x)都不成立. [微点练明] 1.(多选)下列命题是全称量词命题的是 (　 ) A.任意一个自然数都是正整数 B.有的菱形是正方形 C.梯形有两边平行 D.∃x∈R,x2+1=0 解析:选AC　选项A中的命题含有全称量词“任意”,是全称量词命题,选项C中,“梯形有两边平行”是全称量词命题. 2.下列命题是“∀x∈R,x2>3”的另一种表述方法的是 (　 ) A.有一个x∈R,使得x2>3 B.对有些x∈R,使得x2>3 C.任选一个x∈R,使得x2>3 D.至少有一个x∈R,使得x2>3 解析:选C　“∀x∈R,x2>3”是全称量词命题,改写时应使用全称量词. 3.下列命题中,含有存在量词的是 (　 ) A.存在一个平行四边形是矩形 B.所有正方形都是平行四边形 C.一切三角形的内角和都等于180° D.任意两个等边三角形都相似 解析:选A　A选项,存在一个平行四边形是矩形含有存在量词;B、C、D选项,含有全称量词,不含有存在量词. 4.将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题,下列说法正确的是 (　 ) A.∀x,y∈R,都有x2+y2≥2xy B.∃x,y∈R,都有x2+y2≥2xy C.∀x>0,y>0,都有x2+y2≥2xy D.∃x<0,y<0,都有x2+y2≤2xy 解析:选A　因为对于任意实数x,y,不等式x2+y2≥2xy都成立,于是将“x2+y2≥2xy”改写成全称量词命题为“∀x,y∈R,都有x2+y2≥2xy”. 　　　 逐点清(三)　全称量词命题与存在量词命题的真假判断 [典例]　判断下列命题的真假. (1)每一条线段的长度都能用正有理数来表示. (2)至少有一个直角三角形不是等腰三角形. (3)存在一个实数x,使得方程x2+x+8=0成立. (4)∃x∈R,x2-3x+2=0. (5)∀x,y∈Z,(x-y)2=x2-2xy+y2. [解]　(1)是假命题,如边长为1的正方形,对角线长度为,就不能用正有理数表示. (2)是真命题,如有一个内角为30°的直角三角形就不是等腰三角形. (3)是假命题,方程x2+x+8=0的判别式Δ=-31<0,故方程无实数根. (4)是真命题,x=2或x=1都能使x2-3x+2=0成立. (5)是真命题,因为完全平方公式对任意实数都成立,显然对整数成立. 　　|思|维|建|模| 判断全称量词命题、存在量词命题真假的思路 　　[针对训练] 1.(多选)下列命题,是存在量词命题且为真命题的是 (　 ) A.中国所有的江河都流入太平洋 B.有的四边形既是矩形,又是菱形 C.存在x∈R,有x2+x+1=0 D.有的数比它的倒数小 解析:选BD　对选项A,“中国所有的江河都流入太平洋”是全称量词命题,排除;对选项B,“有的四边形既是矩形,又是菱形”是存在量词命题且为真命题,比如正方形,正确;对选项C,“存在x∈R,有x2+x+1=0”是存在量词命题且为假命题,因为x2+x+1=+>0恒成立,排除;对选项D,“有的数比它的倒数小”是存在量词命题且为真命题,比如,正确. 2.(多选)下列命题为真命题的是 (　 ) A.任意两个等边三角形都相似 B.所有的素数都是奇数 C.∀x∈R,x+|x|≥0 D.∃x∈Z,<-x+1 解析:选ACD　对于A,因为所有的等边三角形的每个内角都为60°,因此任意两个等边三角形都相似,A正确;对于B,2是素数,而2是偶数,即“所有的素数都是奇数”是假命题,B错误;对于C,因为∀x∈R,|x|≥-x,即x+|x|≥0,C正确;对于D，当x＝－1时，＝1，－x＋1＝2，故满足＜－x＋1，是真命题，D正确． [课时检测] 1.下列命题是存在量词命题的是 (　 ) A.任何一个实数乘以0都等于0 B.任意一个负数都比0小 C.每一个正方形都是矩形 D.一定存在没有最大值的二次函数 答案:D 2.(多选)下列全称量词命题是真命题的为 (　 ) A.对于任意实数x,都有x+2>x B.对任意的实数a,b,都有若|a|>|b|,则a2>b2成立 C.二次函数y=x2-ax-1与x轴恒有交点 D.∀x∈R,y∈R,都有x2+|y|>0　 答案:ABC 3.(多选)下列结论错误的是 (　 ) A.∀n∈N+,2n2+5n+2能被2整除是真命题 B.∀n∈N+,2n2+5n+2不能被2整除是真命题 C.∃n∈N+,2n2+5n+2不能被2整除是真命题 D.∃n∈N+,2n2+5n+2能被2整除是假命题 解析:选ABD　当n=1时,2n2+5n+2不能被2整除,当n=2时,2n2+5n+2能被2整除,所以A、B、D错误,C正确. 4.(多选)下列命题是假命题的是 (　 ) A.存在x∈Z,1<4x<3 B.存在x∈Z,5x+1=0 C.任意x∈R,x2-1=0 D.任意x∈R,x2+x+2>0 解析:选ABC　选项A中,<x<且x∈Z,不成立;选项B中,x=-,与x∈Z矛盾;选项C中,x≠±1时,x2-1≠0;选项D正确. 5.(多选)下列命题中,既是存在量词命题又是真命题的有 (　 ) A.至少有一个实数x,使x3+1=0 B.有些实数a,b能使|a-b|=|a|+|b| C.∃x∈R,使x2-x+≤0 D.∃x∈R,使x2+2x+2=0 解析:选ABC　A.”至少”是存在量词,对于方程x3+1=0,存在x=-1,故正确;B.“有些”是存在量词,且是真命题;C. “∃”是存在量词,又当x=时,x2-x+≤0成立,故正确;D.x2+2x+2=(x+1)2+1≠0,故错误;故选A、B、C. 6.甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩.根据以上信息,则 (　 ) A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 解析:选D　依题意,四人中有2位优秀,2位良好,由于甲知道乙、丙的成绩,但还是不知道自己的成绩,则乙、丙必有1位优秀,1位良好,甲、丁必有1位优秀,1位良好,因此,乙知道丙的成绩后,必然知道自己的成绩;丁知道甲的成绩后,必然知道自己的成绩,因此选D. 7.有四张卡片,它们的一面为数字,另一面写着英文字母.现在它们平放在桌面上,只能看到向上面的情况如图.对于命题p:所有大写字母的背面都写着奇数,要验证p的真假,至少要翻开的是 (　 ) A.①④ B.①② C.①③ D.①③④ 解析:选A　根据命题p:所有大写字母的背面都写着奇数,因为①的向上面为大写字母,④的背面可能是大写字母,所以要验证p的真假,至少要翻开的是①④. 8.下列命题是全称量词命题且是真命题的是 (　 ) A.∀x∈R,2x+1>0 B.若2x为偶数 ,则∀x∈N C.所有菱形的四条边都相等 D.π是无理数 解析:选C　对于A,是全称量词命题,但不是真命题,故A不正确;对于B,是假命题,也不是全称量词命题,故B不正确;对于C,是全称量词命题,也是真命题,故C正确;对于D,是真命题,但不是全称量词命题,故D不正确.故选C. 9.(5分)下列命题中,　　　　是全称量词命题;　　　　是存在量词命题.(填序号)  ①正方形的四条边相等; ②有两个内角是45°的三角形是等腰直角三角形; ③正数的平方根不等于0; ④至少有一个正整数是偶数. 解析:①②③是全称量词命题,④是存在量词命题. 答案:①②③　④ 10.(5分)关于x的方程x2+ax+b=0,给出下列结论: ①x=1是该方程的根;②x=3是该方程的根;③该方程两根之和为2;④该方程两根异号.以上四个结论有且仅有一个结论是错误的,则2a+3b=　　　　.  解析:若②是假命题,则其余三个是真命题,则x1=1,x2=1,两根不异号,不符合.若③是假命题,则其余三个是真命题,则两根不异号,不符合.若④是假命题,则其余三个是真命题,则两根和不为2,不符合.若①是假命题,则其余三个是真命题,则x1=3,x2=-1,符合.此时a=-2,b=-3,所以2a+3b=-13. 答案:-13 11.(10分)用量词符号“∀”“∃”表述下列命题,并判断真假. (1)所有实数x都能使x2+x+>0成立;(2分) (2)对所有实数a,b,方程ax+b=0恰有一个解;(2分) (3)一定有整数x,y,使得3x-2y=10成立;(3分) (4)所有的有理数x都能使x2+x+1是有理数.(3分) 解:(1)∀x∈R,x2+x+>0;真命题. (2)∀a,b∈R,ax+b=0恰有一解;假命题. 如当a=0,b=0时,该方程的解有无数个. (3)∃x,y∈Z,3x-2y=10;真命题. (4)∀x∈Q,x2+x+1是有理数;真命题. 12.(10分)指出下列命题中,哪些是全称量词命题,哪些是存在量词命题,并判断其真假. (1)存在一个实数,它的绝对值不是正数;(3分) (2)对任意实数a,b,若a<b,都有a2<b2; (3分) (3)存在一个实数x,使得x2+2x+3=0. (4分) 解:(2)是全称量词命题,(1)(3)是存在量词命题. (1)存在一个实数零,它的绝对值不是正数,所以该命题是真命题. (2)存在a=-5,b=-3,a<b,但(-5)2>(-3)2,所以该命题是假命题. (3)由于x∈R,则x2+2x+3=(x+1)2+2≥2,因此使得x2+2x+3=0的实数x不存在,所以该命题是假命题. 13.(10分)命题“=”是全称量词命题吗?如果是全称量词命题,请给予证明;如果不是全称量词命题,请补充必要的条件,使之成为全称量词命题. 解:不是全称量词命题,增加条件“对∀a,b∈R,且满足1+b>0,a+b≥0”,得到的命题是全称量词命题. 学科网（北京）股份有限公司 $$