1.1.2 集合的基本关系 （Word教参）-【新课程学案】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教B版）

1.1.2　集合的基本关系 [教学方式:基本概念课逐点理清式教学] [课时目标] 1.理解集合之间包含与相等的含义能从教材实例中抽象出子集、真子集的概念. 2.能识别给定集合的子集、真子集,掌握列举有限集所有集合的方法. 3.会判断集合间的关系,并能用符号和维恩图表示.注意空集在解题中的影响. 逐点清(一)　子集、真子集 [多维理解] 1.子集 概 念 一般地,如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素,那么集合A称为集合B的子集,记作A⊆B(或B⊇A),读作“A包含于B”(或“B包含A”) 图 示 性 质 (1)任意集合A都是它自身的子集,即A⊆A. (2)空集是任意一个集合A的子集,即∅⊆A. (3)传递性:对于集合A,B,C,如果A⊆B,且B⊆C,那么A⊆C |微|点|助|解| (1)“A是B的子集”的含义:集合A中的任何一个元素都是集合B的元素,即有任意x∈A能推出x∈B. (2)A⊆B的理解:不能把“A⊆B”理解为“A是B中部分元素组成的集合”,因为集合A可能是空集,也可能是集合B. (3)特殊情形:如果集合A中存在着不是集合B中的元素,那么集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A. 2.真子集 概 念 一般地,如果集合A是集合B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么集合A称为集合B的真子集,记作A⫋B(或B⫌A),读作“A真包含于B”(或“B真包含A”) 图 示 性 质 (1)任意集合A都不是它自身的真子集. (2)空集是任意一个非空集合A的真子集,即∅⫋A. (3)传递性:对于集合A,B,C,如果A⫋B,B⫋C,则A⫋C |微|点|助|解| (1)理解真子集的概念时,需明确:A⫋B,首先要满足A⊆B,只要满足至少有一个元素x∈B且x∉A.如集合A={1,2},B={1,2,3,4},则A⊆B,且集合B中有两个元素不属于集合A,即3∉A,4∉A,满足至少有一个元素不属于集合A,故A⫋B. (2)若A⊆B,且A≠B,则A⫋B. [微点练明] 1.判断正误(正确的画“√”,错误的画“×”) (1)若a∈A,则{a}⊆A. (　 ) (2)如果集合B⊆A,那么若元素a不属于A,则必不属于B. (　 ) 答案:(1)√　(2)√ 2.已知A={x|x是正数},B={x|x是正整数},C={x|x是实数},那么A,B,C之间的关系是 (　 ) A.A⊆B⊆C　　　　 B.B⊆A⊆C C.C⊆A⊆B D.A=B⊆C 解析:选B　集合A,B,C的关系如图所示. 3.已知集合A=(-1,2),B=(0,1),则 (　 ) A.B∈A B.A⊆B C.B⊆A D.A=B 解析:选C　在数轴上标出集合AB,可得∴B⊆A. 4.(多选)已知集合A={1,2,3},Y={x|x⊆A},则下列结论正确的是 (　 ) A.{1}⊆Y B.A∈Y C.∅⫋Y D.{∅}⫋Y 解析:选BCD　由题意知,Y={∅,{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}},所以{1}∈Y,故A错误,易知B、C、D正确. 5.集合M=与N= 之间的关系是 (　 ) A.M⊆N B.N⊆M C.M=N D.M,N中没有共同的元素 解析:选A　集合M=,N=,因为k∈Z表示所有的整数,2k±1表示所有的奇数,所以M⊆N. 6.用适当的符号(⊆,⊇,∈,∉)填空: (1)(1,3)　　　　{(x,y)|y=2x+1};  (2)2　　　　{m|m=2(n-1),n∈Z};  (3)N+　　　　N;(4)R　　　　Q.  解析:(1)当x=1时,y=2×1+1=3,故(1,3)∈{(x,y)|y=2x+1}.(2)当n=2∈Z时,m=2×(2-1)=2,故2∈{m|m=2(n-1),n∈Z}.(3)因为N+为正整数集,N为自然数集,所以N+⊆N.(4)因为R为实数集,Q为有理数集,所以R⊇Q. 答案:(1)∈　(2)∈　(3)⊆　(4)⊇ 逐点清(二)　集合相等与子集的个数 [多维理解] 1.集合相等的概念 概 念 一般地,如果集合A和集合B的元素完全相同,则称集合A与集合B相等,记作A=B,读作“A等于B” 图 示 性 质 (1)如果A⊆B且B⊆A,则A=B. (2)如果A=B,则A⊆B且B⊆A. (3)如果A=B且B=C,则A=C 2.子集个数与元素个数的关系 设有限集合A有n(n∈N+)个元素,则其子集的个数是2n,真子集的个数是2n-1,非空子集的个数是2n-1,非空真子集的个数是2n-2. [微点练明] 1.已知集合A={0,1,a2},B={1,0,2a+3},若A=B,则a等于 (　 ) A.-1或3 B.0或1 C.3 D.-1 解析:选C　由A=B有a2=2a+3,则a=-1或a=3.当a=-1时,A={0,1,1},与集合中元素的互异性矛盾,所以舍去;当a=3时,A={0,1,9}=B,满足条件,故选C. 2.已知集合M=,则M的非空子集的个数是 (　 ) A.15 B.16 C.7 D.8 解析:选C　因为M={1,2,3},所以M的非空子集为{1},{2},{3},{1,2},{1,3},{2,3},{1,2,3}共7个,故选C. 3.若集合A={1,2},B={0,1,2,3,4},则满足A⊆M⊆B的集合M的个数为 (　 ) A.3 B.4 C.7 D.8 解析:选D　满足A⊆M⊆B的集合M有{1,2},{0,1,2},{1,2,3},{1,2,4},{0,1,2,3},{0,1,2,4},{1,2,3,4},{0,1,2,3,4},共8个. 4.集合A={-2,-1,1},B={4,6,8},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B,x∈B},则集合M的真子集的个数是 (　 ) A.1 B.3 C.4 D.7 解析:选B　由题意,集合A={-2,-1,1},B={4,6,8},则M={x|x=a+b,a∈A,b∈B,x∈B}={4,6},所以集合M的真子集的个数为22-1=3个,故选B. 逐点清(三)　根据集合的基本关系求参数的范围 [典例]　已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⫋A,求实数m的取值范围. [解]　当B≠∅时,如图所示. ∴或 解这两个不等式组,得2≤m≤3. 当B=∅时,由m+1>2m-1,得m<2. 综上可得,m的取值范围是{m|m≤3}. 　　[变式拓展] 1.若本例条件“A={x|-2≤x≤5}”改为“A={x|-2<x<5}”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解:当B=∅时,由m+1>2m-1,得m<2. 当B≠∅时,如图所示. ∴解得即2≤m<3, 综上可得,m的取值范围是(-∞,3). 2.若本例条件“A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1}”改为“A={x|x<-2或x>5},B={x|x<m+1或x>2m-1}”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解:如图所示, 要使B⫋A,则或无解,∴m的取值范围为∅. 3.若本例条件“B⫋A”改为“A⊆B”,其他条件不变,求实数m的取值范围. 解:当A⊆B时,如图所示,此时B≠∅. ∴即∴m不存在. 即不存在实数m使A⊆B. 4.本例条件不变,是否存在实数m,使得A=B?若存在,求出m的值;若不存在,请说明理由. 解:假设存在满足题意的实数m.若A=B, 则必有m+1=-2且2m-1=5,此时无解,即不存在使得A=B的实数m. |思|维|建|模| 已知集合的基本关系求参数问题的解题策略 (1)若已知集合是有限集,求解时,一般根据对应关系直接列方程. (2)若已知集合是无限集,求解时,通常借助数轴,利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来,以形定数,还要注意验证端点值,做到准确无误.一般含“=”用实心圆点表示,不含“=”用空心圆圈表示. (3)此类问题还要注意是否存在空集的情况,因为空集是任何集合的子集. 　　[针对训练] (2023·新课标Ⅱ卷)设集合A={0,-a},B={1,a-2,2a-2},若A⊆B,则a= (　 ) A.2 B.1 C. D.-1 解析:选B　依题意有a-2=0或2a-2=0.当a-2=0时,解得a=2,此时A={0,-2},B={1,0,2},不满足A⊆B;当2a-2=0时,解得a=1,此时A={0,-1},B={-1,0,1},满足A⊆B.所以a=1,故选B. [课时检测] 1.已知集合A={y|y=|x|-1,x∈R},B={x|x≥2},则下列结论正确的是 (　 ) A.-3∈A B.3∉B C.B⊆A D.A⊆B 解析:选C　集合A={y|y≥-1},B={x|x≥2},所以B⊆A. 2.集合M={x∈N|-2<x≤3}的真子集个数为 (　 ) A.7 B.8 C.15 D.16 解析:选C　集合M中共有0,1,2,3四个元素,真子集的个数是24-1=15. 3.若x,y∈R,A={(x,y)|y=x},B=,则集合A,B间的关系为 (　 ) A.A⫋B B.B⫋A C.A=B D.A⊆B 解析:选B　∵B=={(x,y)|y=x,x≠0},∴B⫋A. 4.(多选)下列关系中正确的是 (　 ) A.0∈∅ B.∅∈{∅} C.∅⊆{∅} D.∅⊆{0} 解析:选BCD　空集中没有元素,故A错误;{∅}中只有一个元素∅,故B正确;空集是任意集合的子集,故C、D正确. 5.能正确表示集合M={x∈R|0≤x≤2}和集合N={x∈R|x2-x=0}关系的维恩图是 (　 ) 解析:选B　由x2-x=0,得x=1或x=0,故N={0,1},易得N⫋M,其对应的维恩图如选项B所示. 6.(多选)已知A⊆B,A⊆C,B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},则A可以是 (　 ) A.{1,8} B.{2,3} C.{1} D.{2} 解析:选AC　∵A⊆B,A⊆C,∴A中的元素应为B和C的共同元素.∵B={2,0,1,8},C={1,9,3,8},∴B和C的共同元素为1和8.∴A⊆{1,8}.结合选项知,A、C选项满足题意,故选A、C. 7.已知集合A={x|x=3k,k∈Z},B={x|x=6k,k∈Z},则A与B之间最适合的关系是 (　 ) A.A⊆B B.B⊆A C.A⫋B D.B⫋A 解析:选D　集合A是能被3整除的整数组成的集合,集合B是能被6整除的整数组成的集合,能被6整除的数一定能被3整除,所以B⫋A. 8.设A={x|2<x<3},B={x|x<m},若A⊆B,则m的取值范围是 (　 ) A.(3,+∞) B.[3,+∞) C.(-∞,3) D.(-∞,3] 解析:选B　因为A={x|2<x<3},B={x|x<m},A⊆B,将集合A,B表示在数轴上,如图所示,所以m≥3. 9.已知非空集合M满足对任意x∈M,总有x2∉M,且∉M.若M⊆{0,1,2,3,4,5},则满足条件的M的个数是 (　 ) A.11 B.12 C.15 D.16 解析:选A　当M中有元素0时,02=0∈M,=0∈M.当M中有元素1时,12=1∈M,=1∈M,所以0∉M,1∉M,所以集合M是集合{2,3,4,5}的非空子集,且去掉元素2,4同时出现的集合,故满足题意的集合M有{2},{3},{4},{5},{2,3},{2,5},{3,4},{3,5},{4,5},{2,3,5},{3,4,5}共11个. 10.(多选)下列命题正确的是 (　 ) A.集合{a,b}的真子集是{a},{b} B.{x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形} C.设a,b∈R,A={1,a},B={-1,b},若A=B,则a-b=-2 D.∅∈{x|x2+1=0,x∈R} 解析:选BC　对于A,集合{a,b}的真子集是{a},{b},∅,故A不正确; 对于B,因为菱形一定是平行四边形,所以{x|x是菱形}⊆{x|x是平行四边形},故B正确;对于C,由A=B及集合元素的互异性得a=-1,b=1,故a-b=-2,故C正确.对于D,因为x是实数,所以x2+1=0无解,所以{x|x2+1=0,x∈R}=∅,故D不正确. 11.(5分)已知集合A={x|(a-1)x2+3x-2=0}有且仅有两个子集,则a的取值为　　　　.  解析:由集合有两个子集可知,该集合是单元素集,当a=1时,满足题意.当a≠1时,由Δ=9+8(a-1)=0,可得a=-. 答案:1或- 12.(5分)若集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4},则集合M=　　　　.(写出一个集合M即可)  解析:因为集合M满足{1,2}⊆M⊆{1,2,3,4}, 所以M={1,2}或{1,2,3}或{1,2,4}或{1,2,3,4}. 答案:{1,2}(答案不唯一) 13.(5分)设A=[2,5],B=[2a,a+3],若B⊆A,则实数a的取值范围为　　　　.  解析:在数轴上标出区间A,B,如图所示. 即若满足关系有解得1≤a≤2. 故a的取值范围为[1,2]. 答案:[1,2] 14.(10分)已知集合A={1,2,3}. (1)若M是A的子集,且至少含有元素3,写出满足条件的所有集合M;(3分) (2)若B={x|ax-3=0},且B⊆A,求实数a的取值集合.(7分) 解:(1)∵M⊆A,3∈M,∴集合M可能为{3},{1,3},{2,3},{1,2,3}. (2)当a=0时,B=∅,满足B⊆A; 当a≠0时,B=; 若B⊆A,则=1或=2或=3, 解得a=3或a=或a=1. 综上所述,实数a的取值集合为. 15.(10分)若集合A={x|ax2+2x+1=0,x∈R}至多有一个真子集,求a的取值范围. 解:①当A无真子集时,即A=∅时, 则方程ax2+2x+1=0无实根, 所以解得a>1. ②当A只有一个真子集时,即A为单元素集,这时有两种情况: 当a=0时,方程化为2x+1=0, 解得x=-,符合题意; 当a≠0时,由Δ=4-4a=0,解得a=1,符合题意. 综上,当集合A至多有一个真子集时,a的取值范围是{a|a=0或a≥1}. 学科网（北京）股份有限公司 $$