1.1.1-1.1.2集合的概念及集合间的基本关系教案-2023-2024学年高一上学期数学人教B版（2019）必修第一册

授课主题 集合概念及表示方法、集合之间的关系 教学目标 1、 了解集合的概念和基本性质； 2、 集合的三种表示方法，它们之间的区分优缺点。 3、 理解集合之间的包含与相等的含义,能识别给定集合的子集； 4、 在具体情境中,了解全集与空集的含义. 教学重难点 集合的基本性质、集合之间的关系，子集、真子集、全集、非空真子集、空集的理解 教学内容 集合概念及表示方法、集合之间的关系 【知识梳理】 知识点1:集合的概念 集合：一般的，我们把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合，通常用大写字母表示。 元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母表示。 学习这个概念应注意以下两点： （1） 集合是一个“整体”.（2）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同的”. 知识点2:集合中的元素及元素与集合的关系 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）. 集合常用英语大写字母A，B，C，表示，它们的元素常用英语小写字母a,b，c,表示. 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A a不属于A 元素与集合的关系如下： 性质 特征 确定性 对于一个给定的集合，任何一个对象或是这个集合的元素或不是这个集合的元素，两者必居其一.也就是说，某个对象是不是该集合中的元素，必须有一个明确的判断标准，这是集合最基本的特征 互异性 集合中元素的互异性是说对任意一个集合而言，在这一集合中表示出来的元素都是互不相同的个体，无论是从其表现形式来看，还是从其本质特征来看，都是强调不同的元素只能出现一次，相同的对象归入任何一个集合时，都只能算作是这个集合的一个元素 无序性 集合中的元素是没有顺序的.这个性质主要是从集合表示方法的角度来强调的.如｛1,2｝，｛2,1｝都可以表示“方程（x-1）（x-2）=0的解集”，就是说｛1,2｝，｛2,1｝表示同一个集合 知识点3:集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特点. 知识点4:集合的分类 集合可根据它含有的元素的个数分为两类： 有限集：含有有限个元素的集合. 无限集：含有无限个元素的集合. 特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 知识点5:常用的数集及其记法 数集 定义 记法 自然数集 非负整数全体构成的集合 正整数集 在自然数集内排除0的集合 整数集 整数全体构成的集合 有理数集 有理数全体构成的集合 实数集 实数全体构成的集合 集合的表示方法： 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。 韦恩图 【典型例题】 考点一：集合的概念 【例1】下列每组对象能否构成一个集合？ （1） 中华人民共和国的所有公民； （2） 2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员； （3） 所有很大的实数； （4） 不超过20的非负数； （5） 方程在实数范围内的解； （6） 平面直角坐标系内第一象限的一些点. 【变式训练1】下列条件能形成集合的是( ) A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人 C.中国的富翁 D.某公司的全体员工 【例2】由实数x，-x，所组成的集合中，最多含有元素的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【例3】判断下列集合时有限集、无限集还是空集. (1) 平面直角坐标系内在第二象限内的点所构成的集合； (2) 中国的四个直辖市构成的集合； (3) 只有元素“0”的集合； (4) 由15的所有正约数构成的集合； (5) 方程的实数解构成的集合. 【变式训练】已知集合A中的元素x∈R且满足条件ax2+x+2＝0，若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围． 考点二：元素和集合之间的关系 【例5】下列结论中，不正确的是( ) A.若a∈N，则-aN B.若a∈Z，则a2∈Z C.若a∈Q，则｜a｜∈Q D.若a∈R，则 【变式训练1】:判断下面说法是否正确、正确的在( )内填“√”，错误的填“×” (1)所有在N中的元素都在N*中（ ） (2)所有在N中的元素都在Ｚ中( ) (3)所有不在N*中的数都不在Z中（ ） (4)所有不在Q中的实数都在R中（ ） (5)由既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0（ ） (6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立（ ） 【变式训练2】下列元素与集合的关系表示正确的是（　　） ①0∈N*； ②∉Z； ③∈Q； ④π∈Q A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【变式训练2】已知集合A＝{x∈R|ax2+2x+1＝0}，其中a∈R．若1是集合A中的一个元素，则集合A＝（　　） A．{﹣3} B．{1} C．{，1} D．{，1} 考点三：集合元素的性质 【例6】已知A＝{a﹣2，2a2+5a，12}且﹣3∈A，则由a的值构成的集合是（　　） A． B．{﹣1，} C．{﹣1} D．{} 【变式训练】若﹣1∈{2，a2﹣a﹣1，a2+1}，则a＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．0 或1 【例7】已知集合M＝{m|m＝2k，k∈Z}，P＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，Q＝{y|y＝4k+1，k∈Z}，若x∈P，y∈Q，则x+y　 　M．（用“∈”或“∉”填空） 【变式训练】已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 考点四;集合的表示方法 【例8】：用列举法表示下列集合: （1）大于2且小于10的偶数组成的集合； （2）满足2x一7＜0的正整数解组成的集合； （3）方程（x﹣1）（x+2）2＝0的解组成的集合； （4）二元方程x+y＝6（x∈N*，y∈N）的解组成的集合． 【变式训练1】用列举法表示下列集合: （1）大于0小于6的整数的全体； （2）自然数中3的公倍数的集合； （3）方程2x﹣1＝0的解集； （4）方程x2+x﹣2＝0的解集． 【例9】用描述法分别表示下列集合: (1)数轴上离开原点的距离大于3的点的集合　 　； （2）平面直角坐标系中第二、四象限点的集合　 　． 【变式训练2】用描述法表示下列集合: （1）大于﹣4且小于8的所有整数组成的集合； （2）绝对值小于4的所有实数组成的集合； （3）y轴上的所有点组成的集合． （4）被3除余2的自然数组成的集合； （5）大于﹣3且小于9的所有整数组成的集合． 【知识梳理】 一、问题1 我们知道实数有大、小或相等的关系,哪么集合间是不是也有类似的关系呢？ 1. 2.设集合Ａ为高一(２)班全体女生组成的集合,集合Ｂ为这个班全体学生组成的集合. 3.设. 4.. 观察上面的例子,指出给定两个集合中的元素有什么关系？ 对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系则称集合A为集合B的子集. 记作 （或 ），读作：“A含于B”（或“B包含A”） 其中：“A含于B”中的于是被的意思，简单地说就是A被B包含.“”类似于“”开口朝向谁谁就“大”. 在数学中，除了用列举法、描述法来表示集合之外，我们还有一种更简洁、直观的方法——用平面上的封闭曲线的内部来表示集合venn（韦恩）图.那么，集合A是集合B的子集用图形表示如下： B A 问题2 ① ② ③ ④ 上面的各对集合中，有没有包含关系？ 思考:上述各组集合中，集合A是集合B的子集吗？集合B是集合A的子集吗？ 1、对于实数,如果且，则 与的大小关系如何？ 2、用子集的观点，仿照上面的结论在什么条件下A=B 问题3 若，则集合A与B一定相等吗？ 若，则可能有A=B，也可能.当 ，且时，我们如何进行数学解释？ 问题4:（1） （2） 上述两个集合有何共同特点？ 不含任何元素的集合叫做空集，记为，规定：空集是任何集合的子集 空集与集合{0}相等吗？ 通过前面的学习我们可以知道： 1）空集是任何非空集合的真子集 2） 任何集合是它本身的 子集 3） 对于集合A，B，C，如果，且，那么 【典型例题】 考点一：集合之间的关系 【例1】集合{a，b，c}的所有子集是　 　真子集是　 　；非空真子集是　 　． 【变式训练1】若集合M＝{﹣1，0，1}，则集合M的所有非空真子集的个数是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【例2】指出下列各题中集合之间的关系： （1）集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}与集合B＝{x|x＝4k，k∈Z}； （2）集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}与集合B＝{x|x＝4k+3，k∈Z}． 【例3】已知含有三个元素的集合＝{a2，a+b，0}，求a2009+b2010的值． 【变式训练1】．已知集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|ax+2＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（　　） A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，0，2} 【变式训练2】已知A＝{0，2，3，4，5，7}，B＝{1，2，3，4，6}，C＝{x|x∈A，x∉B}，则C的真子集个数为（　　） A．2 B．3 C．7 D．8 【变式训练3】设集合M＝{﹣1，1}，N＝{x|x2﹣x＜6}，则下列结论正确的是（　　） A．N⊆M B．N∩M＝∅ C．M⊆N D．M∩N＝R 【变式训练4】集合A＝{x|x∈N，0＜x＜4}的子集个数为 （　　） A．8 B．7 C．4 D．3 【方法总结】有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，2n-1个非空子集，n个元素的非空真子集有2n－2个。 【例4】已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2﹣x＝0}关系的韦恩（Venn）图是（　　） A． B． C． D． 【变式训练1】下列正确表示集合M＝{﹣1，0，1}和N＝{x|x2+x＝0}关系的Venn图是（　　） A．B．C．D． 【变式训练2】已知全集U＝R，集合M＝{x|﹣2≤x﹣1≤2}和N＝{x|x＝2k﹣1，k＝1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个 考点二：利用集合的相等求参数 【例1】已知集合A＝{a，a+b，a+2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求实数c的值． 考点三:根据集合的包含关系求参数 【例1】已知集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}，且B⊆A，求实数m的取值范围． 【变式训练1】已知集合A＝{x|﹣4≤x+1≤4}，B＝{x|2m+1≤x≤m﹣1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 【变式训练2】已知A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}． （1）若B⊆A，求实数a的取值范围； （2）若A⊆B，求实数a的取值范围． 【例2】设A＝{x|x2﹣5x+6＝0}，B＝{x|ax﹣12＝0}，若B⊆A，求实数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集． 【变式训练】已知集合M＝{x|x2+2x﹣a＝0}． （1）若∅⊊M，求实数a的取值范围； （2）若N＝{x|x2+x＝0}，且M⊆N，求实数a的取值范围． 考点四：多选 1、下列四个关系中错误的是（　　） A．1⊆{1，2，3} B．{1}∈{1，2，3} C．{1，2，3}⊆{1，2，3} D．空集∅⊆{1} 2．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝（0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（　　） A．A∩B＝{0，1} B．∁UB＝{4} C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8 随堂练习 （集合的概念） 一、选择题 1.已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是(　 　) A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A 2.下列四个集合中，不同于另外三个的是( 　　) A．{y|y＝2} B．{x＝2} C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0} 3.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为( 　) A.{1,1} B.{1} C.{x＝1} D.{x2－2x＋1＝0} 4.已知集合A＝{x∈N＋|－≤x≤}，则必有 ( 　　) A. －1∈A B.0∈A C. ∈A D.1∈A 5.集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为 ( 　　) A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 小于等于1 6.已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为 ( 　　) A. 2 B. 2或4 C. 4  D. 0 7．下列各组对象 ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O的距离等于1的点的全体； ④正三角形的全体； ⑤的近似值的全体． 其中能构成集合的组数有( ) A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 8．设集合M＝{大于0小于1的有理数}， N＝{小于1050的正整数}， P＝{定圆C的内接三角形}， Q＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是( ) A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q 9．下列命题中正确的是( ) A．{x｜x2＋2＝0}在实数范围内无意义 B．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合 C．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D．{4，5}与{5，4}表示不同的集合 10．直角坐标平面内，集合M＝{(x，y)｜xy≥0，x ∈R，y ∈R}的元素所对应的点是( ) A．第一象限内的点 B．第三象限内的点 C．第一或第三象限内的点 D．非第二、第四象限内的点 11．已知M＝{m｜m＝2k，k ∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k ∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，K ∈Z}，则( ) A．x＋y ∈M B．x＋y ∈X C．x＋y ∈Y D．x＋y M 12．下列各选项中的M与P表示同一个集合的是( ) A．M＝{x∈R｜x2＋0.01＝0}，P＝{x｜x2＝0} B．M＝{(x，y)｜y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1，x∈R} C．M＝{y｜y＝t2＋1，t∈R}，P＝{t｜t＝(y－1)2＋1，y∈R} D．M＝{x｜x＝2k，k∈Z}，P＝{x｜x＝4k＋2，k∈Z} 二、解答题 13、(10分)已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}． (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来． 14．已知集合A＝{1，x，x2－x}，B＝{1,2，x}，若集合A与集合B相等，求x 的值． 15．实数集A满足条件：1A，若a∈A，则． (1)若2∈A，求A； (2)集合A能否为单元素集？若能，求出A；若不能，说明理由； (3)求证：． 16．已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R ①若A是空集，求a的范围； ②若A中只有一个元素，求a的值； ③若A中至多只有一个元素，求a的范围． （集合之间的关系） 一、选择题 1、下列集合中，只有一个子集的集合为（　　） A．{x|x2≤0} B．{x|x3≤0} C．{x|x2＜0} D．{x|x3＜0} 2、满足条件{a}⊈M⊆{a，b，c，d}的所有不同集合M的个数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 3．已知M＝{x∈R|x≥2}，a＝π，给定下列关系：①a∈M；②{a}⊊M；③a⊊M；④{a}∈M．其中正确的是（　　） A．①② B．④ C．③ D．①②④ 4．设集合M＝{x|x＝+，k∈Z}，N＝{x|x＝+，k∈Z}，则（　　） A．M＝N B．M⊊N C．N⊊M D．M与N关系不确定 二、填空题 5．设集合M＝{x|﹣1≤x＜2}，N＝{x|x﹣k≤0}，若M∩N＝∅，则k的取值范围是　 　． 6．已知A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{x|4x+a＜0}，当B⊆A时，实数a的取值范围为　 　． 7．如果集合A中有n个元素，则集合A有　 个子集，有　 　个真子集，有　 　个非空真子集． 8．设A＝{（x，y）|x+y＝3，（x，y∈N）}，则A的所有子集有　　个、真子集有　　个、非空子集有　　个、非空真子集有　　个． 9．已知集合，，则A　　B． 10．已知集合A＝{x|0＜x﹣a≤5}，B＝{x|＜x≤6} （1）若A⊆B，求a的取值范围． （2）若B⊆A，求实数a的取值范围． （3）集合A与B能否相等？若能，求出a的值，若不能，请说明理由． 11.已知A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＝1}，若BA，求实数m所构成的集合M，并写出M的所有子集． 12.已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{y|y＝2x－a，a∈R，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}，是否存在实数a，使C⊆B？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由． 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 授课主题 集合概念及表示方法、集合之间的关系 教学目标 1、 了解集合的概念和基本性质； 2、 集合的三种表示方法，它们之间的区分优缺点。 3、 理解集合之间的包含与相等的含义,能识别给定集合的子集； 4、 在具体情境中,了解全集与空集的含义. 教学重难点 集合的基本性质、集合之间的关系，子集、真子集、全集、非空真子集、空集的理解 教学内容 集合概念及表示方法、集合之间的关系 【知识梳理】 知识点1:集合的概念 集合：一般的，我们把一些能够确定的不同的对象看成一个整体，就说这个整体是由这些对象的全体构成的集合，通常用大写字母表示。 元素：构成集合的每个对象叫做这个集合的元素，通常用小写字母表示。 学习这个概念应注意以下两点： （1） 集合是一个“整体”.（2）构成集合的对象必须是“确定的”且“不同的”. 知识点2:集合中的元素及元素与集合的关系 构成集合的每个对象叫做这个集合的元素（或成员）. 集合常用英语大写字母A，B，C，表示，它们的元素常用英语小写字母a,b，c,表示. 元素与集合的关系如下： 关系 概念 记法 读法 元素与集合的关系 属于 如果a是集合A的元素，就说a属于A a属于A 不属于 如果a不是集合A的元素，就说a不属于A a不属于A 知识点3:集合中元素的性质 集合中的元素具有确定性、互异性、无序性三个特点. 性质 特征 确定性 对于一个给定的集合，任何一个对象或是这个集合的元素或不是这个集合的元素，两者必居其一.也就是说，某个对象是不是该集合中的元素，必须有一个明确的判断标准，这是集合最基本的特征 互异性 集合中元素的互异性是说对任意一个集合而言，在这一集合中表示出来的元素都是互不相同的个体，无论是从其表现形式来看，还是从其本质特征来看，都是强调不同的元素只能出现一次，相同的对象归入任何一个集合时，都只能算作是这个集合的一个元素 无序性 集合中的元素是没有顺序的.这个性质主要是从集合表示方法的角度来强调的.如｛1,2｝，｛2,1｝都可以表示“方程（x-1）（x-2）=0的解集”，就是说｛1,2｝，｛2,1｝表示同一个集合 知识点4:集合的分类 集合可根据它含有的元素的个数分为两类： 有限集：含有有限个元素的集合. 无限集：含有无限个元素的集合. 特别地，我们把不含有任何元素的集合叫做空集，记作. 知识点5:常用的数集及其记法 数集 定义 记法 自然数集 非负整数全体构成的集合 正整数集 在自然数集内排除0的集合 整数集 整数全体构成的集合 有理数集 有理数全体构成的集合 实数集 实数全体构成的集合 集合的表示方法： 列举法：把集合的元素一一列举出来，并用花括号“”括起来表示集合的方法叫做列举法。 描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法。 韦恩图 【典型例题】 考点一：集合的概念 【例1】下列每组对象能否构成一个集合？ （1） 中华人民共和国的所有公民；能 （2） 2012年伦敦奥运会的所有参赛运动员；能 （3） 所有很大的实数；不能 （4） 不超过20的非负数；能 （5） 方程在实数范围内的解；能 （6） 平面直角坐标系内第一象限的一些点. 不能 【总结】集合的概念 【变式训练1】下列条件能形成集合的是( ) A.充分小的负数全体 B.爱好足球的人 C.中国的富翁 D.某公司的全体员工 【答案】D 【例2】由实数x，-x，所组成的集合中，最多含有元素的个数为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】A 【总结】集合的概念 【例3】判断下列集合时有限集、无限集还是空集. (1) 平面直角坐标系内在第二象限内的点所构成的集合；无限集 (2) 中国的四个直辖市构成的集合；有限集 (3) 只有元素“0”的集合；有限集 (4) 由15的所有正约数构成的集合；有限集 (5) 方程的实数解构成的集合.空集 【总结】集合的概念 【变式训练】已知集合A中的元素x∈R且满足条件ax2+x+2＝0，若A中至少有一个元素，求实数a的取值范围． 【解析】若a＝0，则由ax2+x+2＝0解得x＝﹣2； 若a≠0，则△＝1﹣4×2×a≥0， 则a≤； 综上所述，a≤． 考点二：元素和集合之间的关系 【例5】下列结论中，不正确的是( ) A.若a∈N，则-aN B.若a∈Z，则a2∈Z C.若a∈Q，则｜a｜∈Q D.若a∈R，则 【答案】A 【总结】集合中的元素及元素与集合的关系 【变式训练1】判断下面说法是否正确、正确的在( )内填“√”，错误的填“×” (1)所有在N中的元素都在N*中（ ） (2)所有在N中的元素都在Ｚ中( ) (3)所有不在N*中的数都不在Z中（ ） (4)所有不在Q中的实数都在R中（ ） (5)由既在R中又在N*中的数组成的集合中一定包含数0（ ） (6)不在N中的数不能使方程4x＝8成立（ ） 【答案】1-6 × √ × √ × √ 【变式训练2】下列元素与集合的关系表示正确的是（　　） ①0∈N*； ②∉Z； ③∈Q； ④π∈Q A．①② B．②③ C．①③ D．③④ 【解析】①0不是正整数，∴0∈N*错误； ②是无理数，∴正确； ③是有理数，∴正确； ④π是无理数，∴π∈Q错误； ∴表示正确的为②③． 故选：B． 【变式训练2】已知集合A＝{x∈R|ax2+2x+1＝0}，其中a∈R．若1是集合A中的一个元素，则集合A＝（　　） A．{﹣3} B．{1} C．{，1} D．{，1} 【解析】∵1∈A； ∴a+2+1＝0； ∴a＝﹣3； ∴﹣3x2+2x+1＝0； 解得，或1； ∴． 故选：C． 考点三：集合元素的性质 【例6】已知A＝{a﹣2，2a2+5a，12}且﹣3∈A，则由a的值构成的集合是（　　） A． B．{﹣1，﹣} C．{﹣1} D．{﹣} 【解析】∵﹣3∈A，A＝{a﹣2，2a2+5a，12}； ∴或 解得，a＝﹣， 又要求是集合， 故选：D． 【总结】元素与集合的关系 【变式训练】若﹣1∈{2，a2﹣a﹣1，a2+1}，则a＝（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．0 或1 【解析】①若a2﹣a﹣1＝﹣1，则a2﹣a＝0，解得a＝0或a＝1， a＝1时，{2，a2﹣a﹣1，a2+1}＝{2，﹣1，2}，舍去， ∴a＝0； ②若a2+1＝﹣1，则a2＝﹣2，a无实数解； 由①②知：a＝0． 故选：B． 【例7】已知集合M＝{m|m＝2k，k∈Z}，P＝{x|x＝2k+1，k∈Z}，Q＝{y|y＝4k+1，k∈Z}，若x∈P，y∈Q，则x+y　∈　M．（用“∈”或“∉”填空） 【解析】x∈P，y∈Q，所以设x＝2k1+1，k1∈Z，y＝4k2+1，k2∈Z； ∴x+y＝2（k1+2k2+1）； 而k1+2k2+1∈Z； ∴x+y∈M． 故答案为：∈． 【变式训练】已知集合A＝{1，2}，B＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈A}，则集合B中元素个数为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】∵集合A＝{1，2}，B＝{x|x＝a+b，a∈A，b∈A}， ∴B＝{2，3，4}， ∴集合B中元素个数为3． 故选：C． 考点四;集合的表示方法 【例8】用列举法表示下列集合: （1）大于2且小于10的偶数组成的集合； （2）满足2x一7＜0的正整数解组成的集合； （3）方程（x﹣1）（x+2）2＝0的解组成的集合； （4）二元方程x+y＝6（x∈N*，y∈N）的解组成的集合． 【解析】（1）大于2且小于10的偶数组成的集合：列举法表示为：{4，6，8}； （2）满足2x一7＜0的正整数解组成的集合：列举法表示为：{1，2，3}； （3）方程（x﹣1）（x+2）2＝0的解组成的集合：列举法表示为：{﹣2，1}； （4）二元方程x+y＝6（x∈N*，y∈N）的解组成的集：列举法表示为：{（1，5），（2，4），（3，3），（4，2），（5，1），（6，0）}． 【总结】集合的表示方法 【变式训练1】 用列举法表示下列集合: （1）大于0小于6的整数的全体； （2）自然数中3的公倍数的集合； （3）方程2x﹣1＝0的解集； （4）方程x2+x﹣2＝0的解集． 【解析】（1）大于0小于6的整数的全体表示为{1，2，3，4，5}； （2）自然数中3的公倍数的集合表示为{3，6，9，12，……}； （3）方程2x﹣1＝0的解集表示为{}； （4）方程x2+x﹣2＝0的解集表示为{﹣2，1}． 【例9】用描述法分别表示下列集合: （1）数轴上离开原点的距离大于3的点的集合　{A||AO|＞3}；　； （2）平面直角坐标系中第二、四象限点的集合　{（x，y）|xy＜0}　． 【总结】集合的表示方法 【变式训练2】用描述法表示下列集合: （1）大于﹣4且小于8的所有整数组成的集合； （2）绝对值小于4的所有实数组成的集合； （3）y轴上的所有点组成的集合． （4）被3除余2的自然数组成的集合； （5）大于﹣3且小于9的所有整数组成的集合． 【解析】（1）设大于﹣4且小于8的整数为x，满足条件x∈Z，且﹣4＜x＜8， 用描述法表示为： A＝{x∈Z|﹣4＜x＜8}； （2）用x表示绝对值小于4的实数，满足条件|x|＜4， 描述法表示为： B＝{x||x|＜4}； （3）点用（x，y）表示，y轴上的点满足x＝0，y∈R， 描述法表示为： C＝{（x，y）|x＝0，y∈R}． （1）被3除余2的自然数组成的集合为：{x|x＝3k+2，k∈N}． （2）大于﹣3且小于9的所有整数组成的集合为：{x|﹣3＜x＜9，x∈Z}． 【变式训练3】用适当的方法表示下列集合： （1）小于20的素数组成的集合； （2）方程x2﹣4＝0的解的集合； （3）由大于3小于9的实数组成的集合； （4）所有奇数组成的集合． （5）由方程x2﹣9＝0的所有实数根组成的集合； （6）由小于8的所有素数组成的集合； （7）一次所数y＝x+3与y＝﹣2x+6的图象的交点组成的集合； （8）不等式4x﹣5＜3的解集． （9）中国国旗所用颜色的全体所构成的集合； （10）世界上最高的山峰所构成的集合； （11）大于0并且小于20的正偶数的全体所构成的集合； （12）大于0.9并且小于3.9的自然数的全体所构成的集合； （13）被3除余1的整数的全体所构成的集合； （14）15的正因数的全体所构成的集合； （15）绝对值等于2的实数的全体所构成的集合； （16）9的平方根的全体所构成的集合． 【解析】（1）小于20的素数组成的集合，列举法为{2，3，5，7，11，13，17，19}； （2）方程x2﹣4＝0的解的集合．列举法为：{﹣2，2}； （3）由大于3小于9的实数组成的集合．描述法为：{x|3＜x＜9，x∈R}． （4）所有奇数组成的集合．描述法为：{x|x＝2n+1，n∈z} （5）方程x2﹣9＝0的实数根为﹣3，3；∴列举法表示该集合为：{﹣3，3}； （6）小于8的素数为：2，3，5，7；∴列举法表示该集合为：{2，3，5，7}； （7）解得：x＝1，y＝4；∴列举法表示该集合为：{（1，4）}； （8）不等式4x﹣5＜3的解有无数个；∴描述法表示该集合为：{x|4x﹣5＜3}． （9）中国国旗所用颜色的全体所构成的集合用列举法表示为：{红色，黄色}； （10）世界上最高的山峰所构成的集合用列举法表示为：{珠穆朗玛峰}； （11）大于0并且小于20的正偶数的全体所构成的集合用列举法表示为：{2，4，6，8，10，12，14，16，18}； （12）大于0.9并且小于3.9的自然数的全体所构成的集合用列举法表示为：{1，2，3}； （13）被3除余1的整数的全体所构成的集合用描述法表示为：{x|x＝3n+1，n∈N}； （14）15的正因数的全体所构成的集合用列举法表示为：{1，3，5，15}； （15）绝对值等于2的实数的全体所构成的集合用列举法表示为：{2，﹣2}； （16）9的平方根的全体所构成的集合用列举法表示为：{3，﹣3}． ． 声明：试题解析 【知识梳理】 一、问题1 我们知道实数有大、小或相等的关系,哪么集合间是不是也有类似的关系呢？ 1. 2.设集合Ａ为高一(２)班全体女生组成的集合,集合Ｂ为这个班全体学生组成的集合. 3.设. 4.. 观察上面的例子,指出给定两个集合中的元素有什么关系？ 对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系则称集合A为集合B的子集. 记作 （或 ），读作：“A含于B”（或“B包含A”） 其中：“A含于B”中的于是被的意思，简单地说就是A被B包含.“”类似于“”开口朝向谁谁就“大”. 在数学中，除了用列举法、描述法来表示集合之外，我们还有一种更简洁、直观的方法——用平面上的封闭曲线的内部来表示集合venn（韦恩）图.那么，集合A是集合B的子集用图形表示如下： A B 问题2 ① ② ③ ④ 上面的各对集合中，有没有包含关系？ 思考:上述各组集合中，集合A是集合B的子集吗？集合B是集合A的子集吗？ 1、对于实数,如果且，则 与的大小关系如何？ 2、用子集的观点，仿照上面的结论在什么条件下A=B 问题3 若，则集合A与B一定相等吗？ 若，则可能有A=B，也可能.当 ，且时，我们如何进行数学解释？ 如果 ，但存在元素且 ，则 称集合A是集合B的真子集. A B（或B A） A = B A B 问题4:（1） （2） 上述两个集合有何共同特点？ 集合中没有元素 ，我们就把上述集合称为空集 不含任何元素的集合叫做空集，记为，规定：空集是任何集合的子集 空集与集合{0}相等吗？ {0} 空集是任何非空集合的真子集 通过前面的学习我们可以知道： 1） 任何集合是它本身的 子集 2） 对于集合A，B，C，如果，且，那么 【典型例题】 考点一：集合之间的关系 【例1】集合{a，b，c}的所有子集是　∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}　真子集是　除去{a，b，c}外所有子集　；非空真子集是　除去∅及{a，b，c}外的所有子集　． 【解析】集合{a，b，c}的子集有：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}共8个； 集合{a，b，c}的真子集有：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}共7个； 集合{a，b，c}的非空真子集有：{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}共6个； 故答案为：∅，{a}，{b}，{c}，{a，b}，{a，c}，{b，c}，{a，b，c}；除去{a，b，c}外所有子集；除去∅及{a，b，c}外的所有子集． 【总结】子集与真子集的定义，会利用2n﹣2求集合的非空真子集． 【变式训练1】若集合M＝{﹣1，0，1}，则集合M的所有非空真子集的个数是（　　） A．7 B．6 C．5 D．4 【解析】集合M＝{0，1，2}的非空真子集的个数为23﹣2＝6． 故选：B． 【例2】指出下列各题中集合之间的关系： （1）集合A＝{x|x＝2k，k∈Z}与集合B＝{x|x＝4k，k∈Z}； （2）集合A＝{x|x＝2k+1，k∈Z}与集合B＝{x|x＝4k+3，k∈Z}． 【解析】（1）由题意知，A＝{x|x＝2k，k∈Z}，B＝{x|x＝4k，k∈Z}，且x＝4k＝2•2k， ∵x＝2k中，k∈Z，∴k可以取奇数，也可以取偶数； ∴x＝4k中，2k只能是偶数． 故集合A、B的元素都是偶数． 但B中元素是由A中部分元素构成，则有B⊊A． （2）∵B＝{x|x＝4k+3，k∈z}＝{x|x＝2（2k+1）+1，k∈z}，A＝{x|x＝2k+1，k∈z}， ∴x∈B时，x∈A成立， ∴B⊆A． 【总结】集合间的包含关系，但此题是集合中较抽象的题目，要注意其元素的合理寻求共同特点，找出相同点和区别，即对应的范围问题． 【例3】已知含有三个元素的集合＝{a2，a+b，0}，求a2009+b2010的值． 【解析】若两个集合相等，则集合中元素对应相等 又因为a为分母，则a≠0 故，即b＝0 若a＝1，则a2＝1，这与集合元素互异性相矛盾 故a≠1，则a2＝1，a＝﹣1 则a2009+b2010＝（﹣1）2009+02010＝﹣1 【总结】（1）解决该类问题的基本方法为：利用集合中元素的特点，列出方程组求解．但解出后应注意检验，看所得结果是否符合元素的互异性 （2）解决此类问题还可以根据两集合中元素的和相等、元素的积相等，列方程求解，但仍然要检验． 【变式训练1】已知集合A＝{﹣1，1}，B＝{x|ax+2＝0}，若B⊆A，则实数a的所有可能取值的集合为（　　） A．{﹣2} B．{2} C．{﹣2，2} D．{﹣2，0，2} 【解析】当a＝0时，B＝∅，B⊆A； 当a≠0时，B＝{}⊆A，＝1或＝﹣1⇒a＝﹣2或2， 综上实数a的所有可能取值的集合为{﹣2，0，2}． 故选：D． 【变式训练2】已知A＝{0，2，3，4，5，7}，B＝{1，2，3，4，6}，C＝{x|x∈A，x∉B}，则C的真子集个数为（　　） A．2 B．3 C．7 D．8 【解析】A＝{0，2，3，4，5，7}， B＝{1，2，3，4，6}， C＝{x|x∈A，x∉B}＝{0，5，7}， 则C的真子集个数为：23﹣1＝7个， 故选：C． 【变式训练3】设集合M＝{﹣1，1}，N＝{x|x2﹣x＜6}，则下列结论正确的是（　　） A．N⊆M B．N∩M＝∅ C．M⊆N D．M∩N＝R 【解析】集合M＝{﹣1，1}，N＝{x|x2﹣x＜6}＝{x|﹣2＜x＜3}， 则M⊆N， 故选：C． 【变式训练4】集合A＝{x|x∈N，0＜x＜4}的子集个数为 （　　） A．8 B．7 C．4 D．3 【解析】集合A＝{x∈N|0＜x＜4}＝{1，2，3}，则其子集有23＝8个， 故选：A． 【总结】有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集，2n-1个非空子集，n个元素的非空真子集有2n－2个。 【例4】已知全集U＝R，则正确表示集合M＝{x∈R|0≤x≤2}和集合N＝{x∈R|x2﹣x＝0}关系的韦恩（Venn）图是（　　） A． B． C． D． 【解析】根据题意，易得N为方程x2﹣x＝0的解集， 解x2﹣x＝0可得x＝0或1，则N＝{0，1}， 而M＝{x∈R|0≤x≤2}，易得N⊊M； 分析选项可得，B符合N⊊M； 故选：B． 【总结】集合间关系的判断以及用venn图表示集合的关系，判断出M、N的关系 【变式训练1】下列正确表示集合M＝{﹣1，0，1}和N＝{x|x2+x＝0}关系的Venn图是（　　） A．B．C．D． 【解析】由N＝{x|x2+x＝0}， 得N＝{﹣1，0}． ∵M＝{﹣1，0，1}， ∴N⊊M， 故选：B． 【变式训练2】已知全集U＝R，集合M＝{x|﹣2≤x﹣1≤2}和N＝{x|x＝2k﹣1，k＝1，2，…}的关系的韦恩（Venn）图如图所示，则阴影部分所示的集合的元素共有（　　） A．3个 B．2个 C．1个 D．无穷多个 【解析】根据题意，分析可得阴影部分所示的集合为M∩N， 又由M＝{x|﹣2≤x﹣1≤2}得﹣1≤x≤3， 即M＝{x|﹣1≤x≤3}， 在此范围内的奇数有1和3． 所以集合M∩N＝{1，3}共有2个元素， 故选：B． 考点二：利用集合的相等求参数 【例1】已知集合A＝{a，a+b，a+2b}，B＝{a，ac，ac2}，若A＝B，求实数c的值． 【解析】由A＝B，可得：或． 若⇒a+ac2﹣2ac＝0， 所以a（c﹣1）2＝0，即a＝0或c＝1． 当a＝0时，集合B中的元素均为0，故舍去； 当c＝1时，集合B中的元素均相同，故舍去． 若⇒2ac2﹣ac﹣a＝0． 因为a≠0，所以2c2﹣c﹣1＝0， 即（c﹣1）（2c+1）＝0． 又c≠1，所以只有c＝﹣． 经检验，此时A＝B成立．综上所述c＝﹣． 【总结】集合相等、方程的解法、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力． 考点三:根据集合的包含关系求参数 【例1】已知集合A＝{x|﹣3＜x＜4}，B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}，且B⊆A，求实数m的取值范围． 【解析】①若B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}＝∅， 则2m﹣1＞m+1， 故m＞2，B⊆A； ②若B＝{x|2m﹣1≤x≤m+1}≠∅， 则﹣3＜2m﹣1≤m+1＜4， 解得，＜m≤2； 综上所述，实数m的取值范围为（，+∞）． 【总结】集合的化简与运算，同时考查了分类讨论的思想应用． 【变式训练1】已知集合A＝{x|﹣4≤x+1≤4}，B＝{x|2m+1≤x≤m﹣1}，若B⊆A，求实数m的取值范围． 【解析】A＝{x|﹣4≤x+1≤4}＝{x|﹣5≤x≤3}． （1）当B≠∅时，由，得﹣3≤m≤﹣2． （2）当B＝∅时，则m﹣1＜2m+1，即m＞﹣2． 所以实数m的取值范围是[﹣3，+∞）． 【变式训练2】已知A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}． （1）若B⊆A，求实数a的取值范围； （2）若A⊆B，求实数a的取值范围． 【解析】（1）∵A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}，B⊆A， ∴当B＝∅时，a+1＞2a﹣1，解得a＜2， 当B≠∅时，， 解得2≤a≤3， 综上，实数a的取值范围是（﹣∞，3]． （2）∵A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|a+1≤x≤2a﹣1}， A⊆B， ∴，无解， ∴实数a的取值范围是∅． 【例2】设A＝{x|x2﹣5x+6＝0}，B＝{x|ax﹣12＝0}，若B⊆A，求实数a组成的集合，并写出它的所有非空真子集． 【解析】∵A＝{x|x2﹣5x+6＝0}＝{2，3}，B＝{x|ax﹣12＝0}，B⊆A， ∴当B＝∅时，a＝0，成立； 当B≠∅时，B＝{}，则或， 解得a＝6或a＝4， 综上，实数a组成的集合为{0，4，6}， 它的所有非空真子集有：{0}，{4}，{6}，{0，4}，{0，6}，{4，6}． 【总结】本题考查集合、集合的非空真子集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意子集的定义的合理运用． 【变式训练】已知集合M＝{x|x2+2x﹣a＝0}． （1）若∅⊊M，求实数a的取值范围； （2）若N＝{x|x2+x＝0}，且M⊆N，求实数a的取值范围． 【解析】（1）∵∅⊈M， ∴M＝{x|x2+2x﹣a＝0}≠∅， ∴△＝4+4a≥0， ∴a≥﹣1； （2）N＝{x|x2+x＝0}＝{0，﹣1}， ∵M⊆N，∴M＝∅，{0}，{﹣1}，{0，﹣1}， M＝∅，则△＝4+4a＜0，∴a＜﹣1； M是单元素集合，△＝4+4a＝0，∴a＝﹣1，此时M＝{﹣1}，符合题意； M＝{0，﹣1}，0﹣1＝﹣1≠﹣2，不符合． 综上，a≤﹣1． 考点四：多选 1、下列四个关系中错误的是（　　） A．1⊆{1，2，3} B．{1}∈{1，2，3} C．{1，2，3}⊆{1，2，3} D．空集∅⊆{1} 【解析】A应该为1∈{1，2，3}； B应该为{1}⊆{1，2，3}； C：{1，2，3}⊆{1，2，3}，正确； D空集∅⊆{1}，正确； 故选：AB． 2．设全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝（0，1，4}，B＝{0，1，3}，则（　　） A．A∩B＝{0，1} B．∁UB＝{4} C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集个数为8 【解析】∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝（0，1，4}，B＝{0，1，3}， ∴A∩B＝{0，1}，故A正确， ∁UB＝{2，4}，故B错误， A∪B＝{0，1，3，4}，故C正确， 集合A的真子集个数为23＝8，故D正确 故选：ACD． 随堂练习 （集合的概念） 一、选择题 1.已知A＝{x|3－3x>0}，则下列各式正确的是(　C　) A．3∈A B．1∈A C．0∈A D．－1∉A 2.下列四个集合中，不同于另外三个的是(B　　) A．{y|y＝2} B．{x＝2} C．{2} D．{x|x2－4x＋4＝0} 3.用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　B　) A.{1,1} B.{1} C.{x＝1} D.{x2－2x＋1＝0} 4.已知集合A＝{x∈N＋|－≤x≤}，则必有 (D　　) A. －1∈A B.0∈A C. ∈A D.1∈A 5.集合A中的元素y满足y∈N且y＝－x2＋1，若t∈A，则t的值为 (C　　) A. 0 B. 1 C. 0或1 D. 小于等于1 6.已知集合A含有三个元素2,4,6，且当a∈A，有6－a∈A，那么a为 (B　　) A. 2 B. 2或4 C. 4  D. 0 7．下列各组对象 ①接近于0的数的全体； ②比较小的正整数全体； ③平面上到点O的距离等于1的点的全体； ④正三角形的全体； ⑤的近似值的全体． 其中能构成集合的组数有( A ) A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 8．设集合M＝{大于0小于1的有理数}， N＝{小于1050的正整数}， P＝{定圆C的内接三角形}， Q＝{所有能被7整除的数}， 其中无限集是( B ) A．M、N、P B．M、P、Q C．N、P、Q D．M、N、Q 9．下列命题中正确的是( C ) A．{x｜x2＋2＝0}在实数范围内无意义 B．{(1，2)}与{(2，1)}表示同一个集合 C．{4，5}与{5，4}表示相同的集合 D．{4，5}与{5，4}表示不同的集合 10．直角坐标平面内，集合M＝{(x，y)｜xy≥0，x ∈R，y ∈R}的元素所对应的点是( D ) A．第一象限内的点 B．第三象限内的点 C．第一或第三象限内的点 D．非第二、第四象限内的点 11．已知M＝{m｜m＝2k，k ∈Z}，X＝{x｜x＝2k＋1，k ∈Z}，Y＝{y｜y＝4k＋1，K ∈Z}，则( A ) A．x＋y ∈M B．x＋y ∈X C．x＋y ∈Y D．x＋y M 12．下列各选项中的M与P表示同一个集合的是( C ) A．M＝{x∈R｜x2＋0.01＝0}，P＝{x｜x2＝0} B．M＝{(x，y)｜y＝x2＋1，x∈R}，P＝{(x，y)｜x＝y2＋1，x∈R} C．M＝{y｜y＝t2＋1，t∈R}，P＝{t｜t＝(y－1)2＋1，y∈R} D．M＝{x｜x＝2k，k∈Z}，P＝{x｜x＝4k＋2，k∈Z} 二、解答题 13、(10分)已知集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0，a∈R}． (1)若A是空集，求a的取值范围； (2)若A中只有一个元素，求a的值，并把这个元素写出来． 【解析】集合A是方程ax2－3x＋2＝0在实数范围内的解集． (1)A是空集，即方程ax2－3x＋2＝0无解， 得Δ＝(－3)2－8a<0，∴a>. (2)当a＝0时，方程只有一解，为x＝； 当a≠0且Δ＝0，即a＝时，方程有两个相等的实数根，A中只有一元素为x＝， ∴当a＝0或a＝时， A中只有一个元素，分别是或. 14．已知集合A＝{1，x，x2－x}，B＝{1,2，x}，若集合A与集合B相等，求x 的值． 15．实数集A满足条件：1A，若a∈A，则． (1)若2∈A，求A； (2)集合A能否为单元素集？若能，求出A；若不能，说明理由； (3)求证：． 16．已知集合A＝{x｜ax2－3x＋2＝0}，其中a为常数，且a∈R ①若A是空集，求a的范围； ②若A中只有一个元素，求a的值； ③若A中至多只有一个元素，求a的范围． （集合之间的关系） 一、选择题 1、下列集合中，只有一个子集的集合为（　　） A．{x|x2≤0} B．{x|x3≤0} C．{x|x2＜0} D．{x|x3＜0} 【解析】A、由x2≤0，得到x＝0，即{0}子集有2个，错误； B、由x3≤0，得到x≤0，即{x|x≤0}，子集不只有一个，错误； C、由x2＜0，得到集合为∅，即子集只有一个，正确； D、由x3＜0，得到x＜0，即{x|x＜0}，子集不只有一个，错误， 故选：C． 2、满足条件{a}⊈M⊆{a，b，c，d}的所有不同集合M的个数为（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【解析】满足条件的M有： {a，b}，{a，c}，{a，d}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a，c，d}，{a，b，c，d}， 故选：B． 3．已知M＝{x∈R|x≥2}，a＝π，给定下列关系：①a∈M；②{a}⊊M；③a⊊M；④{a}∈M．其中正确的是（　　） A．①② B．④ C．③ D．①②④ 【解析】∵a＝π＞2， ∴a∈M；{a}⊊M； 故①②正确． 故选：A． 4．设集合M＝{x|x＝+，k∈Z}，N＝{x|x＝+，k∈Z}，则（　　） A．M＝N B．M⊊N C．N⊊M D．M与N关系不确定 【解析】对于集合M：＝，k∈Z， 对于集合N：＝，k∈Z， ∵2k+1是奇数集，k+2是整数集，∴M⊊N， 故选：B． 二、填空题 5．设集合M＝{x|﹣1≤x＜2}，N＝{x|x﹣k≤0}，若M∩N＝∅，则k的取值范围是　 　． 【解析】化简得M＝{x|﹣1≤x＜2}＝[﹣1，2）， N＝{x|x﹣k≤0}＝（﹣∞，k]， ∵M∩N＝∅ ∴结合数轴得，k＜﹣1 故答案为k＜﹣1 6．已知A＝{x|x＜﹣1或x＞2}，B＝{x|4x+a＜0}，当B⊆A时，实数a的取值范围为　 　． 【解析】由B＝{x|4x+a＜0}，化简得： B＝{x|x＜﹣} 在数轴上表示集合A，如图： ∵B⊆A 而B＝{x|x＜﹣} ∴根据数轴上的范围易判断得 ≤﹣1 解得：a≥4． 7．如果集合A中有n个元素，则集合A有　 个子集，有　 　个真子集，有　 　个非空真子集． 【解析】集合A中有n个元素，则集合A有2n个子集，有2n﹣1个真子集，有2n﹣2个非空真子集． 故答案为：2n，2n﹣1，2n﹣2． 8．设A＝{（x，y）|x+y＝3，（x，y∈N）}，则A的所有子集有　　个、真子集有　　个、非空子集有　　个、非空真子集有　　个． 【解析】A＝{（x，y）|x+y＝3，（x，y∈N）}＝{（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）}， 即集合A中共有4个元素，其子集个数为24＝16个，真子集个数15个，非空子集有15个，非空真子集有14个． 故答案为：16；15；15；14 9．已知集合，，则A　　B． 【解析】＝{（a，b）|a2﹣2a+1＝﹣}＝{（1，）}＝B 故答案为：＝ 10．已知集合A＝{x|0＜x﹣a≤5}，B＝{x|＜x≤6} （1）若A⊆B，求a的取值范围． （2）若B⊆A，求实数a的取值范围． （3）集合A与B能否相等？若能，求出a的值，若不能，请说明理由． 【解析】因为A＝{x|a＜x≤a+5}，B＝{x|﹣＜x≤6}， （1）由于A⊆B， 所以a+5≤6，且﹣≤a， 解得0≤a≤1； （2）因B⊆A所以a+5≥6，且a≤﹣， 解得a∈∅； （3）A＝B时，a+5＝6，﹣＝a，解得a∈Φ 故不能． 11.已知A＝{x|x2－5x＋6＝0}，B＝{x|mx＝1}，若BA，求实数m所构成的集合M，并写出M的所有子集． 【答案】由x2－5x＋6＝0，得x＝2或x＝3， ∴A＝{2,3}． 由BA知B＝{2}，或B＝{3}，或， 若，则m＝0；若B＝{2}，则， 若B＝{3}，则，故． 从而M的所有子集为，{0}，，，，，，． 12.已知集合A＝{x|－1≤x≤2}，B＝{y|y＝2x－a，a∈R，x∈A}，C＝{z|z＝x2，x∈A}，是否存在实数a，使C⊆B？若存在，求出实数a的取值范围；若不存在，说明理由． 【答案】A＝{x|－1≤x≤2}，当x∈A时， －2－a≤2x－a≤4－a,0≤x2≤4； ∴B＝{y|－2－a≤y≤4－a，a∈R，y∈R}， C＝{z|0≤z≤4，z∈R}． 若C⊆B，则应有. 所以存在实数a∈{a|－2≤a≤0}时，C⊆B. 4 学科网（北京）股份有限公司 $$